Подготовка к олимпиаде. Переправы | Физический портал для школьников и абитуриентов

Переправы.

Рассмотрите решение задач.

Задача 1. Минимальное время, которое необходимо, чтобы переплыть в лодке реку, равно $t_0$. Ширина русла реки равна $H$. Скорость течения реки постоянна в любом месте русла и в $\beta$ раз больше скорости лодки ($\beta > 1$), плывущей в стоячей воде.

1. Найдите скорость лодки в стоячей воде.

2. На какое расстояние снесет лодку за минимальное время переправы?

3. Определите наименьшее расстояние, на которое может снести лодку за время переправы.

4. Найдите время переправы лодки в том случае, когда ее сносит на минимальное расстояние.

Решение.

1. Минимальное расстояние между берегами – это ширина реки. Если направить лодку перпендикулярно берегу, то время ее движения будет минимальным

$t_0 = \frac{H}{v_Л}$,

так как $H$ – минимально, а $v_Л$ – максимальна, тогда

$v_Л = \frac{H}{t_0}$. (1)

2. Так как вектор скорости лодки направлен перпендикулярно берегу, то снос лодки зависит только от скорости течения. Скорость течения реки

$v_T = \beta v_Л$

за время переправы лодку снесет на расстояние

$L = v_T \cdot t_0 = \beta v_Л \cdot t_0 = \beta H \frac{t_0}{t_0} = \beta H$

Снос лодки (за минимальное время движения) составит

$L = \beta H$ (2)

3. Снос лодки во время переправы будет зависеть от двух факторов: скорости лодки в направлении течения и скорости лодки в направлении перпендикулярном берегу. Необходимо определиться с углом вектора скорости лодки. Относительно простым способом нахождения угла является графический метод. Скорость лодки относительно системы координат, связанной с берегом, равна векторной сумме скоростей течения и лодки (рис. 6.1). Из рисунка видно, что минимальное расстояние $L_{min}$ сноса лодки соответствует случаю, когда относительная скорость лодки направлена по касательной к окружности радиуса $v_Л$.2 − 1}}$. (4)

Замечание 1. Минимальное время переправы лодки через руку будет в случае движения лодки перпендикулярной берегу.

Замечание 2. Минимальный снос лодки будет в случае, когда вектор скорости лодки будет перпендикулярен вектору относительной скорости лодки.

Замечание 3. Определение угла между вектором скорости лодки и (например) вертикалью, для минимального сноса при переправе через реку возможно следующими способами:

Через исследование функции. При переправе на другой берег

$H = v_Л cos\alpha \cdot t$ и $L = (v_T – v_Л sin\alpha) \cdot t$.

Составим уравнение траектории $L(H)$

$L = (v_T – v_Л sin\alpha)\frac{H}{v_Л cos\alpha} = v_T \frac{H}{v_Л cos\alpha} – Htg\alpha$.

Окончательно,

$L = v_T \frac{H}{v_Л cos\alpha} – H \cdot tg\alpha$.

Продифференцировав последнее уравнение по углу $\alpha$ и, приравняв к нулю производную, найдем, при каких значениях угла $\alpha$ расстояние $L$ будет минимальным.2 − 1}}{\beta}$.

Замечание 4. Если скорость течения меньше скорости лодки, то минимальный снос возможен только при движении лодки за минимальное время (см. решение 1).

Задачи для самостоятельного решения.

1. Катер, переправляясь через реку шириной $800$ м, двигался со скоростью $4$ м/с так, что время его переправы оказалось минимальным. На сколько будет снесен катер течением, если скорость течения реки равна $1,5$ м/с?

Относительность движения в физике

Всякое движение относительно. Это означает, что одно и то же тело одновременно и движется, и покоится. Движется относительно одних тел и одновременно покоится относительно других. Мы все, земляне, можем покоиться относительно своего письменного стола и одновременно всегда движемся относительно Солнца. Любой из вас может привести много примеров относительности движения.

В задачах на относительность движения часто приходится пользоваться правилом сложения скоростей.

Правило сложения скоростей: скорость тела относительно неподвижной системы отсчета

равна сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости самой подвижной системы относительно неподвижной.

Это правило применимо только к классическим скоростям, т.е. скоростям, значительно меньшим скорости света в вакууме (т.е. к скоростям порядка

м/с и меньше).

Если система отсчета и тело в ней движутся в одном направлении, то

Например, если поезд движется со скоростью 16 м/с относительно вокзала, а пассажир по ходу поезда бежит со скоростью 2 м/с относительно полок вагона, то скорость пассажира относительно вокзала равна 18 м/с.

Если в подвижной системе отсчета, движущейся со скоростью

относительно неподвижной системы, тело станет двигаться со скоростью относительно подвижной системы под углом к направлению ее движения, то для определения модуля скорости тела относительно неподвижной системы придется применить теорему Пифагора или теорему косинусов — в зависимости от величины угла а (рис. 10 а и б).

Например, если скорость течения

м/с, а лодка переплывает реку со скоростью = 2 м/с относительно воды перпендикулярно берегу (рис. 10), то скорость лодки относительно берега будет, согласно теореме Пифагора, равна

Если в условии сказано, что лодка переплывает реку по кратчайшему пути, значит, ее скорость относительно берега

направлена перпендикулярно берегу, а скорость лодки относительно воды направлена под тупым углом к вектору скорости течения ,(рис. 11).

В таком случае скорость лодки относительно берега можно определить по теореме Пифагора:

а время t, за которое лодка переплывет реку шириной Н, двигаясь с этой скоростью, можно найти как отношение этой ширины к скорости лодки относительно берега:

Если говорится о минимальном времени, за которое лодка переплывет реку, то теперь перпендикулярно берегу надо направить вектор скорости лодки относительно воды Д под прямым углом к течению, как на рис. 12. В этом случае минимальное время t будет равно отношению ширины реки к скорости лодки относительно течения:

Таким образом, если вам нужно переплыть реку как можно быстрее, значит, надо грести перпендикулярно течению. Вас, правда, снесет вниз по течению, но зато вы быстрее всего окажетесь на противоположном берегу.

Если два тела сближаются или удаляются друг от друга, т.е. движутся в противоположных направлениях со скоростями

относительно неподвижных объектов, то их скорость v относительно друг друга будет по модулю равна сумме их скоростей относительно неподвижных объектов:

Если два тела обгоняют друг друга, т.е. движутся в одном направлении со скоростями

относительно неподвижных объектов, то их скорость и относительно друг друга по модулю будет равна разности их скоростей относительно неподвижных объектов:

Например, если два поезда едут по параллельным рельсам навстречу друг другу со скоростями 36 км/ч и 74 км/ч относительно вокзала, то скорость их взаимного сближения, т.е. скорость первого поезда относительно второго по модулю равна скорости второго относительно первого и равна:

А если они движутся по параллельным рельсам в одном направлении, т.е., например, если второй поезд, скорость которого равна 72 км/ч, обгоняет первый, скорость которого 36 км/ч, то скорость первого поезда относительно второго равна скорости второго минус скорость первого:

а скорость второго поезда относительно первого равна скорости первого поезда минус скорость второго:

Если два тела движутся со скоростями

относительно неподвижных объектов и векторы этих скоростей направлены под углом а. друг к другу, то, чтобы найти скорость второго тела относительно первого, надо найти векторную разность (рис. 13, а), а чтобы найти скорость первого тела относительно второго, надо найти векторную разность (рис. 13, б).

Для нахождения модуля относительной скорости можно применить теорему косинусов:

Если

= 90°, то удобно применить теорему Пифагора:

Если сказано, что два поезда длиной

каждый движутся навстречу друг другу со скоростями относительно неподвижных объектов (деревьев, домов), то время t, в течение которого они будут проезжать мимо друг друга, можно найти, разделив сумму их длин на их скорость относительно друг друга, которая при встречном движении поездов равна сумме их скоростей:

А если эти поезда обгоняют друг друга, двигаясь в одном направлении, то время обгона равно:

Г. Движение по окружности с постоянной

по модулю скоростью

Тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, когда на него действует тоже постоянная по

модулю сила, направленная в каждой точке его траектории по радиусу к центру окружности. Такое движение характеризуется следующими параметрами: линейной скоростью

, угловой скоростью со, периодом Т, частотой вращения v и центростремительным ускорением .

Линейная скорость v — это скорость, с которой тело движется по окружности. Линейная скорость — векторная величина. Вектор линейной скорости

, оставаясь по модулю постоянным, в каждой точке траектории направлен по касательной окружности (рис. 14).

