I.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы

(схема 17)

Матрица, имеющая отличный от нуля определитель,
называется невырожденной;   имеющая равный
нулю определитель  –  вырожденной.

Матрица A^-1  называется
обратной для  заданной квадратной  матрицы , если   при  умножении матрицы    на обратную ей как
справа, так и слева,  получается
единичная матрица, то есть

A^-1∙A=A∙A^-1=E.                                                                                                                                                                                          (1.7)

Заметим, что в данном случае произведение матриц A и A^-1   коммутативно.

Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием существования
обратной матрицы для заданной квадратной матрицы, является отличие от нуля
определителя заданной матрицы

Если главная матрица системы оказалась при проверке
вырожденной, то для нее не существует обратной, и рассматриваемый метод
применить нельзя.

Для невырожденной матрицы  можно найти обратную
ей матрицу A^-1  по
следующему алгоритму.

1. 
Транспонируем матрицу A  в матрицу A^T  .

2.  Вычисляем
алгебраические дополнения  элементов матрицы A^T
и записываем их в матрицу .

3.  Составим
обратную матрицу A^-1 по
формуле:

.                                                                                                                                                                                      (1.8)

4. Сделаем проверку правильности найденной матрицы А^-1 согласно формуле
(1.7).  Заметим, что данная проверка
может быть включена в итоговую проверку самого решения системы.

Система (1.5) линейных алгебраических уравнений может
быть представлена в виде матричного уравнения: A∙X=B, где A – главная матрица системы,  – столбец неизвестных,  – столбец свободных
членов.   Умножим это уравнение слева на обратную матрицу A^-1,
получим:  A^-1∙A∙X=A^-1∙B.    Так как  по  определению обратной матрицы A^-1∙A=E, то уравнение принимает вид 

E∙X=A^-1∙B  или X=A^-1∙B  .                                                                                                                                                                       (1.9)

Таким образом, чтобы решить систему линейных
алгебраических уравнений нужно
столбец свободных членов умножить  слева
на матрицу, обратную для главной матрицы системы. После этого следует сделать
проверку полученного решения.

Пример 1.6.  Решить систему
методом обратной матрицы

Решение. Вычислим главный определитель системы

. 

Следовательно, матрица  невырожденная и
обратная к ней матрица существует.  

Найдём алгебраические дополнения всех элементов
главной матрицы :  

Запишем
алгебраические дополнения в матрицу

. Воспользуемся формулами (1.8) и (1.9) для нахождения решения
системы
. Отсюда x=2, y=0, z=1 

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Задачи линейной алгебры

Аннотация: Познакомимся с инструментами Octave, предназначенными для работы с векторами и матрицами, а также с возможностями, которые предоставляет пакет при непосредственном решении задач линейной алгебры.

5.1 Ввод и формирование векторов и матриц

Векторы и матрицы в Octave задаются путём ввода их элементов. Элементы вектора-строки отделяют пробелами или запятыми, а всю конструкцию заключают в квадратные скобки:

	
>>> a =[2 -3 5 6 -1 0 7 -9]
a = 2 -3 5 6 -1 0 7 -9
>>> b =[ -1,0,1]
b = -1 0 1

Вектор-столбец можно задать, если элементы отделять друг от друга точкой с запятой:

	
>>> c=[-pi; -pi / 2; 0; pi / 2; pi ]
c =
-3.14159
-1.57080
0.00000
1.57080
3.14159

Обратиться к элементу вектора можно указав имя вектора, а в круглых скобках — номер элемента, под которым он хранится в этом векторе:

	
>>> a( 1 )
ans = 2
>>> b( 3 )
ans = 1
>>> c( 5 )
ans = 3.1416

Ввод элементов матрицы также осуществляется в квадратных скобках, при этом элементы строки отделяются друг от друга пробелом или запятой, а строки разделяются между собой точкой с запятой:

	
>>> Matr=[0 1 2 3; 4 5 6 7 ]
Matr =
0 1 2 3
4 5 6 7

Обратиться к элементу матрицы можно указав после имени матрицы, в круглых скобках, через запятую, номер строки и номер столбца, на пересечении которых элемент расположен:

	
>>> Matr ( 2, 3 )
ans = 6
>>> Matr ( 1, 1 )
ans = 0
>>> Matr ( 1, 1 )=pi; Matr ( 2, 4 )= _pi;
>>> Matr
Matr =
3.1416 1.0000 2.0000 3.0000
4.0000 5.0000 6.0000 -3.1416

Матрицы и векторы можно формировать, составляя их из ранее заданных матриц и векторов:

	
>>> a=[-3 0 2 ]; b=[3 2 -1]; c =[5 -2 0 ];
>>> M=[a b c ] % Горизонтальная конкатенация векторов–строк
M = -3 0 2 3 2 -1 5 -2 0 % результат — вектор–строка
>>> N=[a; b; c ] % Вертикальная конкатенация векторов–строк,
% результат — матрица
N =
	-3  0  2
	 3  2 -1
	 5 -2  0
>>> Matrica =[N N N] % Горизонтальная конкатенация матриц
Matrica =
	-3  0  2 -3  0  2 -3  0  2
	 3  2 -1  3  2 -1  3  2 -1
	 5 -2  0  5 -2  0  5 -2  0
>>> Tablica =[M;M;M] % Вертикальная конкатенация матриц
Tablica =
	-3 0 2 3 2 -1 5 -2 0
	-3 0 2 3 2 -1 5 -2 0
	-3 0 2 3 2 -1 5 -2 0

Важную роль при работе с матрицами играет знак двоеточия «:». Примеры с подробными комментариями приведены в листинге 5.1.

	
>>> Tabl =[ -1.2 3.4 0.8; 0.9 -0.1 1.1; 7.6 -4.5 5.6; 9.0 1.3 -8.5]
Tabl =
	-1.20000 3.40000 0.80000
	0.90000 -0.10000 1.10000
	7.60000 -4.50000 5.60000
	9.00000 1.30000 -8.50000
>>> Tabl( :, 3 ) % Выделить из матрицы 3-й столбец
ans =
	0.80000
	1.10000
	5.60000
	-8.50000
>>> Tabl( 1, : ) % Выделить из матрицы 1-ю строку
ans = -1.20000 3.40000 0.80000
>>> Matr=Tabl( 2 : 3, 1 : 2 ) % Выделить из матрицы подматрицу
Matr =
0.90000 -0.10000
7.60000 -4.50000
% Вставить подматрицу в правый нижний угол исходной матрицы
>>> Tabl( 3 : 4, 2 : 3 )=Matr
Tabl =
	-1.20000 3.40000  0.80000
	0.90000  -0.10000 1.10000
	7.60000  0.90000  -0.10000
	9.00000  7.60000  -4.50000
>>> Tabl( :, 2 ) = [ ] % Удалить из матрицы 2-й столбец
Tabl =
	-1.20000 0.80000
	0.90000  1.10000
	7.60000  -0.10000
	9.00000  -4.50000
>>> Tabl( 2, : ) = [ ] % Удалить из матрицы 2-ю строку
Tabl =
	-1.20000 0.80000
	7.60000 -0.10000
	9.00000 -4.50000
>>> Matr % Представить матрицу в виде вектора–столбца
Matr =
	0.90000 -0.10000
	7.60000 -4.50000
>>> Vector=Matr ( : )
Vector =
	0.90000
	7.60000
	-0.10000
	-4.50000
>>> V=Vector( 1 : 3 ) % Выделить из вектора элементы со 1-го по 3-й
V =
	0.90000
	7.60000
	-0.10000
>>> V( 2 ) = [ ] % Удалить из массива 2-й элемент
V =
	0.90000
	-0.10000

Листинг
5.1.
Пример использования знака двоеточия «:»

Решение систем линейных уравнений матричным методом

Дана СЛАУ: $\left\{\begin{array}{c} {x_{1} +3x_{3} =26} \\ {-x_{1} +2x_{2} +x_{3} =52} \\ {3x_{1} +2x_{2} =52} \end{array}\right. $. Решить СЛАУ методом обратной матрицы, если это возможно.

Решение:

$A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right).{-1} =\frac{1}{-26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {-2} & {6} & {-6} \\ {3} & {-9} & {-4} \\ {-8} & {-2} & {2} \end{array}\right)=\frac{1}{26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {2} & {-6} & {6} \\ {-3} & {9} & {4} \\ {8} & {2} & {-2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{2}{26} } & {\frac{-6}{26} } & {\frac{6}{26} } \\ {\frac{-3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{4}{26} } \\ {\frac{8}{26} } & {\frac{2}{26} } & {\frac{-2}{26} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right).$

Найдем решение системы:

$X=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {\frac{1}{13} \cdot 26-\frac{3}{13} \cdot 52+\frac{3}{13} \cdot 52} \\ {-\frac{3}{26} \cdot 26+\frac{9}{26} \cdot 52+\frac{2}{13} \cdot 52} \\ {\frac{4}{13} \cdot 26+\frac{1}{13} \cdot 52-\frac{1}{13} \cdot 52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2-12+12} \\ {-3+18+8} \\ {8+4-4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$ — искомое решение системы уравнений.

Решение линейных систем с использованием матричной алгебры — концепция

Одно из наиболее часто используемых приложений квадратных матриц — решение систем линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений с использованием алгебры матриц намного более эффективны, чем ручное вычисление систем с использованием подстановки. Это особенно верно при работе с системами из 3 или более переменных. Два метода матричной алгебры включают сокращение строк и поиск обратного.

