Sinx 0 5: Mathway | Популярные задачи

Содержание

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Таблица СИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов


СИНУС (SIN α) — это одна из прямых тригонометрических функций для углов, в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к его единственной гипотенузе.

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)
α (радианы) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2
α (градусы) 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
SIN α (СИНУС) 0 1/2 2/2 3/2 1 0 -1 0

Полная таблица синусов для углов от 0° до  360° с шагом всего в 1° 
Угол в градусах Sin (Синус)
0
0.0175
0.0349
0.0523
0.0698
0.0872
0.1045
0.1219
0. 1392
0.1564
10° 0.1736
11° 0.1908
12° 0.2079
13° 0.225
14° 0.2419
15° 0.2588
16° 0.2756
17° 0.2924
18° 0.309
19° 0.3256
20° 0.342
21° 0.3584
22° 0.3746
23° 0.3907
24° 0.4067
25° 0.4226
26° 0.4384
27° 0.454
28° 0.4695
29° 0.4848
30° 0.5
31° 0.515
32° 0.5299
33° 0.5446
34° 0.5592
35° 0. 5736
36° 0.5878
37° 0.6018
38° 0.6157
39° 0.6293
40° 0.6428
41° 0.6561
42° 0.6691
43° 0.682
44° 0.6947
45° 0.7071
46° 0.7193
47° 0.7314
48° 0.7431
49° 0.7547
50° 0.766
51° 0.7771
52° 0.788
53° 0.7986
54° 0.809
55° 0.8192
56° 0.829
57° 0.8387
58° 0.848
59° 0.8572
60° 0.866
61° 0.8746
62° 0. 8829
63° 0.891
64° 0.8988
65° 0.9063
66° 0.9135
67° 0.9205
68° 0.9272
69° 0.9336
70° 0.9397
71° 0.9455
72° 0.9511
73° 0.9563
74° 0.9613
75° 0.9659
76° 0.9703
77° 0.9744
78° 0.9781
79° 0.9816
80° 0.9848
81° 0.9877
82° 0.9903
83° 0.9925
84° 0.9945
85° 0.9962
86° 0.9976
87° 0.9986
88° 0.9994
89° 0. 9998
90° 1

Полная таблица синусов для углов от 91° до 180°
Угол в градусах Sin (Синус)
91° 0.9998
92° 0.9994
93° 0.9986
94° 0.9976
95° 0.9962
96° 0.9945
97° 0.9925
98° 0.9903
99° 0.9877
100° 0.9848
101° 0.9816
102° 0.9781
103° 0.9744
104° 0.9703
105° 0.9659
106° 0.9613
107° 0.9563
108° 0.9511
109° 0.9455
110° 0.9397
111° 0. 9336
112° 0.9272
113° 0.9205
114° 0.9135
115° 0.9063
116° 0.8988
117° 0.891
118° 0.8829
119° 0.8746
120° 0.866
121° 0.8572
122° 0.848
123° 0.8387
124° 0.829
125° 0.8192
126° 0.809
127° 0.7986
128° 0.788
129° 0.7771
130° 0.766
131° 0.7547
132° 0.7431
133° 0.7314
134° 0.7193
135° 0.7071
136° 0.6947
137° 0. 682
138° 0.6691
139° 0.6561
140° 0.6428
141° 0.6293
142° 0.6157
143° 0.6018
144° 0.5878
145° 0.5736
146° 0.5592
147° 0.5446
148° 0.5299
149° 0.515
150° 0.5
151° 0.4848
152° 0.4695
153° 0.454
154° 0.4384
155° 0.4226
156° 0.4067
157° 0.3907
158° 0.3746
159° 0.3584
160° 0.342
161° 0.3256
162° 0.309
163° 0. 2924
164° 0.2756
165° 0.2588
166° 0.2419
167° 0.225
168° 0.2079
169° 0.1908
170° 0.1736
171° 0.1564
172° 0.1392
173° 0.1219
174° 0.1045
175° 0.0872
176° 0.0698
177° 0.0523
178° 0.0349
179° 0.0175
180° 0

Таблица синусов для углов  181° — 270°
Угол Sin (Синус)
181° -0.0175
182° -0.0349
183° -0.0523
184° -0.0698
185° -0.0872
186° -0. 1045
187° -0.1219
188° -0.1392
189° -0.1564
190° -0.1736
191° -0.1908
192° -0.2079
193° -0.225
194° -0.2419
195° -0.2588
196° -0.2756
197° -0.2924
198° -0.309
199° -0.3256
200° -0.342
201° -0.3584
202° -0.3746
203° -0.3907
204° -0.4067
205° -0.4226
206° -0.4384
207° -0.454
208° -0.4695
209° -0.4848
210° -0.5
211° -0.515
212° -0. 5299
213° -0.5446
214° -0.5592
215° -0.5736
216° -0.5878
217° -0.6018
218° -0.6157
219° -0.6293
220° -0.6428
221° -0.6561
222° -0.6691
223° -0.682
224° -0.6947
225° -0.7071
226° -0.7193
227° -0.7314
228° -0.7431
229° -0.7547
230° -0.766
231° -0.7771
232° -0.788
233° -0.7986
234° -0.809
235° -0.8192
236° -0.829
237° -0.8387
238° -0. 848
239° -0.8572
240° -0.866
241° -0.8746
242° -0.8829
243° -0.891
244° -0.8988
245° -0.9063
246° -0.9135
247° -0.9205
248° -0.9272
249° -0.9336
250° -0.9397
251° -0.9455
252° -0.9511
253° -0.9563
254° -0.9613
255° -0.9659
256° -0.9703
257° -0.9744
258° -0.9781
259° -0.9816
260° -0.9848
261° -0.9877
262° -0.9903
263° -0.9925
264° -0. 9945
265° -0.9962
266° -0.9976
267° -0.9986
268° -0.9994
269° -0.9998
270° -1

Таблица синусов для углов от 271° до 360°
Угол Sin (Синус)
271° -0.9998
272° -0.9994
273° -0.9986
274° -0.9976
275° -0.9962
276° -0.9945
277° -0.9925
278° -0.9903
279° -0.9877
280° -0.9848
281° -0.9816
282° -0.9781
283° -0.9744
284° -0.9703
285° -0.9659
286° -0. 9613
287° -0.9563
288° -0.9511
289° -0.9455
290° -0.9397
291° -0.9336
292° -0.9272
293° -0.9205
294° -0.9135
295° -0.9063
296° -0.8988
297° -0.891
298° -0.8829
299° -0.8746
300° -0.866
301° -0.8572
302° -0.848
303° -0.8387
304° -0.829
305° -0.8192
306° -0.809
307° -0.7986
308° -0.788
309° -0.7771
310° -0.766
311° -0.7547
312° -0. 7431
313° -0.7314
314° -0.7193
315° -0.7071
316° -0.6947
317° -0.682
318° -0.6691
319° -0.6561
320° -0.6428
321° -0.6293
322° -0.6157
323° -0.6018
324° -0.5878
325° -0.5736
326° -0.5592
327° -0.5446
328° -0.5299
329° -0.515
330° -0.5
331° -0.4848
332° -0.4695
333° -0.454
334° -0.4384
335° -0.4226
336° -0.4067
337° -0.3907
338° -0. 3746
339° -0.3584
340° -0.342
341° -0.3256
342° -0.309
343° -0.2924
344° -0.2756
345° -0.2588
346° -0.2419
347° -0.225
348° -0.2079
349° -0.1908
350° -0.1736
351° -0.1564
352° -0.1392
353° -0.1219
354° -0.1045
355° -0.0872
356° -0.0698
357° -0.0523
358° -0.0349
359° -0.0175
360° 0

Таблица синусов особенно нужна, когда у вас под рукой нет супер навороченного инженерного калькулятора с маленькой спасительной кнопкой с надписью «sin». В таком случае, чтобы узнать, чему же равняется синус определенного заданного угла, просто найдите информацию о интересующем градусе.

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите полностью всё таблицу, на выделенном фоне нажмите уже правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Как пользоваться таблицей? Всё гораздо проще, чем Вы думаете, ищем в левой вертикальной колонке, соответствующий градус, и напротив него и будет указано нужное значение синуса для данного нужного нам угла.

Пример

Чему равен синус 45? …

— А вот собственно и сам ответ на поставленную задачку.sin 45 = 0.7071


Автор: Bill4iam


SIN (функция SIN) — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции SIN в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает синус заданного угла.

Синтаксис

SIN(число)

Аргументы функции SIN описаны ниже.

Замечание

Если аргумент задан в градусах, умножьте его на ПИ()/180 или преобразуйте в радианы с помощью функции РАДИАНЫ.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.






Формула


Описание


Результат

=SIN(ПИ())

Синус пи радиан (0, приблизительно).

0,0

=SIN(ПИ()/2)

Синус пи/2 радиан.

1,0

=SIN(30*ПИ()/180)

Синус угла 30 градусов.

0,5

=SIN(РАДИАНЫ(30))

Синус 30 градусов.

0,5

Алгебра и начала анализа в 10-м классе «Решение тригонометрических уравнений»



Цель: закрепить навык решения
тригонометрических уравнений.

Работа учащихся состоит из нескольких этапов.
Чтобы получить оценку “3”, необходимо пройти 4
этапа, чтобы получить оценку “4” — 5 этапов, чтобы
получить оценку “5” — 6 этапов. На каждом этапе
ученик встретится с указаниями учителя о том, что
нужно знать и уметь, или краткими пояснениями к
выполнению заданий.

Прочитав указания учителя, ученик выполняет
самостоятельные работы данного этапа, проверяет
ответы, сверяя с ответами, которые предоставляет
учитель. Если допущены ошибки, то ученик их
исправляет и решает задания другого варианта,
аналогичные тем, где он допустил ошибки. После
этого можно переходить к следующему этапу.


1 этап.



Цель: закрепить решение простейших
тригонометрических уравнений.



Указания учителя.

Вспомните основные правила решения
тригонометрических уравнений.

(учебник А.Н.Колмогорова и др. с. 69 – 73)

 Выполните письменно самостоятельную
работу (10 минут)

Решите уравнения:









1 вариант 2 вариант
1) cos x = 1/2 1) sin x = -1/2
2) sin x = -/2 2) cos x = /2
3) tg x = 1 3) ctg x = -1
4) cos (x+)
= 0
4) sin (x – /3) = 0
5) 2 cos x = 1 5) 4 sin x = 2
6) 3 tg x = 0 6) 5 tg x = 0
7) sin 4x = 1 7) cos 4x = 0


2 этап.



Цель: закрепить умения решать
тригонометрические уравнения методом сведения к
квадратному.



Указания учителя.

Метод сведения к квадратному состоит в том, что,
пользуясь изученными формулами, надо
преобразовать уравнение к такому виду, чтобы
какую-то функцию (например, sin x или cos x) или
комбинацию функций обозначить через y, получив
при этом квадратное уравнение относительно y.



Пример. 4 – cos2 x = 4 sin x

Так как cos2 x = 1 – sin2 x, то

4 – (1 – sin2 x) = 4 sin x,

3 + sin2 x = 4 sin x,

sin2 x — 4 sin x + 3 = 0,

Пусть y = sin x, получим уравнение

y 2 — 4 y +3 = 0

у1=1; у2=3.

sin x =1 или sin x = 3,

x = /2 + 2 n, n= Z, решений нет.