Угловая скорость

— это отношение угла поворота радиуса R, соединяющего тело с центром окружности, ко времени поворота t. Угловая скорость — векторная величина, ее направление можно определить с помощью правого винта (буравчика). Если вращать головку правого винта по направлению движения тела по окружности, то в ее центре поступательное движение винта совпадет с направлением вектора угловой скорости. На рис. 14 тело движется по окружности по часовой стрелке. Вращая головку правого винта по часовой стрелке, убедимся,

что вектор угловой скорости направлен от нас за чертеж. В этом случае его изображают в центре окружности кружочком с крестиком (мы видим оперение стрелы, улетающей от нас). А если тело движется против часовой стрелки, то вектор угловой скорости направлен к нам от чертежа, и при этом его изображают кружочком с точкой внутри (мы видим острие стрелы, летящей на нас) (рис. 15).

Равномерное движение по окружности является периодическим движением, — при таком движении координата тела повторяется через равные промежутки времени.

Период Т — это время одного оборота. Следует знать, что период секундной стрелки Т = 1 мин, период минутной стрелки Т = 1 ч и период часовой стрелки Т = 12 ч.

Частота вращения v — это число оборотов за единицу времени. Период и частота — обратные величины.

Центростремительное (его еще называют нормальное ускорение) ускорение

— это ускорение, характеризующее быстроту изменения направления вектора линейной скорости. Центростремительное ускорение в любой точке траектории направлено по радиусу к центру окружности.

Формулы, которые можно применять при решении задач на равномерное движение тела по окружности:

Следует знать, что все точки, расположенные на одном радиусе, в процессе его вращения движутся с одинаковыми угловой скоростью, периодом и частотой, но с разными линейными скоростями. Чем ближе точка на радиусе к центру окружности, тем меньше ее линейная скорость.

Когда колесо катится равномерно по дороге, двигаясь относительно нее с поступательной скоростью

, и все точки обода колеса движутся относительно его центра с такой же линейной скоростью то относительно дороги мгновенная скорость разных точек колеса различна (рис. 16).

Мгновенная скорость нижней точки m равна нулю, а мгновенная скорость высшей точки n равна удвоенной скорости pj. Мгновенную скорость р точки обода, лежащую на горизонтальном радиусе, можно найти по теореме Пифагора, а мгновенную скорость точки с — по теореме косинусов.

Если в условии задачи сказано, что, например, скорость тела увеличилась вдвое, то можно записать так:

или

Если сказано, что, например, скорость увеличилась на 20 м/с, то в условии можно записать так:

Если сказано, что некоторая величина, например, скорость, увеличилась на 20%, то в условии задачи можно записать так:

— изменение скорости, v — конечная скорость и — начальная скорость. А если сказано, что некоторая величина, например, скорость, составила 20% от первоначальной, то можно записать так: . Подобным образом можно записывать и изменение других величин.

Эта теория со страницы подробного решения задач по физике, там расположена теория и подробное решения задач по всем темам физики:

Задачи по физике с решением

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Модуль скорости движения катера относительно воды

Задача. Модуль скорости движения катера относительно воды

м/с. Какие значения может принять модуль скорости движения катера относительно берега, если модуль скорости течения воды м/с?

Решение

Думаем: вопрос «какие значения может принять модуль скорости» несколько странный, но вполне логичный. Нам предлагается найти диапазон скоростей, с которыми может двигаться катер относительно берега. Для ответа на этот вопрос можно найти минимальную и максимальную доступные скорости. Проанализируем логически:

• в случае если катер движется по течению реки, река как бы подгоняет катер, в этом случае катер движется с максимальной скоростью относительно берег (рис. 1.1). Очевидно, что при этом  м/с.
• в случае, если катер движется против течения реки, река затормаживает катер и в этом случае катер движется с минимальной скоростью относительно берега (рис. 1.2). Очевидно, что при этом  м/с.

Рис. 1. Относительное движение

Решаем: кроме достаточно понятного логического описания задачи, рассмотренного выше, для такого типа задач возможно и физически обоснованное решение с использованием закона сложения скоростей Галилея:

(1)

Осталось приписать введённым переменным конкретные значения из нашего дано. Тело в нашей задаче — катер, подвижная система — вода, неподвижная система — берег. Анализируя данные, получим 

— скорость катера относительно берега (то, что нам нужно найти),  — скорость катера относительно воды и  — скорость воды относительно берега. Введя подобные переобозначения, адаптируем (1) под условия нашей задачи:

(2)

Пока это соотношение векторное и описывает скорости вне зависимости от обозначения. Анализируя направления на рис.1, можем получить скалярные уравнения:

(3)

(4)

Мы опять получили те же соотношения.

Считаем:

Исходя из (3):

м/с

Исходя из (4):

 м/с

Таким образом, в нашей задаче скорость катера находится в диапазоне от 

м/с до  м/с.

Ответ:

 м/с м/с.

Ещё задачи на тему «Относительное движение».

Поделиться ссылкой:

НАЧАЛА ФИЗИКИ

Переходя с помощью закона сложения скоростей назад в систему отсчета, связанную с землей, можно найти величину скорости лодки в зависимости от направления вектора скорости и далее рассчитать всю «кинематику» этой задачи. В некоторых случаях можно обойтись и без «возвращения на землю». Рассмотрим пример.

Пример 3.4. Лодка переправляется через реку. Как нужно плыть, чтобы переправиться за минимальное время? Чему равно это минимальное время? Какое время лодка затратит на движение по кратчайшему пути? Ширина реки l, скорость течения u, скорость лодки в стоячей воде v.

Решение. Решая эту задачу, школьники очень часто сразу дают ответ: «перпендикулярно берегам реки, поскольку в этом случае лодка пройдет минимальное расстояние». Этот «ответ», мягко говоря, не обоснован – ведь величина скорости лодки относительно земли (а именно она фигурирует в таких рассуждениях) зависит от направления ее движения, и может оказаться, что на движение по более длинной траектории, но с большей скоростью, лодка затратит меньшее время.

Чтобы разобраться со скоростью лодки, заметим, что если бы вода покоилась, величина скорости лодки не зависела бы от направления ее движения (скорость лодки в этом случае определяется только мощностью ее мотора или усилиями гребца), а направление могло бы быть любым (оно определятся только желанием лодочника). Таким же будет движение лодки в системе отсчета, связанной с текущей водой. Поэтому переправа будет наибыстрейшей в том случае, когда скорость лодки относительно воды направлена перпендикулярно берегам реки. Это значит, что в случае наибыстрейшей переправы треугольник скоростей является таким, как это показано на рис. 3.6, и, следовательно, в системе отсчета, связанной с землей, лодка должна плыть под углом

(3.15)

к берегам реки (см. рис. 3.6)¹.

¹ Другими словами, чтобы переправиться за минимальное время, нужно не плыть в направлении, перпендикулярном берегу, а развивать усилие в направлении, перпендикулярном берегу, – довольно очевидный результат.

Как работает автопилот в электромоторах Minn Kota

Вы возможно уже знакомы с лодочными электромоторами Minn Kota Power Drive и Minn Kota Terrova, которые оснащены системами autopilot и используют встроенный компас для того, чтобы вести лодку в выбранном направлении. Это на самом деле очень удобная вещь которая помогла множеству рыбаков существенно увеличить их уловы. Однако компания Minn Kota пошла дальше, снабдив свои моторы новой модернизированной системой автопилот, использующей встроенную систему GPS для управления лодкой. Обе системы autopilot имеют собственные уникальные особенности и Minn Kota i-Pilot дает вам возможность выбрать наиболее подходящую для каждой конкретной ситуации. Эта статья рассказывает о том, как работает автопилот в лодочных электромоторах Minn Kota.

Для того чтобы задействовать модернизированный autopilot, нажмите один раз кнопку autopilot на пульте Minn Kota i-Pilot. На дисплее появится кружок вокруг наконечника стрелки и буквы N, сигнализирующий о том, что автопилот находится в продвинутом режиме. Вы также можете включить автопилот просто нажав соответствующую кнопку на педали управления. Модернизированный автопилот использует встроенный компас совместно с системой GPS для управления мотором. Для того чтобы установить курс, используйте кнопки изменения направление движения на пульте дистанционного управления. I-Pilot немедленно, с помощью GPS прокладывает курс, основываясь на направлении, которое вы задали мотору. Каждый раз, когда вы вручную поворачиваете головку мотора, i-Pilot заново создает набор точек вдоль линии, соответствующей новому направлению.

Далее, нажмите кнопку круиз контроля, чтобы активировать управление скоростью, нажатие на кнопки с плюсом и минусом на пульте управления позволяет вам регулировать вашу скорость относительно воды с шагом одна десятая мили в час. Такая точная регулировка скорости движения лодки дает возможность достичь требуемую глубину погружения и игру приманки, что играет очень большую роль, когда вы охотитесь на   чувствительную к поведению приманки рыбу. В противном случае вы можете просто остаться без улова.