Матричные алгебры можно использовать для решения линейных систем уравнений, мы покажем вам, как это сделать, но прежде всего позвольте мне взглянуть на 3 матрицы a, x и b. И давайте заметим, что это уравнение, матричное уравнение ax = b означает умножение этого, теперь ax равно 5, -3, 7, -4 справа x равно xy это 2 на 1. И если я умножу это, я получу 5x -3y, и я получаю 7x-4y правильно, я получаю эту матрицу 2 на 1, и эта матрица равна b 5,6.Теперь вы знаете, что две матрицы равны только в том случае, если они имеют одинаковые размеры, они обе 2 на 1, и обе имеют одинаковые точные равные элементы, поэтому 5x-3y должно быть равно 5, а 7x-4y должно быть равно 6, поэтому позвольте мне просто запишите, что 5x-3y = 5, 7x-4y = 6, теперь эта система представляет собой систему линейных уравнений, эта линейная система полностью эквивалентна матричному уравнению ax = b, и это предлагает способ, которым мы можем использовать матричные уравнения для решения линейные системы, поэтому давайте сосредоточимся на решении этой линейной системы.
Теперь, прежде всего, когда вы превращаете линейную систему в матричное уравнение, давайте заметим, что в левой части вам нужны члены x и y, и вы хотите, чтобы они были в таком порядке, так что эти числа здесь называются коэффициентами и что вы хотите сделать, вы хотите придумать матрицу коэффициентов для системы, и это может быть 5, -3, 7, -4, это матрица a, а затем переменная матрица xy, которая это, а затем постоянная матрица 5,6 матрица b.
Как теперь решить матричное уравнение ax = b? Что ж, оказывается, что это в основном похоже на линейное уравнение с действительными числами, с той лишь разницей, что мы не можем делить на матрицы, нет способа делить на матрицы, но вы можете умножить на обратное, поэтому, если матрица a имеет обратную форму, вы можно умножить на обратное и вспомнить, когда вы умножаете обе стороны на матрицу, вам нужно умножить либо обе стороны слева, либо обе стороны справа, потому что умножение матриц не коммутативно хорошо, что вы собираетесь получить здесь обратное время a — это единичная матрица, умноженная на x, и единичная матрица, умноженная на x, будет x, так что это x равно обратному b, это на самом деле ваше решение, у вас будет xy, равное, а затем некоторые числа, поэтому все, что вам нужно сделать, это выяснить, что обратная матрица a есть.Теперь предположим, что мы знаем, что обратная матрица равна -4, 3-7, 5, хорошо скажем, что мы решили обратную матрицу и нашли это, тогда x будет равно обратному b, который равен -4, 3, -7, 5 умножить на b, что равно 5,6. Позвольте мне просто сделать это умножение, это -20 + 18 -2, -35 + 30-5, верно, и это x, y, так что это наше, что дает нам решение x = -2, y = -5, вот и все.
Итак, когда вы решаете линейную систему с использованием матриц, первым делом нужно написать матричное уравнение, подобное этому, у вас будет ax = b.И второй шаг — это просто найти матрицу, обратную матрице коэффициентов. Затем третий шаг — умножить эту обратную матрицу на постоянную матрицу b, этот парень, верно? Умножьте слева, и вы получите свои решения. Это так просто, поэтому очень важно знать, как инвертировать матрицы для решения этой проблемы, чтобы использовать этот процесс, но вы обнаружите, что это очень быстрый процесс, если вы хорошо разбираетесь в инвертировании матриц.

8.4: Системы линейных уравнений — матричные инверсии

Мы завершили раздел \ ref {MatArithmetic}, показав, как мы можем переписать систему линейных уравнений как матричное уравнение \ (AX = B \), где \ (A \) и \ (B \) — известные матрицы, и матрица решений \ (X \) уравнения соответствует решению системы.В этом разделе мы разрабатываем метод решения такого уравнения. Для этого рассмотрим систему

\ [\ left \ {\ begin {array} {rcr} 2x-3y & = & 16 \\ 3x + 4y & = & 7 \\ \ end {array} \ right. \]

Чтобы записать это в виде матричного уравнения, мы следуем процедуре, описанной на странице \ pageref {systemasmatrixeqn}. Мы находим, что матрица коэффициентов \ (A \), матрица неизвестных \ (X \) и постоянная матрица \ (B \) равны

.

\ [\ begin {array} {ccc} A = \ left [\ begin {array} {rr} 2 & -3 \\ 3 & 4 \\ \ end {array} \ right] & X = \ left [\ begin {array} {r} x \\ y \\ \ end {array} \ right] & B = \ left [\ begin {array} {r} 16 \\ 7 \\ \ end {array} \ right] \ конец {массив} \]

Чтобы понять, как мы решаем матричное уравнение, такое как \ (AX = B \), мы снова возвращаемся к решению аналогичного уравнения с действительными числами.{-1} \ right) (5) & \ stackrel {?} {=} & 5 & \ text {Ассоциативное свойство умножения} \\ 1 \ cdot 5 & \ stackrel {?} {=} & 5 & \ text {Обратное свойство} \\ 5 & \ stackrel {\ checkmark} {=} & 5 & \ text {Мультипликативная идентичность} \\ \ end {array} \]

Возвращаясь к теореме \ ref {matrixmultprops}, мы знаем, что умножение матриц обладает как ассоциативным свойством, так и мультипликативным тождеством. Чего не хватает в смеси, так это обратной мультипликативной матрицы коэффициентов \ (A \).{-1} & = & I_ {2} \\ \ left [\ begin {array} {rr} 2 & -3 \\ 3 & 4 \\ \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array } {rr} x_ {1} & x_ {2} \\ x_ {3} & x_ {4} \\ \ end {array} \ right] & = & \ left [\ begin {array} {rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \ end {array} \ right] \\ \ left [\ begin {array} {rr} 2x_ {1} — 3x_ {3} & 2x_ {2} — 3x_ {4} \\ 3x_ {1} + 4x_ {3} & 3x_ {2} + 4x_ {4} \\ \ end {array} \ right] & = & \ left [\ begin {array} {rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \ end {массив} \ right] \\ \ end {array} \]

Это приводит к еще двум системам уравнений

\ [\ begin {array} {cc} \ left \ {\ begin {array} {rcr} 2x_ {1} -3x_ {3} & = & 1 \\ 3x_ {1} + 4x_ {3} & = & 0 \\ \ end {array} \ right.& \ left \ {\ begin {array} {rcr} 2x_ {2} -3x_ {4} & = & 0 \\ 3x_ {2} + 4x_ {4} & = & 1 \\ \ end {array} \ right . \ end {array} \]

На данный момент может показаться абсурдным продолжать эту затею. В конце концов, цель состояла в том, чтобы решить одну систему уравнений , и при этом мы получили еще , две для решения. Помните, что цель этого обсуждения — разработать общий метод , который при использовании в правильных сценариях позволяет нам делать гораздо больше, чем просто решать систему уравнений.Если мы приступим к решению этих систем с использованием расширенных матриц, используя методы, описанные в разделе \ ref {AugMatrices}, мы увидим, что не только обе системы имеют одинаковую матрицу коэффициентов, эта матрица коэффициентов не что иное, как матрица \ (A \) сам. (Мы вернемся к этому наблюдению чуть позже.)

\ [\ begin {array} {ccc} \ left \ {\ begin {array} {rcr} 2x_ {1} -3x_ {3} & = & 1 \\ 3x_ {1} + 4x_ {3} & = & 0 \\ \ end {array} \ right. & \ xrightarrow {\ text {Кодировать в матрицу}} & \ left [\ begin {array} {rr | r} 2 & -3 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ \ end {array} \ right] \\ \ left \ {\ begin {array} {rcr} 2x_ {2} -3x_ {4} & = & 0 \\ 3x_ {2} + 4x_ {4} & = & 1 \\ \ end {array} \ верно.& \ xrightarrow {\ text {Кодировать в матрицу}} & \ left [\ begin {array} {rr | r} 2 & -3 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ \ end {array} \ right] \\ \ end {array} \]

Для решения этих двух систем мы используем Гаусса-Джордана , чтобы преобразовать расширенные матрицы в сокращенную форму эшелона строк (детали оставляем читателю). Для первой системы получаем

\ [\ begin {array} {ccc} \ left [\ begin {array} {rr | r} 2 & -3 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ \ end {array} \ right] & \ xrightarrow {\ text {Устранение Гаусса Джордана}} & \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & \ frac {4} {17} \\ 0 & 1 & — \ frac {3} {17} \\ \ end {массив} \ right] \\ \ end {array} \]

, что дает \ (x_ {1} = \ frac {4} {17} \) и \ (x_ {3} = — \ frac {3} {17} \).Чтобы решить вторую систему, мы используем те же операции со строками в том же порядке, чтобы преобразовать ее расширенную матрицу в сокращенную форму эшелона строк (подумайте, почему это работает), и мы получаем

\ [\ begin {array} {ccc} \ left [\ begin {array} {rr | r} 2 & -3 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ \ end {array} \ right] & \ xrightarrow {\ text {Устранение Гаусса Джордана}} & \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & \ frac {3} {17} \\ 0 & 1 & \ frac {2} {17} \ \ \ end {array} \ right] \\ \ end {array} \]

, что означает \ (x_ {2} = \ frac {3} {17} \) и \ (x_ {4} = \ frac {2} {17} \).{-1} \), мы использовали две расширенные матрицы, каждая из которых содержала те же элементы, что и \ (A \)

\ [\ begin {array} {rcl} \ left [\ begin {array} {rr | r} 2 & -3 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ \ end {array} \ right] & = & \ left [\ begin {tabular} {c | r} \ multirow {2} {10pt} {\ large \ textit {A}} & 1 \\ & 0 \ end {tabular} \ right] \\ \ left [\ begin {array} {rr | r} 2 & -3 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ \ end {array} \ right] & = & \ left [\ begin {tabular} {c | r} \ multirow {2} {10pt} {\ large \ textit {A}} & 0 \\ & 1 \ end {tabular} \ right] \\ \ end {array} \]

Отметим также, что сокращенные формы эшелонов строк этих расширенных матриц могут быть записаны как

\ [\ begin {array} {rcl} \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & \ frac {4} {17} \\ 0 & 1 & — \ frac {3} {17 } \\ \ end {array} \ right] & = & \ left [\ begin {tabular} {c | r} \ multirow {2} {10pt} {\ large \ (I_ {2} \)} & \ ( x_ {1} \) \\ & \ (x_ {3} \) \ end {tabular} \ right] \\ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & \ hphantom {-} \ frac {3} {17} \\ 0 & 1 & \ frac {2} {17} \\ \ end {array} \ right] & = & \ left [\ begin {tabular} {c | r} \ multirow { 2} {10pt} {\ large \ (I_ {2} \)} & \ (x_ {2} \) \\ & \ (x_ {4} \) \ end {tabular} \ right] \ end {array} \]

, где мы определили записи слева от вертикальной полосы как идентификатор \ (I_ {2} \) и записи справа от вертикальной полосы как решения для наших систем.Длинный и короткий процесс решения можно резюмировать как