Ответ: x = /2 + 2 n, n= Z.



Выполните письменно самостоятельную работу (10
минут)

Решите уравнения:





1 вариант 2 вариант
1) tg2 x — 3 tg x + 2 = 0; 1) 2 + cos2 x — 3 cos x = 0;
2) 2 cos2 x + 5 sin x – 4 = 0; 2) 4 — 5 cos x — 2 sin2 x =0;
3) (1 — cos 2x)/2 + 2 sin x = 3; 3) (1 — cos 2x)/2 + 2 sin x = 3.


3 этап.



Цель: закрепить навык решения
тригонометрических уравнений методом
разложения на множители.



Указания учителя.

Под разложением на множители понимается
представление данного выражения в виде
произведения нескольких множителей. Если в одной
части уравнения стоит несколько множителей, а в
другой – 0, то каждый множитель приравнивается к
нулю. Таким образом, данный множитель можно
представить в виде совокупности более простых
уравнений.



Пример. 2 sin3 x — cos 2x — sin x = 0

Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos2
x — sin2 x.

(2sin3 x — sin x) – (cos2 x — sin x) = 0,

Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке
sin x, а cos2 x = 1 — sin x.

sin x (2sin2 x – 1) – (1 — 2 sin2 x) = 0,

sin x (2sin2 x – 1) + (2 sin2 x — 1) = 0,

(2 sin2 x — 1) • ( sin x + 1) = 0.



2 sin2 x – 1 = 0 или sin x + 1 = 0
sin2 x = 1/2,

sin x = — 1
sin x = ±1/v2


Ответ: x1 = ± /4 + n, n = Z, x2 = — /2 +2k, k = Z.



Выполните письменно самостоятельную работу (10
минут)

Решите уравнения:




1 вариант 2 вариант
1) sin2 x — sin x = 0, 1) ctg2 x — 4 ctg x = 0,
2) 3 cos x + 2 sin 2x = 0, 2) 5 sin 2x — 2 sin x = 0.



4 этап.

Цель: закрепить навык решения однородных
уравнений



Указания учителя.

Однородными называются уравнения вида a sin x + b cos
x = 0,

a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, и т.д., где a, b,
c – числа.



Пример 1. 5 sin x — 2 cos x = 0

Поделим обе части уравнения cos x (или на sin x).
Предварительно докажем,

что cos x 0 (или
sin x 0). (Пусть cos
x = 0, тогда 5 sin x — 2 • 0 = 0, т.е. sin x = 0; но этого не может
быть, так как sin2 x + cos2 x = 1).

Значит, можно делить на cos x:

5 sin x /cos x — 2 cos x / cos x = 0 / cos x. Получим уравнение

5 tg x – 2 = 0

tg x = 2/5,

x = arctg 2/5 + n, n =
Z.

Ответ: x = arctg 2/5 + n, n = Z.

Аналогично решаются однородные уравнения вида
a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, их решение
начинается с того, что обе части уравнения
делятся на cos2 x (или на sin2 x).



Пример 2. 12 sin2 x + 3 sin 2x — 2 cos2 x = 2.

Данное уравнение не является однородным, но его
можно преобразовать в однородное, заменив 3 sin 2x
на 6 sin x cos x и число 2 на 2sin2 x + 2cos2 x.

Приведя подобные члены, получим уравнение

10sin2 x + 6sin x cos x — 4 cos2 x = 0.

(Пусть cos x = 0, тогда 10sin2 x = 0, чего не может
быть, т.к. sin2 x + cos2 x = 1, значит, cos x 0).

Разделим обе части уравнения на cos2 x.

10 tg2 x +6 tg x — 4 = 0,

tg x = -1 или tg x = 2/5,

x = — /4 + n, n = Z, x = arctg 2/5 + k, k = Z.

Ответ: x1 = — /4 + n, n =
Z, x2 = arctg 2/5 + k, k = Z.



Выполните письменно самостоятельную работу (10
минут)

Решите уравнения:




1 вариант 2 вариант
1) sin x — cos x = 0, 1) 5sin x +6cos x = 0,
2) sin2 x — sin 2x = 3 cos2 x, 2) 3sin2 x — 2sin 2x +5cos2 x = 2.


5 этап.



Указания учителя.

Вы прошли 4 этапа, теперь вам самостоятельно
придется выбрать метод решения уравнений.
Вспомните основные тригонометрические формулы.

(Учебник А.Н.Колмогорова и др. с. 7 — 9)



Выполните письменно самостоятельную работу (20
минут)

Решите уравнения:

6 этап.

Указания учителя.

Молодцы! Вы прошли 5 этапов. Целью вашей
дальнейшей работы является применение своих
знаний и умений в более сложных ситуациях.



Выполните письменно самостоятельную работу

(Задания даются в одном варианте, т.к. их решают
не все учащиеся. Время, отводимое на эту работу,
определяется учителем (ситуацией на уроке)).

Решите уравнения:

  1. sin 6x + cos 6x = 1 — sin 3x,
  2. 29 — 36 sin2 (x – 2) — 36 cos (x – 2) = 0,
  3. 2sin x cos x + – 2 cos
    x — v3 sin x = 0,
  4. sin 4x = 2 cos2 x – 1,
  5. sin x (sin x + cos x ) = 1,
  6. 1/(1 + cos2 x) + 1/(1 + sin2 x) =16/11.



Подсказки:  

  1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 6x,
    cos 6x.
  2. Обозначьте x – 2 = y, решите уравнение, сведя его к
    квадратному с помощью формулы sin2 y = 1 — cos2
    y.
  3. Сгруппируйте первое и третье слагаемое,
    примените разложение на множители.
  4. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 4x,
    cos 4x, формулой понижения степени 2cos2 x – 1 = cos
    2x.
  5. Раскройте скобки, примените основное
    тригонометрическое тождество.
  6. Приведите дроби к общему знаменателю, затем
    используйте основное тригонометрическое
    тождество sin2 x + cos2 x = 1, сведите
    уравнение к квадратному.

Оцените свои работы самостоятельно.



Домашнее задание:

Если вы выполнили задания всех этапов, то дома
№ 163-165 – любое уравнение (учебник А.Н.Колмогорова
и др. с. 333)

Если вы выполнили задания 5 этапов, то дома
задания 6 этапа.

Если вы выполнили задания 4 этапов, то дома
задания 5 этапа, и т.д.

© ГБПОУ КК ПАТИС

ГБПОУ КК ПАТИС

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края

Приморско-Ахтарский техникум индустрии и сервиса


Адрес: 353860 г. Приморско-Ахтарск, ул. Тамаровского, 85

тел: 8 (861-43) 2-35-94, 8 (861-43) 2-18-98

Адрес сайта: http://патис.рф

Социальные сети: VK и OK

Электронная почта: [email protected]

Режим работы:

ПН — СБ: с 8.00 до 16.00

Выходные дни: ВС

Учредители

Наименование:
Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края


Адрес: 350063 г. Краснодар, ул. Рашпилевская, 23

тел: 8 (861) 298-25-73

Адрес сайта: minobr.krasnodar.ru

Электронная почта: [email protected]

Режим работы:

ПН.ВТ.СР.ЧТ. – с 09.00 до 18.00

ПТ. – с 09.00 до 17.00

Перерыв на обед: с 13.00 до 13.50

Выходные дни: СБ.ВС.


Наименование:
Департамент имущественных отношений Краснодарского края


Адрес: 350000 г. Краснодар, ул. Гимназическая, 36

Канцелярия: 8 (861) 268-24-08

Факс: 8 (861) 267-11-75

Специалист по работе с обращениями граждан — консультации, запись на прием — телефон 267-11-78

Телефон горячей линии по вопросам земельных отношений: 8 (861) 992-33-35

Адрес сайта: diok.krasnodar.ru

Электронная почта: [email protected]

Режим работы:

ПН.ВТ.СР.ЧТ. – с 09.00 до 18.00

ПТ. – с 09.00 до 17.00

Перерыв на обед ПН.ВТ.СР.ЧТ.: с 13.00 до 13.50

Перерыв на обед ПТ.: с 13.00 до 13.40

Выходные дни: СБ.ВС.

Lösung von sin (x) = 0,5 на Identität

Lesezeit: 6 мин.

Versuchen wir также als nächstes folgende trigonometrische Gleichung zu lösen:

грех (х) = 0,5

Vorgehensweise: Zuerst der Blick zum Einheitskreis: Wann hat Sinus den Wert 0,5 ?

y = 0,5 wird erreicht bei 30 ° sowie bei 150 ° .Dass das der gleiche Wert ist, hatten wir schon bei den Identitäten
(siehe auch Programme «Identitäten für Sinus und Kosinus») gesehen,
mit denen wir auf Winkel mit gleichen Sinuswerten kommen.

Berechnen wir nun die Werte für x, statt sie abzulesen.


грех (х) = 0,5

sin (x) = 0,5 | грех -1 ()

sin -1 (sin (x)) = sin -1 (0,5)

x 1 = 30 °

Nun nehmen wir die folgende Identität zu Hilfe und formen sie mit Hilfe vom Arkussinus um, sodass wir die zweite Lösung erhalten:


грех (х) = грех (180 ° -х)

грех (х) = 0,5

sin (180 ° -x) = 0,5 | грех -1 ()

180 ° -x = грех (-1) (0,5)

180 ° -x = 30 ° | -180 °

-x = -150 ° | · (-1)

x 2 = 150 °

Lösung im beschränkten Intervall

Die Lösung beschreibt sich также mit:

Gleichung: sin (x) = 0,5

Lösung: x 1 = 30 °, x 2 = 150 ° im Intervall [0 °, 360 °]

Lösungen mit unbeschränktem Intervall

Bei einem unbeschränkten Intervall ] -∞, ∞ [ müssen wir unsere Lösungen wie folgt ergänzen:

x 1 = 30 ° + k · 360 °

x 2 = 150 ° + k · 360 °

Den Term k · 360 ° (die Variable k muss eine ganze Zahl sein) nennt man «Periodizitätssummand».Summand, weil wir ihn auf die Lösung addieren und er aus der Periode des Kreises bzw. der Sinusschwingung entsteht.

Die Lösungen können wir uns nun im Koordinatensystem Betrachten:

Mit Einteilung als Bogenmaß würden wir folgende Lösungen haben inklusive Graphen:


x 1 = 30 ° + k · 360 °

x 1 = 30 ° / 180 ° π + k · 360 ° / 180 ° π

х 1 = 1/6 π + k · 2π


x 2 = 150 ° + k · 360 °

x 2 = 150 ° / 180 ° π + k · 360 ° / 180 ° π

х 2 = 5/6 π + k · 2π

BestMaths

Тригонометрические уравнения — это уравнения, содержащие такие термины, как sin x, cos x и tan x.

Их можно решить с помощью тригонометрических графиков и, при необходимости, калькулятора. Можно использовать другой метод, использующий общие решения.

Поскольку тригонометрические функции периодичны и продолжаются бесконечно, эти тригонометрические уравнения часто имеют бесконечное число решений, если область определения (значения x) не фиксирована. Обычно выдается домен.