Для того чтобы использовать простой автопилот, удерживайте кнопку на пульте управления Minn Kota  i-Pilot в течении двух секунд до тех пор, пока не произойдет его включение. В этом случае не будет кружка вокруг буквы N и стрелки на дисплее, как в случае с модернизированным автопилотом. В режиме обычного автопилота вы можете управлять скоростью и направлением движения лодки, используя педаль управления. Каждый раз, когда вы поворачиваете головку мотора, автопилот воспринимает это как команду к смене направления движения и направляет мотор вдоль него. Автопилот удобен для следование по прямой длительное время на открытой воде или для движения вдоль прямых участков берега. Немаловажно, что в этом случае вы можете твердо стоять на обоих ногах не отвлекаясь на управление мотором.

Автопилот, модернизированной автопилот и круиз контроль – три возможности для более эффективной рыбалки с моторами Minn Kota.

Устройством Minn Kota autopilot оснащаются лодочные электромоторы серий PowerDrive и Terrova и Ulterra

Сложение скоростей и переход в другую систему отсчета при движении вдоль одной прямой

1. Сложение скоростей

В некоторых задачах рассматривается движение тела относительно другого тела, которое также движется в выбранной системе отсчета. Рассмотрим пример.

По реке плывет плот, а по плоту идет человек в направлении течения реки – в том направлении, куда плывет плот (рис. 3.1, а). Используя установленный на плоту столб, можно отмечать как перемещение плота относительно берега, так и перемещение человека относительно плота.

Обозначим _чп скорость человека относительно плота, а _пб – скорость плота относительно берега. (Обычно принимают, что скорость плота относительно берега равна скорости течения реки. Скорость и перемещение тела 1 относительно тела 2 мы будем обозначать с помощью двух индексов: первый индекс относится к телу 1, а второй – к телу 2. Например, ₁₂ обозначает скорость тела 1 относительно тела 2.)

Рассмотрим перемещения человека и плота за некоторый промежуток времени t.

Обозначим _пб перемещение плота относительно берега, а _чп – перемещение человека относительно плота (рис. 3.1, б).

Векторы перемещений изображены на рисунках пунктирными стрелками, чтобы отличить их от векторов скоростей, изображенных сплошными стрелками.

Перемещение _чб человека относительно берега равно векторной сумме перемещения человека относительно плота и перемещения плота относительно берега (рис. 3.1, в):

_чб = _пб + _чп     (1)

Свяжем теперь перемещения со скоростями и промежутком времени t. Мы получим:

_чп = _чпt,     (2)
_пб = _пбt,     (3)
_чб = _чбt,     (4)

где _чб – скорость человека относительно берега.
Подставляя формулы (2–4) в формулу (1), получаем:

_чбt = _пбt + _чпt.

Сократим обе части этого уравнения на t и получим:

_чб = _пб + _чп.      (5)

Правило сложение скоростей

Соотношение (5) представляет собой правило сложения скоростей. Оно является следствием сложения перемещений (см. рис. 3.1, в, внизу). В общем виде правило сложения скоростей выглядит так:

₁ = ₁₂ + ₂.     (6)

где ₁ и ₂ – скорости тел 1 и 2 в одной и той же системе отсчета, а ₁₂ – скорость тела 1 относительно тела 2.

Итак, скорость ₁ тела 1 в данной системе отсчета равна векторной сумме скорости ₁₂ тела 1 относительно тела 2 и скорости ₂ тела 2 в той же системе отсчета.

В рассмотренном выше примере скорость человека относительно плота и скорость плота относительно берега были направлены одинаково. Рассмотрите теперь случай, когда они направлены противоположно, Не забудьте, что скорости надо складывать по правилу сложения векторов!

? 1. Человек идет по плоту против течения (рис. 3.2). Сделайте в тетради чертеж, с помощью которого можно найти скорость человека относительно берега. Масштаб для вектора скорости: две клетки соответствуют 1 м/с.

Уметь складывать скорости необходимо при решении задач, в которых рассматривается движение лодок или судов по реке или полет самолета при наличии ветра. При этом текущую воду или движущийся воздух можно представлять себе как «плот», который движется с постоянной скоростью относительно земли, «неся» на себе суда, самолеты и пр.

Например, скорость плывущей по реке лодки относительно берега равна векторной сумме скорости лодки относительно воды и скорости течения реки.

? 2. Скорость моторной лодки относительно воды равна 8 км/ч, а скорость течения равна 4 км/ч. За сколько времени лодка проплывет от пристани А до пристани Б и обратно, если расстояние между ними 12 км?

? 3. От пристани А одновременно отплыли плот и моторная лодка. За то время, пока лодка доплыла до пристани Б, плот проплыл треть этого расстояния.
а) Во сколько раз скорость лодки относительно воды больше скорости течения?
б) Во сколько раз время движения лодки из Б в А больше, чем время ее движения из А в Б?

? 4. Самолет пролетел из города М в город Н за 1,5 ч при попутном ветре. Обратный перелет при встречном ветре занял 1 ч 50 мин. Скорость самолета относительно воздуха и скорость ветра оставались постоянными.
а) Во сколько раз скорость самолета относительно воздуха больше скорости ветра?
б) Сколько времени занял бы перелет из М в Н в безветренную погоду?

2. Переход в другую систему отсчета

Проследить за движением двух тел намного проще, если перейти в систему отсчета, связанную с одним из этих тел. Тело, с которым связана система отсчета, покоится относительно нее, поэтому следить надо только за другим телом.

Рассмотрим примеры.

Моторная лодка обгоняет плывущий по реке плот. Через час после этого она разворачивается и плывет обратно. Скорость лодки относительно воды 8 км/ч, скорость течения 2 км/ч. Через какое время после разворота лодка встретит плот?

Если решать эту задачу в системе отсчета, связанной с берегом, то пришлось бы следить за движением двух тел – плота и лодки, да еще учесть при этом, что скорость лодки относительно берега зависит от скорости течения.

Если же перейти в систему отсчета, связанную с плотом, то плот и река «остановятся»: ведь плот движется по реке как раз со скоростью течения. Поэтому в этой системе отсчета все происходит как в озере, где течения нет: лодка плывет от плота и к плоту с одинаковой по модулю скоростью! И раз она удалялась в течение часа, то через час она приплывет обратно.

Как видим, для решения задачи не понадобились ни скорость течения, ни скорость лодки.

? 5. Проезжая под мостом на лодке, человек уронил в воду соломенную шляпу. Через полчаса он обнаружил пропажу, поплыл обратно и нашел плывущую шляпу на расстоянии 1 км от моста. Сначала лодка плыла по течению и ее скорость относительно воды была равна 6 км/ч.
Перейдите в систему отсчета, связанную со шляпой (рис. 3.3), и ответьте на следующие вопросы.
а) Сколько времени человек плыл к шляпе?
б) Чему равна скорость течения?
в) Какая информация в условии не нужна для ответа на эти вопросы?

? 6. По прямой дороге со скоростью 1 м/с идет пешая колонна длиной 200 м. Находящийся во главе колонны командир посылает всадника с поручением к замыкающему. Через сколько времени всадник вернется обратно, если он скачет со скоростью 9 м/с?

Выведем общую формулу для нахождения скорости тела в системе отсчета, связанной с другим телом. Воспользуемся для этого правилом сложения скоростей.

Напомним, что оно выражается формулой

₁ = ₂ + ₁₂,     (7)

где ₁₂ – скорость тела 1 относительно тела 2.

Перепишем формулу (1) в виде

₁₂ = ₁ – ₂, (8)

где ₁₂ – скорость тела 1 в системе отсчета, связанной с телом 2.

Эта формула позволяет найти скорость ₁₂ тела 1 относительно тела 2, если известны скорость ₁ тела 1 и скорость ₂ тела 2.

? 7. На рисунке 3.4 изображены три автомобиля, скорости которых даны в масштабе: двум клеткам соответствует скорость 10 м/с.

Найдите:
а) скорость синего и фиолетового автомобилей в системе отсчета, связанной с красным автомобилем;
б) скорость синего и красного автомобилей в системе отсчета, связанной с фиолетовым автомобилем;
в) скорость красного и фиолетового автомобилей в системе отсчета, связанной с синим автомобилем;
г) какая (какие) из найденных скоростей наибольшая по модулю? наименьшая?

Дополнительные вопросы и задания

8. Человек прошел по плоту длиной b и вернулся в начальную точку. Скорость человека относительно плота все время направлена вдоль реки и равна по модулю vч, а скорость течения равна vт. Найдите выражение для пути, пройденного человеком относительно берега, если:
а) сначала человек шел по направлению течения;
б) сначала человек шел в направлении, противоположном течению (рассмотрите все возможные случаи!).
в) Найдите весь путь, пройденный человеком относительно берега: 1) при b = 30 м, v_ч = 1,5 м/с, v_т = 1 м/с; 2) при b = З0 м, v_ч = 0,5 м/с, v_т = 1 м/с.

9. Пассажир идущего поезда заметил, что мимо его окна промчались две встречные электрички с интервалом 6 мин. С каким интервалом они проехали мимо станции2 Скорость поезда 100 км/ч, скорость электричек 60 км/ч.