\ [\ begin {array} {ccc} \ left [\ begin {tabular} {c | r} \ multirow {2} {10pt} {\ large \ textit {A}} & 1 \\ & 0 \ end { tabular} \ right] & \ xrightarrow {\ text {Устранение Гаусса Джордана}} & \ left [\ begin {tabular} {c | r} \ multirow {2} {10pt} {\ large \ (I_ {2} \) } & \ (x_ {1} \) \\ & \ (x_ {3} \) \ end {tabular} \ right] \\ \ left [\ begin {tabular} {c | r} \ multirow {2} { 10pt} {\ large \ textit {A}} & 0 \\ & 1 \ end {tabular} \ right] & \ xrightarrow {\ text {Устранение Гаусса Джордана}} & \ left [\ begin {tabular} {c | r } \ multirow {2} {10pt} {\ large \ (I_ {2} \)} & \ (x_ {2} \) \\ & \ (x_ {4} \) \ end {tabular} \ right] \ конец {массив} \]

Поскольку операции со строками для обоих процессов одинаковы, вся арифметика в левой части вертикальной полосы идентична в обеих задачах.Единственное различие между этими двумя процессами — это то, что происходит с константами справа от вертикальной полосы. Пока мы сохраняем их разделенными на столбцы, мы можем объединить наши усилия в одну расширенную матрицу большого размера и описать вышеупомянутый процесс как

\ [\ begin {array} {ccc} \ left [\ begin {tabular} {c | rr} \ multirow {2} {10pt} {\ large \ textit {A}} & 1 & 0 \\ & 0 & 1 \ end {tabular} \ right] & \ xrightarrow {\ text {Устранение Гаусса Джордана}} & \ left [\ begin {tabular} {c | rr} \ multirow {2} {10pt} {\ large \ (I_ { 2} \)} & \ (x_ {1} \) & \ (x_ {2} \) \\ & \ (x_ {3} \) & \ (x_ {4} \) \ end {tabular} \ right ] \ end {array} \]

У нас есть единичная матрица \ (I_ {2} \), появляющаяся как правая часть первой расширенной матрицы большого размера и левая часть второй расширенной матрицы большого размера.{-1} \) уникален.

Доказательства свойств теоремы \ ref {inversematrixprops} основаны на правильном сочетании определения и матричной арифметики. {- 1} \) и \ (A \) обратимо.{-1} \\ \ end {array} \ right] \ end {array} \]

По сути, мы пытаемся найти единственное решение уравнения \ (AX = I_ {n} \), используя операции со строками.

Что все это означает для системы линейных уравнений? Теорема \ ref {inversematrixprops} говорит нам, что если мы запишем систему в виде \ (AX = B \), то, если матрица коэффициентов \ (A \) обратима, существует только одно решение системы \ (- \ ), т. е. если \ (A \) обратима, система непротиворечива и независима.\ footnote {Можно показать, что матрица обратима тогда и только тогда, когда, когда она служит матрицей коэффициентов для системы уравнений, система всегда непротиворечива и независима. Это составляет второе свойство теоремы \ ref {inversematrixprops}, где матрицы \ (B \) ограничиваются как \ (n \ times 1 \) матрицами. Отметим, что благодаря тому, как определяется умножение матриц, возможность найти уникальные решения для \ (AX = B \) для \ (n \ times 1 \) матриц \ (B \) дает вам то же утверждение о решении таких уравнений для \ (n \ times r \) матриц \ (- \), поскольку мы можем найти единственное решение для них по одному столбцу за раз.{-1} \) для решения следующих систем уравнений

Решение

1. Мы начинаем с расширенной матрицы очень большого размера и переходим к исключению Гаусса-Жордана.

\ [\ begin {array} {ccc} \ left [\ begin {array} {rrr | rrr} 3 & 1 & \ hphantom {-} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ \ end {array} \ right] & \ xrightarrow [\ text {with \ (\ frac {1} {3} R1 \)} ] {\ text {Заменить \ (R1 \)}} & \ left [\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & \ frac {1} {3} & \ hphantom {-} \ frac {2} {3 } & \ frac {1} {3} & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ \ end {array} \ right ] \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {ccc} \ left [\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & \ frac {1} {3} & \ hphantom {-} \ frac {2} {3} & \ гидроразрыв {1} {3} & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ \ end {array} \ right] \ xrightarrow [\ text {\) — 2R1 + R3 \)}] {\ text {Заменить \ (R3 \) на}} \ left [\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & \ frac {1} {3} & \ hphantom {-} \ frac {2} {3} & \ frac {1} {3} & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 5 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \ frac {1} {3} & \ frac {8} {3} & — \ frac {2} {3} & 0 & 1 \\ \ end {array} \ right] \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {ccc} \ left [\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & \ frac {1} {3} & \ hphantom {-} \ frac {2} {3} & \ frac {1} {3} & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \ frac {1} {3} & \ frac {8} {3} & — \ frac {2} {3} & 0 & 1 \\ \ end {array} \ right] & \ xrightarrow [\ text {with \ ((- 1) R2 \)}] {\ text {Заменить \ (R2 \)} } & \ left [\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & \ hphantom {-} \ frac {1} {3} & \ frac {2} {3} & \ frac {1} {3} & 0 & \ hphantom {-} 0 \\ 0 & 1 & -5 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & \ frac {1} {3} & \ frac {8} {3} & — \ frac {2} {3} & 0 & 1 \\ \ end {array} \ right] \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {ccc} \ left [\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & \ hphantom {-} \ frac {1} {3} & \ frac {2} {3} & \ frac {1} {3} & 0 & \ hphantom {-} 0 \\ 0 & 1 & -5 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & \ frac {1} {3} & \ frac {8} { 3} & — \ frac {2} {3} & 0 & 1 \\ \ end {array} \ right] \ xrightarrow [\ text {\) — \ frac {1} {3} R2 + R3 \)}] {\ text {Заменить \ (R3 \) на}} \ left [\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & \ hphantom {-} \ frac {1} {3} & \ frac {2} {3} & \ frac {1} {3} & 0 & \ hphantom {-} 0 \\ 0 & 1 & -5 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \ frac {13} {3} & — \ frac {2} {3} & \ frac {1} {3} & 1 \\ \ end {array} \ right] \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {ccc} \ left [\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & \ hphantom {-} \ frac {1} {3} & \ frac {2} {3} & \ frac {1} {3} & 0 & \ hphantom {-} 0 \\ 0 & 1 & -5 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \ frac {13} {3} & — \ frac { 2} {3} & \ frac {1} {3} & 1 \\ \ end {array} \ right] & \ xrightarrow [\ text {with \ (\ frac {3} {13} R3 \)}] { \ text {Заменить \ (R3 \)}} & \ left [\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & \ hphantom {-} \ frac {1} {3} & \ frac {2} {3} & \ frac {1} {3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -5 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & — \ frac {2} {13} & \ frac {1} {13} & \ frac {3} {13} \\ \ end {array} \ right] \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {ccc} \ left [\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & \ hphantom {-} \ frac {1} {3} & \ frac {2} {3} & \ frac {1} {3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -5 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & — \ frac {2} {13} & \ frac {1} { 13} & \ frac {3} {13} \\ \ end {array} \ right] & \ xrightarrow [\ text {\ begin {tabular} {c} Замените \ (R2 \) на \\ \ (5R3 + R2 \) \ end {tabular}}] {\ text {\ begin {tabular} {c} Замените \ (R1 \) на \\ \ (- \ frac {2} {3} R3 + R1 \) \ end {tabular }}} & \ left [\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & \ frac {1} {3} & 0 & \ frac {17} {39} & — \ frac {2} {39} & — \ frac {2} {13} \\ 0 & 1 & 0 & — \ frac {10} {13} & — \ frac {8} {13} & \ frac {15} {13} \\ 0 & 0 & 1 & — \ frac {2} {13} & \ frac {1} {13} & \ frac {3} {13} \\ \ end {array} \ right] \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {ccc} \ left [\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & \ frac {1} {3} & 0 & \ frac {17} {39} & — \ frac { 2} {39} & — \ frac {2} {13} \\ 0 & 1 & 0 & — \ frac {10} {13} & — \ frac {8} {13} & \ frac {15} {13 } \\ 0 & 0 & 1 & — \ frac {2} {13} & \ frac {1} {13} & \ frac {3} {13} \\ \ end {array} \ right] & \ xrightarrow [ \ text {\) — \ frac {1} {3} R2 + R1 \)}] {\ text {Заменить \ (R1 \) на}} & \ left [\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & 0 & 0 & \ frac {9} {13} & \ frac {2} {13} & — \ frac {7} {13} \\ 0 & 1 & 0 & — \ frac {10} {13} & — \ frac {8} {13} & \ frac {15} {13} \\ 0 & 0 & 1 & — \ frac {2} {13} & \ frac {1} {13} & \ frac {3} { 13} \\ \ end {array} \ right] \ end {array} \]

Находим \ (A ^ {- 1} = \ left [\ begin {array} {rrr} \ frac {9} {13} & \ frac {2} {13} & — \ frac {7} {13} \\ — \ frac {10} {13} & — \ frac {8} {13} & \ frac {15} {13} \\ — \ frac {2} {13} & \ frac {1} {13} & \ frac {3} {13} \\ \ end {array} \ right] \). {- 1} = \ left [\ begin {array} {rrr} 3 & 1 & \ hphantom {-} 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 4 \ end {массив } \ right] \ left [\ begin {array} {rrr} \ frac {9} {13} & \ frac {2} {13} & — \ frac {7} {13} \\ — \ frac {10} {13} & — \ frac {8} {13} & \ frac {15} {13} \\ — \ frac {2} {13} & \ frac {1} {13} & \ frac {3} {13 } \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] = I_ {3} \, \, \ checkmark \]

1. \ item Каждая из систем в этой части имеет матрицу коэффициентов \ (A \).{-1} B = \ left [\ begin {array} {rrr} \ frac {9} {13} & \ frac {2} {13} & — \ frac {7} {13} \\ — \ frac { 10} {13} & — \ frac {8} {13} & \ frac {15} {13} \\ — \ frac {2} {13} & \ frac {1} {13} & \ frac {3} {13} \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {r} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {r} \ frac {9} {13} \\ — \ frac {10} {13} \\ — \ frac {2} {13} \ end {array} \ right] \). Находим \ (\ left (\ frac {9} {13}, — \ frac {10} {13}, — \ frac {2} {13} \ right) \). {- 1} \).Читателю предлагается поразмышлять над этим «совпадением».}

В примере \ ref {matrixinverseex} мы видим, что нахождение одной обратной матрицы может позволить нам решить целое семейство систем линейных уравнений. Есть много примеров того, как это может пригодиться «в дикой природе», и мы выбрали наш пример для этого раздела из области электроники. Мы также пользуемся этой возможностью, чтобы познакомить учащихся с тем, как вычислить обратные матрицы с помощью калькулятора.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): \ label {circuititex}

Рассмотрим принципиальную схему ниже.\ footnote {Авторы хотят поблагодарить Дона Антана из Lakeland Community College за разработку этого примера.} У нас есть две батареи с исходными напряжениями \ (V \! \! B_ {1} \) и \ (V \! \! B_ {2} \), измеряемое в вольтах \ (V \), вместе с шестью резисторами с сопротивлениями от \ (R_ {1} \) до \ (R_ {6} \), измеряемыми в килоомах, \ (k \ Omega \ ). Используя закон Ома и закон Кирхгофа, мы можем связать напряжение, подаваемое в цепь двумя батареями, с падением напряжения на шести резисторах, чтобы найти четыре «ячеистых» тока: \ (i_ {1} \), \ (i_ {2} \), \ (i_ {3} \) и \ (i_ {4} \), измеряется в миллиамперах, \ (мА \).Если мы подумаем об электронах, протекающих по цепи, мы можем представить себе источники напряжения как обеспечивающие « толчок », который заставляет электроны двигаться, резисторы как препятствия, которые электроны преодолевают, а ток сетки как чистую скорость потока электроны вокруг указанных петель.