Чтобы проиллюстрировать различные методы, которые можно использовать, будет дано несколько различных типов примеров. Решения даются в тех же единицах, в которых написан вопрос.например Градусы или радианы.

Углы, используемые в специальных треугольниках, часто встречаются в тригонометрических уравнениях и снова показаны ниже в качестве напоминания.

Особые треугольники

Углы, такие как 30 ° (), 45 ° () и 60 ° (), используются часто, и тригонометрические отношения этих углов получаются из двух специальных треугольников (см. Блок 38, год 12). Их краткое содержание приводится ниже:

sin 30 °

cos 30 °

загар 30 °

грех 45 °

cos 45 °

загар 45 °

грех 60 °

cos 60 °

загар 60 °

1

√3

Если ответы могут быть даны с использованием точных значений из специальных треугольников, то они должны быть даны.Калькулятор следует использовать только в том случае, если не используются специальные углы треугольника.

Тригонометрические уравнения

Пример 1

Решите sin x = 0,5 для 0 ° ≤ x ≤ 360 °. Дайте ответы в градусах.

Рассмотрим функции y = sin x и прямую y = 0,5. Где пересекаются линия и кривая, будут решения. Калькулятор можно использовать, чтобы найти первое значение, найдя sin -1 (0,5)

Для первого решения можно использовать калькулятор 30 ° и второе решение, найденное из симметрии графика (180 ° 30 ° = 150 °).

Набор раствора {30 °, 150 °}

Подобные методы можно использовать для уравнений, включающих косинус и тангенс.


Пример 2

Решите 2sin 2 x + sin x = 0 для 0 ≤ x ≤ 2π. Дайте ответы в радианах.

Это квадратное уравнение, поэтому, если возможно, разложите его на множители.
sin x (2sin x + 1) = 0
Есть два набора решений:
sin x = 0 и 2sin x + 1 = 0, что дает sin x = -0.5

Решения sin x = 0 равны 0, 3,14π и 2π
Решения sin x = -0,5 равны 7π / 6 и 11π / 6

Набор решений: {0, π, 7π / 6, 11π / 6, 2π}


Пример 3

Решите √ 2cos 2x = 1 для 0 ≤ x ≤ 2π. Дайте ответы в терминах π.

Косинусная функция выделяется делением обеих частей на √2. Поскольку требуется cos 2 x, необходимо изучить график cos x от 0 до 4π, чтобы найти все корни.

√ 2 cos 2x = 1

cos 2x = 1 / √ 2

Первое решение можно найти с помощью специальных треугольников выше или с помощью калькулятора. Остальные решения находятся из симметрии графика:

Набор решений: {, ,,}


Пример 4

Решите sin 3x + sin x = 0 для 0 ≤ x ≤ 2π. Дайте ответы в терминах π.

Здесь используется формула суммы к произведению.2x & = 0 \\
1 (1-2 \ sin x) + \ sin x (1-2 \ sin x) & = 0 \\
(1 + \ грех х) (1-2 \ грех х) & = 0
\ end {выровнять *}
\ begin {align *}
1 + \ sin x & = 0 & 1-2 \ sin x & = 0 \\
\ sin x & = -1 & -2 \ sin x & = -1 \\
& & \ sin x & = \ frac {1} {2}
\ end {выровнять *}
Рассмотрим схему ниже.

Синус угла в стандартном положении (вершина в начале координат и начальная сторона на положительной оси $ x $) — это координата $ y $ точки, в которой конечная сторона угла пересекает единичную окружность.Два угла имеют одинаковый синус, если их конечные стороны пересекают единичную окружность в точках с одинаковой координатой $ y $. Такие углы симметричны относительно оси $ y $. Таким образом, $ \ sin \ theta = \ sin \ varphi $, если $ \ varphi = \ pi — \ theta $. Любые два концевых угла также будут иметь одинаковый синус. Следовательно, $ \ sin \ theta = \ sin \ varphi $ влечет
$$ \ varphi = \ theta + 2k \ pi, k \ in \ mathbb {Z} $$
или же
$$ \ varphi = \ pi — \ theta + 2k \ pi, k \ in \ mathbb {Z} $$
Вы обнаружили, что частным решением уравнения $ \ sin x = -1 $ является
$$ x = \ arcsin (-1) = — \ frac {\ pi} {2} $$
Следовательно, все решения этого уравнения имеют вид
\ begin {align *}
\ theta & = — \ frac {\ pi} {2} + 2k \ pi, k \ in \ mathbb {Z} & \ theta & = \ pi — \ left (- \ frac {\ pi} {2} \ right ) + 2к \ пи \\
& & & = \ frac {3 \ pi} {2} + 2k \ pi
\ end {выровнять *}
Если вы перечислите решения, вы заметите, что оба уравнения дают один и тот же набор решений.Единственный в интервале $ [0, 2 \ pi] $ — это $ \ dfrac {3 \ pi} {2} $.

Вы обнаружили, что одним из решений уравнения $ \ sin x = \ dfrac {1} {2} $ является $$ x = \ arcsin \ left (\ frac {1} {2} \ right) = \ frac {\ pi } {6} $$ Следовательно, общее решение
\ begin {align *}
x & = \ frac {\ pi} {6} + 2k \ pi, k \ in \ mathbb {Z} & x & = \ pi — \ frac {\ pi} {6} + 2k \ pi, k \ in \ mathbb {Z} \\
& & & = \ frac {5 \ pi} {6} + 2k \ pi, k \ in \ mathbb {Z}
\ end {выровнять *}
Из этих углов единственные в интервале $ [0, 2 \ pi] $ — это $ \ dfrac {\ pi} {6} $ и $ \ dfrac {5 \ pi} {6} $.

Рассматривая только арксинус угла, вы пропустили угол с таким же синусом, который получается при отражении по оси $ y $. В пределах каждого периода существует только один такой угол, если конечная сторона угла лежит на оси $ y $ (как в случае $ \ theta = — \ frac {\ pi} {2} $) и два таких угла в противном случае (как в случае с $ \ theta = \ frac {\ pi} {6} $).

7.5 Решение тригонометрических уравнений — предварительное вычисление

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Решите линейные тригонометрические уравнения с синусом и косинусом.
  • Решите уравнения, содержащие одну тригонометрическую функцию.
  • Решите тригонометрические уравнения с помощью калькулятора.
  • Решите тригонометрические уравнения квадратичной формы.
  • Решите тригонометрические уравнения, используя фундаментальные тождества.
  • Решите тригонометрические уравнения с несколькими углами.
  • Решите задачи прямоугольного треугольника.

Рисунок 1 Египетские пирамиды, стоящие возле современного города. (кредит: Ойсин Малвихилл)

Фалес Милетский (около 625–547 гг. до н.э.) известен как основоположник геометрии.Легенда гласит, что он рассчитал высоту Великой пирамиды в Гизе в Египте, используя теорию подобных треугольников , которую он разработал, измерив тень своего посоха. Эта теория, основанная на пропорциях, находит применение во многих областях, включая фрактальную геометрию, инженерию и архитектуру. Часто угол возвышения и угол депрессии находят с помощью одинаковых треугольников.

В предыдущих разделах этой главы мы рассматривали тригонометрические тождества.Тождества верны для всех значений в домене переменной. В этом разделе мы начинаем изучение тригонометрических уравнений для изучения реальных сценариев, таких как определение размеров пирамид.

Решение линейных тригонометрических уравнений с синусом и косинусом

Тригонометрические уравнения, как следует из названия, включают в себя тригонометрические функции. Во многом аналогично решению полиномиальных или рациональных уравнений, только определенные значения переменной будут решениями, если решения вообще есть.Часто мы решаем тригонометрическое уравнение на заданном интервале. Однако так же часто нас просят найти все возможные решения, и, поскольку тригонометрические функции являются периодическими, решения повторяются в течение каждого периода. Другими словами, тригонометрические уравнения могут иметь бесконечное количество решений. Кроме того, как и в случае с рациональными уравнениями, область определения функции должна быть рассмотрена, прежде чем мы предполагаем, что какое-либо решение является действительным. Период синусоидальной функции и косинусной функции равен 2π.2π. Другими словами, каждые 2π2π единиц повторяются значения y- . Если нам нужно найти все возможные решения, мы должны добавить 2πk, 2πk, где kk — целое число, к начальному решению. Вспомните правило, которое дает формат для определения всех возможных решений для функции с периодом 2π: 2π:

sinθ = sin (θ ± 2kπ) sinθ = sin (θ ± 2kπ)

Существуют аналогичные правила для указания всех возможных решений для других тригонометрических функций. Решение тригонометрических уравнений требует тех же методов, что и решение алгебраических уравнений.Мы читаем уравнение слева направо по горизонтали, как предложение. Мы ищем известные закономерности, множители, находим общие знаменатели и заменяем определенные выражения на переменные, чтобы упростить процесс решения. Однако с тригонометрическими уравнениями у нас также есть преимущество использования тождеств, которые мы разработали в предыдущих разделах.

Пример 1

Решение линейного тригонометрического уравнения с использованием функции косинуса

Найдите все возможные точные решения уравнения cosθ = 12.cosθ = 12.

Решение

Из единичного круга мы знаем, что

cosθ = 12 θ = π3,5π3cosθ = 12 θ = π3,5π3

Это решения в интервале [0,2π]. [0,2π]. Все возможные решения предоставлены

π3 ± 2kπ и 5π3 ± 2kππ3 ± 2kπ и 5π3 ± 2kπ

, где kk — целое число.

Пример 2

Решение линейного уравнения с использованием функции синуса

Найдите все возможные точные решения уравнения sint = 12.sint = 12.

Решение

Решение для всех возможных значений t означает, что решения включают углы, превышающие период 2π.2π. Из рисунка 2 видно, что решениями являются π6π6 и 5π6,5π6. Но проблема в том, чтобы указать все возможные значения, которые решают уравнение. Следовательно, ответ

π6 ± 2πk и 5π6 ± 2πkπ6 ± 2πk и 5π6 ± 2πk

, где kk — целое число.

Как сделать

Для данного тригонометрического уравнения решите с помощью алгебры .

  1. Найдите шаблон, который предлагает алгебраическое свойство, такое как разность квадратов или возможность разложения на множители.
  2. Замените тригонометрическое выражение одной переменной, например xx или u.u.
  3. Решите уравнение так же, как и алгебраическое уравнение.
  4. Подставьте тригонометрическое выражение обратно вместо переменной в результирующих выражениях.
  5. Найдите угол.

Пример 3

Решите тригонометрическое уравнение в линейной форме

Точно решите уравнение: 2cosθ − 3 = −5,0≤θ <2π.2cosθ − 3 = −5,0≤θ <2π.

Решение

Используйте алгебраические методы для решения уравнения.

2cosθ − 3 = −5 2cosθ = −2 cosθ = −1 θ = π2cosθ − 3 = −5 2cosθ = −2 cosθ = −1 θ = π

Попробуй # 1

Решите в точности следующее линейное уравнение на интервале [0,2π): 2sinx + 1 = 0. [0,2π): 2sinx + 1 = 0.