10. Два человека одновременно начали спуск на эскалаторе. Первый стоял на одной ступеньке. С какой скоростью шел по эскалатору второй, если он спустился в 3 раза быстрее, чем первый? Скорость эскалатора 0,5 м/с.

11. На эскалаторе 100 ступеней. Идущий вниз по эскалатору человек насчитал 80 ступеней. Во сколько раз скорость человека больше скорости эскалатора?

12. От пристани А одновременно отправились плот и моторная лодка. Пока плот доплыл до пристани Б, лодка сплавала от А до Б и обратно. Расстояние АБ равно 10 км.
а) Во сколько раз скорость лодки относительно воды больше скорости течения?
б) Какое расстояние проплыл плот, когда: 1) лодка доплыла до Б? 2) плот встретил лодку, плывущую обратно?

13. Самый быстрый зверь – гепард (рис. 3.5): он может мчаться со скоростью 30 м/с, но не более одной минуты. Гепард заметил антилопу, находящуюся от него на расстоянии 500 м. С какой скоростью должна бежать антилопа, чтобы спастись?

Решение задачи 9 о скорости катера относительно берега

Катер, двигаясь вниз по течению, затратил время в n = 3 раза меньше, чем на обратный путь. Определить, с какими скоростями относительно берега двигался катер, если средняя скорость на всем пути составила V = 3 км/ч.

Решение: двигаясь вниз по течению, катер затратил время в n = 3 раза меньше, т. к. его скорость относительно берега равна сумме его скорости относительно воды (собственная скорость) и скорости течения v₁=v_k+v_T. Путь, проходимый катером, одинаков туда и обратно, обозначим его через S. Время, затраченное им при движении по течению вниз:

Обратно катер плывет против течения и его скорость относительно берега будет равна разности собственной скорости и скорости течения v₂=v_k−v_T. Тогда затраченное время при движении катера против течения равно:

По условию задачи время движения катера против течения в три раза больше времени движения катера по течению:

Упрощая эти уравнения, находим, что v_k=2v_T   (формула 1).
Теперь найдем среднюю скорость при движении катера на всем пути:

Здесь учтем (1), тогда

отсюда находим скорость течения:

v_T = (2/3)V, а v_k = (4/3)V.

После вычислений окончательно имеем:

v_T = (2/3)3 = 2 км/ч и v_k = (4/3)3 = 4 км/ч.

Далее: определение времени движения поезда мимо пассажира в другом поезде   [тема: задачи на равномерное прямолинейное движение]

Проблемы относительной скорости и речных судов

Иногда объекты движутся в среде, которая движется относительно наблюдателя. Например, самолет обычно встречает ветер — воздух, который движется относительно наблюдателя на земле внизу. Другой пример: моторная лодка на реке движется среди речного течения — воды, движущейся по отношению к наблюдателю на суше. В таких случаях, как этот, величина скорости движущегося объекта (будь то самолет или моторная лодка) относительно наблюдателя на суше не будет такой же, как показания спидометра транспортного средства.Другими словами, спидометр на моторной лодке может показывать 20 миль / час; тем не менее, моторная лодка может двигаться относительно наблюдателя на берегу со скоростью 25 миль в час. Движение относительно наблюдателя. Наблюдатель на суше, которого часто называют (или ошибочно) «неподвижным наблюдателем», будет измерять скорость, отличную от скорости человека на лодке. Наблюдаемая скорость лодки всегда должна описываться относительно того, кто является наблюдателем.

Попутный ветер, встречный и боковой ветер

Чтобы проиллюстрировать этот принцип, рассмотрим самолет, летящий при попутном ветре .Попутный ветер — это просто ветер, который приближается к самолету сзади, увеличивая его итоговую скорость. Если самолет движется со скоростью 100 км / час по отношению к воздуху, и если скорость ветра составляет 25 км / час, то какова скорость самолета относительно наблюдателя на земле внизу? Результирующая скорость самолета (то есть результат вклада скорости ветра в скорость, обусловленную двигателем самолета) является векторной суммой скорости самолета и скорости ветра.Эту результирующую скорость довольно легко определить, если ветер приближается к самолету прямо сзади. Как показано на диаграмме ниже, самолет движется со скоростью 125 км / ч относительно земли.

Если самолет встречает встречный ветер, результирующая скорость будет меньше 100 км / ч. Поскольку встречный ветер — это ветер, который приближается к самолету спереди, такой ветер уменьшит результирующую скорость самолета. Предположим, что самолет, летящий со скоростью 100 км / час по отношению к воздуху, встречает встречный ветер со скоростью 25 км / час.В этом случае результирующая скорость будет 75 км / ч; это скорость самолета относительно наблюдателя на земле. Это показано на диаграмме ниже.

Теперь рассмотрим самолет, летящий со скоростью 100 км / час на юг, который встречает боковой ветер 25 км / час на западе. А какова будет результирующая скорость самолета? На этот вопрос можно ответить так же, как и на предыдущие вопросы. Результирующая скорость самолета — это векторная сумма двух отдельных скоростей.Чтобы определить результирующую скорость, к скорости ветра необходимо прибавить плоскую скорость (относительно воздуха). Это та же процедура, которая использовалась выше для ситуаций встречного и попутного ветра; только теперь результат вычислить не так просто. Поскольку два добавляемых вектора — скорость в южной плоскости и скорость западного ветра — расположены под прямым углом друг к другу, можно использовать теорему Пифагора. Это показано на диаграмме ниже.

В этой ситуации бокового ветра вектор, направленный на юг, может быть добавлен к вектору, направленному на запад, с использованием обычных методов сложения векторов.Величина результирующей скорости определяется с помощью теоремы Пифагора. Алгебраические шаги следующие:

(100 км / ч) ² + (25 км / ч) ² = ² рэндов

10 000 км ² / час ² + 625 км ² / час ² = R ²

10625 км ² / час ² = ^{рэндов 2}

SQRT (10 625 км ² / час ² ) =

рэндов

103.1 км / ч =

рэнд

Направление результирующей скорости можно определить с помощью тригонометрической функции. Поскольку скорость в плоскости и скорость ветра образуют прямоугольный треугольник при сложении по схеме «голова к хвосту», угол между результирующим вектором и вектором, направленным на юг, можно определить с помощью функций синуса, косинуса или тангенса. Можно использовать касательную функцию; это показано ниже:

загар (тета) = (напротив / рядом)

загар (тета) = (25/100)

тета = invtan (25/100)

тета = 14.0 градусов

Если результирующая скорость самолета составляет угол 14,0 градусов с направлением на юг (тета на диаграмме выше), то направление результирующей скорости составляет 256 градусов. Как и любой вектор, результирующее направление измеряется как угол поворота против часовой стрелки с востока.

Анализ движения речного судна

Воздействие ветра на самолет аналогично действию речного течения на моторную лодку.Если бы моторная лодка плыла прямо через реку (то есть, если бы лодка была направлена ​​носом прямо на другую сторону), она не достигла бы берега прямо напротив своей начальной точки. Речное течение влияет на движение лодки и несет ее вниз по течению. Моторная лодка может двигаться со скоростью 4 м / с прямо через реку, но результирующая скорость лодки будет больше 4 м / с и под углом в направлении вниз по течению. В то время как спидометр лодки может показывать 4 м / с, его скорость относительно наблюдателя на берегу будет более 4 м / с.

Результирующую скорость моторной лодки можно определить так же, как это было сделано для самолета. Результирующая скорость лодки — это векторная сумма скорости лодки и скорости реки. Поскольку лодка плывет прямо через реку, а течение всегда направлено прямо вниз по течению, два вектора находятся под прямым углом друг к другу. Таким образом, теорему Пифагора можно использовать для определения результирующей скорости. Предположим, что река движется со скоростью 3 м / с на север, а моторная лодка движется со скоростью 4 м / с на восток.Какова будет результирующая скорость моторной лодки (т. Е. Скорость относительно наблюдателя на берегу)? Величину результирующего можно найти следующим образом:

(4,0 м / с) ² + (3,0 м / с) ² = ² R

16 м ² / с ² + 9 м ² / с ² = R ²

25 м ² / с ² = ^рэндов

SQRT (25 м ² / с ² ) =

рэнд

5.0 м / с =

рэнд

Направление результирующего вектора — это угол поворота против часовой стрелки, который результирующий вектор делает относительно востока. Этот угол можно определить с помощью тригонометрической функции, как показано ниже.

загар (тета) = (напротив / рядом)

загар (тета) = (3/4)

тета = invtan (3/4)

тета = 36,9 градуса

Учитывая скорость лодки 4 м / с, восток и скорость реки 3 м / с, север, результирующая скорость лодки будет 5 м / с при 36.9 градусов.

Подобные проблемы с моторными лодками обычно сопровождаются тремя отдельными вопросами:

1. Какова результирующая скорость (как величина, так и направление) лодки?
2. Если ширина реки составляет X метр, то сколько времени требуется лодке, чтобы добраться от берега до берега?
3. На каком расстоянии ниже по течению лодка достигает противоположного берега?