\ centerline {\ includegraphics {./ MatricesGraphics / CircuitDiagram01.pdf}}

Система линейных уравнений, связанная с этой схемой:

\ [\ left \ {\ begin {array} {rcl} \ left (R_ {1} + R_ {3} \ right) i_ {1} — R_ {3} i_ {2} — R_ {1} i_ { 4} & = & V \! \! B_ {1} \\ -R_ {3} i_ {1} + \ left (R_ {2} + R_ {3} + R_ {4} \ right) i_ {2} — R_ {4} i_ {3} — R_ {2} i_ {4} & = & 0 \\ -R_ {4} i_ {2} + \ left (R_ {4} + R_ {6} \ right) i_ {3} — R_ {6} i_ {4} & = & -V \! \! B_ {2} \\ -R_ {1} i_ {1} — R_ {2} i_ {2} — R_ {6} i_ {3} + \ left (R_ {1} + R_ {2} + R_ {5} + R_ {6} \ right) i_ {4} & = & 0 \\ \ end {array} \ right.\]

1. Предполагая, что все сопротивления равны \ (1 кОмега \), найдите токи сетки, если напряжение батареи составляет
2. \ (V \! \! B_ {1} = 10 В \) и \ (V \! \! B_ {2} = 5 В \)
3. \ (V \! \! B_ {1} = 10 В \) и \ (V \! \! B_ {2} = 0 В \)
4. \ (V \! \! B_ {1} = 0 V \) и \ (V \! \! B_ {2} = 10 V \)
5. \ (V \! \! B_ {1} = 10 В \) и \ (V \! \! B_ {2} = 10 В \)
6. Предполагая \ (V \! \! B_ {1} = 10 В \) и \ (V \! \! B_ {2} = 5 В \), найдите возможные комбинации сопротивлений, которые дадут токи сетки, которые вы нашли в 1 (а). {- 1} = \ left [\ begin {array} {rrrr} 1.{-1} B \), где значение \ (B \) определяется заданными значениями \ (V \! \! B_ {1} \) и \ (V \! \! B_ {2} \)

   \ [\ begin {array} {cccc} \ text {1 (a)} \ quad B = \ left [\ begin {array} {r} 10 \\ 0 \\ -5 \\ 0 \ end {array} \ right], & \ text {1 (b)} \ quad B = \ left [\ begin {array} {r} 10 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array} \ right], & \ text {1 (c)} \ quad B = \ left [\ begin {array} {r} 0 \\ 0 \\ -10 \\ 0 \ end {array} \ right], & \ text {1 (d)} \ quad B = \ left [\ begin {array} {r} 10 \\ 0 \\ 10 \\ 0 \ end {array} \ right] \ end {array} \]

   1. \ item Для \ (V \! \! B_ {1} = 10 V \) и \ (V \! \! B_ {2} = 5 V \) калькулятор дает \ (i_ {1} = 10 .625 \, \, мА \), \ (i_ {2} = 6,25 \, \, мА \), \ (i_ {3} = 3,125 \, \, мА \) и \ (i_ {4} = 5 \, \, мА \). Ниже приведен снимок экрана калькулятора для этой части (и только этой части!) Для справки.

   \ centerline {\ includegraphics [width = 2in] {./ MatricesGraphics / MATRIXINVERSE03.jpg}}

   1. \ item Сохраняя \ (V \! \! B_ {1} = 10 V \) и устанавливая \ (V \! \! B_ {2} = 0 V \), мы устраняем эффект второй батареи . Получаем \ (i_ {1} = 16,25 \, \, мА \), \ (i_ {2} = 12,5 \, \, мА \), \ (i_ {3} = 11.25 \, \, мА \) и \ (i_ {4} = 10 \, \, мА \).
   2. \ item Часть (c) представляет собой симметричную ситуацию для части (b), поскольку мы обнуляем \ (V \! \! B_ {1} \) и делаем \ (V \! \! B_ {2} = 10 \). Находим \ (i_ {1} = -11.25 \, \, mA \), \ (i_ {2} = -12.5 \, \, mA \), \ (i_ {3} = -16.25 \, \, mA \) и \ (i_ {4} = -10 \, \, mA \), где отрицательные значения указывают на то, что ток течет в противоположном направлении, как показано на диаграмме. Читателю предлагается изучить здесь симметрию и, если необходимо, поднести к диаграмме зеркало, чтобы буквально «увидеть», что происходит.
   3. \ item Для \ (V \! \! B_ {1} = 10 V \) и \ (V \! \! B_ {2} = 10 V \) получаем \ (i_ {1} = 5 \, \, mA \), \ (i_ {2} = 0 \, \, mA \), \ (i_ {3} = -5 \, \, mA \) и \ (i_ {4} = 0 \, \, мА \). Токи сетки \ (i_ {2} \) и \ (i_ {4} \), равные нулю, являются следствием того, что обе батареи «толкаются» в равных, но противоположных направлениях, что приводит к нейтрализации чистого потока электронов в этих двух областях. .
   4. \ item Теперь перевернем столы и получим \ (V \! \! B_ {1} = 10 V \), \ (V \! \! B_ {2} = 5 V \), \ (i_ {1 } = 10.625 \, \, мА \), \ (i_ {2} = 6,25 \, \, мА \), \ (i_ {3} = 3,125 \, \, мА \) и \ (i_ {4} = 5 \ , \, мА \), а наши неизвестные — это значения сопротивления. Переписывая нашу систему уравнений, получаем

   \ [\ left \ {\ begin {array} {rcr} 5.625R_ {1} + 4.375R_ {3} & = & 10 \\ 1.25R_ {2} — 4.375R_ {3} + 3.125R_ {4} & = & 0 \\ -3.125R_ {4} — 1.875R_ {6} & = & -5 \\ -5.625R_ {1} — 1.25R_ {2} + 5R_ {5} + 1.875R_ {6} & = & 0 \\ \ end {array} \ right. \]

   Матрица коэффициентов для этой системы равна \ (4 \ times 6 \) (4 уравнения с 6 неизвестными) и поэтому не является обратимой.Однако мы знаем, что эта система непротиворечива, поскольку установка всех значений сопротивления равными \ (1 \) соответствует нашей ситуации в задаче 1a. Это означает, что у нас есть недоопределенная последовательная система, которая обязательно зависит. Чтобы решить эту систему, мы кодируем ее в расширенную матрицу

   \ [\ left [\ begin {array} {rrrrrr | r} 5.25 & 0 & 4.375 & 0 & \ hphantom {1.2} 0 & 0 & 10 \\ 0 & 1.25 & -4.375 & 3.125 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3.125 & 0 & -1,875 & -5 \\ -5,625 & -1,25 & 0 & 0 & 5 & 1,875 & 0 \\ \ end {array} \ right] \]

   и с помощью калькулятора запишите в сокращенный ряд строк формы

   \ [\ left [\ begin {array} {rrrrrr | r} 1 & \ hphantom {-1.} 0 & 0. \ overline {7} & \ hphantom {-1.} 0 & \ hphantom {-1. } 0 & 0 & 1. \ overline {7} \\ 0 & 1 & -3.5 & 0 & 0 & -1.5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0,6 & 1.6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \ end {array} \ right] \]

   Расшифровывая эту систему из матрицы, получаем

   \ [\ left \ {\ begin {array} {rcr} R_ {1} + 0.\ overline {7} R_ {3} & = & 1. \ overline {7} \\ R_ {2} — 3.5R_ {3} — 1.5R_ {6} & = & -4 \\ R_ {4} + 0,6 R_ {6} & = & 1.6 \\ R_ {5} & = & 1 \\ \ end {array} \ right. \]

   Мы можем решить для \ (R_ {1} \), \ (R_ {2} \), \ (R_ {4} \) и \ (R_ {5} \), оставив \ (R_ {3} \) и \ (R_ {6} \) как свободные переменные. Обозначив \ (R_ {3} = s \) и \ (R_ {6} = t \), мы имеем \ (R_ {1} = — 0. \ overline {7} s + 1. \ overline {7} \ ), \ (R_ {2} = 3,5s + 1,5t — 4 \), \ (R_ {4} = -0,6t + 1,6 \) и \ (R_ {5} = 1 \). Поскольку значения сопротивления всегда положительны, нам нужно ограничить наши значения \ (s \) и \ (t \).Мы знаем \ (R_ {3} = s> 0 \), и когда мы объединяем это с \ (R_ {1} = — 0. \ overline {7} s + 1. \ overline {7}> 0 \), мы получить \ (0 0 \) и \ (R_ {4} = -0.6t + 1.6> 0 \), мы находим \ (0 0 \), построим линию \ (3.5s + 1.5t — 4 = 0 \) на \ (st \) — плоскости и закрасьте соответственно. \ footnote {См. раздел \ ref {Неравенства} для обзора этой процедуры.} Наложение дополнительных условий \ (0 0 \ right \} \). Читателю рекомендуется проверить, что решение, представленное в 1 (a), а именно все значения сопротивления, равные \ (1 \), соответствуют паре \ ((s, t) \) в области.