Решение уравнений, содержащих одну тригонометрическую функцию

Когда нам задают уравнения, которые включают только одну из шести тригонометрических функций, их решения требуют использования алгебраических методов и единичного круга (см. Рисунок 2).Когда уравнение включает тригонометрические функции, отличные от синуса и косинуса, необходимо учитывать несколько факторов. Проблемы, связанные с величинами, обратными первичным тригонометрическим функциям, необходимо рассматривать с алгебраической точки зрения. Другими словами, мы напишем обратную функцию и найдем углы, используя эту функцию. Кроме того, уравнение, включающее функцию касательной, немного отличается от уравнения, содержащего функцию синуса или косинуса. Во-первых, как мы знаем, период касательной равен π, π, а не 2π.2π. Кроме того, область касательной — это все действительные числа, за исключением нечетных целых кратных π2, π2, если, конечно, проблема не накладывает свои собственные ограничения на область.

Пример 4

Решение задачи, связанной с одной тригонометрической функцией

Решите задачу точно: 2sin2θ − 1 = 0,0≤θ <2π. 2sin2θ − 1 = 0,0≤θ <2π.

Решение

Поскольку эту проблему нелегко разложить на множители, мы решим ее, используя свойство квадратного корня. Во-первых, мы используем алгебру, чтобы выделить sinθ.sinθ. Потом найдем углы.

2sin2θ − 1 = 0 2sin2θ = 1 sin2θ = 12 sin2θ = ± 12 sinθ = ± 12 = ± 22 θ = π4,3π4,5π4,7π42sin2θ − 1 = 0 2sin2θ = 1 sin2θ = 12 sin2θ = ± 12 sinθ = ± 12 = ± 22 θ = π4,3π4,5π4,7π4

Пример 5

Решение тригонометрического уравнения с использованием косеканса

Точно решите следующее уравнение: cscθ = −2,0≤θ <4π.cscθ = −2,0≤θ <4π.

Решение

Нам нужны все значения θθ, для которых cscθ = −2cscθ = −2 в интервале 0≤θ <4π.0≤θ <4π.

cscθ = −21sinθ = −2sinθ = −12 θ = 7π6,11π6,19π6,23π6cscθ = −21sinθ = −2sinθ = −12 θ = 7π6,11π6,19π6,23π6

Анализ

Поскольку sinθ = −12, sinθ = −12, обратите внимание, что все четыре решения находятся в третьем и четвертом квадрантах.

Пример 6

Решение уравнения с касательной

Точно решите уравнение: tan (θ − π2) = 1,0≤θ <2π.tan (θ − π2) = 1,0≤θ <2π.

Решение

Напомним, что касательная функция имеет период π.π. На интервале [0, π), [0, π) и под углом π4, π4 касательная имеет значение 1. Однако нам нужен угол (θ − π2). (Θ − π2) . Таким образом, если tan (π4) = 1, tan (π4) = 1, то

θ − π2 = π4θ = 3π4 ± kπθ − π2 = π4θ = 3π4 ± kπ

На интервале [0,2π), [0,2π) имеем два решения:

3π4 и 3π4 + π = 7π43π4 и 3π4 + π = 7π4

Попробуй # 2

Найдите все решения для tanx = 3.tanx = 3.

Пример 7

Определите все решения уравнения, содержащего касательную

Определите все точные решения уравнения 2 (tanx + 3) = 5 + tanx, 0≤x <2π.2 (tanx + 3) = 5 + tanx, 0≤x <2π.

Решение

Мы можем решить это уравнение, используя только алгебру. Выделите выражение tanxtanx слева от знака равенства.

2 (tanx) +2 (3) = 5 + tanx2tanx + 6 = 5 + tanx2tanx − tanx = 5−6tanx = −12 (tanx) +2 (3) = 5 + tanx2tanx + 6 = 5 + tanx2tanx − tanx = 5 −6tanx = −1

На единичной окружности есть два угла, значение касательной которых равно −1: θ = 3π4−1: θ = 3π4 и θ = 7π4.θ = 7π4.

Решение тригонометрических уравнений с помощью калькулятора

Не все функции могут быть решены точно с использованием только единичной окружности.Когда мы должны решить уравнение с углом, отличным от одного из специальных углов, нам понадобится калькулятор. Убедитесь, что установлен правильный режим, градусы или радианы, в зависимости от критериев данной проблемы.

Пример 8

Использование калькулятора для решения тригонометрического уравнения с синусом

Воспользуйтесь калькулятором, чтобы решить уравнение sinθ = 0,8, sinθ = 0,8, где θθ выражается в радианах.

Решение

Убедитесь, что установлен режим радианы.Чтобы найти θ, θ, используйте функцию обратного синуса. На большинстве калькуляторов вам нужно будет нажать кнопку 2 ND , а затем кнопку SIN, чтобы вызвать функцию sin − 1sin − 1. На экране отображается sin − 1 (.sin − 1 (. Калькулятор готов к вводу в скобках. Для этой задачи мы вводим sin − 1 (0,8), sin − 1 (0,8)) и нажимаем ENTER. Таким образом, с точностью до четырех знаков после запятой,

sin − 1 (0,8) ≈0,9273 sin − 1 (0,8) ≈0,9273

Решение

Угол в градусах

.
θ≈53.1∘θ≈180∘ − 53,1∘ ≈126,9∘θ≈53,1∘θ≈180∘ − 53,1∘ ≈126,9∘

Анализ

Обратите внимание, что калькулятор возвращает только угол в квадрантах I или IV для функции синуса, поскольку это диапазон обратного синуса. Другой угол получается с помощью π − θ.π − θ.

Пример 9

Использование калькулятора для решения тригонометрического уравнения с секущей

Воспользуйтесь калькулятором, чтобы решить уравнение secθ = −4, secθ = −4, получив ответ в радианах.

Решение

Мы можем начать с некоторой алгебры.

secθ = −41cosθ = −4cosθ = −14secθ = −41cosθ = −4cosθ = −14

Убедитесь, что РЕЖИМ установлен в радианах. Теперь используйте функцию обратного косинуса.

cos − 1 (−14) ≈1,8235 θ≈1,8235 + 2πkcos − 1 (−14) ≈1,8235 θ≈1,8235 + 2πk

Поскольку π2≈1,57π2≈1,57 и π≈3,14, π≈3,14, 1,8235 находится между этими двумя числами, поэтому θ≈1,8235θ≈1,8235 находится во втором квадранте. Косинус также отрицателен в квадранте III. Обратите внимание, что калькулятор возвращает только угол в квадрантах I или II для функции косинуса, поскольку это диапазон обратного косинуса.См. Рисунок 2.

Рисунок 2

Итак, нам также нужно найти меру угла в квадранте III. В квадранте III опорный угол равен θ’≈π − 1,8235≈1,3181. Θ’≈π − 1,8235≈1,3181. Другое решение в квадранте III: π + 1,3181≈4,4597.π + 1,3181≈4,4597.

Решения: 1.8235 ± 2πk1.8235 ± 2πk и 4.4597 ± 2πk.4.4597 ± 2πk.

Попробуй # 3

Решить cosθ = −0.2.cosθ = −0.2.

Решение тригонометрических уравнений в квадратичной форме

Решение квадратного уравнения может быть более сложным, но, опять же, мы можем использовать алгебру, как и любое квадратное уравнение.Посмотрите на образец уравнения. Есть ли в уравнении более одной тригонометрической функции или только одна? Какая тригонометрическая функция возводится в квадрат? Если представлена ​​только одна функция и один из членов возведен в квадрат, подумайте о стандартной форме квадратичной функции. Замените тригонометрическую функцию переменной, например xx или u.u. Если после подстановки уравнение выглядит как квадратное уравнение, то мы можем использовать те же методы решения квадратичных уравнений для решения тригонометрических уравнений.

Пример 10

Решение тригонометрического уравнения в квадратичной форме

Точно решите уравнение: cos2θ + 3cosθ − 1 = 0,0≤θ <2π.cos2θ + 3cosθ − 1 = 0,0≤θ <2π.

Решение

Начнем с подстановки и замены cos θθ на x.x. Нет необходимости использовать замену, но это может облегчить визуальное решение проблемы. Пусть cosθ = x.cosθ = x. У нас

Уравнение не может быть разложено на множители, поэтому мы будем использовать квадратную формулу x = −b ± b2−4ac2a.х = −b ± b2−4ac2a.

x = −3 ± (3) 2−4 (1) (- 1) 2 = −3 ± 132x = −3 ± (3) 2−4 (1) (- 1) 2 = −3 ± 132

Заменить xx с cosθ, cosθ и решить. Таким образом,

cosθ = −3 ± 132 θ = cos − 1 (−3 + 132) cosθ = −3 ± 132 θ = cos − 1 (−3 + 132)

Обратите внимание, что используется только знак +. Это связано с тем, что мы получаем ошибку, когда решаем θ = cos − 1 (−3−132) θ = cos − 1 (−3−132) на калькуляторе, поскольку область определения функции обратного косинуса равна [−1,1 ]. [- 1,1]. Однако есть второе решение:

cos − 1 (−3 + 132) ≈1,26 cos − 1 (−3 + 132) ≈1,26

Эта конечная сторона угла лежит в квадранте I.Поскольку косинус также положителен в квадранте IV, второе решение —

.
2π − cos − 1 (−3 + 132) ≈5.022π − cos − 1 (−3 + 132) ≈5.02

Пример 11

Решение тригонометрического уравнения в квадратичной форме с помощью факторинга

Решите уравнение точно: 2sin2θ − 5sinθ + 3 = 0,0≤θ≤2π.2sin2θ − 5sinθ + 3 = 0,0≤θ≤2π.

Решение

Используя группировку, эту квадратичную величину можно разложить на множители. Либо сделайте настоящую замену, sinθ = u, sinθ = u, либо представьте ее, как мы множим:

2sin2θ − 5sinθ + 3 = 0 (2sinθ − 3) (sinθ − 1) = 0 2sin2θ − 5sinθ + 3 = 0 (2sinθ − 3) (sinθ − 1) = 0

Теперь установите каждый множитель равным нулю.

2sinθ − 3 = 0 2sinθ = 3 sinθ = 32 sinθ − 1 = 0 sinθ = 12sinθ − 3 = 0 2sinθ = 3 sinθ = 32 sinθ − 1 = 0 sinθ = 1

Затем найдите θ: sinθ ≠ 32, θ: sinθ ≠ 32, так как диапазон синусоидальной функции равен [−1,1]. [- 1,1]. Однако sinθ = 1, sinθ = 1, что дает решение π2.π2.

Анализ

Обязательно проверьте все решения в данном домене, так как некоторые факторы не имеют решения.

Попробуй # 4

Решить sin2θ = 2cosθ + 2,0≤θ≤2π.sin2θ = 2cosθ + 2,0≤θ≤2π.[Подсказка: сделайте замену, чтобы выразить уравнение только через косинус.]