На первый из этих трех вопросов был дан ответ выше; результирующую скорость лодки можно определить с помощью теоремы Пифагора (величина) и тригонометрической функции (направление).На второй и третий из этих вопросов можно ответить, используя уравнение средней скорости (и много логики).

пр. скорость = расстояние / время

Рассмотрим следующий пример.

Решение первого вопроса уже было показано в приведенном выше обсуждении.Результирующая скорость лодки составляет 5 м / с под углом 36,9 градуса. Мы начнем со второго вопроса.

Ширина реки 80 метров. То есть расстояние от берега до берега, измеренное прямо через реку, составляет 80 метров. Время, чтобы пересечь эту реку шириной 80 метров, можно определить, переставив и подставив уравнение средней скорости.

время = расстояние / (средн. Скорость)

Подставим в числитель расстояние 80 м.А как насчет знаменателя? Какое значение следует использовать для средней скорости? Следует ли использовать 3 м / с (текущая скорость), 4 м / с (скорость лодки) или 5 м / с (результирующая скорость) в качестве среднего значения скорости для преодоления 80 метров? С какой средней скоростью лодка пересекает реку шириной 80 метров? Большинство студентов хотят использовать в уравнении результирующую скорость, поскольку это фактическая скорость лодки относительно берега. Тем не менее, значение 5 м / с — это скорость, с которой лодка преодолевает диагональный размер реки.И расстояние по диагонали через реку в этом случае неизвестно. Если бы кто-то знал расстояние C на диаграмме ниже, то среднюю скорость C можно было бы использовать для расчета времени, необходимого для достижения противоположного берега. Точно так же, если бы кто-то знал расстояние B на диаграмме ниже, то среднюю скорость B можно было бы использовать для расчета времени достижения противоположного берега. И, наконец, если кто-то знает расстояние A на диаграмме ниже, то среднюю скорость A можно использовать для расчета времени достижения противоположного берега.

В нашей задаче 80 м соответствует расстоянию A, поэтому средняя скорость 4 м / с (средняя скорость в направлении прямо через реку) должна быть подставлена ​​в уравнение для определения времени.

время = (80 м) / (4 м / с) = 20 с

Для перехода лодки через реку требуется 20 с. В течение этих 20 секунд перехода через реку лодка также плывет вниз по течению. В части c задачи задается вопрос: «На каком расстоянии ниже по течению лодка достигает противоположного берега?» То же самое уравнение необходимо использовать для расчета расстояния ниже по потоку .И снова возникает вопрос, какое из трех средних значений скорости нужно использовать в уравнении для расчета расстояния вниз по потоку? Расстояние ниже по потоку соответствует Расстояние B на диаграмме выше. Скорость, с которой лодка преодолевает это расстояние, соответствует средней скорости B на диаграмме выше (то есть скорость, с которой движется течение — 3 м / с). Таким образом, средняя скорость 3 м / с (средняя скорость в направлении вниз по потоку) должна быть подставлена ​​в уравнение для определения расстояния.

расстояние = пр. скорость * время = (3 м / с) * (20 с)

расстояние = 60 м

Лодка переносится на 60 метров вниз по течению за 20 секунд, необходимых для перехода через реку.

Математика вышеупомянутой задачи не сложнее, чем деление или умножение двух числовых величин друг на друга. Математика — это просто! Сложность проблемы носит концептуальный характер; трудность заключается в том, чтобы решить, какие числа использовать в уравнениях.Это решение вытекает из концептуального понимания (или, к сожалению, неправильного понимания) сложного происходящего движения. Движение речного судна можно разделить на две одновременные части — движение прямо через реку и движение вниз по течению. Эти две части (или компоненты) движения происходят одновременно в течение одного и того же времени (которое составляло 20 секунд в приведенной выше задаче). Решение о том, какое значение скорости или значение расстояния использовать в уравнении, должно соответствовать приведенной выше диаграмме.Двигатель лодки — это то, что переносит лодку через реку Расстояние A ; и поэтому любой расчет, включающий Distance A , должен включать значение скорости, обозначенное как Speed ​​A (скорость лодки относительно воды). Точно так же течение реки несет лодку вниз по течению Расстояние B ; и поэтому любой расчет, включающий Distance B , должен включать значение скорости, обозначенное как Speed ​​B (скорость реки).Вместе эти две части (или компоненты) складываются в результирующее движение лодки. То есть поперечная составляющая смещения добавляет к смещению вниз по течению, чтобы равняться результирующему смещению. Точно так же скорость лодки (через реку) прибавляется к скорости реки (вниз по реке), чтобы равняться результирующей скорости. Таким образом, любое вычисление расстояния C или средней скорости C («Результирующая скорость») может быть выполнено с использованием теоремы Пифагора.

Теперь, чтобы проиллюстрировать важный момент, давайте попробуем второй пример задачи, который похож на первый пример задачи.Попробуйте ответить на три вопроса, а затем нажмите кнопку, чтобы проверить свой ответ.

Важная концепция вытекает из анализа двух приведенных выше примеров проблем.В примере 1 время пересечения реки шириной 80 метров (при движении 4 м / с) составило 20 секунд. Это было при скорости течения 3 м / с. В примере 2 скорость течения была намного больше — 7 м / с, но время для перехода через реку осталось неизменным. Фактически, скорость течения сама по себе не влияет на время, необходимое лодке для пересечения реки. Река движется вниз по течению параллельно берегу реки. Таким образом, течение не может помочь лодке пересечь реку.Хотя увеличившееся течение может повлиять на результирующую скорость, заставляя лодку двигаться с большей скоростью по отношению к наблюдателю на земле, это не увеличивает скорость в направлении через реку. Компонент результирующей скорости, который увеличивается, — это компонент, направленный вниз по реке. Часто говорят, что «перпендикулярные компоненты движения не зависят друг от друга». Применительно к проблемам с речным судном это будет означать, что переменная для реки через реку не будет зависеть от (т.е., не зависит от) нижестоящей переменной. Время для перехода через реку зависит от скорости, с которой лодка пересекает реку. Только составляющая движения, направленная через реку (то есть скорость лодки), влияет на время прохождения расстояния непосредственно через реку (в данном случае 80 м). Компонент движения, перпендикулярный этому направлению — скорость течения — влияет только на расстояние, которое лодка проходит по реке. Эта концепция перпендикулярных компонентов движения будет более подробно исследована в следующей части Урока 1.

Проверьте свое понимание

1. Самолет может двигаться со скоростью 80 миль / ч по отношению к воздуху. Определите результирующую скорость самолета (только величину), если он встретит

а. 10 миль / ч, встречный ветер.

г. 10 миль / ч, попутный ветер.

г. 10 миль / ч, боковой ветер.

г. 60 миль / ч при боковом ветре.

2. Моторная лодка, движущаяся со скоростью 5 м / с на востоке, встречает течение 2,5 м / с на севере.

а. Какова результирующая скорость моторной лодки?

г. Если ширина реки составляет 80 метров, то сколько времени требуется лодке, чтобы добраться от берега до берега?

г. На каком расстоянии ниже по течению лодка достигает противоположного берега?

3.Моторная лодка, движущаяся со скоростью 5 м / с на востоке, встречает поток, движущийся со скоростью 2,5 м / с на юге.

а. Какова результирующая скорость моторной лодки?

г. Если ширина реки составляет 80 метров, то сколько времени требуется лодке, чтобы добраться от берега до берега?

г. На каком расстоянии ниже по течению лодка достигает противоположного берега?

4. Моторная лодка, движущаяся со скоростью 6 м / с, на восток встречает поток, движущийся 3.8 м / с, Южный.

а. Какова результирующая скорость моторной лодки?

г. Если ширина реки составляет 120 метров, то сколько времени требуется лодке, чтобы добраться от берега до берега?

г. На каком расстоянии ниже по течению лодка достигает противоположного берега?

5. Если скорость течения в вопросе № 4 была увеличена до 5 м / с, то

а.сколько времени потребуется, чтобы пересечь ту же реку шириной 120 м?

г. на какое расстояние вниз по течению лодка продвинется за это время?

Относительная скорость

Относительная скорость

3.4.
Относительная скорость

Для человека, путешествующего автостопом по шоссе, две машины, мчащиеся по соседним полосам, кажутся размытыми. Но если машины развивают одинаковую скорость, каждый водитель видит, что другой остается на месте, на расстоянии одной полосы движения. Автостопщик отмечает скорость около 30 м / с, но каждый водитель считает, что скорость другого равна нулю.Ясно, что скорость объекта зависит от наблюдателя, производящего измерения.