   Авторы и указание авторства

   • Карл Ститц, доктор философии (Lakeland Community College) и Джефф Зигер, доктор философии. (Общественный колледж округа Лорейн)

   Система линейных уравнений в матрицах — MathsTips.com

   В математике система линейных систем — это набор из двух или более линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных. Например: 2x — y = 1, 3x + 2y = 12. Это система двух уравнений с двумя переменными, то есть x и y, которая называется двумя линейными уравнениями с двумя неизвестными x и y, а решение линейного уравнения — это значение переменных, при котором выполняются все уравнения.

   В матрице каждое уравнение в системе становится строкой, а каждая переменная в системе становится столбцом, переменные отбрасываются, а коэффициенты помещаются в матрицу.

   Система двух линейных уравнений относительно двух неизвестных x и y имеет следующий вид:

   Пусть,,.

   Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме как:

   = то есть AX = B и X =.

   Если R.H.S., а именно B, равно 0, то система однородна, в противном случае — неоднородна.

   представляет собой однородную систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y.

   — неоднородная система уравнений.

   Система трех линейных уравнений относительно трех неизвестных x, y, z имеет следующий вид:

   .

   Пусть,,.

   Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме как:

   = то есть AX = B и X =.

   Алгоритм решения линейного уравнения через матрицу

   1. Запишите данную систему в виде матричного уравнения в виде AX = B.
   2. Найдите определитель матрицы. Если определитель | A | = 0, то не существует, поэтому решение не существует. Напишите «Система несовместима».
   3. Если определитель существует, найти обратную матрицу i.е. .
   4. Найдите где матрица, обратная величине.
   5. Решите уравнение матричным методом линейного уравнения с формулой и найдите значения x, y, z.

   Пример 1: Решите уравнение: 4x + 7y-9 = 0, 5x-8y + 15 = 0

   Решение: Данное уравнение можно записать в матричной форме как:,,

   Данную систему можно записать как: AX = B, где.

   Найдем определитель: | A | = 4 * (- 8) — 5 * 7 = -32-35 = -67 Итак, решение существует.

   Минор и сомножитель матрицы A: = -8 = -8, = 5 = -5, = 7 = -7, = 4 = 4.

   Матрица сомножителей = и Adj A =

   .

   = = =

   x = и y =

   Пример 2: Решите уравнение: 2x + y + 3z = 1, x + z = 2, 2x + y + z = 3

   Решение: Данное уравнение можно записать в матричной форме как:,,.

   Данную систему можно записать как: AX = B, где.

   Найдем определитель: | A | = 2 (0-1) — 1 (1-2) + 3 (1-0) = -2 + 1 + 3 = 2.Итак, решение существует.

   Минор и сомножитель матрицы A: = -1 = -1, = -1 = 1, = 1 = 1, = -2 = 2, = -4 = -4, = 0 = 0 = 1 = -1, = -1 = -1, = -1 = 1.

   и

   .

   = = = =.

   х = 3, у = -2, г = -1.

   Упражнение

   Решите следующие уравнения:

   1. 2x + 3y = 9, -x + y = -2.
   2. х + 3у = -2, 3х + 5у = ​​4.
   3. х + у = 1, 3у + 3z = 5, 3z + 3х = 4.
   4. x + y + z = 1, 2x + y + 2z = 3, 3x + 3y + 4z = 4.
   5. x + y + z = 6, 3x-y + 3z = 10, 5x + 5y-4z = 3.

   4.5 Решение систем уравнений с использованием матриц — промежуточная алгебра 2e

   Задачи обучения

   К концу этого раздела вы сможете:

   • Запишите расширенную матрицу для системы уравнений
   • Использовать операции со строками в матрице
   • Решение систем уравнений с помощью матриц

   Будьте готовы 4.13

   Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

   Решите: 3 (x + 2) + 4 = 4 (2x − 1) +9,3 (x + 2) + 4 = 4 (2x − 1) +9.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 2.2.

   Будьте готовы 4.14

   Решите: 0,25p + 0,25 (p + 4) = 5,20,0,25p + 0,25 (p + 4) = 5,20.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 2.13.

   Будьте готовы 4.15

   Вычислить, когда x = −2x = −2 и y = 3: 2×2 − xy + 3y2.y = 3: 2×2 − xy + 3y2.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.21.

   Напишите расширенную матрицу для системы уравнений

   Решение системы уравнений может быть утомительной операцией, когда простая ошибка может нанести ущерб поиску решения.Доступен альтернативный метод, использующий основные процедуры исключения, но с более простой нотацией. Метод предполагает использование матрицы. Матрица — это прямоугольный массив чисел, упорядоченный по строкам и столбцам.

   Матрица

   Матрица — это прямоугольный массив чисел, упорядоченный по строкам и столбцам.

   Матрица с m строками и n столбцами имеет порядок m × n.m × n. Матрица слева внизу имеет 2 строки и 3 столбца и поэтому имеет порядок 2 × 3.2 × 3. Мы говорим, что это матрица 2 на 3.

   Каждое число в матрице называется элементом или записью в матрице.

   Мы будем использовать матрицу для представления системы линейных уравнений. Мы записываем каждое уравнение в стандартной форме, и коэффициенты переменных и константа каждого уравнения становятся строкой в ​​матрице. Тогда каждый столбец будет коэффициентами одной из переменных в системе или констант. Вертикальная линия заменяет знаки равенства. Полученную матрицу назовем расширенной матрицей системы уравнений.

   Обратите внимание, что первый столбец состоит из всех коэффициентов x , второй столбец — это все коэффициенты y , а третий столбец — все константы.

   Пример 4.37

   Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

   ⓐ {5x − 3y = −1y = 2x − 2 {5x − 3y = −1y = 2x − 2 ⓑ {6x − 5y + 2z = 32x + y − 4z = 53x − 3y + z = −1 {6x − 5y + 2z = 32x + y − 4z = 53x − 3y + z = −1

   Решение

   ⓐ Второе уравнение не имеет стандартной формы.Перепишем второе уравнение в стандартном виде.

   y = 2x − 2−2x + y = −2y = 2x − 2−2x + y = −2

   Заменим второе уравнение на его стандартную форму. В расширенной матрице первое уравнение дает нам первую строку, а второе уравнение дает нам вторую строку. Вертикальная линия заменяет знаки равенства.

   ⓑ Все три уравнения имеют стандартную форму. В расширенной матрице первое уравнение дает нам первую строку, второе уравнение дает нам вторую строку, а третье уравнение дает нам третью строку.Вертикальная линия заменяет знаки равенства.

   Попробовать 4.73

   Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

   ⓐ {3x + 8y = −32x = −5y − 3 {3x + 8y = −32x = −5y − 3 ⓑ {2x − 5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3 {2x −5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3

   Попробовать 4.74

   Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

   ⓐ {11x = −9y − 57x + 5y = −1 {11x = −9y − 57x + 5y = −1 ⓑ {5x − 3y + 2z = −52x − y − z = 43x − 2y + 2z = −7 { 5x − 3y + 2z = −52x − y − z = 43x − 2y + 2z = −7

   Это важно, поскольку мы решаем системы уравнений с использованием матриц, чтобы иметь возможность перемещаться между системой и матрицей.В следующем примере нам предлагается взять информацию из матрицы и написать систему уравнений.

   Пример 4.38

   Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице:

   [4−3312−1−2−13 | −12−4]. [4−3312−1−2−13 | −12−4].

   Решение

   Мы помним, что каждая строка соответствует уравнению и что каждая запись является коэффициентом переменной или константы. Вертикальная линия заменяет знак равенства. Поскольку эта матрица имеет размер 4 × 34 × 3, мы знаем, что ее можно преобразовать в систему из трех уравнений с тремя переменными.

   Попробовать 4.75

   Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице: [1−12321−214−120]. [1−12321−214−120].

   Попробуйте 4.76

   Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице: [111423−1811−13]. [111423−1811−13].

   Использование операций со строками в матрице

   Когда система уравнений принимает форму расширенной матрицы, мы будем выполнять операции со строками, которые приведут нас к решению.

   Для решения методом исключения не имеет значения, в каком порядке мы размещаем уравнения в системе. Точно так же в матрице мы можем поменять местами строки.

   Когда мы решаем методом исключения, мы часто умножаем одно из уравнений на константу. Поскольку каждая строка представляет собой уравнение, и мы можем умножить каждую часть уравнения на константу, аналогичным образом мы можем умножить каждую запись в строке на любое действительное число, кроме 0.

   При исключении мы часто добавляем число, кратное одной строке, к другой строке.В матрице мы можем заменить строку с ее суммой на кратное другой строке.

   Эти действия называются операциями со строками и помогут нам использовать матрицу для решения системы уравнений.

   Операции со строками

   В матрице следующие операции могут быть выполнены с любой строкой, и результирующая матрица будет эквивалентна исходной матрице.

   1. Поменяйте местами любые два ряда.
   2. Умножьте строку на любое действительное число, кроме 0.
   3. Добавить ненулевое кратное одной строки в другую строку.

   Выполнить эти операции легко, но все вычисления могут привести к ошибке. Если мы используем систему для записи операций со строками на каждом шаге, гораздо легче вернуться и проверить нашу работу.

   Мы используем заглавные буквы с нижними индексами для обозначения каждой строки. Затем мы показываем операцию слева от новой матрицы. Чтобы показать перестановку ряда:

   Чтобы умножить строку 2 на −3−3:

   Чтобы умножить строку 2 на −3−3 и прибавить ее к строке 1:

   Пример 4.39

   Выполните указанные операции над расширенной матрицей:

   ⓐ Поменяйте местами 2 и 3 ряды.

   ⓑ Строку 2 умножить на 5.

   ⓒ Умножить строку 3 на −2−2 и прибавить к строке 1.

   [6−5221−43−31 | 35−1] [6−5221−43−31 | 35−1]

   Решение

   ⓐ Меняем ряды 2 и 3.

   ⓑ Строку 2 умножаем на 5.

   ⓒ Строку 3 умножаем на −2−2 и прибавляем к строке 1.

   Попробуйте 4.77

   Выполнить указанные операции последовательно на расширенной матрице:

   ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 3.

   ⓑ Строку 3 умножить на 3.

   ⓒ Строку 3 умножить на 2 и прибавить к строке 2.

   [5−2−24−1−4−230 | −24−1] [5−2−24−1−4−230 | −24−1]

   Попробовать 4.78

   Выполните указанные операции над расширенной матрицей:

   ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 2,

   ⓑ Умножить строку 1 на 2,

   ⓒ Строку 2 умножить на 3 и прибавить к строке 1.