Пример 12

Решение тригонометрического уравнения с помощью алгебры

Решите точно:

2sin2θ + sinθ = 0; 0≤θ <2π2sin2θ + sinθ = 0; 0≤θ <2π

Решение

Эта задача должна показаться вам знакомой, поскольку она похожа на квадратичную. Пусть sinθ = x.sinθ = x. Уравнение принимает вид 2×2 + x = 0,2×2 + x = 0. Начнем с факторинга:

2×2 + x = 0x (2x + 1) = 0 2×2 + x = 0x (2x + 1) = 0

Установите каждый коэффициент равным нулю.

x = 0 (2x + 1) = 0 x = −12 x = 0 (2x + 1) = 0 x = −12

Затем подставьте обратно в уравнение исходное выражение sinθsinθ вместо x.x. Таким образом,

sinθ = 0 θ = 0, πsinθ = −12 θ = 7π6,11π6sinθ = 0 θ = 0, πsinθ = −12 θ = 7π6,11π6

Решения в области 0≤θ <2π0≤θ <2π равны 0, π , 7π6,11π6. 0, π, 7π6,11π6.

Если мы предпочитаем не заменять, мы можем решить уравнение, следуя той же схеме факторизации и установив каждый коэффициент равным нулю.

2sin2θ + sinθ = 0sinθ (2sinθ + 1) = 0 sinθ = 0 θ = 0, π 2sinθ + 1 = 0 2sinθ = −1 sinθ = −12 θ = 7π6,11π6 2sin2θ + sinθ = 0sinθ (2sinθ + 1) = 0 sinθ = 0 θ = 0, π 2sinθ + 1 = 0 2sinθ = −1 sinθ = −12 θ = 7π6,11π6

Анализ

Мы можем видеть решения на графике на рисунке 3. На интервале 0≤θ <2π, 0≤θ <2π график пересекает ось x- четыре раза в отмеченных решениях.Обратите внимание, что тригонометрические уравнения в квадратичной форме могут дать до четырех решений вместо ожидаемых двух, которые можно найти с помощью квадратных уравнений. В этом примере каждое решение (угол), соответствующее положительному значению синуса, даст два угла, которые приведут к этому значению.

Рисунок 3

Мы также можем проверить решения на единичном круге на Рисунке 2.

Пример 13

Решение тригонометрического уравнения, квадратичного по форме

Решите квадратное по форме уравнение: 2sin2θ − 3sinθ + 1 = 0,0≤θ <2π.2sin2θ − 3sinθ + 1 = 0,0≤θ <2π.

Решение

Мы можем разложить на множители, используя группировку. Значения решения θθ можно найти на единичном круге:

(2sinθ − 1) (sinθ − 1) = 0 2sinθ − 1 = 0 sinθ = 12 θ = π6,5π6 sinθ = 1 θ = π2 (2sinθ − 1) (sinθ − 1) = 0 2sinθ − 1 = 0 sinθ = 12 θ = π6,5π6 sinθ = 1 θ = π2

Попробуй # 5

Решите квадратное уравнение 2cos2θ + cosθ = 0.2cos2θ + cosθ = 0.

Решение тригонометрических уравнений с использованием основных тождеств

Хотя алгебру можно использовать для решения ряда тригонометрических уравнений, мы также можем использовать фундаментальные тождества, потому что они упрощают решение уравнений. Помните, что методы, которые мы используем для решения проблем, не совпадают с методами проверки личности. Здесь применяются основные правила алгебры, а не переписывание одной стороны идентичности для соответствия другой стороне. В следующем примере мы используем два тождества, чтобы упростить уравнение.

Пример 14

Использование идентичностей для решения уравнения

Используйте тождества, чтобы точно решить тригонометрическое уравнение в интервале 0≤x <2π.0≤x <2π.

cosxcos (2x) + sinxsin (2x) = 32cosxcos (2x) + sinxsin (2x) = 32

Решение

Обратите внимание, что левая часть уравнения — это формула разности для косинуса.

cosxcos (2x) + sinxsin (2x) = 32 cos (x − 2x) = 32 Формула разности для косинуса cos (−x) = 32 Используйте тождество отрицательного угла.cosx = 32cosxcos (2x) + sinxsin (2x) = 32 cos (x − 2x) = 32 Формула разности для косинуса cos (−x) = 32 Используйте тождество отрицательного угла. cosx = 32

Из единичного круга на рисунке 2 мы видим, что cosx = 32cosx = 32, когда x = π6,11π6.x = π6,11π6.

Пример 15

Решение уравнения с использованием формулы двойного угла

Точно решите уравнение, используя формулу двойного угла: cos (2θ) = cosθ.cos (2θ) = cosθ.

Решение

У нас есть три варианта выражения для замены двойного угла косинуса. Поскольку проще решать одну тригонометрическую функцию за раз, мы выберем тождество с двойным углом, включающее только косинус:

cos (2θ) = cosθ 2cos2θ − 1 = cosθ 2cos2θ − cosθ − 1 = 0 (2cosθ + 1) (cosθ − 1) = 0 2cosθ + 1 = 0 cosθ = −12 cosθ − 1 = 0 cosθ = 1 cos (2θ ) = cosθ 2cos2θ − 1 = cosθ 2cos2θ − cosθ − 1 = 0 (2cosθ + 1) (cosθ − 1) = 0 2cosθ + 1 = 0 cosθ = −12 cosθ − 1 = 0 cosθ = 1

Итак, если cosθ = −12, cosθ = −12, тогда θ = 2π3 ± 2πkθ = 2π3 ± 2πk и θ = 4π3 ± 2πk; θ = 4π3 ± 2πk; если cosθ = 1, cosθ = 1, то θ = 0 ± 2πk.θ = 0 ± 2πk.

Пример 16

Решение уравнения с использованием идентификатора

Точно решите уравнение, используя тождество: 3cosθ + 3 = 2sin2θ, 0≤θ <2π. 3cosθ + 3 = 2sin2θ, 0≤θ <2π.

Решение

Если мы перепишем правую часть, мы можем записать уравнение через косинус:

3 cosθ + 3 = 2 sin2θ3 cosθ + 3 = 2 (1 − cos2θ) 3 cosθ + 3 = 2−2cos2θ2cos2θ + 3 cosθ + 1 = 0 (2 cosθ + 1) (cosθ + 1) = 02 cosθ + 1 = 0cosθ = −12θ = 2π3,4π3cosθ + 1 = 0cosθ = −1θ = π3 cosθ + 3 = 2 sin2θ3 cosθ + 3 = 2 (1 − cos2θ) 3 cosθ + 3 = 2−2cos2θ2cos2θ + 3 cosθ + 1 = 0 (2 cosθ +1) (cosθ + 1) = 02 cosθ + 1 = 0cosθ = −12θ = 2π3,4π3cosθ + 1 = 0cosθ = −1θ = π

Наши решения: 2π3,4π3, π.2π3,4π3, π.

Решение тригонометрических уравнений с несколькими углами

Иногда невозможно решить тригонометрическое уравнение с тождествами, которые имеют кратный угол, например sin (2x) sin (2x) или cos (3x) .cos (3x). Столкнувшись с этими уравнениями, вспомните, что y = sin (2x) y = sin (2x) — это горизонтальное сжатие с коэффициентом 2 функции y = sinx.y = sinx. На интервале 2π, 2π мы можем изобразить два периода y = sin (2x), y = sin (2x), в отличие от одного цикла y = sinx.y = sinx.Такое сжатие графика приводит нас к мысли, что может быть в два раза больше перехватов x или решений sin (2x) = 0sin (2x) = 0 по сравнению с sinx = 0. sinx = 0. Эта информация поможет нам решить уравнение.

Пример 17

Решение многоугольного тригонометрического уравнения

Решите точно: cos (2x) = 12cos (2x) = 12 на [0,2π). [0,2π).

Решение

Мы видим, что это уравнение является стандартным уравнением с углом, кратным углу.Если cos (α) = 12, cos (α) = 12, мы знаем, что αα находится в квадрантах I и IV. Хотя θ = cos − 112θ = cos − 112 даст решения только в квадрантах I и II, мы понимаем, что решения уравнения cosθ = 12cosθ = 12 будут в квадрантах I и IV.

Следовательно, возможные углы равны θ = π3θ = π3 и θ = 5π3.θ = 5π3. Итак, 2x = π32x = π3 или 2x = 5π3,2x = 5π3, что означает, что x = π6x = π6 или x = 5π6.x = 5π6. Имеет ли это смысл? Да, потому что cos (2 (π6)) = cos (π3) = 12. cos (2 (π6)) = cos (π3) = 12.

Есть еще возможные ответы? Вернемся к нашему первому шагу.

В квадранте I 2x = π3,2x = π3, поэтому x = π6x = π6, как указано. Давайте снова обратимся по кругу:

2x = π3 + 2π = π3 + 6π3 = 7π32x = π3 + 2π = π3 + 6π3 = 7π3

, поэтому x = 7π6.x = 7π6.

Еще один оборот дает

2x = π3 + 4π = π3 + 12π3 = 13π32x = π3 + 4π = π3 + 12π3 = 13π3

x = 13π6> 2π, x = 13π6> 2π, поэтому это значение для xx больше 2π, 2π, поэтому оно не решение на [0,2π). [0,2π).

В квадранте IV 2x = 5π3,2x = 5π3, поэтому x = 5π6x = 5π6, как указано. Давайте снова вращаемся по кругу:

2x = 5π3 + 2π = 5π3 + 6π3 = 11π32x = 5π3 + 2π = 5π3 + 6π3 = 11π3

, поэтому x = 11π6.х = 11π6.

Еще один оборот дает

2x = 5π3 + 4π = 5π3 + 12π3 = 17π32x = 5π3 + 4π = 5π3 + 12π3 = 17π3

x = 17π6> 2π, x = 17π6> 2π, поэтому это значение для xx больше 2π, 2π, поэтому оно не решение на [0,2π). [0,2π).

Наши решения: π6,5π6,7π6, 11π6.π6,5π6,7π6 и 11π6. Обратите внимание, что всякий раз, когда мы решаем задачу в форме sin (nx) = c, sin (nx) = c, мы должны обойти единичный круг nn раз.

Решение задач прямоугольного треугольника

Теперь мы можем использовать все изученные нами методы для решения задач, связанных с применением свойств прямоугольных треугольников и теоремы Пифагора.Мы начнем с известной теоремы Пифагора, a2 + b2 = c2, a2 ​​+ b2 = c2, и смоделируем уравнение в соответствии с ситуацией.

Пример 18

Использование теоремы Пифагора для моделирования уравнения

Используйте теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников, чтобы смоделировать уравнение, которое соответствует задаче.

Один из тросов, которыми центр колеса обозрения London Eye крепится к земле, необходимо заменить. Центр колеса обозрения находится на высоте 69,5 метров над землей, а второй якорь на земле находится в 23 метрах от основания колеса обозрения.Примерно какой длины кабель и каков угол подъема (от земли до центра колеса обозрения)? См. Рисунок 4.

Рисунок 4

Решение

Используя предоставленную информацию, мы можем нарисовать прямоугольный треугольник. Мы можем найти длину кабеля с помощью теоремы Пифагора.

a2 + b2 = c2 (23) 2+ (69,5) 2≈5359 5359≈73,2 м a2 + b2 = c2 (23) 2+ (69,5) 2≈5359 5359≈73,2 м

Угол возвышения θ, θ, образованный вторым якорем на земле и тросом, идущим к центру колеса.Мы можем использовать касательную функцию, чтобы найти ее меру. Округлить до двух десятичных знаков.

tanθ = 69,523tan − 1 (69,523) ≈1,2522 ≈71,69∘ tanθ = 69,523tan − 1 (69,523) ≈1,2522 ≈71,69∘

Угол возвышения составляет примерно 71,7∘, 71,7∘, а длина кабеля составляет 73,2 метра. .