Рисунок 3.16 иллюстрирует понятие относительной скорости, показывая пассажира, идущего к передней части движущегося поезда. Сидящие в поезде видят пассажира, идущего со скоростью +2,0 м / с, где знак «плюс» обозначает направление вправо. Предположим, поезд движется со скоростью +9,0 м / с относительно наблюдателя, стоящего на земле. Тогда наземный наблюдатель будет видеть пассажира, движущегося со скоростью +11 м / с, частично из-за ходьбы и частично из-за движения поезда.Для помощи в описании относительной скорости давайте определим следующие символы:

В терминах этих символов ситуацию на рисунке 3.16 можно резюмировать следующим образом:

или

Согласно уравнению 3.7, v _PG — это векторная сумма v _PT и v _TG , и эта сумма показана на чертеже .Если бы пассажир шел к задней части поезда, а не к передней, скорость относительно наземного наблюдателя была бы такой.

Каждый символ скорости в уравнении 3.7 содержит двухбуквенный нижний индекс. Первая буква в нижнем индексе относится к движущемуся телу, а вторая буква указывает на объект, относительно которого измеряется скорость. Например, v _TG и v _PG — это скорости поезда и пассажира, измеренные относительно земли. Точно так же v _PT — это скорость пассажира, измеренная наблюдателем, сидящим в поезде.

Порядок символов нижнего индекса в уравнении 3.7 следует определенной схеме. Первый индекс (P) в левой части уравнения также является первым индексом в правой части уравнения. Аналогично, последний индекс (G) в левой части также является последним индексом в правой части. Третий индекс (T) появляется только в правой части уравнения в виде двух «внутренних» индексов. Цветные рамки ниже подчеркивают узор символов в нижних индексах:

В других ситуациях нижние индексы не обязательно будут P, G и T, но будут совместимы с именами объекты, участвующие в движении.

Уравнение 3.7 было представлено в связи с одномерным движением, но результат также действителен для двухмерного движения. На рисунке 3.17 изображена обычная ситуация, которая имеет дело с относительной скоростью в двух измерениях. На части а рисунка изображена лодка, которую несет река вниз по течению; двигатель лодки выключен. В части b двигатель был включен, и теперь лодка движется через реку по диагонали из-за совместного движения течения и двигателя.В приведенном ниже списке указаны скорости для этого типа движения и объекты, относительно которых они измеряются:

Скорость v _BW лодки относительно воды — это скорость, измеренная наблюдатель, который, например, плывет по внутренней трубе и плывет вниз по течению. Когда двигатель выключен, лодка также дрейфует вниз по течению, и v _BW равно нулю. Однако, когда двигатель включен, лодка может двигаться относительно воды, и v _BW больше не равно нулю.Скорость v _WS воды относительно берега — это скорость течения, измеренная наблюдателем на берегу. Скорость v _BS лодки относительно берега обусловлена ​​совместным движением лодки относительно воды и движением воды относительно берега. В символах

Порядок нижних индексов в этом уравнении идентичен таковому в уравнении 3.7, хотя буквы были изменены, чтобы отразить другую физическую ситуацию.Пример 10 иллюстрирует концепцию относительной скорости в двух измерениях.

Иногда возникают ситуации, когда два транспортных средства находятся в относительном движении, и полезно знать относительную скорость одного по отношению к другому. В примере 11 рассматривается этот тип относительного движения.

Вы когда-нибудь замечали, что заднее стекло иногда остается сухим, даже если идет дождь? Это явление является следствием относительной скорости, что помогает пояснить рис. 3.20. На части а показан автомобиль, движущийся горизонтально со скоростью v _CG , и капля дождя, падающая вертикально со скоростью v _RG .Обе скорости измеряются относительно земли. Однако, чтобы определить, попадает ли капля в окно, нам нужно учитывать скорость капли относительно машины, а не земли. Эта скорость равна v _RC , и мы знаем, что

Здесь мы использовали тот факт, что. Часть b чертежа показывает расположение «хвост к голове», соответствующее этому сложению вектора, и указывает, что направление v _RC задается углом q _R .Для сравнения, заднее окно наклонено под углом q _W по отношению к вертикали (см. Увеличенное изображение в части а). Когда q _R больше q _W , капля дождя не попадет в окно. Однако, q _R определяется скоростью v _RG капли дождя и скоростью v _CG автомобиля, согласно. На более высоких скоростях автомобиля угол q _R становится слишком большим, чтобы капля ударилась о окно.Таким образом, на достаточно высокой скорости машина просто выезжает из-под каждой падающей капли

Сложение скоростей | Физика

Пассажир авиакомпании роняет монету, когда самолет движется со скоростью 260 м / с.Какова скорость монеты, когда она ударяется об пол на 1,50 м ниже точки выброса: (a) Измеряется относительно плоскости? (б) Измерено относительно Земли?

Рис. 7. Движение монеты, упавшей в самолет, глазами двух разных наблюдателей. (a) Наблюдатель в самолете видит, как монета падает прямо вниз. (b) Наблюдатель на земле видит, что монета движется почти горизонтально.

Стратегия

Обе проблемы можно решить с помощью техники падения предметов и снарядов.В части (а) начальная скорость монеты равна нулю относительно плоскости, поэтому движение является движением падающего объекта (одномерное). В части (b) начальная скорость составляет 260 м / с по горизонтали относительно Земли, а сила тяжести — по вертикали, поэтому это движение является движением снаряда. В обеих частях лучше всего использовать систему координат с вертикальной и горизонтальной осями.

Решение для (a)

Используя данную информацию, отметим, что начальная скорость и положение равны нулю, а конечное положение равно 1.{2} [/ латекс]

дает

v _y = −5,42 м / с.

Мы знаем, что квадратный корень из 29,4 имеет два корня: 5,42 и -5,42. Мы выбираем отрицательный корень, потому что знаем, что скорость направлена ​​вниз, и мы определили положительное направление как вверх. Нет начальной горизонтальной скорости относительно плоскости и горизонтального ускорения, поэтому движение идет прямо вниз относительно плоскости.

Решение для (b)

Поскольку начальная вертикальная скорость равна нулю относительно земли, а вертикальное движение не зависит от горизонтального движения, окончательная вертикальная скорость монеты относительно земли равна v _y = -5.{2}} [/ латекс]

дает

v = 260,06 м / с.

Направление дает:

θ = tan ⁻¹ ( v _y / v _x ) = tan ⁻¹ (−5,42 / 260)

, так что

θ = tan ⁻¹ (−0,0208) = — 1,19º.

Обсуждение

В части (а) конечная скорость относительно плоскости такая же, как если бы монета упала с земли на землю и упала 1.50 м. Этот результат соответствует нашему опыту; объекты в самолете падают так же, как когда самолет летит горизонтально, так и когда он неподвижен на земле. Этот результат справедлив и для движущихся автомобилей. В части (b) наблюдатель на земле видит совсем другое движение монеты. Самолет движется по горизонтали так быстро, что его конечная скорость едва превышает начальную. И снова мы видим, что в двух измерениях векторы складываются не так, как обычные числа — конечная скорость v в части (b) равна , а не (260 — 5.42) м / с; скорее 260,06 м / с. Величину скорости нужно было вычислить с точностью до пяти цифр, чтобы увидеть какое-либо отличие от скорости самолета. Движения, наблюдаемые разными наблюдателями (один в самолете и один на земле) в этом примере аналогичны тем, которые обсуждались для бинокля, сброшенного с мачты движущегося корабля, за исключением того, что скорость самолета намного больше, поэтому что два наблюдателя видят очень разных путей. (См. Рис. 7.) Кроме того, оба наблюдателя видят падение монеты 1.(-1) # на восток, относительно воды.

• Какова скорость лодки относительно земли?
• Когда лодка достигает следующего берега, на каком расстоянии она плывет по реке?
• Сколько времени нужно человеку, чтобы перейти реку?

Если человек хочет добраться до точки, перпендикулярной точке, он начинает грести, со всеми другими векторами, такими же, как указано выше

• В каком направлении он должен грести лодку?
• Тогда какова скорость лодки относительно земли?
• Сколько времени нужно человеку, чтобы добраться до другого берега реки?

#stackrel («——————————————— ————————————————— ————————- «) #

Итак, вы знаете, что река имеет ширину 1000 м .(-1)))) * 333.3 цвет (красный) (отмена (цвет (черный) («s»))) = цвет (зеленый) («667 м») #

Теперь, что касается второй части задачи, вам нужно найти направление, в котором лодка должна двигаться, чтобы достичь другого берега в точке , прямо через ее отправной точки.

Все, что вам действительно нужно сделать здесь, это перевернуть треугольник по вертикали , образованный шириной реки и пройденным расстоянием вниз по течению.

Поскольку все векторы остаются неизменными, следует, что лодка должна начать гребть под углом

# theta_2 = -33.@ # к югу от востока .

Конечно, лодка достигнет другого берега за то же время, # t_2 = «333,3 с» #.

Вот что я имею в виду под , переворачивая треугольник . Лодка начинает переправу через реку, а затем # «333,3 с» # достигает другого берега. Расстояние # d # представляет собой расстояние, пройденное вниз по течению.