   [2−3−241−3504 | −42−1] [2−3−241−3504 | −42−1]

   Теперь, когда мы попрактиковались в операциях со строками, мы рассмотрим расширенную матрицу и выясним, какую операцию мы будем использовать для достижения цели.Это именно то, что мы сделали, когда выполняли выбывание. Мы решили, на какое число умножить строку, чтобы переменная была исключена при сложении строк.

   Учитывая эту систему, что бы вы сделали, чтобы исключить x ?

   Следующий пример по сути делает то же самое, но с матрицей.

   Пример 4,40

   Выполните необходимую строковую операцию, в результате которой первая запись в строке 2 будет равна нулю в расширенной матрице: [1−14−8 | 20].[1−14−8 | 20].

   Решение

   Чтобы сделать 4 равным 0, мы могли бы умножить строку 1 на −4−4 и затем прибавить ее к строке 2.

   Попробуйте 4.79

   Выполните необходимую строковую операцию, чтобы первая запись в строке 2 была равна нулю в расширенной матрице: [1−13−6 | 22]. [1−13−6 | 22].

   Попробовать 4.80

   Выполните необходимую строковую операцию, в результате которой первая запись в строке 2 будет равна нулю в расширенной матрице: [1−1−2−3 | 32]. [1−1−2−3 | 32].

   Решение систем уравнений с помощью матриц

   Чтобы решить систему уравнений с использованием матриц, мы преобразуем расширенную матрицу в матрицу в виде эшелона строк, используя операции со строками. Для непротиворечивой и независимой системы уравнений ее расширенная матрица находится в виде эшелона строк, когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали — нули.

   Форма рядного эшелона

   Для непротиворечивой и независимой системы уравнений ее расширенная матрица находится в форме рядов , когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали — нули.

   Как только мы получим расширенную матрицу в виде ряда строк, мы можем написать эквивалентную систему уравнений и прочитать значение по крайней мере одной переменной. Затем мы подставляем это значение в другое уравнение, чтобы продолжить поиск других переменных. Этот процесс проиллюстрирован в следующем примере.

   Пример 4.41

   Как решить систему уравнений с помощью матрицы

   Решите систему уравнений, используя матрицу: {3x + 4y = 5x + 2y = 1. {3x + 4y = 5x + 2y = 1.

   Попробуй 4.81

   Решите систему уравнений, используя матрицу: {2x + y = 7x − 2y = 6. {2x + y = 7x − 2y = 6.

   Попробуйте 4.82

   Решите систему уравнений, используя матрицу: {2x + y = −4x − y = −2. {2x + y = −4x − y = −2.

   Шаги кратко описаны здесь.

   How To

   Решите систему уравнений с помощью матриц.

   1. Шаг 1. Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.
   2. Шаг 2. Используя операции со строками, получите запись в строке 1, столбце 1, равной 1.
   3. Шаг 3. Используя операции со строками, получите нули в столбце 1 под 1.
   4. Шаг 4. Используя операции со строками, получите запись в строке 2, столбце 2, равной 1.
   5. Шаг 5. Продолжайте процесс до тех пор, пока матрица не примет вид ряда строк.
   6. Шаг 6. Напишите соответствующую систему уравнений.
   7. Шаг 7. Используйте подстановку, чтобы найти оставшиеся переменные.
   8. Шаг 8. Запишите решение в виде упорядоченной пары или тройки.
   9. Шаг 9. Убедитесь, что решение соответствует исходным уравнениям.

   Вот наглядное изображение, показывающее порядок получения единиц и нулей в правильном положении для строковой формы.

   Мы используем ту же процедуру, когда система уравнений состоит из трех уравнений.

   Пример 4.42

   Решите систему уравнений, используя матрицу: {3x + 8y + 2z = −52x + 5y − 3z = 0x + 2y − 2z = −1. {3x + 8y + 2z = −52x + 5y − 3z = 0x + 2y −2z = −1.

   Попробуйте 4.83

   Решите систему уравнений, используя матрицу: {2x − 5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3.{2x − 5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3.

   Попробуйте 4.84

   Решите систему уравнений, используя матрицу: {−3x + y + z = −4 − x + 2y − 2z = 12x − y − z = −1. {- 3x + y + z = −4 − x + 2y −2z = 12x − y − z = −1.

   До сих пор мы работали с матрицами только с системами, которые согласованы и независимы, что означает, что у них есть только одно решение. Давайте теперь посмотрим, что происходит, когда мы используем матрицу для зависимой или несовместимой системы.

   Пример 4.43

   Решите систему уравнений, используя матрицу: {x + y + 3z = 0x + 3y + 5z = 02x + 4z = 1.{х + у + 3z = 0х + 3у + 5z = 02х + 4z = 1.

   Попробуйте 4.85

   Решите систему уравнений, используя матрицу: {x − 2y + 2z = 1−2x + y − z = 2x − y + z = 5. {X − 2y + 2z = 1−2x + y − z = 2x− у + г = 5.

   Попробуйте 4.86

   Решите систему уравнений, используя матрицу: {3x + 4y − 3z = −22x + 3y − z = −12x + y − 2z = 6. {3x + 4y − 3z = −22x + 3y − z = −12x + у − 2z = 6.

   Последняя система была несовместимой и поэтому не имела решений. Следующий пример зависимый и имеет бесконечно много решений.

   Пример 4.44

   Решите систему уравнений с помощью матрицы: {x − 2y + 3z = 1x + y − 3z = 73x − 4y + 5z = 7.{x − 2y + 3z = 1x + y − 3z = 73x − 4y + 5z = 7.

   Попробуйте 4.87

   Решите систему уравнений, используя матрицу: {x + y − z = 02x + 4y − 2z = 63x + 6y − 3z = 9. {X + y − z = 02x + 4y − 2z = 63x + 6y − 3z = 9.

   Попробовать 4.88

   Решите систему уравнений с помощью матрицы: {x − y − z = 1 − x + 2y − 3z = −43x − 2y − 7z = 0. {X − y − z = 1 − x + 2y − 3z = — 43x − 2y − 7z = 0.

   Раздел 4.5. Упражнения

   Практика ведет к совершенству

   Запишите расширенную матрицу для системы уравнений

   В следующих упражнениях запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы.

   196.

   ⓐ {3x − y = −12y = 2x + 5 {3x − y = −12y = 2x + 5
   ⓑ {4x + 3y = −2x − 2y − 3z = 72x − y + 2z = −6 {4x + 3y = −2x − 2y − 3z = 72x − y + 2z = −6

   197.

   ⓐ {2x + 4y = −53x − 2y = 2 {2x + 4y = −53x − 2y = 2
   ⓑ {3x − 2y − z = −2−2x + y = 55x + 4y + z = −1 { 3x − 2y − z = −2−2x + y = 55x + 4y + z = −1

   198.

   ⓐ {3x − y = −42x = y + 2 {3x − y = −42x = y + 2
   ⓑ {x − 3y − 4z = −24x + 2y + 2z = 52x − 5y + 7z = −8 { x − 3y − 4z = −24x + 2y + 2z = 52x − 5y + 7z = −8

   199.

   ⓐ {2x − 5y = −34x = 3y − 1 {2x − 5y = −34x = 3y − 1
   ⓑ {4x + 3y − 2z = −3−2x + y − 3z = 4 − x − 4y + 5z = −2 {4x + 3y − 2z = −3−2x + y − 3z = 4 − x − 4y + 5z = −2

   Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице.

   200.

   [2-11-3 | 42] [2-11-3 | 42]

   201.

   [2−43−3 | −2−1] [2−43−3 | −2−1]

   202.

   [10-31-200-12 | -1-23] [10-31-200-12 | -1-23]

   203.

   [2−2002−130−1 | −12−2] [2−2002−130−1 | −12−2]

   Использование операций со строками в матрице

   В следующих упражнениях выполните указанные операции с расширенными матрицами.

   204.

   [6−43−2 | 31] [6−43−2 | 31]

   ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 2

   ⓑ Строку 2 умножить на 3.

   ⓒ Умножить строку 2 на −2−2 и прибавить к ней строку 1.

   205.

   [4−632 | −31] [4−632 | −31]

   ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 2

   ⓑ Строку 1 умножить на 4

   ⓒ Умножьте строку 2 на 3 и прибавьте к ней строку 1.

   206.

   [4−12−84−2−3−62−1 | 16−1−1] [4−12−84−2−3−62−1 | 16−1−1]

   ⓐ Поменяйте местами строки 2 и 3

   ⓑ Строку 1 умножить на 4

   ⓒ Умножить строку 2 на −2−2 и прибавить к строке 3.

   207.

   [6−5221−43−31 | 35−1] [6−5221−43−31 | 35−1]

   ⓐ Поменяйте местами 2 и 3 ряды

   ⓑ Строку 2 умножить на 5

   ⓒ Умножить строку 3 на −2−2 и прибавить к строке 1.

   208.

   Выполните необходимую строковую операцию, в результате которой первая запись в строке 2 будет равна нулю в расширенной матрице: [12−3−4 | 5−1]. [12−3−4 | 5−1].

   209.

   Выполните необходимые операции со строками, чтобы первая запись в строке 2 и строке 3 была равна нулю в расширенной матрице: [1−233−1−22−3−4 | −45−1]. [1−233 −1−22−3−4 | −45−1].

   Решение систем уравнений с помощью матриц

   В следующих упражнениях решите каждую систему уравнений, используя матрицу.

   210.

   {2x + y = 2x − y = −2 {2x + y = 2x − y = −2

   211.

   {3x + y = 2x − y = 2 {3x + y = 2x − y = 2

   212.

   {−x + 2y = −2x + y = −4 {−x + 2y = −2x + y = −4

   213.

   {−2x + 3y = 3x + 3y = 12 {−2x + 3y = 3x + 3y = 12

   В следующих упражнениях решите каждую систему уравнений, используя матрицу.

   214.

   {2x − 3y + z = 19−3x + y − 2z = −15x + y + z = 0 {2x − 3y + z = 19−3x + y − 2z = −15x + y + z = 0

   215.

   {2x − y + 3z = −3 − x + 2y − z = 10x + y + z = 5 {2x − y + 3z = −3 − x + 2y − z = 10x + y + z = 5

   216.

   {2x − 6y + z = 33x + 2y − 3z = 22x + 3y − 2z = 3 {2x − 6y + z = 33x + 2y − 3z = 22x + 3y − 2z = 3

   217.

   {4x − 3y + z = 72x − 5y − 4z = 33x − 2y − 2z = −7 {4x − 3y + z = 72x − 5y − 4z = 33x − 2y − 2z = −7

   218.