Пример 19

Использование теоремы Пифагора для моделирования абстрактной задачи

Правила безопасности OSHA требуют, чтобы основание лестницы располагалось на расстоянии 1 фута от стены на каждые 4 фута длины лестницы.Найдите угол, под которым лестница любой длины образует с землей, и высоту, на которой лестница касается стены.

Решение

Для лестницы любой длины основание должно находиться на расстоянии от стены, равном одной четвертой длины лестницы. Эквивалентно, если основание лестницы находится на расстоянии футов от стены футов, длина лестницы будет 4 на футов. См. Рисунок 5.

Рис. 5

Сторона, примыкающая к θθ, равна a , а гипотенуза — 4a.4а. Таким образом,

cosθ = a4a = 14cos − 1 (14) ≈75,5∘ cosθ = a4a = 14cos − 1 (14) ≈75,5∘

Высота лестницы составляет 75,5∘75,5∘ с землей. Высота, на которой лестница касается стены, может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:

a2 + b2 = (4a) 2 b2 = (4a) 2 − a2 b2 = 16a2 − a2 b2 = 15a2 b = 15aa2 + b2 = (4a) 2 b2 = (4a) 2 − a2 b2 = 16a2 − a2 b2 = 15a2 b = 15a

Таким образом, лестница касается стены на высоте 15a15a футов от земли.

7.Упражнения из 5 частей

Устные

1.

Всегда ли будут решения уравнений тригонометрических функций? Если нет, опишите уравнение, у которого не было бы решения. Объясните, почему да или почему нет.

2.

При решении тригонометрического уравнения, включающего более одной тригонометрической функции, всегда ли мы хотим попытаться переписать уравнение так, чтобы оно выражалось в терминах одной тригонометрической функции? Почему или почему нет?

3.

При решении линейных тригонометрических уравнений только с помощью синуса или косинуса, как мы узнаем, будут ли решения?

Алгебраические

Для следующих упражнений найдите все решения точно на интервале 0≤θ <2π.0≤θ <2π.

Для следующих упражнений решите точно на [0,2π). [0,2π).

19.

2cos (3θ) = — 22cos (3θ) = — 2

20.

cos (2θ) = — 32cos (2θ) = — 32

22.

2cos (π5θ) = 32cos (π5θ) = 3

Найдите все точные решения для следующих упражнений на [0,2π). [0,2π).

23.

сек (x) sin (x) −2sin (x) = 0sec (x) sin (x) −2sin (x) = 0

24.

tan (x) −2sin (x) tan (x) = 0tan (x) −2sin (x) tan (x) = 0

25.

2cos2t + cos (t) = 12cos2t + cos (t) = 1

26.

2tan2 (t) = 3сек (t) 2tan2 (t) = 3сек (t)

27.

2sin (x) cos (x) −sin (x) + 2cos (x) −1 = 02sin (x) cos (x) −sin (x) + 2cos (x) −1 = 0

30.

tan2 (x) = — 1 + 2tan (−x) tan2 (x) = — 1 + 2tan (−x)

31.

8sin2 (x) + 6sin (x) + 1 = 08sin2 (x) + 6sin (x) + 1 = 0

32.

tan5 (x) = tan (x) tan5 (x) = tan (x)

Для следующих упражнений решайте методами, указанными в этом разделе, точно на интервале [0,2π). [0,2π).

33.

sin (3x) cos (6x) −cos (3x) sin (6x) = — 0,9sin (3x) cos (6x) −cos (3x) sin (6x) = — 0.9

34.

sin (6x) cos (11x) −cos (6x) sin (11x) = — 0,1 sin (6x) cos (11x) −cos (6x) sin (11x) = — 0,1

35.

cos (2x) cosx + sin (2x) sinx = 1cos (2x) cosx + sin (2x) sinx = 1

36.

6sin (2t) + 9sint = 06sin (2t) + 9sint = 0

37.

9cos (2θ) = 9cos2θ − 49cos (2θ) = 9cos2θ − 4

40.

cos (6x) −cos (3x) = 0cos (6x) −cos (3x) = 0

Для следующих упражнений решите точно на отрезке [0,2π). [0,2π). Если уравнения не учитываются, используйте формулу корней квадратного уравнения.

41.

tan2x − 3tanx = 0tan2x − 3tanx = 0

42.

sin2x + sinx − 2 = 0sin2x + sinx − 2 = 0

43.

sin2x − 2sinx − 4 = 0sin2x − 2sinx − 4 = 0

44.

5cos2x + 3cosx − 1 = 05cos2x + 3cosx − 1 = 0

45.

3cos2x − 2cosx − 2 = 03cos2x − 2cosx − 2 = 0

46. ​​

5sin2x + 2sinx − 1 = 05sin2x + 2sinx − 1 = 0

47.

tan2x + 5tanx − 1 = 0tan2x + 5tanx − 1 = 0

48.

cot2x = −cotxcot2x = −cotx

49.

−tan2x − tanx − 2 = 0 − tan2x − tanx − 2 = 0

Для следующих упражнений найдите точные решения на интервале [0,2π). [0,2π). Ищите возможности использовать тригонометрические тождества.

50.

sin2x − cos2x − sinx = 0sin2x − cos2x − sinx = 0

51.

sin2x + cos2x = 0sin2x + cos2x = 0

52.

sin (2x) −sinx = 0sin (2x) −sinx = 0

53.

cos (2x) −cosx = 0cos (2x) −cosx = 0.

54.

2tanx2 − sec2x − sin2x = cos2x2tanx2 − sec2x − sin2x = cos2x

55.

1 − cos (2x) = 1 + cos (2x) 1 − cos (2x) = 1 + cos (2x).

57.

10sinxcosx = 6cosx10sinxcosx = 6cosx

58.

−3sint = 15costsint − 3sint = 15costsint

59.

4cos2x − 4 = 15cosx4cos2x − 4 = 15cosx

60.

8sin2x + 6sinx + 1 = 08sin2x + 6sinx + 1 = 0

61.

8cos2θ = 3−2cosθ8cos2θ = 3−2cosθ

62.

6cos2x + 7sinx − 8 = 06cos2x + 7sinx − 8 = 0.

63.

12sin2t + cost − 6 = 012sin2t + cost − 6 = 0

Графический

Для следующих упражнений точно алгебраически определите все решения тригонометрического уравнения, затем проверьте результаты, построив уравнение на графике и найдя нули.

66.

6sin2x − 5sinx + 1 = 06sin2x − 5sinx + 1 = 0

67.

8cos2x − 2cosx − 1 = 08cos2x − 2cosx − 1 = 0.

68.

100tan2x + 20tanx − 3 = 0100tan2x + 20tanx − 3 = 0

69.

2cos2x − cosx + 15 = 02cos2x − cosx + 15 = 0.

70.

20sin2x − 27sinx + 7 = 020sin2x − 27sinx + 7 = 0

71.

2tan2x + 7tanx + 6 = 02tan2x + 7tanx + 6 = 0

72.

130tan2x + 69tanx − 130 = 0130tan2x + 69tanx − 130 = 0

Технологии

Для следующих упражнений используйте калькулятор, чтобы найти все решения до четырех знаков после запятой.

Для следующих упражнений решите уравнения алгебраически, а затем с помощью калькулятора найдите значения на интервале [0,2π).[0,2π). Округлить до четырех знаков после запятой.

77.

tan2x + 3tanx − 3 = 0tan2x + 3tanx − 3 = 0

78.

6tan2x + 13tanx = −66tan2x + 13tanx = −6

79.

tan2x − secx = 1tan2x − secx = 1

80.

sin2x − 2cos2x = 0sin2x − 2cos2x = 0

81.

2tan2x + 9tanx − 6 = 02tan2x + 9tanx − 6 = 0

82.

4sin2x + sin (2x) secx − 3 = 04sin2x + sin (2x) secx − 3 = 0

Расширения

Для следующих упражнений найдите все решения уравнений в точности на интервале [0,2π). [0,2π).

83.

csc2x − 3cscx − 4 = 0csc2x − 3cscx − 4 = 0

84.

sin2x − cos2x − 1 = 0sin2x − cos2x − 1 = 0

85.

sin2x (1 − sin2x) + cos2x (1 − sin2x) = 0sin2x (1 − sin2x) + cos2x (1 − sin2x) = 0

86.

3sec2x + 2 + sin2x − tan2x + cos2x = 03sec2x + 2 + sin2x − tan2x + cos2x = 0

87.

sin2x − 1 + 2cos (2x) −cos2x = 1sin2x − 1 + 2cos (2x) −cos2x = 1

88.

tan2x − 1 − sec3xcosx = 0tan2x − 1 − sec3xcosx = 0

89.

sin (2x) sec2x = 0sin (2x) sec2x = 0

90.

sin (2x) 2csc2x = 0sin (2x) 2csc2x = 0

91.

2cos2x − sin2x − cosx − 5 = 02cos2x − sin2x − cosx − 5 = 0

92.

1sec2x + 2 + sin2x + 4cos2x = 41sec2x + 2 + sin2x + 4cos2x = 4

Реальные приложения

93.

У самолета достаточно бензина, чтобы долететь до города в 200 милях к северо-востоку от его текущего местоположения. Если пилот знает, что город находится в 25 милях к северу, на сколько градусов к северу от востока должен лететь самолет?

94.

Если погрузочная рампа размещена рядом с грузовиком на высоте 4 фута, а ее длина составляет 15 футов, какой угол образует аппарель с землей?

95.

Если погрузочная рампа расположена рядом с грузовиком на высоте 2 фута, а ее длина составляет 20 футов, то какой угол образует аппарель с землей?

96.

Женщина наблюдает за запущенной ракетой, которая сейчас находится на высоте 11 миль. Если она стоит в 4 милях от стартовой площадки, под каким углом она смотрит вверх из горизонтали?

97.

Астронавт находится в запущенной ракете, которая сейчас находится на высоте 15 миль. Если мужчина стоит в 2 милях от стартовой площадки, под каким углом она смотрит на него сверху вниз из горизонтали? (Подсказка: это называется углом депрессии.)

98.

Женщина стоит в 8 метрах от 10-метрового здания.Под каким углом она смотрит на вершину здания?

99.

Мужчина стоит в 10 метрах от 6-метрового дома. Кто-то наверху здания смотрит на него сверху вниз. Под каким углом смотрит на него человек?

100.

У здания высотой 20 футов есть тень длиной 55 футов. Какой угол подъема солнца?

101.

У здания высотой 90 футов есть тень длиной 2 фута. Какой угол подъема солнца?

102.

Прожектор на земле в 3 метрах от человека ростом 2 метра отбрасывает 6-метровую тень на стену в 6 метрах от человека.Под каким углом свет?

103.

Прожектор на земле в 3 футах от женщины ростом 5 футов отбрасывает тень 15 футов высотой на стену в 6 футах от женщины. Под каким углом свет?

Для следующих упражнений найдите решение задачи со словами алгебраически. Затем воспользуйтесь калькулятором, чтобы проверить результат. Ответ округлите до десятых долей градуса.

104.