Если все векторы остаются одинаковыми, все, что вам нужно сделать, это

На этот раз лодка начнет движение под углом # theta_2 = -33.@ #. Величина его скорости останется прежней, поскольку вертикальная составляющая , которая представляет собой скорость речного течения , и горизонтальная составляющая , которая представляет собой скорость лодки *, одинаковы.

Харрелл, Джойс / Дополнительные задачи относительной скорости

Дополнительные проблемы относительной скорости

(ответы ниже)

1. Лодка может двигаться со скоростью 2,30 м / с в стоячей воде. (a) Если лодка направлена ​​носом прямо на ручей с силой тока 1.20 м / с, какова скорость лодки относительно берега? (b) Каким будет положение лодки относительно исходной точки через 3,00 с?

2. Моторная лодка, скорость которой на стоячей воде составляет 3,60 м / с, должна стремиться вверх по течению под углом 27,5 ^o (относительно линии, перпендикулярной берегу), чтобы пересечь ручей. а) Какова скорость течения? б) Какова результирующая скорость лодки относительно берега?

3.Самолет летит прямо на юг со скоростью 500 км / ч. Если ветер начинает дуть с запада со скоростью 100 км / ч, рассчитайте (а) скорость самолета относительно земли и (б) насколько далеко он будет отклоняться от курса через 10,0 мин, если пилот будет никаких корректирующих действий.

4. Пловец может плыть со скоростью 1,00 м / с в стоячей воде. (a) Если она направит свое тело прямо через реку шириной 150 м, скорость которой составляет 0,80 м / с, как далеко вниз по течению (от точки, противоположной ее начальной точке) она приземлится? б) Сколько времени ей потребуется, чтобы добраться до другой стороны?

5.Гек Финн идет со скоростью 1,0 м / с по своему плоту (то есть он идет перпендикулярно движению плота относительно берега). Плот движется по реке Миссисипи со скоростью 2,7 м / с относительно берега реки. Какова скорость Гека относительно берега реки?

Ответы:

1. (а) 2,59 м / с, 62,4 ^o от берега; (б) 7,77 м на 62,4 ^o от берега

2. (а) 1,66 м / с; (б) 3.19 м / с

3. 510. км / ч, 281 ^o (или 11,3 ^o восточной долготы)

4. (а) 120 м; (б) 150 с

5. 2.9 м / с под углом 20. ^o относительно берега

3.5 Сложение скоростей | Texas Gateway

Относительная скорость

Если человек переправляется на лодке через быстро текущую реку и пытается направиться прямо к другому берегу, лодка вместо этого перемещается на по диагонали на относительно берега, как на рисунке 3.44. Лодка не движется в том направлении, в котором она указана. Причина, конечно, в том, что река несет лодку вниз по течению. Точно так же, если небольшой самолет летит над головой при сильном боковом ветре, иногда можно увидеть, что самолет не движется в том направлении, в котором он направлен, как показано на рис. 3.45. Самолет движется прямо относительно воздуха, но движение воздушной массы относительно земли уносит его вбок.

Рисунок 3.44 Лодка, пытающаяся плыть прямо через реку, на самом деле будет двигаться по диагонали относительно берега, как показано. Его общая скорость (сплошная стрелка) относительно берега равна сумме его скорости относительно реки плюс скорость реки относительно берега.

Рис. 3.45. Самолет, летящий прямо на север, уносится на запад и замедляется ветром. Самолет не движется относительно земли в указанном направлении; скорее, он движется в направлении своей общей скорости (сплошная стрелка).

В каждой из этих ситуаций объект имеет скорость относительно среды (например, реки), а эта среда имеет скорость относительно наблюдателя на твердой земле. Скорость объекта относительно наблюдателя является суммой этих векторов скорости, как показано на рисунках 3.44 и 3.45. Это только две из многих ситуаций, в которых полезно добавлять скорости. В этом модуле мы сначала повторно исследуем, как складывать скорости, а затем рассмотрим некоторые аспекты того, что означает относительная скорость.

Как складывать скорости? Скорость — это вектор, он имеет как величину, так и направление — правила сложения векторов, обсуждаемые в разделах «Сложение и вычитание векторов: графические методы» и «Сложение и вычитание векторов: аналитические методы», применяются к сложению скоростей так же, как и для любых других векторов. В одномерном движении складывать скорости просто — они складываются как обычные числа. Например, если хоккеист на траве движется со скоростью 5 м / с 5 м / с размером 12 {«5 м / с»} {} прямо к воротам и гонит мяч в том же направлении со скоростью 30 м / с30. м / с размер 12 {«30 м / с»} {} относительно ее тела, то скорость мяча составляет 35 м / с35 м / с размер 12 {«35 м / с»} {} относительно неподвижного , обильно вспотевший вратарь стоит перед воротами.

В двухмерном движении можно использовать графические или аналитические методы для добавления скоростей. Мы сконцентрируемся на аналитических методах. Следующие уравнения показывают отношения между величиной и направлением скорости (размер vv 12 {v} {} и размер θθ 12 {θ} {}) и ее компонентами (размер vxvx 12 {v rSub {размер 8 {x}}} {} и вывы размер 12 {v rSub {размер 8 {y}}} {}) по осям x — и y -осей правильно выбранной системы координат

3.72 vx = vcosθvx = vcosθ size 12 {v rSub {size 8 {x}} = v «cos» θ} {} 3,73 vy = vsinθvy = vsinθ size 12 {v rSub {size 8 {y}} = v «sin» θ} {} 3.74 v = vx2 + vy2v = vx2 + vy2 size 12 {v = sqrt {v rSub {size 8 {x}} rSup {size 8 {2}} + v rSub {size 8 {y}} rSup { размер 8 {2}}}} {}

3,75 θ = tan − 1 (vy / vx). Θ = tan − 1 (vy / vx). размер 12 {θ = «загар» rSup {размер 8 {- 1}} \ (v rSub {размер 8 {y}} / v rSub {размер 8 {x}} \)} {}

Рис. 3.46. Скорость, vv размер 12 {v} {}, объекта, движущегося под углом θθ размером 12 {θ} {} к горизонтальной оси, представляет собой сумму составляющих векторов vxvx размера 12 {v} {subx} и vyvy размер 12 {v} {suby}.

Эти уравнения действительны для любых векторов и специально адаптированы для скорости. Первые два уравнения используются для нахождения компонентов скорости, когда известны ее величина и направление. Последние два используются для определения величины и направления скорости, когда известны ее компоненты.

Эксперимент на вынос: относительная скорость лодки

Наполните ванну водой наполовину. Возьмите игрушечную лодку или другой объект, который плавает в воде. Отключите слив, чтобы вода начала стекать.Попробуйте подтолкнуть лодку от одной стороны ванны к другой перпендикулярно потоку воды. В какую сторону нужно толкнуть лодку, чтобы она оказалась прямо напротив? Сравните направление потока воды, курс лодки и фактическую скорость лодки.

Пример 3.6. Добавление скоростей: лодка на реке

Рис. 3.47. Лодка пытается плыть прямо через реку со скоростью 0,75 м / с. Однако течение в реке течет со скоростью 1.20 м / с вправо. Каково полное водоизмещение лодки относительно берега?

Обратитесь к рис. 3.47, на котором показано, как лодка пытается перейти реку прямо. Давайте вычислим величину и направление скорости лодки относительно наблюдателя на берегу, vtotvtot size 12 {v rSub {size 8 {«tot»}}} {}. Скорость лодки vboatvboat размера 12 {v rSub {size 8 {«boat»}}} {} составляет 0,75 м / с в yy размере 12 {y} {} -направлении относительно реки, а скорость река, vrivervriver размер 12 {v rSub {размер 8 {«river»}}} {}, равна 1.20 м / с вправо.

Стратегия

Начнем с выбора системы координат с осью xx, параллельной скорости реки, как показано на рис. 3.47. Поскольку лодка направлена ​​прямо к другому берегу, ее скорость относительно воды параллельна оси yy и перпендикулярна скорости реки. Таким образом, мы можем сложить две скорости, используя уравнения vtot = vx2 + vy2vtot = vx2 + vy2 size 12 {v rSub {size 8 {«tot»}} = sqrt {v rSub {size 8 {x}} rSup {size 8 {2}} + v rSub {размер 8 {y}} rSup {размер 8 {2}}}} {} и θ = tan − 1 (vy / vx) θ = tan − 1 (vy / vx) размер 12 {θ = «загар» rSup {размер 8 {- 1}} \ (v rSub {размер 8 {y}} / v rSub {размер 8 {x}} \)} {} напрямую.

Решение

Величина общей скорости равна

.

3.76 vtot = vx2 + vy2, vtot = vx2 + vy2, размер 12 {v rSub {size 8 {«tot»}} = sqrt {v rSub {size 8 {x}} rSup {size 8 {2}} + v rSub {размер 8 {y}} rSup {размер 8 {2}}} «,»} {}

, где

3,77 vx = vriver = 1,20 м / svx = vriver = 1,20 м / с размер 12 {v rSub {размер 8 {x}} = v rSub {размер 8 {«река»}} = 1 «.» «20» «м / с»} {}

и

3,78 vy = vboat = 0,750 м / с. Vy = vboat = 0,750 м / с. размер 12 {v rSub {размер 8 {y}} = v rSub {размер 8 {ital «boat»}} = 0 «.»» 750 м / с. «} {}

Таким образом,

3,79 vtot = (1,20 м / с) 2+ (0,750 м / с) 2vtot = (1,20 м / с) 2+ (0,750 м / с) 2 размер 12 {v rSub {size 8 {«tot»}} = sqrt {\ (1 «.» «20» «м / с» \) rSup {размер 8 {2}} + \ (0 «.» «750» «m / s» \) rSup {размер 8 {2}} }} {}

дает

3,80 vtot = 1,42 м / с. Vtot = 1,42 м / с. размер 12 {v rSub {размер 8 {«tot»}} = 1 «.» «42» «м / с.»} {}

Направление полной скорости θθ размером 12 {θ} {} определяется как

3,81 θ = tan − 1 (vy / vx) = tan − 1 (0,750 / 1,20) .θ = tan − 1 (vy / vx) = tan − 1 (0.750 / 1.20). размер 12 {θ = «загар» rSup {размер 8 {- 1}} \ (v rSub {размер 8 {y}} / v rSub {размер 8 {x}} \) = «загар» rSup {размер 8 {- 1}} \ (0 «.» «750» / 1 «.» «20» \) «.»} {}

Это уравнение дает

3,82 θ = 32,0º.θ = 32,0º. размер 12 {θ = «32» «.» 0º} {}

Обсуждение

И величина vv, и направление θθ полной скорости согласуются с рисунком 3.47. Обратите внимание: поскольку скорость реки велика по сравнению со скоростью лодки, она быстро уносится вниз по течению.Этот результат подтверждается небольшим углом (всего 32,0º32,0º для размера 12 {«32,0º»} {}) полной скорости относительно берега реки.

Пример 3.7. Расчет скорости: скорость ветра вызывает дрейф самолета

Рассчитайте скорость ветра для ситуации, показанной на рис. 3.48. Самолет, как известно, движется со скоростью 45,0 м / с на север относительно воздушной массы, в то время как его скорость относительно земли (его общая скорость) составляет 38,0 м / с в направлении 20,0º20,0º размер 12 {«20». «.»0 rSup {size 8 {o}}} {} к западу от севера.

Рис. 3.48. Известно, что самолет движется на север со скоростью 45,0 м / с, хотя его скорость относительно земли составляет 38,0 м / с под углом к ​​западу от севера. Какая скорость и направление ветра?

Стратегия

В этой задаче, несколько отличной от предыдущего примера, мы знаем общую скорость
vtotvtot size 12 {v rSub {size 8 {bold «tot»}}} {} и что это сумма двух других скоростей,

vwvw размер 12 {v rSub {размер 8 {w}}} {} (ветер) и

vpvp size 12 {v rSub {size 8 {p}}} {} (самолет относительно воздушной массы).Количество

vpvp size 12 {v rSub {size 8 {p}}} {} известен, и нас просят найти

vwvw размер 12 {v rSub {размер 8 {w}}} {}. Ни одна из скоростей не является перпендикулярной, но их компоненты можно найти вдоль общего набора перпендикулярных осей. Если мы сможем найти компоненты

vwvw size 12 {v rSub {size 8 {w}}} {}, затем мы можем объединить их, чтобы определить величину и направление. Как показано на рис. 3.48, мы выбираем систему координат с осью x на восток и осью y на север (параллельной

vpvp размер 12 {v rSub {размер 8 {p}}} {}).Возможно, вы захотите вернуться к обсуждению сложения векторов с использованием перпендикулярных компонентов в документе Сложение и вычитание векторов: аналитические методы.

Решение

Потому что

vtotvtot size 12 {v rSub {size 8 {bold «tot»}}} {} — векторная сумма

vwvw и

vpvp, его компоненты x и y представляют собой суммы компонентов x и y скорости ветра и плоскости. Обратите внимание, что самолет имеет только вертикальную составляющую скорости, поэтому

vpx = 0vpx = 0 и

vpy = vpvpy = vp.То есть

3.83 vtotx = vwxvtotx = vwx size 12 {v rSub {size 8 {«tot» x}} = v rSub {size 8 {wx}}} {}

и

3.84 vtoty = vwy + vp.vtoty = vwy + vp. size 12 {v rSub {size 8 {«tot» y}} = v rSub {size 8 {wx}} + v rSub {size 8 {p}} «.»} {}

Мы можем использовать первый из этих двух уравнения для поиска vwxvwx size 12 {v rSub {size 8 {ital «wx»}}} {}

3.85 vwx = vtotx = vtotcos 110º.vwx = vtotx = vtotcos 110º. размер 12 {v rSub {размер 8 {wx}} = v rSub {размер 8 {«tot» x}} = v rSub {размер 8 {«tot»}} «cos110» rSup {размер 8 {o}} «.»} {}

Поскольку vtot = 38,0 м / svtot = 38,0 м / с размер 12 {v rSub {size 8 {ital» tot «}} =» 38 «». «0 м / с} {}
а также
cos 110º = –0,342 cos 110º = –0,342 размер 12 {«cos» «110º» «=» «-» «0,342»} {}
имеем

3,86 vwx = (38,0 м / с) (- 0,342) = — 13,0 м / с. vwx = (38,0 м / с) (- 0,342) = — 13,0 м / с. размер 12 {v rSub {size 8 {wx}} = \ («38» «.» «0 м / с» \) \ («–0» «.» «342» \) «= –13» «. » «0 м / с.»} {}

Знак минус указывает на движение на запад, что согласуется с диаграммой.

Теперь, чтобы найти vwyvwy size 12 {v rSub {size 8 {ital «wy»}}} {}
отметим, что

3.87 vtoty = vwy + vp.vtoty = vwy + vp. size 12 {v rSub {size 8 {«tot» y}} = v rSub {size 8 {wx}} + v rSub {size 8 {p}}} {}

Здесь vtoty = vtotsin 110ºvtoty = vtotsin 110º size 12 { v rSub {размер 8 {«tot» y}} = v rSub {размер 8 {«tot»}} = v rSub {размер 8 {«tot»}} «sin 110º»} {}; таким образом,

3,88 vwy = (38,0 м / с) (0,940) -45,0 м / с = -9,29 м / с. vwy = (38,0 м / с) (0,940) -45,0 м / с = -9,29 м / с. размер 12 {v rSub {size 8 {wy}} = \ («38» «.» 0 «м / с» \) \ (0 «.» «940» \) — «45» «.» 0 «м / с» = — 9 «.» «29» «м / с.»} {}

Этот знак минус указывает на движение на юг, что согласуется с диаграммой.

Теперь, когда известны перпендикулярные компоненты скорости ветра vwxvwx размера 12 {v rSub {размер 8 {wx}}} {} и vwyvwy размера 12 {v rSub {size 8 {wy}}} {}, мы можем найти величина и направление vwvw размера 12 {v rSub {size 8 {w}}} {}. Во-первых, величина равна

3.89 vw = vwx2 + vwy2 = (- 13.0 м / с) 2 + (- 9.29 м / с) 2vw = vwx2 + vwy2 = (- 13.0 м / с) 2 + (- 9.29 м / с ) 2

, так что

3,90 vw = 16,0 м / с. Vw = 16,0 м / с. размер 12 {v rSub {размер 8 {w}} = «16» «.» 0 «м / с»} {}

Направление:

3.91 θ = tan − 1 (vwy / vwx) = tan − 1 (−9.29 / −13.0) θ = tan − 1 (vwy / vwx) = tan − 1 (−9.29 / −13.0) размер 12 {θ = «tan «rSup {size 8 {- 1}} \ (v rSub {size 8 {wy}} / v rSub {size 8 {wx}} \) =» tan «rSup {size 8 {- 1}} \ (- 9 «.» «29» / — «13» «.» 0 \)} {}

дает

3,92 θ = 35,6º.θ = 35,6º. размер 12 {θ = «35» «.» 6º «.»} {}

Обсуждение

Скорость и направление ветра соответствуют значительному влиянию ветра на общую скорость самолета, как показано на рисунке 3.48. Поскольку самолет борется с сильной комбинацией бокового и встречного ветра, его общая скорость значительно меньше его скорости относительно воздушной массы, а также он движется в другом направлении.

Обратите внимание, что в обоих последних двух примерах мы смогли упростить математику, выбрав систему координат с одной осью, параллельной одной из скоростей. Мы неоднократно обнаруживаем, что выбор подходящей системы координат облегчает решение проблемы.Например, при движении снаряда мы всегда используем систему координат, в которой одна ось параллельна силе тяжести.

.