   {x + 2z = 04y + 3z = −22x − 5y = 3 {x + 2z = 04y + 3z = −22x − 5y = 3

   219.

   {2x + 5y = 43y − z = 34x + 3z = −3 {2x + 5y = 43y − z = 34x + 3z = −3

   220.

   {2y + 3z = −15x + 3y = −67x + z = 1 {2y + 3z = −15x + 3y = −67x + z = 1

   221.

   {3x − z = −35y + 2z = −64x + 3y = −8 {3x − z = −35y + 2z = −64x + 3y = −8

   222.

   {2x + 3y + z = 12x + y + z = 93x + 4y + 2z = 20 {2x + 3y + z = 12x + y + z = 93x + 4y + 2z = 20

   223.

   {x + 2y + 6z = 5 − x + y − 2z = 3x − 4y − 2z = 1 {x + 2y + 6z = 5 − x + y − 2z = 3x − 4y − 2z = 1

   224.

   {x + 2y − 3z = −1x − 3y + z = 12x − y − 2z = 2 {x + 2y − 3z = −1x − 3y + z = 12x − y − 2z = 2

   225.

   {4x − 3y + 2z = 0−2x + 3y − 7z = 12x − 2y + 3z = 6 {4x − 3y + 2z = 0−2x + 3y − 7z = 12x − 2y + 3z = 6

   226.

   {x − y + 2z = −42x + y + 3z = 2−3x + 3y − 6z = 12 {x − y + 2z = −42x + y + 3z = 2−3x + 3y − 6z = 12

   227.

   {−x − 3y + 2z = 14 − x + 2y − 3z = −43x + y − 2z = 6 {−x − 3y + 2z = 14 − x + 2y − 3z = −43x + y − 2z = 6

   228.

   {x + y − 3z = −1y − z = 0 − x + 2y = 1 {x + y − 3z = −1y − z = 0 − x + 2y = 1

   229.

   {x + 2y + z = 4x + y − 2z = 3−2x − 3y + z = −7 {x + 2y + z = 4x + y − 2z = 3−2x − 3y + z = −7

   Письменные упражнения

   230.

   Решите систему уравнений {x + y = 10x − y = 6 {x + y = 10x − y = 6 путем построения графиков и ⓑ путем подстановки. Ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

   231.

   Решите систему уравнений {3x + y = 12x = y − 8 {3x + y = 12x = y − 8 с помощью подстановки и объясните все свои шаги словами.

   Самопроверка

   ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

   ⓑ После просмотра контрольного списка, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?

   6.Матрицы и линейные уравнения

   М. Борна

   Мы хотим решить систему одновременных линейных уравнений с помощью матриц:

   a ₁ x + b ₁ y = c ₁

   a ₂ x + b ₂ y = c ₂

   Если допустим

   `A = ((a_1, b_1), (a_2, b_2))`, `\ X = ((x), (y)) \` и `\ C = ((c_1), (c_2))`

   , затем AX = C . (Впервые мы увидели это в «Умножении матриц»).

   Если теперь умножить каждую сторону

   AX = C

   слева от

   А ^-1 , имеем:

   A ^-1 AX =
   А ^-1 С .

   Однако мы знаем, что A ^-1 A =
   I , матрица идентичности.Получаем

   IX = A ^-1 C .

   Но IX = X , поэтому решение системы
   уравнения даются по:

   X = A ^-1 C

   См. Рамку в верхней части Инверсии матрицы для получения дополнительных сведений о том, почему это работает.

   Примечание: Мы не можем изменить порядок умножения и использовать CA ^-1 , потому что
   умножение матриц не коммутативно.

   Пример — решение системы с использованием обратной матрицы

   Решите систему, используя матрицы.

   — x + 5 y = 4

   2 x + 5 y = −2

   Всегда проверяйте свои решения!

   Ответ

   У нас:

   `A = ((- 1,5), (2,5)),` `\ X = ((x), (y)) \` и `\ C = ((4), (- 2)) `

   Чтобы решить эту систему, нам понадобится обратное к A , которое мы запишем как A ^-1 .-1C« = ((- 0,333,0,333), (0,133,0,067)) ((4), (- 2)) « = ((- 2), (0,4)) `

   Этот ответ означает, что мы нашли решение «x = -2» и «y = 0,4».

   Правильное решение?

   Проверяем в исходной системе уравнений:

   `{: (- x + 5y, = 4), (2x + 5y, = — 2):}`

   Подставляя `x = -2` и` y = 0.4`, получаем:

   `- (- 2) + 5 × (0,4) = 2 + 2 = 4` [Проверяет ОК]

   `2 × (−2) + 5 × (0,4)` `= −4 + ​​2« = −2` [Проверяет ОК]

   Итак, решение исходной системы уравнений —

   .

   `х = -2, \ \ у = 0.4`.

   Решение 3 × 3 систем
   Уравнения

   Мы можем распространить вышеуказанный метод на системы любого размера. Мы не можем использовать тот же метод для поиска обратных матриц больше 2 × 2.

   Мы будем
   используйте систему компьютерной алгебры, чтобы найти инверсии больше, чем
   2 × 2.

   Пример — Система 3 × 3
   Уравнения

   Решите систему матричными методами.

   `{: (x + 2y-z = 6), (3x + 5y-z = 2), (- 2x-y-2z = 4):}`

   Я уже упоминал? Хорошая идея — всегда проверять свои решения.-1C`

   `= ((5.5, -2.5, -1.5), (- 4,2,1), (- 3.5,1.5,0.5)) ((6), (2), (4))`

   `= ((22), (- 16), (- 16))`

   Чек:

   `22 + 2 (-16) — (-16) = 6` [ОК]

   `3 (22) + 5 (-16) — (-16) = 2` [ОК]

   `-2 (22) — (16) — 2 (-16) = 4` [ОК]

   Итак, решение: x = 22, y = -16 и z = -16.

   Пример — Электронное применение системы 3 × 3
   Уравнения

   Найдите электрические токи, указанные как
   решение матричного уравнения (полученного с использованием закона Кирхгофа)
   возникающие из этой цепи:

   
   
   `((I_1 + I_2 + I_3), (- 2I_1 + 3I_2), (- 3I_2 + 6I_3)) = ((0), (24), (0))`

   (Вы можете изучить, что на самом деле означает решение для этого примера, в этом апплете трехмерных интерактивных систем уравнений.-1 ((0), (24), (0)) `

   Используя систему компьютерной алгебры для выполнения обратного и умножения на постоянную матрицу, мы получаем:

   `I_1 = -6 \» A «`

   `I_2 = 4 \» A «`

   `I_3 = 2 \» A «`

   Мы видим, что I ₁ имеет отрицательное значение, как и следовало ожидать из принципиальной схемы.

   Упражнение 1

   Найдены следующие уравнения
   в конкретной электрической цепи. Найдите токи с помощью матрицы
   методы.-1C`

   `= ((0,294,0,353,0,294), (0,118, -0,059,0,118), (0,588, -0,294, -0,412)) ((0), (6), (- 3))`

   `= ((1,236), (- 0,708), (- 0,528))`

   Следовательно,

   `I_A = 1,236 \» A «`,

   `I_B = -0,708 \» A «и

   `I_C = -0,528 \» A «`

   Упражнение 2

   Помните эту проблему? Если мы знаем используемые одновременные уравнения, мы сможем решить
   система с использованием обратных матриц на компьютере.

   Уравнения схемы с использованием закона Кирхгофа:

   −26 = 72 I ₁ —
   17 Я ₃ —
   35 Я ₄

   34 = 122 I ₂ —
   35 I ₃ —
   87 Я ₇

   −4 = 233 I ₇ —
   87 I ₂ -34 I ₃ -72 I ₆

   −13 = 149 I ₃ —
   17 I ₁ -35 I ₂ -28 I ₅ —
   35 I ₆ —
   34 Я ₇

   −27 = 105 I ₅ —
   28 I ₃ — 43 I ₄ — 34 I ₆

   24 = 141 I ₆ —
   35 I ₃ -34 I ₅ -72 I ₇

   5 = 105 I ₄ —
   35 I ₁ —
   43 Я ₅

   Каковы отдельные токи, I ₁ до I ₇ ?

   Телефонные пользователи

   ПРИМЕЧАНИЕ: Если вы пользуетесь телефоном, вы можете прокрутить любую матрицу шириной на этой странице вправо или влево, чтобы увидеть все выражение. — 1
   [(-26), (34), (- 4), (- 13), (- 27), (24), (5)] `

   `= [(- 0.-3), (- 0,22243), (- 0,27848), (0,21115), (0,20914)] `

   Ответ означает, что токи в этой цепи равны (с точностью до 4 знаков после запятой):

   `I_1 = -0,4680 \» A «`

   `I_2 = 0,4293 \» A «`

   `I_3 = 0,0005 \» A «`

   `I_4 = -0,2224 \» A «`

   `I_5 = -0,2785 \» A «`

   `I_6 = 0,2112 \» A «`

   `I_7 = 0.2091 \» A «`

   Упражнение 3

   Нам нужно 10 л бензина
   содержащий 2% добавки. У нас есть следующие барабаны:

   Бензин без присадок

   Бензин с 5% присадкой

   Бензин с 6% присадкой

   Нам нужно использовать в 4 раза больше чистого
   бензин в виде 5% присадки к бензину.Сколько нужно каждого?

   Всегда проверяйте свои решения!

   Ответ

   Пусть

   x = нет. литров чистого бензина

   y = нет. литров 5% бензина

   z = нет. литров 6% бензина

   Из первого предложения имеем:

   `x + y + z = 10`

   Второе предложение дает нам:

   Мы НЕ получаем присадок из чистого бензина.

   Получаем (5% от y ) л добавки из второго барабана.

   Получаем (6% от z ) л добавки из третьего барабана.

   НАМ НУЖНО 2% из 10 л добавки = 0,2 л = 200 мл.