Человек выполняет стойку на руках, когда его ноги касаются стены, а руки находятся на расстоянии 1,5 фута от стены.Если рост человека 6 футов, какой угол у его ступни со стеной?

105.

Человек выполняет стойку на руках, при этом ноги касаются стены, а руки находятся на расстоянии 3 футов от стены. Если рост человека 5 футов, какой угол у его ступни со стеной?

106.

23-футовая лестница стоит рядом с домом. Если лестница соскользнет на расстоянии 7 футов от дома при недостаточном сцеплении с грунтом, какой угол должна составлять лестница относительно земли, чтобы избежать скольжения?

Решение тригонометрических уравнений — Semper Fi Mathematics

Все сводится к этому.Тождества не только помогут нам выполнять вычисления по любым задачам, связанным с тригонометрией, но они помогут нам решить тригонометрические уравнения.

Тригонометрическое уравнение — это уравнение, которое содержит некую тригонометрическую функцию с переменной внутри нее. Наша задача, очевидно, состоит в том, чтобы найти все значения, которые делают уравнение истинным. Но вот что интересно: ответов может быть множество, иногда бесконечно. Чтобы помочь с этим, мы ограничиваем интервал до 0 ° ≤ x ° <360 °. Таким образом, мы можем ограничить наш ответ от возможно бесконечного до четырех и даже до нуля.Не волнуйтесь, вам будут напоминать в начале каждой задачи, поэтому не беспокойтесь о попытках запомнить это.

Иногда уравнения могут быть такими же простыми, как просто решить тригонометрическую функцию и использовать обратную функцию для решения относительно x. Это просто. Но в большинстве случаев нам придется изменять уравнение, потому что может быть несколько триггерных функций, и мы не можем решить только одну так легко. Вот тут-то и пригодятся триггерные идентификаторы, так что запомните их. Это может быть немного сложно.Однако, если вы можете проверить тригонометрические тождества, тогда решить тригонометрические уравнения легко. Различия?

Проверка тригонометрической идентичности включает изменение каждой стороны уравнения до тех пор, пока вы не получите истинное утверждение.

Решение тригонометрических уравнений включает примерно ту же предпосылку, что и проверка идентичности, но мы решим для x, чтобы закончить проблему.

Начнем с одного:

Пример 1. Решите уравнение. Найдите все решения в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °.

sin x — 1 = 0

Это просто. Начните с решения тригонометрического уравнения. Мы можем сделать это, добавив 1 к каждой стороне:

sin x = 1

Мы могли бы использовать обратную тригонометрическую функцию для решения относительно x, но почему? Какое единственное значение, в котором грех равен 1? Это элементарный круговой элемент:

x = 90 °

Это единственное значение, которое делает sin равным 1, так что вот наше решение. К счастью, есть только одно решение, но их может быть целых четыре.Запомни.

Теперь немного по алгебре:

Пример 2. Решите следующее уравнение. Найдите все решения в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °:

5 sin x = 3 sin x + √3

Вы должны знать, как это сделать. Это простая алгебра, поэтому вычтите 3 sin x из каждой стороны:

2 sin x = √3

Разделите на 2:

sin x = √3 / 2

Сделайте обратный грех каждой стороны:

x = arcsin (√3 / 2)

x = 60 °

Мы еще не закончили! Если мы что-то знаем об единичном круге, мы знаем, что грех положителен в первом и втором квадрантах! Итак, действительно ли у нас есть два решения? Мы можем и делаем.Как найти решение во втором квадранте? Разве мы не вычитаем наш опорный угол из 180 °?

180-60 = 120

Попробуем:

sin 120 = √3 / 2

У нас есть. Наши решения: 60 ° и 120 ° .

Всегда проверяйте свои решения, прежде чем принимать их в качестве решений. Это очень важно.

Это простая алгебра. Теперь попробуйте быстрый набор задач.

Наборы задач, часть 1

Решите каждое уравнение.Убедитесь, что любое найденное вами решение находится в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °. Следите за посторонними решениями. Если нет решения, напишите «нет решения».

1. 2 tan x = √2

2. 2 cos x = √3

3. sin x + 1 = 0

4. tan x + 1 = 0

5. sin x — 3 = 0

Это, пожалуй, самый простой тип тригонометрических уравнений. Если это так же просто, как, ну, простая алгебра, то это может быть действительно легко. Иногда это не так.Во многих случаях нам придется немного разложить на множители, чтобы решить некоторые уравнения. В других случаях у нас будет несколько углов, с которыми нам придется иметь дело, но это легко с некоторой работой. В большинстве случаев нам придется изменять уравнение, используя тождество. Как насчет того, чтобы использовать квадратную формулу для решения тригонометрических уравнений? Этот немного отличается, но как только мы решим некоторые из этих типов проблем, все станет легко.

Начнем с факторинга:

Пример 3. Решите уравнение.Убедитесь, что каждое найденное решение находится в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °.

sin² x + sin x = 0

Это легко, если вы его сделали.

Мы можем решить это уравнение путем факторизации sin x из левой части:

sin x (sin x + 1) = 0

Используйте свойство нулевого произведения:

sin x = 0

x = 0 ° , 180 °.

Здесь есть два решения, так как sin равен 0 в двух местах. Это основной единичный круг.

Теперь нам нужно получить другой:

sin x + 1 = 0

sin x = -1

x = 270 °.

У нас есть три решения: 0 °, 180 ° и 270 ° .

Легко.

Это не так уж и плохо. Если вы можете фактор, вы можете это сделать.

Давайте сделаем еще один, но на этот раз с дополнительным бонусом:

Пример 4. Решите следующее уравнение. Убедитесь, что каждое найденное решение находится в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °. Следите за посторонними решениями:

tan x sin² x = 3 tan x

Да, это немного постороннее решение. Если мы имеем дело с тригонометрическими функциями, то возможны посторонние решения, поскольку есть ограничения на обратные тригонометрические функции.

Начните с вычитания 3 tan x с каждой стороны. Как только мы это сделаем, мы получим эту кляксу беспорядка:

tan x sin² x — 3 tan x = 0

Что теперь? Не отступай сейчас! Выложите множитель на тангаж x с левой стороны!

tan x (sin² x — 3) = 0

Выполните свойство нулевого произведения и решите оба уравнения. Начнем с тангенса:

tan x = 0

Опять же, с единичным кругом! Я же сказал, что это никогда не уйдет! Где тангенс 0? Это где грех 0, верно?

x = 0 °, 180 °.

Теперь мы переходим к sin² x — 3 = 0.

sin² x = 3

sin x = +/- √3

x = arcsin (+/- √3)

У нас есть проблема. Может ли грех действительно быть √3 любым знаком? Неа. √3 и -√3 находятся вне домена arcsin! Помните, что домен arcsin находится между -1 и 1, включая эти два значения. √3 составляет около 1,73, поэтому находится за пределами домена. Следовательно, нет решения для греховной части уравнения.

У этого уравнения есть только два решения: 0 ° и 180 ° .

Сделайте набор задач.

Наборы задач, часть 2

Решите каждое уравнение. Убедитесь, что каждое найденное решение находится в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °. Следите за посторонними решениями.

А теперь повеселимся. Каждое из следующих уравнений подразумевает, что нам необходимо заменить одно тригонометрическое выражение другим, используя тождества. Давай сделаем это.

Пр.5. Решите следующее уравнение. Убедитесь, что каждое найденное решение находится в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °:

cos² x + cos x = sin² x

Ну, что это? Это похоже на сплошной беспорядок.Хотя не совсем. На самом деле это довольно просто. Цель здесь — попытаться свести все триггерные функции в уравнении к одной. В этом случае мы хотим, чтобы все они были cos. Но как это сделать?

Если мы посмотрим на правую часть уравнения, мы увидим sin² x из-за его одинокости. Как превратить этот квадратный грех в cos? Это просто. Если вы помните свои пифагорейские тождества, то это несложно:

cos² x + cos x = sin x

cos² x + cos x = 1 — cos² x

Поместите все в левую часть уравнения:

2 cos² x + cos x — 1 = 0

У нас есть квадратное уравнение! Прохладный! Воспользуемся для этого нашей техникой подстановки.Если вы прошли мой урок по уравнениям в квадратичной форме, вы можете это сделать. Студенты, изучающие математику на среднем и продвинутом уровне, могут разложить это на множители:

u = cos x

2u² + u- 1 = 0

Это можно разложить на множители:

(2u — 1) (u + 1) = 0

2u — 1 = 0

u = 1/2

u + 1 = 0

u = -1

-1 — это просто. Где cos -1? 180 °, вот где!

Есть одно решение. Теперь о другом:

cos x = 1/2

Мы знаем, что здесь есть два решения.Поскольку cos положительна в первом и четвертом квадрантах, мы можем очень легко это понять:

cos x = 1/2

x = arccos 1/2

x = 60 °

Это один. Поскольку мы также знаем, что cos также положителен в четвертом квадранте, мы просто вычитаем 60 из 360 для нашего окончательного решения!

360 ° — 60 ° = 300 °

У нас есть три решения: x = 60 °, 180 ° и 300 ° .

Это было не так уж и плохо. Если вы запомните свою личность, это будет несколько проще.В некотором роде.

Примерьте эту на размер:

Пример 6. Решите следующее уравнение. Убедитесь, что каждое решение находится в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °:

sin x = cos x

Хм, это выглядит странно. Это действительно так, и это уравнение на самом деле дурацкое. Если мы попытаемся вычесть этот cos x с каждой стороны, мы получим следующее:

sin x — cos x = 0

Это абсолютно ничего для нас не делает. Что теперь?

Вот где это сбивает с толку.Это потому, что мы так привыкли к вычитанию (или добавлению) здесь, что даже не думали об этом! Мы сделали это только один раз во время конических сечений. Мы собираемся РАЗДЕЛИТЬ каждую сторону на cos x! Вот оно:

sin x / cos x = 1

Левая часть представляет собой частное тождество:

tan x = 1

Итак, где же tan положительный? В первом и третьем квадранте! Легкий.

tan x = 1

x = arctan 1

x = 45 °

Поскольку tan положителен и в третьем квадранте, мы добавляем 45 ° к 180 ° для другого решения:

180 ° + 45 ° = 225 °.

Решения 45 ° и 225 °. Но мы закончили? Почти. Мы можем это проверить.

Если разделить на sin x, получим:

cos x / sin x = 1

cot x = 1

x = arccot ​​1

x = 45 °

Да. то же самое.

У нас есть два решения: x = 45 ° и 225 ° .

Вот еще один:

Пример 7. Решите следующее уравнение в пределах заданного интервала. Следите за посторонними решениями:

sin x + cos x = 1 0 ° ≤ x ° <360 °

Ну, это другое.На самом деле это так. Однако у нас есть огромная проблема: кроме частных и взаимных идентичностей, которые абсолютно ничего не делают для нас, нет идентичностей, которые могут нам здесь помочь.

Вот здесь и проявляется наше творчество. Нам придется заставить личность раскрыть себя. Как?