   Так

   `0,05y + 0,06z = 0,2`

   Умножение на 100 дает:

   `5y + 6z = 20`

   Второе последнее предложение дает нам:

   `x = 4y`

   Мы можем записать это как:

   `x — 4y = 0`

   Это дает нам систему одновременных уравнений:

   x + y + z = 10

   5 y + 6 z = 20

   x — 4 y = 0

   Так

   `A = ((1,1,1), (0,5,6), (1, -4,0))`, `\ C = ((10), (20), (0))`

   Использование Scientific Notebook для обратного:

   `((1,1,1), (0,5,6), (1, -4,0)) ^ — 1« = ((0.96, -0,16,0,04), (0,24, -0,04, -0,24), (- 0,2,0,2,0,2)) `

   Умножение обратной на матрицу C :

   `((0,96, -0,16,0,04), (0,24, -0,04, -0,24), (- 0,2,0,2,0,2)) ((10), (20), (0))` `= ((6,4 ), (1.6), (2)) `

   Итак, у нас есть 6,4 л чистого бензина, 1,6 л 5% присадок и 2 л 6% присадок.

   Это правильно?

   `6.4 + 1.6 + 2 = 10` L [ОК]

   `5% xx 1,6 + 6% xx 2 = 200` мл [OK OK]

   `4 × 1,6 = 6,4` [ОК]

   Упражнение 4

   Эта задача статики была представлена ​​ранее в разделе 3: Матрицы.

   Из диаграммы получаем следующие уравнения (эти уравнения взяты из теории статики):

   Вертикальные силы:

   F ₁ sin 69,3 ° — F ₂ sin 71,1 ° — F ₃ sin 56,6 ° + 926 = 0

   Горизонтальные силы:

   F ₁ cos 69,3 ° — F ₂ cos 71,1 ° + F ₃ cos 56,6 ° = 0

   Моменты:

   7.80 F ₁ sin 69,3 ° — 1,50 F ₂ sin 71,1 ° — 5,20 F ₃ sin
   56,6 ° = 0

   С помощью матриц найти силы F ₁ , F ₂ и F ₃ .

   Ответ

   Запишем первое уравнение так, чтобы постоянный член оказался в правой части:

   F ₁ sin 69,3 ° — F ₂ sin 71,1 ° — F ₃ sin 56,6 ° = −926

   В матричной форме запишем уравнения как:

   `((грех 69.-1 ((- 926), (0), (0)) `

   `= ((425.5), (1079.9), (362.2))`

   Так

   `F_1 = 425,5 \» N «`

   `F_2 = 1079.9 \» N «`

   `F_3 = 362,2 \» N «`

   Это очень просто и быстро в Scientific
   Ноутбук, Matlab или любая другая система компьютерной алгебры!

   Системы линейных уравнений и матриц

   Марко Табога, доктор философии

   В этой лекции мы покажем, как
   матрицы и векторы могут
   использоваться для представления и анализа систем линейных уравнений.

   Системы линейных уравнений

   Система

   линейные уравнения в

   неизвестные — это набор
   уравнения, где

   являются

   неизвестные, и

   (для
   а также
   )
   а также

   (для
   )
   — известные константы.

   Решения

   Неизвестные — это значения, которые мы хотели бы найти. Решение системы
   линейные уравнения означают нахождение набора значений для

   такие, что выполняются все уравнения.Такой набор называется решением
   система.

   Пример
   Определите систему
   Это
   представляет собой систему 2-х уравнений с 2-мя неизвестными. Решение системы
   это что
   можно проверить, подставив эти два значения в
   система:

   В общем, решение не гарантируется. Если он существует, это не так.
   гарантированно будет уникальным. Следовательно, теория линейных уравнений
   касается трех основных аспектов:

   • вывод условий существования решений линейной системы;

   • понимание того, является ли решение уникальным, и как много решений
     связаны друг с другом;

   • методы поиска, позволяющие находить решения линейной системы.

   Матричное представление системы

   Вышеупомянутая система

   линейные уравнения в

   неизвестные могут быть представлены компактно с помощью матриц в виде
   следует: где:

   Чтобы понять, как работает представление, обратите внимание, что

   это

   вектор, чей
   -го
   элемент равен точке
   продукт
   -го
   ряд

   а также
   ,
   что
   является,

   Следовательно,

   Наличие решений

   Записав систему линейных уравнений в матричной форме, мы легко можем обеспечить
   общие условия существования решения.

   Предложение
   Линейная система
   имеет
   решение тогда и только тогда, когда

   принадлежит к промежутку столбцов
   из
   .

   Проба

   Уникальность решения

   Дадим теперь общее условие единственности решения.

   Предложение
   Если линейная система
   имеет
   решение, то решение уникально тогда и только тогда, когда столбцы

   линейно
   независимый

   Проба

   Давайте сначала докажем, что часть if.У нас есть
   Выше было доказано, что решение существует тогда и только тогда, когда

   принадлежит к промежутку столбцов
   .
   Если столбцы

   линейно независимы, то они образуют
   основа для их продолжительности.
   Кроме того, представление любого вектора промежутка в виде линейного
   сочетание основы уникально. Следовательно, если столбцы
   находятся
   линейно независимыми, существует только одна их линейная комбинация, которая дает

   в результате, то есть решение системы уникально.Давайте теперь докажем
   только если часть. Мы собираемся доказать, что если столбцы не
   Независимо, то существует более одного решения. Позволять

   быть решением, что
   isWhen
   столбцы

   линейно зависимы, существует ненулевой вектор

   что
   удовлетворяет
   как следствие, есть бесконечные решения, потому что

   является решением системы для любого скаляра
   :

   Несколько решений

   Справедливо следующее утверждение о кратном решении.

   Предложение
   Если линейная система
   имеет
   решение и столбцы

   не являются линейно независимыми, то существует бесконечное количество решений.

   Проба

   Решенные упражнения

   Ниже вы можете найти несколько упражнений с объясненными решениями.

   Упражнение 1

   Найдите матричное представление системы

   Решение

   Упражнение 2

   DefineWrite
   вниз по уравнениям
   система

   Решение

   Два уравнения систем
   находятся

   Как цитировать

   Укажите как:

   Табога, Марко (2017).«Системы линейных уравнений и матрицы», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-algebra/systems-of-linear-equations-and-matrices.

   Решение систем линейных уравнений с использованием матриц

   Решение систем линейных уравнений с использованием матриц

   Однородные и неоднородные системы линейных уравнений

   Система уравнений AX = B называется однородной системой, если B = O. Если B ≠ O, она называется неоднородной системой уравнений.
   , например, 2x + 5y = 0
   3x — 2y = 0
   является однородной системой линейных уравнений, тогда как система уравнений, заданная
   , например, 2x + 3y = 5
   x + y = 2
   , является неоднородной системой линейных уравнений.

   Решение неоднородной системы линейных уравнений

   1. Матричный метод: если AX = B, то X = A ^-1 B дает уникальное решение при условии, что A неособое.
      Но если A — особая матрица, т.е. если | A | = 0, то система уравнения AX = B может быть согласована с бесконечным числом решений или может быть несовместной.
   2. Метод рангов для решения неоднородной системы AX = B
      1. Запишите A, B
      2. Запишите расширенную матрицу [A: B]
      3. Приведите расширенную матрицу к форме Echelon, используя элементарные операции со строками.
      4. Найдите количество ненулевых строк в A и [A: B], чтобы найти ранги A и [A: B] соответственно.
      5. Если ρ (A) ≠ ρ (A: B), то система несовместна.
      6. ρ (A) = ρ (A: B) = количество неизвестных, тогда система имеет единственное решение.
      7. ρ (A) = ρ (A: B) <количество неизвестных, то система имеет бесконечное количество решений.

   Решения однородной системы линейных уравнений

   Пусть AX = O — однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

   1. Запишите данную систему уравнений в виде AX = O и запишите A.
   2. Найти | A |.
   3. Если | A | ≠ 0, то система непротиворечива и x = y = z = 0 — единственное решение.
   4. Если | A | = 0, то система уравнений имеет бесконечно много решений. Чтобы найти это, положите z = k (любое действительное число) и решите любые два уравнения относительно x и y, полученные таким образом с z = k, дайте решение данной системы уравнений.

   Непротиворечивость системы линейных уравнений AX = B, где A — квадратная матрица

   В системе линейных уравнений AX = B, A = (a _ij ) _{n × n} называется

   1. Согласовано (с единственным решением), если | A | ≠ 0.
      т.е. если A невырожденная матрица.
   2. Непоследовательно (не имеет решения), если | A | = 0 и (прил A) B — ненулевая матрица.
   3. Согласованы (с бесконечным m любыми решениями), если | A | = 0 и (прил A) B — нулевая матрица.

   Ранг матрицы

   Определение:
   Пусть A — матрица размера m × n. Если мы сохраним любые r строк и r столбцов матрицы A, мы получим квадратную подматрицу порядка r. Определитель квадратной подматрицы порядка r называется минором A порядка r.Рассмотрим любую матрицу A порядка 3 × 4, скажем,
   .
   Это матрица 3 × 4, поэтому мы можем иметь миноры порядка 3, 2 или 1. Возьмем любые три строки и три столбца младшего порядка третьего. Следовательно, минор порядка \ (3 = \ left | \ begin {matrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 6 \\ 1 & 5 & 0 \ end {matrix} \ right | = 0 \)
   Создание двух нулей и раскрытие выше второстепенного равно нулю. Точно так же мы можем рассмотреть любой другой минор 3-го порядка, и можно показать, что он равен нулю. Минор 2-го порядка получается путем взятия любых двух строк и любых двух столбцов.
   Незначительный порядок \ (2 = \ begin {vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \ end {vmatrix} = 2-3 = -1 \ neq 0 \).
   Минор порядка 1 — это каждый элемент матрицы.

   Ранг матрицы: Ранг данной матрицы A называется r, если

   1. Каждый минор A порядка r + 1 равен нулю.
   2. Существует по крайней мере один минор A порядка r, который не обращается в нуль. Здесь мы также можем сказать, что ранг матрицы A называется r, если
      • Каждая квадратная подматрица порядка r + 1 сингулярна.
      • Существует по крайней мере одна квадратная подматрица порядка r, которая не является сингулярной.

   Ранг r матрицы A записывается как ρ (A) = r.

   Эшелонированная форма матрицы

   Матрица A называется эшелонированной, если либо A — нулевая матрица, либо A удовлетворяет следующим условиям:

   1. Каждая ненулевая строка в A предшествует каждой нулевой строке.
   2. Количество нулей перед первым ненулевым элементом в строке меньше количества таких нулей в следующей строке.

   Если легко доказать, что ранг матрицы в форме Echelon равен количеству ненулевой строки матрицы.

   Ранг матрицы в форме Echelon: Ранг матрицы в форме Echelon равен количеству ненулевых строк в этой матрице.

   Решение систем линейных уравнений с помощью матриц Задачи с решениями

   1.

   Решение:

   2.

   Решение:

   3.