Мы собираемся заставить пифагорейскую идентичность раскрыть себя. Мы знаем, что пифагорейские тождества вращаются вокруг квадрата греха и созидания. Для этого мы будем квадратными с каждой стороны.Это заставит идентичность:

sin x + cos x = 1

(sin x + cos x) ² = 1²

sin² x + 2 sin x cos x + cos² x = 1

Теперь самое интересное. Переставим его так:

sin² x + cos² x + 2 sin x cos x = 1

Вот наша пифагорейская идентичность. Вы знаете, что делать:

1 + 2 sin x cos x = 1

2 sin x cos x = 0

СЕЙЧАС становится весело. Разделите каждую сторону на 2:

sin x cos x = 0

Что теперь? Чтобы выполнить эту часть, нам нужно разделить каждую сторону на каждую триггерную функцию.Вот как это происходит:

Начните с деления каждой стороны на sin x:

cos x = 0

Какие два значения делают cos равным 0? 90 ° и 270 ° — наши виновники.

Теперь нам нужно разделить каждую сторону на cos x:

sin x = 0

Опять же, какие два значения делают sin равным 0? Это будет 0 ° и 180 °, верно?

Как удобно. Наши четыре решения: 0 °, 90 °, 180 ° и 270 °. Вы также могли использовать свойство нулевого продукта для решения вышеуказанной проблемы вместо разделения.Но это работает.

Но не совсем. Если вы проверите все четыре, вы увидите, что 180 ° и 270 ° — сторонние решения. Ваши фактические решения: 0 ° и 90 ° . Не верите мне? Проверьте их сами.

Проблема с разными функциями триггера. Это тупица:

Пример 8. Решите следующее уравнение в пределах заданного интервала. Следите за посторонними решениями:

tan x + sec x = 1 0 ° ≤ x ° <360 °

Вы возненавидите эту проблему.Это связано с множеством шагов.

Во-первых, мы не можем решить это уравнение. По крайней мере, не прямо. Начните с вычитания секунд x и 1 из каждой стороны каждого уравнения:

tan x — 1 = -sec x

СЕЙЧАС возведи квадрат с каждой стороны:

(tan x — 1) ² = (-sec x) ²

tan² x -2 tan x + 1 = sec² x

Правая сторона — это пифагорейское тождество:

tan² x — 2 tan x + 1 = tan² x + 1

Tan² x + 1 отменяется из-за равенства:

-2 tan x = 0

Разделите каждую сторону на -2:

tan x = 0

Где tan равно 0? Конечно, везде, где грех равен 0, верно?

x = 0 ° и 180 °.

Теперь нам нужно проверить решения. Я уверен, что вы поняли это из части «Следите за посторонними решениями».

tan x + sec x = 1

tan 0 + sec 0 = 1?

0 + 1 = 1? Это проверяет.

загар 180 + сек 180 = 1?

0 + -1 = 1? Ни единого шанса.

У нас есть только одно решение: x = 0 ° .

Попробуйте набор задач. Не забудьте использовать свою личность! Для некоторых из этих проблем могут потребоваться идентификаторы, которые не использовались в этом уроке, который мы рассмотрели в предыдущих уроках.Используйте свое здравое суждение.

Наборы задач, часть 3

Решите каждое уравнение. Убедитесь, что каждый раствор находится в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °. Следите за посторонними решениями. Если нет решения, напишите «нет решения».

1. 2 cos² x + sin x = 1

2. 4 sin² x + 4 cos x — 5 = 0

3. sin x cos x = √3 / 4

4. sin x + cos x = -1

5. tan x — sec x = 1

6. csc x + cot x = 1

Теперь немного поработаем с калькулятором.Мы не собираемся постоянно получать результаты под полным углом. Возможно, нам придется обратиться к алгебре и квадратной формуле для решения этих уравнений, но мы не сможем найти эти результаты через единичный круг. Чтобы решить эту проблему, нам придется полагаться на наши калькуляторы. В следующих примерах и сопутствующем наборе задач нам потребуется, чтобы наши калькуляторы были в градусном режиме, поэтому убедитесь, что ваши калькуляторы находятся в градусном режиме, прежде чем вводить какие-либо числа!

Пр.9. Решите следующее уравнение в пределах заданного интервала.Округлите свои решения до двух десятичных знаков:

cos x = -2/5 0 ° ≤ x ° <360 °

Хорошо, это просто. Начните с вычисления обратного косинуса каждой стороны:

x = arccos (-2/5)

Используйте калькулятор, чтобы вычислить это, округляя до двух десятичных знаков:

x = 113,58 °

Не забывайте, что cos также отрицателен в третьем квадранте! Добавьте этот результат к 180 °

180 + 113,58 = 193,58

Решения: 133.58 ° и 193,58 ° .

Видите? Это было просто.

Вот еще один:

Пример 10. Решите следующее уравнение в пределах заданного интервала. Округлите ответ до двух десятичных знаков:

tan x = -3 0 ° ≤ x ° <360 °

Еще один простой ответ. Не забывайте, что касательная во втором и четвертом квадрантах отрицательна. Возьмите арктангенс каждой стороны:

тангенс x = -3

x = арктангенс -3

x = -71.565051177077989

Поскольку нам не нравятся отрицательные углы, мы вычитаем это из 360 для решения четвертого квадранта:

x = 288,45 °

Мы еще не закончили! Вы должны помнить, что касательная также отрицательна во втором квадранте! Но как найти угол во втором квадранте с учетом угла в четвертом?

Это просто. Мы делаем полную противоположность тому, что делаем обычно. Когда мы были во втором квадранте, мы добавили к нему 180 градусов, чтобы определить угол четвертого квадранта.Мы собираемся сделать прямо противоположное: мы собираемся ВЫЧИТАТЬ из него 180, чтобы получить угол второго квадранта:

288,45 — 180 = 108,45 °

Нам нужно будет проверить, что tan 108,45 достаточно близок к — 3 как можно больше:

tan 108,45 ° = -2,997375

Да, достаточно близко. Наши решения: 288,45 ° и 108,45 ° .

Да, эти решения вышли из строя, но, по крайней мере, мы их получили. Ну и что?

Давайте рассмотрим последний пример, и на этот раз мы собираемся покопаться в алгебре прошлого, чтобы решить эту проблему.

Пр. 11. Решите следующее уравнение в пределах заданного интервала. Следите за посторонними решениями и округлите свои решения до двух десятичных знаков:

cos² x — 2 cos x — 1 = 0 0 ° ≤ x ° <360 °

Эй, разве мы не решили квадратичный как это раньше? Мы это сделали, но после выполнения u-подстановки вы увидите, что уравнение нельзя разложить на множители:

u = cos x

u² — 2u — 1 = 0

Существуют ли какие-либо множители -1, которые складываются до -2? Нет:

-1 + 1 = 0

1 + -1 = 0

Итак, что теперь? Придется пойти на решительные меры: ужасная квадратная формула.Это уравнение также можно решить, заполнив квадрат. Мы собираемся завершить квадрат здесь, но помните, что квадратная формула в вашем распоряжении, если вам нужно использовать ужасную вещь:

Половина 2? 1.

1²? Это 1.

Не забудьте добавить его к обеим сторонам уравнения:

u² — 2u — 1 = 0

u² — 2u = 1

u² — 2u + 1 = 1 + 1

(u — 1) ² = 2

u — 1 = +/- √2

u = 1 +/- √2

Теперь нам нужно установить их равными cos x и вычислить оттуда:

cos x = 1 + √2

Мы уже можем сказать, что это не сработает, так как мы должны к чему-то прибавить 1.Вспомните, что обратный косинус не может оценивать что-либо ниже -1 и выше 1. Выбросьте эту присоску.

Нам все еще нужно иметь дело с cos x = 1 — √2. У этого есть решения:

cos x = 1 — √2

cos x = -0,414213562

x = 114,47 °, примерно.

Не забывайте, что cos отрицательна в третьем квадранте!

360 — 114,47 = 245,53

Если вы просто добавите к нему 90, вы получите 204,45, что на самом деле неверно, если вы проверите его.

Наши два решения — 114.47 ° и 245,53 ° .

Вот и последний комплект задач. На этот раз я собираюсь добавить все из этого урока, включая примеры 9–11, в этот набор задач. Вам решать, какой метод использовать. Не сердитесь на меня! Ваш инструктор перемешает задачи на тестах, и вам придется делать то же самое! Я просто готовлю тебя!

Наборы задач, часть 4

Решите каждое уравнение в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °.{\ prime \ prime} _1} = 0. \]

Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем:

\ [
{0 + A — 6 \ left ({Ax + B} \ right) = 36x, \; \;} \ Rightarrow
{A — 6Ax — 6B = 36x.}
\]

Последнее уравнение должно быть справедливым для всех значений \ (x, \), поэтому коэффициенты с одинаковыми степенями \ (x \) в правой и левой частях должны быть идентичны:

\ [\ left \ {\ begin {array} {l}
— 6А = 36 \\
А — 6В = 0
\ end {array} \ right .. \]

Из этой системы находим, что \ (A = -6, \) \ (B = -1.{\ prime \ prime} _1} = — 4A \ cos 2x} — {4B \ sin 2x.} \]

Подставляя это обратно в дифференциальное уравнение, получаем:

\ [
{- 4A \ cos 2x — 4B \ sin 2x} + {16 \ left ({A \ cos 2x + B \ sin 2x + C} \ right)}
= {\ cos 2x + 1,}
\]

\ [
{- 4A \ cos 2x — 4B \ sin 2x} + {16A \ cos 2x + 16B \ sin 2x + 16C}
= {\ cos 2x + 1,}
\]

\ [{12A \ cos 2x + 12B \ sin 2x} + {16C} = {\ cos 2x + 1. 2} x}
\ end {array} \ right.2} x}}}}
= {\ frac {1} {2} \ ln \ left | {\ frac {{1 + \ sin x}} {{1 — \ sin x}}} \ right | + {A_2}.}
\]

В результате общее решение неоднородного уравнения представляется в виде:

\ [
{y \ left (x \ right)} = {{C_1} \ left (x \ right) \ cos x + {C_2} \ left (x \ right) \ sin x}
= {\ left ({- \ frac {1} {{\ cos x}} + {A_1}} \ right) \ cos x}
+ {\ left ({\ frac {1} {2} \ ln \ left | {\ frac {{1 + \ sin x}} {{1 — \ sin x}}} \ right | + {A_2}} \ справа) \ sin x}
= {{A_1} \ cos x + {A_2} \ sin x — 1}
+ {\ frac {{\ sin x}} {2} \ ln \ left | {\ frac {{1 + \ sin x}} {{1 — \ sin x}}} \ right |,}
\]

, где \ ({A_1}, {A_2} \) — постоянные числа.{\ prime \ prime} — 7y ’+ 12y = 8 \ sin x, \; \;} \ Rightarrow
{- A \ cos x — B \ sin x}
— {7 \ left ({- A \ sin x + B \ cos x} \ right)}
+ {12 \ left ({A \ cos x + B \ sin x} \ right)}
= {8 \ sin x, \; \;} \ Rightarrow
{- \ color {blue} {A \ cos x} — \ color {red} {B \ sin x}} + {\ color {red} {7A \ sin x} — \ color {blue} {7B \ cos x }}
+ {\ color {синий} {12A \ cos x} + \ color {красный} {12B \ sin x}}
= {8 \ sin x,} \; \; \ Rightarrow
{\ left ({11A — 7B} \ right) \ cos x} + {\ left ({11B + 7A} \ right) \ sin x} = {8 \ sin x.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *