Урок 6. смежные и вертикальные углы. аксиомы и теоремы — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 6

Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Понятие смежных и вертикальных углов
• Свойства смежных и вертикальных углов
• Отличие аксиомы от теоремы

Тезаурус

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Свойства смежных углов:

• Сумма смежных углов равна 180⁰.
• Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
• Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180^о.

Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180^о.

Давайте докажем это свойство.

Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180^о. Свойство доказано.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

• Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 90⁰, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

∠1+ ∠2= 180⁰ и ∠3+ ∠2= 180⁰. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

Ответ: ∠ВОК=____⁰

Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 180⁰. По условию задачи ∠АОК= 11⁰, то ∠ВОК+ ∠АОК= 180⁰

∠ВОК+ 11⁰= 180⁰

∠ВОК= 180⁰– 11⁰= 169⁰.

Ответ: ∠ВОК= 169⁰

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

Варианты ответов:

1. 112⁰
2. 64⁰
3. 116⁰
4. 68⁰

Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 32⁰+ 32⁰= 64⁰. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 180⁰–∠COD= 180⁰– 64⁰=116⁰.

Ответ: 116⁰

№3. Тип задания: выделение цветом.

Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 125⁰, ∠BMC= 115⁰.

∠BМD=____⁰.

Выделите верный ответ из списка:

60⁰; 30⁰; 75⁰; 90⁰

Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 180⁰. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 180⁰–∠AMD= 180⁰-–125⁰= 55⁰. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.

∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 115⁰– 55⁰= 60⁰.

Верный ответ: 60⁰

Определение про смежные прямые. Как найти смежный угол

Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): /
А ВС и /
СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, /
АDF и /
FDВ — углы смежные (черт. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна
2d.

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d
, то второй угол будет равен:

2d
— 3 / 5 d
= l 2 / 5 d
.

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть /
1 = 7 / 8 d
(черт. 76). Смежный с ним /
2 будет равен 2d
— 7 / 8 d
, т. е. 1 1 / 8 d
.

Таким же образом можно вычислить, чему равны /
3 и /
4.
/
3 = 2d
— 1 1 / 8 d
= 7 / 8 d
; /
4 = 2d
— 7 / 8 d
= 1 1 / 8 d
(черт. 77).

Мы видим, что /
1 = /
3 и /
2 = /
4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):

/
a +
/
c
= 2d
;
/
b +
/
c
= 2d
;

(так как сумма смежных углов равна 2d
).

/
a +
/
c
= /
b +
/
c

(так как и левая часть этого равенства равна 2d
, и правая его часть тоже равна 2d
).

В это равенство входит один и тот же угол с
.

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится:
/
a
= /
b
, т. е. вертикальные углы равны между собой.

При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение
вертикальных углов.

Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами
. Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.

В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 /
1, /
2, /
3 и /
4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d
.

На чертеже 80 /
1, /
2, /
3, /
4 и /
5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. /
1 + /
2 + /
3 + /
4 + /
5 = 4d
.

Упражнения.

1. Один из смежных углов равен 0,72 d.
Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.

2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.

3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.

4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?

5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?

6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?

7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?

Что такое смежный угол

Угол
– это геометрическая фигура (рис. 1), образованная двумя лучами OA и OB (стороны угла), исходящими из одной точки O (вершина угла).

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
— два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла.

Смежные углы
— (Agles adjacets) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

рис. 2

На рисунке 2 углы a1b и a2b смежные. У них общая сторона b, а стороны a1, a2 — дополнительные полупрямые.

рис. 3

На рисунке 3 изображена прямая AB, точка C расположена между точками A и B. Точка D — точка не лежащая на прямой AB. Получается, что углы BCD и ACD смежные. У них общая сторона CD, а стороны CA и CB дополнительные полупрямые прямой AB, так как точки A, B разделены начальной точкой C.

Теорема о смежных углах

Теорема:
сумма смежных углов равна 180°

Доказательство:

Углы a1b и a2b смежные (см. рис. 2) Луч b проходит между сторонами a1, и a2 развернутого угла. Следовательно, сумма углов a1b и a2b равна развернутому углу, то есть 180°. Теорема доказана.

Угол, равный 90° называется прямым. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом также прямой угол. Угол, меньший 90° называется острым, а угол больше 90° — тупым. Так как сумма смежных углов равна 180°, значит угол, смежный с острым углом — тупой угол. А угол смежный с тупым углом — острый угол.

Смежные углы
— два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Определение 1.
Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Определение 1.1.
Углом называют фигуру, состоящую из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла.
Например, угол ВОС на рис1 Рассмотрим сначала две пересекающиеся прямые. При пересечении прямые образуют углы. Есть частные случаи:

Определение 2.
Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым.

Определение 3.
Прямой угол — это угол величиной в 90 градусов.

Определение 4.
Угол, меньший 90 градусов, называется острым углом.

Определение 5.
Угол, больший 90 градусов и меньший 180 градусов, называется тупым углом.
пересекающиеся прямые.

Определение 6.
Два угла, одна сторона которых общая, а другие стороны лежат на одной прямой, называются смежными.

Определение 7.
Углы, стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами.
На рисунке 1:
смежные: 1 и 2; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 1
вертикальные: 1 и 3; 2 и 4
Теорема 1.
Сумма смежных углов равна 180 градусов.
Для доказательства рассмотрим на рис. 4 смежные углы АОВ и ВОС. Их суммой является развернутый угол АОС. Поэтому сумма данных смежных углов равна 180 градусов.

рис. 4

Связь математики с музыкой

«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства.»
Г. Нейгауз
Казалось бы, искусство — весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика — самая абстрактная из наук, а музыка — наиболее отвлеченный вид искусства.
Консонанс определяет приятное для слуха звучание струны
В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых — Пифагора и Архита. Вот эти законы:
1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т. е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.
2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .
w = a: l ,
где а — коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

Так же предложу вашему внимаю забавную пародию про спор двух математиков =)

Геометрия вокруг нас

Геометрия в нашей жизни имеет немаловажное значение. Ввиду того, что когда оглядеться вокруг, то не сложно будет заметить, что нас окружают различные геометрические фигуры. Мы с ними сталкиваемся повсюду: на улице, в классе, дома, в парке, в спортивном зале, в школьной столовой, в принципе везде, где бы мы с вами не находились.
Но темой сегодняшнего урока являются смежные угли. Поэтому давайте оглянемся вокруг и попытаемся в этом окружении найти углы. Если вы внимательно посмотрите в окно, то можете увидеть, что некоторые ветки дерева образуют смежные углы, а в перегородках на воротах можно заметить множество вертикальных углов.
Приведите свои примеры смежных углов, которые вы наблюдаете в окружающей обстановке.

Задание 1.

1. Вот на столе на книжной подставке стоит книга. Какой угол она образует?
2. А вот ученик работает за ноутбуком. Какой угол вы видите здесь?
3. Какой угол образует фото рамка на подставке?
4. Как вы думаете, возможно ли, чтобы два смежных угла были равными?

Задание 2.

Перед вами изображена геометрическая фигура. Что это за фигура, назовите ее? А теперь назовите все смежные углы, которые вы можете увидеть на этой геометрической фигуре.

Задание 3.

Перед вами изображение рисунка и картины. Рассмотрите их внимательно и скажите, какие виды улов вы видите на картине, а какие углы на рисунке.

Решение задач

1) Даны два угла, относящиеся друг к другу как 1: 2, а смежные с ними — как 7: 5. Нужно найти эти углы.
2) Известно, что один из смежных углов больше другого в 4 раза. Чему равны смежные углы?
3) Необходимо найти смежные углы, при условии, что один из них на 10 градусов больше от второго.

Математический диктант на повторение ранее выученного материала

1) Выполните рисунок: прямые a I b пересекаются в точке А. Отметьте меньший из образованных углов цифрой 1, а остальные углы – последовательно цифрами 2,3,4; дополняющие лучи прямой а — через а1 и а2, а прямой b — через b1 i b2.
2) Пользуясь выполненным рисунком, впишите нужные значения и объяснения в места пропусков в тексте:
а) угол 1 и угол …. смежные, поскольку…
б) угол 1 и угол …. вертикальные, поскольку…
в) если угол 1 = 60°, то угол 2 = …, потому что…
г) если угол 1 = 60°, то угол 3 = …, потому что…

Решите задачи:

1. Может ли сумма 3-х углов, образованных при пересечении 2-х прямых, равняться 100°? 370°?
2. На рисунке найдите все пары смежных углов. А теперь вертикальных углов. Назовите эти углы.

3. Нужно найти угол, когда он втрое больше, чем смежный с ним.
4. Две прямые пересеклись между собой. В результате этого пересечения образовались четыре угла. Определите величину любого из них, при условии что:

а) сумма 2-х углов из четырех 84°;
б) разность 2-х углов из них равна 45°;
в) один угол в 4 раза меньше чем второй;
г) сумма трех из данных углов равна 290°.

Итог урока

1. назовите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых?
2. Назовите все возможные пары углов, находящихся на рисунке, и определите их вид.

Домашнее задание:

1. Найдите отношение градусных мер смежных углов, когда один из них на 54° больше второго.
2. Найдите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых, при условии, что один из углов равняется сумме 2-х других углов, смежных с ним.
3. Необходимо найти смежные углы, когда биссектриса одного из них образует со стороной второго угол, который больше чем второй угол на 60°.
4. Разница 2-х смежных углов равна трети от суммы этих двух углов. Определите величины 2-х смежных углов.
5. Разница и сумма 2-х смежных углов относятся как 1: 5 соответственно. Найдите смежные углы.
6. Разница двух смежных составляет 25% от их суммы. Как относятся величины 2-х смежных углов? Определите величины 2-х смежных углов.

Вопросы:

1. Что такое угол?
2. Какие бывают типы углов?
3. Какая особенность смежных углов?

Предмети > Математика > Математика 7 класс

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (рис. 72): ∠АВС и ∠СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие, АВ и ВD, составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.

Например, ∠АDF и ∠FDВ — углы смежные (рис. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (рис. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 180°

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 54°, то второй угол будет равен:

180° — 54° = l26°.

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На рисунке 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть ∠1 = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°(рис. 76). Смежный с ним ∠2 будет равен 180° — \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°, т. е. 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90°.

Таким же образом можно вычислить, чему равны ∠3 и ∠4.

∠3 = 180° — 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° — \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90° = 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° (рис. 77).

Мы видим, что ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (рис. 78):

∠a +
∠c
= 180°;

∠b +
∠c
= 180°;

(так как сумма смежных углов равна 180°).

∠a +
∠c
= ∠b +
∠c

(так как и левая часть этого равенства равна 180°, и правая его часть тоже равна 180°).

В это равенство входит один и тот же угол с
.

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится:
∠a
= ∠b
, т. е. вертикальные углы равны между собой.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

На чертеже 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 и ∠5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Другие материалы

Начальные сведения об углах

Пусть нам даны два произвольных луча. Наложим их начала друг на друга. Тогда

Определение 1

Углом будем называть два луча, которые имеют одно и тоже начало.

Определение 2

Точка, которая является началом лучей в рамках определения 3, называется вершиной этого угла.

Угол будем обозначать следующими тремя её точками: вершиной, точкой на одном из лучей и точкой на другом луче, причем вершина угла записывается в середине его обозначения (рис. 1).

Определим теперь, что такое величина угла.

Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» угол, который мы будем принимать за единицу. Чаще всего таким углом является угол, который равен $\frac{1}{180}$ части развернутого угла. 0$.

Вертикальные углы

Рассмотрим развернутые углы $AOB$ и $MOC$. Совместим их вершины между собой (то есть наложим точку $O»$ на точку $O$) так, чтобы никакие стороны этих углов не совпали. Тогда

Определение 8

Два угла будем называть вертикальными, если пары их сторон являются развернутыми углами, а их величины совпадают (рис. 3).

В данном случае углы $MOA$ и $BOC$ являются вертикальными и углы $MOB$ и $AOC$ также вертикальные.

Теорема 2

Вертикальные углы равняются между собой.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 3. Докажем, к примеру, что угол $MOA$ равняется углу $BOC$.

Два угла размещнные на одной прямой и имеющие одну вершину называются смежными.

Иначе — если сумма двух углов на одной прямой равна 180 градусам и одна сторона у них общая, то это смежные углы.

1 смежный угол + 1 смежный угол = 180 градусов.

Смежные углы -это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны в целом образуют прямую линию.

Сумма двух смежных углов всегда равна 180 градусам. К примеру, если один угол 60 градусов, то второй обязательно будет равен 120 градусам (180-60).

Углы АОС и ВОС являются смежными углами, потому что соблюдается все условия характеристики смежных углов:

1.ОС -общая сторона двух углов

2.АО -сторона угла АОС, ОВ -сторона угла ВОС. Вместе эти стороны образуют прямую линию АОВ.

3.Угла два и сумма их равна 180 градусов.

Вспоминая школьный курс геометрии, про смежные углы мы можем сказать следующее:

у смежных углов — одна сторона общая, а другие две стороны принадлежат одной прямой, то есть находятся на одной прямой. Если по рисунку, то углы СОВ и ВОА — это смежные углы, сумма которых всегда равна 180 , так как они разделяют развернутый угол, а развернутый угол всегда равен 180 .

Смежные углы понятие легкое в геометрии. Смежные углы, угол плюс угол дают 180 градусов в общей сумме.

Два смежных угла — это будет один развернутый угол.

Есть еще несколько свойств. Со смежными углами задачи решать и теоремы доказывать легко.

Смежные углы образуются при проведении луча из произвольной точки прямой. Тогда эта произвольная точка оказывается вершиной угла, луч — общей стороной смежных углов, а прямая от которой проведен луч — двумя оставшимися сторонами смежных углов. Смежные углы могут быть как одинаковыми в случае перпендикуляра, так и отличатся при наклонном луче. Легко понять, что сумма смежных углов равна 180 градусов или попросту прямой линии. По другому этот угол можно объяснить простым примером — вы сперва шли в одном направлении по прямой, потом передумали, решили вернуться назад и развернувшись на 180 градусов отправились по той же прямой в обратном направлении.

Итак, что же такое смежный угол? Определение:

Смежными называются два угла с общей вершиной и одной общей стороной, причем две другие стороны этих углов лежат на одной прямой.

И небольшой видео урок, где толково показано про смежные углы, вертикальные углы, плюс про перпендикулярные прямые, которые являются частным случаем смежных и вертикальных углов

Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а вторая является одной линией.

Смежные углы — это углы, зависящие друг от друга. То есть если общую строну слегка повернуть, то один угол уменьшится на сколько-то градусов и автоматически второй угол увеличится на столько же градусов. Это свойство смежных углов позволяет в Геометрии решать различные задачи и осуществлять доказательства различных теорем.

Общая же сумма смежных углов всегда равна 180 градусов.

Из курса геометрии, (насколько я помню за 6 класс) смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами, сумма смежных углов равна 180. Каждый из двух смежных углов, дополняет другой до развернутого угла. Пример смежных углов:

Смежные углы это два угла с общей вершиной, одна из сторон которых общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна ста восьмидесяти градусам. А вообще все это очень легко находится в гугле или учебнике геометрии.

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые [wiki.eduVdom.com]

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Рис.1

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Рис.2

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1
∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рис.3

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рис.4

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Рис.5

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x, тогда согласно теореме 1.

44° + х = 180°.

Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.

∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.

Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол
АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1

∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

Смежные и вертикальные углы | Геометрия

Смежные углы

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Следовательно, два смежных угла составляют развёрнутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны (только в том случае, когда смежные углы не равны).

∠ABD  и  ∠DBC  — это смежные углы,  AC  — прямая, луч  BD  — общая сторона углов и наклонная к прямой  AC,  ∠ABC  — развёрнутый угол,  B  — основание наклонной.

Чтобы построить угол, смежный с данным углом, нужно одну из сторон угла продлить за вершину:

Сумма смежных углов

Любые два смежных угла составляют в сумме развёрнутый угол. Развёрнутый угол равен двум прямым углам, поэтому можно сказать, что сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.

∠ABD + ∠DBC = 2d,

где  d  — это обозначение прямого угла  (d = 90°).

Вертикальные углы

Вертикальные углы — это пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла. Пересечение двух прямых линий образует две пары вертикальных углов:

∠AOB  и  ∠COD,  а также  ∠AOD  и  ∠BOC  — вертикальные углы.

Равенство вертикальных углов

Вертикальные углы равны между собой. Рассмотрим вертикальные углы  1  и  3:

Сумма  ∠1  и  ∠2  равна развёрнутому углу  (180°).  Сумма  ∠2  и  ∠3  тоже равна развёрнутому углу  (180°).  Значит:

∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3

Следовательно,  ∠1 = ∠3.  Равенство вертикальных углов доказано.

Как понять смежные углы. Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (рис. 72): ∠АВС и ∠СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие, АВ и ВD, составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.

Например, ∠АDF и ∠FDВ — углы смежные (рис. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (рис. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 180°

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 54°, то второй угол будет равен:

180° — 54° = l26°.

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На рисунке 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть ∠1 = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°(рис. 76). Смежный с ним ∠2 будет равен 180° — \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°, т. е. 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90°.

Таким же образом можно вычислить, чему равны ∠3 и ∠4.

∠3 = 180° — 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° — \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90° = 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° (рис. 77).

Мы видим, что ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (рис. 78):

∠a +
∠c
= 180°;

∠b +
∠c
= 180°;

(так как сумма смежных углов равна 180°).

∠a +
∠c
= ∠b +
∠c

(так как и левая часть этого равенства равна 180°, и правая его часть тоже равна 180°).

В это равенство входит один и тот же угол с
.

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится:
∠a
= ∠b
, т. е. вертикальные углы равны между собой.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

На чертеже 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 и ∠5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Другие материалы

Геометрия — это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.

Смежные и вертикальные углы — это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.

Образование углов

Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.

Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.

Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.

Тупым является угол, превышающий 90 градусов.

Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.

В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.

Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:

1. Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
2. Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.

Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.

Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.

При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.

Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.

Углы, у которых одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (на рис. углы 1 и 2 смежные). Рис. к ст. Смежные углы … Большая советская энциклопедия

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
— углы, имеющие общую вершину и одну общую сторону, а две др. их стороны лежат на одной прямой … Большая политехническая энциклопедия

См. Угол … Большой Энциклопедический словарь

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла … Научно-технический энциклопедический словарь

См. Угол. * * * СМЕЖНЫЕ УГЛЫ СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, см. Угол (см. УГОЛ) … Энциклопедический словарь

— (Angles adjacents) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие С. углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через вершину … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

См. Угол … Естествознание. Энциклопедический словарь

Две прямые пересекаются, создавая пару вертикальных углов. Одна пара состоит из углов A и B, другая из C и D. В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух … Википедия

Пара комплементарных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Комплементарные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два комплементарных угла являются соседними (т.е. имеют общую вершину и разделяются только… … Википедия

Пара дополнительных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Дополнительные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два дополнительных угла являются с … Википедия

Книги

• О доказательстве в геометрии , Фетисов А.И.. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand.
  Однажды, в самом начале учебного года, мне пришлось услышать разговор двух девочек. Старшая из них…
• Комплексная тетрадь для контроля знаний. Геометрия. 7 класс. ФГОС , Бабенко Светлана Павловна, Маркова Ирина Сергеевна. В пособии представлены контрольно-измерительные материалы (КИМы) по геометрии для проведения текущего, тематического и итогового контроля качества знаний учащихся 7 класса. Содержание пособия…

Как найти смежный угол?

Математика — древнейшая точная наука, которую в обязательном порядке изучают в школах, колледжах, институтах и университетах. Однако, базовые знания всегда закладываются еще в школе. Порой, ребенку задают достаточно сложные задания, а родители не в силах помочь, потому что просто забыли некоторые вещи из математики. Например, как найти смежный угол по величине основного угла и т.п. Задача проста, но может вызвать затруднения при решении из-за незнания того, какие углы называются смежными и как их найти.

Рассмотрим подробнее определение и свойства смежных углов, а также как их вычислить по данным в задаче.

Определение и свойства смежных углов

Два луча, исходящие из одной точки образуют фигуру под названием «плоский угол». При этом эта точка именуется вершиной угла, а лучи являются его сторонами. Если продолжить один из лучей дальше начальной точки по прямой, то образуется еще один угол, который и называется смежным. У каждого угла в этом случае есть два смежных угла, так как стороны угла равнозначны. То есть всегда присутствует еще смежный угол в 180 градусов.

К основным свойствам смежных углов относят

• Смежные углы имеют общую вершину и одну сторону;
• Сумма смежных углов равна всегда 180 градусам или числу Пи, если вычисление ведется в радианах;
• Синусы смежных углов всегда равны;
• Косинусы и тангенсы смежных углов равны, но имеют противоположные знаки.

Как найти смежные углы

Обычно даются три вариации задач на нахождение величины смежных углов

• Дана величина основного угла;
• Дано соотношение основного и смежного угла;
• Дана величина вертикального угла.

Каждый вариант задачи имеет свое решение. Рассмотрим их.

Дана величина основного угла

Если в задаче указана величина основного угла, то найти смежный угол очень просто. Для этого достаточно из 180 градусов вычесть величину основного угла, и вы получите величину смежного угла. Данное решение исходит из свойства смежного угла — сумма смежных углов равна всегда 180 градусам.

Если же величина основного угла дана в радианах и в задаче требуется найти смежный угол в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину основного угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.

Дано соотношение основного и смежного угла

В задаче может быть дано соотношение основного и смежного угла вместо градусов и радиан величины основного угла. В этом случае решение будет выглядеть, как уравнение пропорции:

1. Обозначаем долю пропорции основного угла, как переменную «Y».
2. Долю относящуюся к смежному углу обозначаем, как переменную «Х».
3. Количество градусов, которые приходятся на каждую пропорцию, обозначим, например, «a».
4. Общая формула будет выглядеть так — a*X+a*Y=180 или a*(X+Y)=180.
5. Находим общий множитель уравнения «a» по формуле a=180/(X+Y).
6. Затем полученное значение общего множителя «а» умножаем на долю угла, который необходимо определить.

Таким образом мы можем найти величину смежного угла в градусах. Однако, если необходимо найти величину в радианах, то нужно просто перевести градусы в радианы. Для этого умножаем угол в градусах на число Пи и делим все на 180 градусов. Полученное значение будет в радианах.

Дана величина вертикального угла

Если в задаче не дана величина основного угла, но дана величина вертикального угла, то вычислить смежный угол можно по такой же формуле, что и в первом пункте, где дана величина основного угла.

Вертикальный угол — это угол, который исходит из той же точки, что и основной, но при этом он направлен в строго противоположном направлении. Тем самым получается зеркальное отражение. Это значит, что вертикальный угол по величине равен основному. В свою очередь, смежный угол вертикального угла равен смежному углу основного угла. Благодаря этому можно вычислить смежный угол основного угла. Для этого просто вычитаем из 180 градусов величину вертикального и получаем значение смежного угла основного угла в градусах.

Если же величина дана в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину вертикального угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.

Также вы можете прочесть наши полезные статьи и .

Вопрос 1.
Какие углы называются смежными?
Ответ.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a 1 b) и (a 2 b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a 1 и a 2 являются дополнительными полупрямыми.

Вопрос 2.
Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
Ответ.
Теорема 2.1.
Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство.
Пусть угол (a 1 b) и угол (a 2 b) — данные смежные углы (см. рис.31). Луч b проходит между сторонами a 1 и a 2 развёрнутого угла. Поэтому сумма углов (a 1 b) и (a 2 b) равна развёрнутому углу, т. е. 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 3.
Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ.

Из теоремы 2.1
следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Допустим, углы (a 1 b) и (c 1 d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a 2 b) и (c 2 d) тоже равны.
Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a 1 b + a 2 b = 180° и c 1 d + c 2 d = 180°. Отсюда, a 2 b = 180° — a 1 b и c 2 d = 180° — c 1 d. Так как углы (a 1 b) и (c 1 d) равны, то мы получаем, что a 2 b = 180° — a 1 b = c 2 d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a 2 b = c 2 d. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4.
Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ.
Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Угол, меньший 90°, называется острым углом.
Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Вопрос 5.
Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
Ответ.
Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол: x + 90° = 180°, x= 180° — 90°, x = 90°.

Вопрос 6.
Какие углы называются вертикальными?
Ответ.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вопрос 7.
Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ. Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство.
Пусть (a 1 b 1) и (a 2 b 2)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a 1 b 2) является смежным с углом (a 1 b 1) и с углом (a 2 b 2). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a 1 b 1) и (a 2 b 2) дополняет угол (a 1 b 2) до 180°, т.е. углы (a 1 b 1) и (a 2 b 2) равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 8.
Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ.
Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.

Вопрос 9.
Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
Ответ.
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Перпендикулярность прямых обозначается знаком \(\perp\). Запись \(a\perp b\) читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».

Вопрос 10.
Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Ответ. Теорема 2.3.
Через каждую прямую можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство.
Пусть a — данная прямая и A — данная точка на ней. Обозначим через a 1 одну из полупрямых прямой a с начальной точкой A (рис. 38). Отложим от полупрямой a 1 угол (a 1 b 1), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч b 1 , будет перпендикулярна прямой a.

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c 1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b 1 .
Углы (a 1 b 1) и (a 1 c 1), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a 1 . Но от полупрямой a 1 в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.

Вопрос 11.
Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ.
Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием
перпендикуляра.

Вопрос 12.
Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ.
Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы cначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Вопрос 13.
Что называется биссектрисой угла?
Ответ.
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

Перпендикулярные прямые. Смежные и вертикальные углы

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

1. Проект на тему:

«Смежные и вертикальные углы.
Перпендикулярные прямые»
Руководитель проекта Ольхова З.В.

2. Работу выполнили учащиеся 7 класса

Состав группы:
• 1. Аникина Виктория
• 2. Бражникова Дарья
• 3.Муха Ульяна
• 4. Попова Александра
• 5. Руткунайте Лаурита
• 6.Трусова Алёна
• 7. Терентьева Валентина
Два угла, у которых одна сторона общая, а
две другие являются продолжениями одна
другой, называются смежными углами.

4. Свойство смежных углов

Сумма
смежных углов равна 180°.
Вертикальные углы –это два угла,у которых
стороны первого являются продолжением
сторон второго.

6. Свойство вертикальных углов

Вертикальные углы равны
Две пересекающиеся прямые называются
перпендикулярными (взаимно
перпендикулярными), если они образуют
четыре прямых угла
Свойство перпендикулярных прямых
Две прямые, перпендикулярные третьей, не
пересекаются (параллельны).
Доказательство в учебнике на стр. 23(авт.
Атанасян Л.С., 2010г)
В основу доказательства этого факта
положен метод «от противного»:
1. Предполагаем противоположное тому,
что нужно доказать
2.Проводим рассуждения в рамках
предположения
3. Получаем противоречие с условием или
ранее доказанным геометрическим
утверждением (фактом).
4.Вывод о неверности нашего
предположения и истинности
доказавемого утверждение
Для построения прямых углов на
местности применяют специальные
приборы, простейшим из которых
является экер.
В геодезии для построения прямых углов
используют более совершенные приборы,
например теодолит.

12. Пример задачи

Найдите смежные углы 1 и 2, если:
1) угол 1 меньше угла 2 на 40°;
2) угол 1 больше угла 2 в 3 раза;
1: 2=5:4

13. Решение:

1)Для решения 1-й задачи применим
метод «уравнивания». Зная, что
сумма смежных улов равна 180°,
найдем 1=(180°-40°):2=70°,
2=70°+40°=110°;
2-ю задачу решим «по частям»: 1-1 ч.
2- 3 части. По св-ву смежных углов:
1=180°:(1+3)=45°, 2= 3•45°=135°
3-я задача решается аналогично:
180°:(5+4)=20°-1 часть, тогда
1=5•20°=100°, 2=4•20°=80°
Хорошей учёбы!

Уголки по прямой | Геометрия прямых

В этой главе вы
исследовать отношения между парами углов, которые
создается, когда прямые линии пересекаются (встречаются или пересекаются). Ты сможешь
исследуйте пары углов, образованных перпендикулярными
линиями, любыми двумя пересекающимися линиями и третьей линией, которая
разрезает две параллельные линии. Вы поймете, что такое
означает вертикально противоположные углы, соответствующие углы,
чередующиеся углы и внутренние углы.Вы сможете
определить различные пары углов, а затем использовать свои знания, чтобы
поможет вам решить неизвестные углы в геометрических фигурах.

Уголки на прямой

Сумма углов прямой

На рисунках ниже каждый угол
присвоена метка от 1 до 5.

1. Используйте транспортир, чтобы
   Измерьте размеры всех углов на каждой фигуре. Напиши свой
   ответы на каждую цифру.{\ circ} \)

   ---

Сумма углов, которые
образуется по прямой, равной 180 °. (Мы
можно сократить это свойство как: \ (\ angle \) s на
прямая линия.)

Два угла, сумма которых составляет 180 °, также являются
называется дополнительными углами , например \ (\ hat {1} + \ hat {2} \).

Углы, имеющие общую вершину и общую сторону, равны
Говорят, что это смежный .Таким образом, \ (\ hat {1} + \ hat {2} \) также являются
называется дополнительными смежными углами .

Когда две строки
перпендикулярны, их смежные дополнительные углы каждый
равняется 90 °.

На рисунке ниже DC A и DC B
смежные дополнительные углы, потому что они
рядом друг с другом (рядом), и они в сумме составляют
180 ° (дополнительно).

Нахождение неизвестных углов на прямых

Определите размеры неизвестного
углы ниже.{\ circ} \\ & = \ text {______} \ end {align} \)

Поиск новых неизвестных углов на прямых

1. Рассчитать размер
   из:
   1. \ (х \)
      

      ---

   2. \ (\ hat {ECB} \)
      

      ---

2. Рассчитать размер
   из:
   1. \ (м \)
      

      ---

   2. \ (\ hat {SQR} \)
      

      ---

3. Рассчитать размер
   из:
   1. \ (х \)
      

      ---

   2. \ (\ hat {HEF} \)
      

      ---

4. Рассчитать размер
   из:
   1. \ (к \)
      

      ---

   2. \ (\ hat {TYP} \)
      

      ---

5. Рассчитать размер
   из:
   1. \ (п \)
      

      ---

   2. \ (\ hat {JKR} \)
      

      ---

Вертикально противоположные углы

Что такое вертикально противоположные углы?

1. Используйте транспортир, чтобы
   Измерьте размеры всех углов на рисунке.Напиши свой
   ответы по фигуре.

2. Уведомление
   какие углы равны и как эти равные углы
   сформирован.

Вертикально напротив
углы ( верт. опп. \ (\ angle \) s )
— углы, противоположные друг другу, когда две линии
пересекаются.

Вертикально противоположные углы всегда равны .

Нахождение неизвестных углов

Рассчитайте размеры неизвестного
углы на следующих рисунках.{\ circ} && \\ & = \ text {______} \\ \\ z & = \ text {______} && [\ text {vert. опп.} \ angle \ text {s}] \ end {align} \)

Уравнения с вертикально противоположными углами

Вертикально противоположные углы всегда
равный.{\ circ} \\ & = \ text {______} \ end {align} \)

Линии, пересекаемые трансверсалью

Пары углов, образованные трансверсалью

Поперечная — это линия,
пересекает как минимум две другие линии.

Когда трансверсаль пересекает два
линий, мы можем сравнить наборы углов на двух линиях на
глядя на их позиции.

Углы, лежащие на одной стороне
поперечины и находятся в совпадающих положениях, называются
соответствующие углы ( корр. \ (\ угол \) с ). В
на рисунке это соответствующие углы:

• \ (а \)
  и \ (e \)
• \ (б \)
  и \ (f \)
• \ (d \)
  и \ (h \)
• \ (c \) и \ (g \).

1. На рисунке,
   \ (a \) и \ (e \) оба лежат слева от трансверсали и
   над чертой.

   Запишите расположение следующих углов.Первый сделан для тебя.

   \ (b \) и \ (f \): справа от поперечной и над строками

   ---

   \ (d \) и \ (h \):

   ---

   \ (c \) и \ (g \):

   ---

Альтернативные углы
( alt. \ (\ angle \) s ) ложь
на противоположных сторонах поперечной, но не смежные и
вертикально напротив. Когда чередующиеся углы лежат между
две линии, они называются альтернативными внутренними углами .В
на рисунке это альтернативные внутренние углы:

• \ (г \)
  и \ (f \)
• \ (с \)
  и \ (e \)

Когда чередующиеся углы лежат снаружи
из двух линий они называются альтернативный экстерьер.
углы . На рисунке это альтернативный экстерьер.
углы:

• \ (а \)
  и \ (g \)
• \ (б \)
  и \ (h \)

2. Запишите расположение следующих альтернативных углов:

   \ (d \) и \ (f \):

   ---

   \ (c \) и \ (e \):

   ---

   \ (а \) и \ (г \):

   ---

   \ (b \) и \ (h \):

   ---

Уголки внутренние
( совм. \ (\ угол \) с )
лежать на одной стороне поперечной и между двумя
линий. На рисунке это общие внутренние углы:

• \ (с \)
  и \ (f \)
• \ (d \)
  и \ (e \)

3. Запишите расположение следующего совместного интерьера
   углы:

   \ (d \) и \ (e \):

   ---

   \ (c \) и \ (f \):

   ---

Обозначение углов

Две прямые пересекаются
поперечный, как показано ниже.

Запишите следующие пары
углы:

1. две пары соответствующих
   углы:

   ---

2. две пары альтернативных
   внутренние углы:

   ---

3. две пары альтернативных
   внешние углы:

   ---

4. две пары совмещенных салонов
   углы:

   ---

5. две пары вертикально
   противоположные углы:

   ---

Параллельные прямые, пересекаемые трансверсалью

Размеры исследовательского уголка

На рисунке внизу слева EF — это
трансверсально к AB и CD.На рисунке внизу справа PQ — это
трансверсально параллельным прямым JK и LM.

1. Используйте транспортир, чтобы
   Измерьте размеры всех углов на каждой фигуре. Написать
   замеры на рисунках.
2. Используйте свои измерения, чтобы
   заполните следующую таблицу.

   Corr.\ (\ угол \) с	\ (\ hat {1} = \ text {_______}; ~ \ hat {5} = \ text {_______} \) \ (\ hat {4} = \ text {_______}; ~ \ hat {8} = \ text {_______} \) \ (\ hat {2} = \ text {_______}; ~ \ hat {4} = \ text {_______} \) \ (\ hat {3} = \ text {_______}; ~ \ hat {7} = \ text {_______} \)	\ (\ hat {9} = \ text {_______}; ~ \ hat {13} = \ text {_______} \) \ (\ hat {12} = \ text {_______}; ~ \ hat {16} = \ text {_______} \) \ (\ hat {10} = \ text {_______}; ~ \ hat {14} = \ text {_______} \) \ (\ hat {11} = \ text {_______}; ~ \ hat {15} = \ text {_______} \)
   Доп.внутр. \ (\ angle \) s	\ (\ hat {4} = \ text {_______}; ~ \ hat {6} = \ text {_______} \) \ (\ hat {3} = \ text {_______}; ~ \ hat {5} = \ text {_______} \)	\ (\ hat {12} = \ text {_______}; ~ \ hat {14} = \ text {_______} \) \ (\ hat {11} = \ text {_______}; ~ \ hat {13} = \ text {_______} \)
   Доп.доб. \ (\ angle \) s	\ (\ hat {1} = \ text {_______}; ~ \ hat {7} = \ text {_______} \) \ (\ hat {2} = \ text {_______}; ~ \ hat {8} = \ text {_______} \)	\ (\ hat {9} = \ text {_______}; ~ \ hat {15} = \ text {_______} \) \ (\ hat {10} = \ text {_______}; ~ \ hat {16} = \ text {_______} \)
   Co-int.\ (\ угол \) с	\ (\ hat {4} + \ hat {5} = \ text {_______} \) \ (\ hat {3} + \ hat {6} = \ text {_______} \)	\ (\ hat {12} + \ hat {13} = \ text {_______} \) \ (\ hat {11} + \ hat {14} = \ text {_______} \)

3. Посмотрите на ваш завершенный
   таблица, о которой идет речь 2.Что вы заметили в образованных углах
   когда трансверсаль пересекает параллельные прямые?

   ---

Когда линии
параллельно:

• соответствующие углы равны
• альтернативные внутренние углы равны
• альтернативные внешние углы равны
• Общие внутренние углы в сумме составляют 180 °

Обозначение углов на параллельных линиях

1. Заполните соответствующий
   углы к указанным.

2. Заполнить альтернативный экстерьер
   углы.

3. 1. Заполнить альтернативный интерьер
      углы.
   2. Обведите две пары внутренней части
      углы на каждом рисунке.
4. 1. Без замера заполнить все
      углы на следующих рисунках равны \ (x \) и
      \ (у \).
   2. Объясните причины каждого \ (x \)
      и \ (y \), которые вы заполнили своему партнеру.

      ---

5. Укажите значение \ (x \) и
   \ (y \) ниже.

   ---

Нахождение неизвестных углов на параллельных прямых

Разработка неизвестных углов

Определите размеры неизвестного
углы. Обоснуйте свои ответы.{\ circ} && [\ angle \ text {s на прямой}] \ end {align} \)

Добавочный номер

Два угла в
следующая диаграмма обозначена как \ (x \) и \ (y \).
Заполните все углы, равные \ (x \) и \ (y \).

Сумма углов четырехугольника

На приведенной ниже диаграмме
предыдущая диаграмма.

1. Что за четырехугольник
   на схеме? Обоснуйте свой ответ.{\ circ} \)

   ---

   Вы можете придумать другой способ
   используйте диаграмму выше, чтобы вычислить сумму углов в
   четырехугольник?

Решение других геометрических задач

Угловые отношения на параллельных прямых

1. Рассчитайте размеры от \ (\ hat {1} \) до \ (\ hat {7} \).

   ---

2. Рассчитать размеры
   \ (x, ~ y \) и \ (z \).

   ---

3. Рассчитать размеры
   \ (a, ~ b, ~ c \) и \ (d \).

   ---

4. Рассчитать размер
   \(Икс\).

   ---

5. Рассчитать размер
   \(Икс\).

   ---

6. Рассчитайте размер \ (x \).

   ---

7. Рассчитать размеры
   \ (a \) и \ (\ hat {CEP} \).

   ---

Включая свойства треугольников и четырехугольников

1. Рассчитайте размеры от \ (\ hat {1} \) до \ (\ hat {6} \).

   ---

2. РГТУ — трапеция.
   Вычислите размеры \ (\ hat {T} \) и \ (\ hat {R} \).

3. JKLM — ромб.
   Рассчитайте размеры \ (\ hat {JML}, \ hat {M_2} \) и \ (\ hat {K_1} \).

4. ABCD — это
   параллелограмм. Рассчитайте размеры \ (\ hat {ADB}, \ hat {ABD}, \ hat {C} \) и \ (\ hat {DBC} \)

1. Посмотрите на рисунок ниже. Имя
   предметы, перечисленные рядом.
   1. пара вертикально
      противоположные углы

      ---

   2. пара соответствующих
      углы

      ---

   3. пара альтернативных
      внутренние углы

      ---

   4. пара совместно интерьер
      углы

      ---

2. На схеме AB \ (\ parallel \) CD.{\ circ} \).

   Рассчитайте значение \ (x \). Объясните причины для вашего
   ответы.

   ---

Две прямые, расположенные на одной прямой друг с другом. Евклид I. 13, 14.

Пары уголков | Решенные примеры

Когда углы появляются группами по два для отображения определенного геометрического свойства, они называются парами углов. Между парами углов существует особая связь. Некоторые из пар углов включают дополнительные углы, дополнительные углы, вертикальные углы, альтернативные внутренние углы, альтернативные внешние углы, соответствующие углы, смежные углы. В этой статье мы прочитаем о разных парах углов с помощью инфографических изображений и интересных решаемых примеров.

Пара линейных углов

Когда две прямые пересекаются друг с другом, смежные углы образуют линейную пару. Сумма линейных пар составляет 180 °. Следует отметить, что все линейные пары являются дополнительными, поскольку сумма дополнительных углов составляет 180 °. Однако все дополнительные углы не обязательно должны быть линейными парами, потому что в линейных парах линии должны пересекаться друг с другом для образования смежных углов. На следующем рисунке ∠1 и ∠2 образуют линейную пару, а их сумма равна 180 °.

Прилегающие углы

Любые два угла, которые имеют общую сторону, общую вершину и не перекрываются, называются смежными углами. На следующем рисунке ∠1 и ∠2 — смежные углы.

Вертикальные углы

Когда две прямые пересекаются, противоположные друг другу углы равны и называются вертикальными углами или вертикально противоположными углами. На следующем рисунке 1 и ∠2 равны, а ∠3 и ∠4 равны, потому что их углы противоположны по вертикали.

Дополнительные уголки

Когда сумма двух углов составляет 90 °, эти углы называются дополнительными углами. Каждый угол называется дополнением другого угла. На приведенном ниже рисунке ∠AOB + ∠BOC = 90 ° ⇒ 20 ° + 70 ° = 90 °.
Таким образом, AOB и ∠BOC — дополнительные углы.

Дополнительные уголки

Два угла считаются дополнительными, если их сумма составляет 180 °. Необязательно, чтобы углы всегда примыкали друг к другу, как в случае линейных пар.Другими словами, все линейные пары являются дополнительными, но все дополнительные углы не обязательно должны быть линейными парами. Однако сумма углов в обоих случаях всегда должна составлять 180 °. Когда два угла являются дополнительными, каждый угол называется добавлением другого угла.

∠BOC + ∠BOA = 180 °

∠ABC + ∠PQR = 180 °

Пары углов, образованные поперечным углом

Когда 2 параллельные линии пересекаются поперечником, образуется много пар углов.Эти пары углов имеют между собой особые отношения. Обсудим подробно пары углов, образованных трансверсалью.

Уголки внутренние

Когда трансверсаль пересекает две параллельные прямые, совпадающие внутренние углы всегда являются дополнительными. Ко-внутренние углы — это те углы, которые:

• Имеют разные вершины.
• Лягте между двумя линиями.
• Находятся с одной стороны с поперечным.

На следующем рисунке ∠3 и ∠6 являются внутренними углами.Аналогично, 4 и ∠5 — внутренние углы. Следовательно, они являются дополнительными.

Альтернативные внутренние углы

Когда трансверсаль пересекает две параллельные прямые, образующиеся чередующиеся внутренние углы всегда равны. Альтернативные внутренние углы — это те углы, которые:

• Имеют разные вершины.
• Лягте по разные стороны поперечного сечения.
• Находится между двумя линиями внутри.

На следующем рисунке ∠4 и ∠6, ∠3 и ∠5 — альтернативные внутренние углы.

Альтернативные внешние углы

Когда трансверсаль пересекает две параллельные прямые, образующиеся чередующиеся внешние углы всегда равны. Альтернативно-внешние углы — это те углы, которые:

• Имеют разные вершины.
• Лягте по разные стороны поперечного сечения.
• Внешние по отношению к линиям.

На следующем рисунке ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8 — альтернативные внешние углы.

Соответствующие углы

Когда трансверсаль пересекает две параллельные прямые, соответствующие углы всегда равны.Соответствующие углы — это углы, которые:

• Имеют разные вершины.
• Лягте на той же стороне поперечного, и лежите выше (или ниже) линий

На следующем рисунке ∠1 и ∠2 — это пары соответствующих углов, которые равны.

Важные примечания

Прочтите следующие пункты, чтобы преодолеть некоторые типичные ошибки и узнать реальные факты, стоящие за ними.

• Ошибка: Дополнительные углы должны располагаться рядом друг с другом.
• Факт: Когда сумма двух углов равна 90 °, эти углы называются дополнительными углами. Эти углы не обязательно должны располагаться рядом друг с другом, но их сумма должна составлять 90 °.
• Ошибка: Любые углы, расположенные рядом друг с другом, являются смежными углами.
• Факт: Чтобы углы были смежными, они должны иметь общую сторону и вершину.
• Ошибка: Все дополнительные углы являются линейными парами.
• Факт: Все линейные пары являются дополнительными, но все дополнительные углы не обязательно должны быть линейными парами.Однако сумма углов в обоих случаях всегда должна составлять 180 °.

Статьи по теме о парах углов

Ниже приведен список тем, которые тесно связаны с парами углов. Эти темы также дадут вам представление о том, как такие концепции рассматриваются в Cuemath.

Часто задаваемые вопросы о парах углов

Сколько всего пар углов?

Ниже перечислены девять пар углов:

• Альтернативные внутренние углы
• Альтернативные внешние углы
• Внутренний угол
• Дополнительные уголки
• Дополнительные уголки
• Прилегающие углы
• Вертикальные углы
• Соответствующие углы
• Пара линейных углов

Сколько пар углов является дополнительным?

Два угла считаются дополнительными, если их сумма составляет 180 °.Необязательно, чтобы углы всегда прилегали друг к другу, но их сумма всегда должна составлять 180 °. Когда два угла являются дополнительными, каждый угол называется добавлением другого угла.

Какие пары углов всегда смежны?

Когда два угла имеют общую сторону, общую вершину и не перекрываются, то пары углов всегда являются смежными углами.

Что такое линейные пары углов?

Когда две прямые пересекаются друг с другом, смежные углы образуют линейную пару.Сумма линейных пар составляет 180 °. Следует отметить, что все линейные пары являются дополнительными, поскольку сумма дополнительных углов составляет 180 °.

Какая пара углов является альтернативными внутренними углами?

Когда две параллельные прямые пересекаются поперечником, тогда образуются чередующиеся внутренние углы. Эти альтернативные внутренние углы имеют разные вершины, они лежат на разных сторонах трансверсали и находятся между внутренней частью двух линий.

Как решить линейные пары углов?

Когда два угла образуют линейную пару и дано измерение одного угла, тогда легко найти значение другого угла, используя свойство линейных пар углов.Вычитая данный угол из 180 °, мы получаем значение другого угла.

линий и углов — определения и свойства | Учебник по геометрии

Вот несколько основных определений и свойств линий и углов в геометрии. Эти концепции проверяются на многих конкурсных вступительных экзаменах, таких как GMAT, GRE, CAT.

Линейный сегмент : Линейный сегмент имеет две конечные точки определенной длины.

Луч : луч имеет одну конечную точку и бесконечно проходит в одном направлении.

Прямая : прямая линия не имеет ни начальной, ни конечной точки и имеет бесконечную длину.

Острый угол : Угол между 0 ° и 90 ° является острым углом, ∠A на рисунке ниже.

Тупой угол : Угол между 90 ° и 180 ° является тупым углом ∠B, как показано ниже.

Прямой угол : Угол 90 ° является прямым углом isC, как показано ниже.

Прямой угол : Угол, равный 180 °, является прямым углом, ∠AOB на рисунке ниже.

Дополнительные уголки :

На рисунке выше AOC + ∠COB = ∠AOB = 180 °

Если сумма двух углов составляет 180 °, эти углы называются дополнительными углами.

Два прямых угла всегда дополняют друг друга.

Пара смежных углов, сумма которых равна прямому углу, называется линейной парой.

Дополнительные уголки :

∠COA + ∠AOB = 90 °

Если сумма двух углов составляет 90 °, то эти два угла называются дополнительными углами.

Соседние углы :

Углы, которые имеют общее плечо и общую вершину, называются смежными углами.

На рисунке выше ∠BOA и ∠AOC являются смежными углами. Их общая рука — OA, а общая вершина — «O».

Вертикально противоположные углы :

Когда две прямые пересекаются, углы, образованные противоположно друг другу в точке пересечения (вершине), называются вертикально противоположными углами.

На рисунке выше

x и y — две пересекающиеся линии.

∠A и ∠C составляют одну пару вертикально противоположных углов, а

∠B и ∠D образуют еще одну пару вертикально противоположных углов.

Перпендикулярные линии: Когда есть прямой угол между двумя линиями, считается, что линии перпендикулярны друг другу.

Здесь прямые OA и OB перпендикулярны друг другу.

Параллельные линии :

Здесь A и B — две параллельные прямые, пересекаемые линией p.

Прямая p называется трансверсалью, которая пересекает две или более прямых (не обязательно параллельных) в разных точках.

Как видно на рисунке выше, когда трансверсаль пересекает две прямые, образуется 8 углов.

Давайте рассмотрим детали в табличной форме для удобства пользования.

Когда трансверсаль пересекает две параллельные прямые,

1. Соответствующие углы равны.
2. Вертикально противоположные углы равны.
3. Альтернативные внутренние углы равны.
4. Альтернативные внешние углы равны.
5. Пара внутренних углов на одной стороне поперечины является дополнительной.

Можно сказать, что линии параллельны, если мы сможем проверить хотя бы одно из вышеупомянутых условий.

Давайте посмотрим на несколько примеров.

Решенные примеры

Пример 1. Если прямые m и n параллельны друг другу, то определить углы ∠5 и ∠7.

Решение :

Определение одной пары может позволить найти все остальные углы. Ниже приводится один из многих способов решить этот вопрос.

∠2 = 125 °

∠2 = ∠4, так как это вертикально противоположные углы.

Следовательно, ∠4 = 125 °

∠4 — один из внутренних углов на одной стороне поперечины.

Следовательно, 4 + ∠5 = 180 °

125 + 5 = 180 → ∠5 = 180 — 125 = 55 °

∠5 = ∠7, т.к. углы противоположные по вертикали.

Следовательно, 5 = ∠7 = 55 °

Примечание : Иногда свойство параллельности линий может не упоминаться в формулировке проблемы, и линии могут казаться параллельными друг другу; но они могут быть не такими. Важно определить, параллельны ли две линии, проверяя углы, а не взглядом.

Пример 2. Если A = 120 ° и ∠H = 60 °. Определите, параллельны ли линии.

Решение :

Дано ∠A = 120 ° и ∠H = 60 °.

Поскольку соседние углы являются дополнительными, ∠A + ∠B = 180 °

120 + ∠B = 180 → ∠B = 60 °.

Принято, что ∠H = 60 °. Мы видим, что ∠B и ∠H — внешние альтернативные углы.

Если внешние альтернативные углы равны, линии параллельны.

Следовательно, прямые p и q параллельны.

Мы можем проверить это, используя другие ракурсы.

Если ∠H = 60 °, ∠E = 120 °, поскольку эти два находятся на прямой линии, они являются дополнительными.

Теперь ∠A = ∠E = 120 °.A и ∠E — соответствующие углы.

Если соответствующие углы равны, линии параллельны.

Точно так же мы можем доказать, используя и другие углы.

Пример 3. Если p и q — две прямые, параллельные друг другу и ∠E = 50 °, найдите все углы на рисунке ниже.

Решение :

Дано ∠E = 50 °.

Две параллельные линии

→ Соответствующие углы равны.

Поскольку ∠E и ∠A — соответствующие углы, A = 50 °.

→ Вертикально противоположные углы равны.

Поскольку A и ∠C вертикально противоположны друг другу, C = 50 °.

Поскольку ∠E и ∠G вертикально противоположны друг другу, ∠G = 50 °.

→ Внутренние углы на той же стороне поперечины являются дополнительными.

∠E + ∠D = 180 ° → 50 + ∠D = 180 ° → ∠D = 130 °

→ ∠D и ∠B — вертикально противоположные углы. Итак, ∠B = 130 °.

→ ∠B и ∠F — соответствующие углы. Итак, ∠F = 130 °.

→ ∠F и ∠H — вертикально противоположные углы. Итак, ∠H = 130 °.

∠D = ∠O + 90 ° → 130 = ∠O + 90 → ∠O = 40 °

Продолжить обучение:
— Свойства и формулы кругов
— Типы треугольников и свойства
— Свойства четырехугольников (параллелограммы, трапеции, ромб)

Углы и параллельные прямые (Предварительная алгебра, Введение в геометрию) — Mathplanet

Когда две прямые пересекаются, они образуют две пары противоположных углов, A + C и B + D.Другое название противоположных углов — вертикальные углы.

Вертикальные углы всегда совпадают, что означает, что они равны.

Соседние углы — это углы, выходящие из одной вершины. Соседние углы имеют общий луч и не перекрываются.

Размер угла xzy на рисунке выше представляет собой сумму углов A и B.

Два угла считаются дополнительными, если сумма двух углов составляет 90 °.

Два угла считаются дополнительными, если сумма двух углов составляет 180 °.

Если у нас есть две параллельные линии и есть третья линия, которая их пересекает, как на рисунке ниже, линия пересечения называется поперечной

Когда трансверсаль пересекается с двумя параллельными линиями, получается восемь углов.

Восемь углов вместе образуют четыре пары соответствующих углов. Углы 1 и 5 составляют одну из пар. Соответствующие углы совпадают. Все углы, которые имеют одинаковое положение относительно параллельных линий и трансверсали, представляют собой соответствующие пары e.грамм. 3 + 7, 4 + 8 и 2 + 6.

Углы, которые находятся в области между параллельными линиями, такими как угол 2 и 8 выше, называются внутренними углами, тогда как углы, которые находятся снаружи двух параллельных линий, таких как 1 и 6, называются внешними углами.

Углы, находящиеся на противоположных сторонах поперечной оси, называются альтернативными углами, например 1 + 8.

Все углы, которые являются внешними углами, внутренними углами, альтернативными углами или соответствующими углами, являются конгруэнтными.

Пример

На рисунке выше показаны две параллельные линии с поперечной. Угол 6 равен 65 °. Есть ли другой угол, который также составляет 65 °?

6 и 8 являются вертикальными углами и, таким образом, совпадают, что означает, что угол 8 также составляет 65 °.

6 и 2 являются соответствующими углами и, таким образом, совпадают, что означает, что угол 2 составляет 65 °.

6 и 4 представляют собой чередующиеся внешние углы и, таким образом, совпадают, что означает, что угол 4 составляет 65 °.

Видеоурок

Найдите размеры всех углов на рисунке

Angles — Mathematics GCSE Revision — Revision Maths

Углы измеряются в градусах, записываются в °.Максимальный угол 360 °. Это угол вокруг точки. Половина этого угла составляет 180 ° на прямой.

В видео ниже объясняется, как рассчитать связанные углы, смежные углы, внутренние углы и дополнительные углы.

Связанные уголки

Линии AB и CD параллельны друг другу (отсюда »на линиях).

a и d известны как , вертикально противоположные углам .Вертикально противоположные углы равны. (b и c, e и h, f и g также противоположны по вертикали).

g и c — соответствующие углы . Соответствующие углы равны. (h и d, f и b, e и a также соответствуют).

d и e — это альтернативные углы . Альтернативные углы равны. (c и f также чередуются). Альтернативные углы образуют Z-образную форму и иногда называются Z-углами.

a и b — это смежный угол . Смежные углы в сумме составляют 180 градусов.(d и c, c и a, d и b, f и e, e и g, h и g, h и f также смежны).

d и f — это внутренние углы . В сумме они составляют 180 градусов (е и с также являются внутренними).

Любые два угла, которые в сумме составляют 180 градусов, называются дополнительными углами .

Сумма углов треугольника

Используя некоторые из приведенных выше результатов, мы можем доказать, что сумма трех углов внутри любого треугольника всегда составляет 180 градусов.

Если у нас есть треугольник, вы всегда можете нарисовать две параллельные линии следующим образом:

Теперь мы знаем, что альтернативных углов равны. Следовательно, два угла, обозначенные x, равны. Кроме того, два угла, обозначенные буквой y, равны.

Мы знаем, что x, y и z вместе составляют 180 градусов, потому что вместе они представляют собой угол вокруг прямой линии. Таким образом, сумма трех углов в треугольнике должна составлять 180 градусов.

Сумма углов четырехугольника

Четырехугольник — это фигура с 4 сторонами.

Теперь, когда мы знаем сумму углов в треугольнике, мы можем вычислить сумму углов в четырехугольнике.

Для любого четырехугольника мы можем провести диагональную линию, чтобы разделить его на два треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180 градусам. Следовательно, общая сумма углов четырехугольника составляет 360 градусов.

Наружные углы

Внешние углы формы — это углы, которые вы получите, если удлинить стороны.Показаны внешние углы шестиугольника:

Многоугольник — это фигура с прямыми сторонами. Сумма всех внешних углов многоугольника составляет 360 °. потому что, если вы сложите их все вместе, они образуют угол вокруг точки:

Следовательно, если у вас есть правильный многоугольник (другими словами, где все стороны имеют одинаковую длину и все углы одинаковы), каждый из внешних углов будет иметь размер 360 ÷ количество сторон. Так, например, каждый из внешних углов шестиугольника составляет 360/6 = 60 °.

Внутренние углы

Внутренние углы формы — это углы внутри нее. Если вы знаете размер внешнего угла, вы можете определить размер внутреннего угла рядом с ним, потому что в сумме они составляют 180 ° (поскольку вместе они составляют угол на прямой линии).

Внешний угол треугольника

Угол x — это внешний угол треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов в двух других вершинах.Другими словами, x = a + b на диаграмме.

Проба:

• Сумма углов в треугольнике составляет 180 градусов. Итак, a + b + y = 180.
• Сумма углов прямой линии составляет 180 градусов. Итак, x + y = 180.
• Следовательно, y = 180 — x. Помещение этого в первое уравнение дает нам: a + b + 180 — x = 180. Следовательно, a + b = x после перестановки. Это то, что мы хотели доказать.

Два смежных угла, образующих прямую линию, называются _________

.

Площадь основания прямоугольной квадратной пирамиды умножается на 5, а высота остается неизменной.Каким будет объем новой пирамиды, разделенный на v
…

олуме первоначальной пирамиды?

прямоугольная пирамида имеет объем 12 кубических сантиметров. Если высота остается фиксированной, но стороны основания умножаются на 3, каков vo?
…

люм новой пирамиды?

ПОМОГИТЕ, ПОМОГИТЕ 20 PTS БЫСТРО, И Я ДАЮ МОЗГОВЫЕ И 5 ЗВЕЗД ЛЮДЯМ, КОТОРЫЕ НЕ НАЧИНАЮТ !!!!!
Мистер Джейкобс собирается построить гистограмму t
…

Результаты последнего теста по математике, которые он дал.Он планирует сначала организовать данные в виде диаграммы стеблей и листьев, а затем построить гистограмму из диаграммы стеблей и листьев. Результаты тестов перечислены ниже.
79, 82, 65, 61, 94, 97, 84, 77, 89, 91, 90, 83, 99, 71, 68, 77, 87, 85
Какая из следующих гистограмм представляет эти данные?

PLZ ПОМОГИТЕ БЫСТРО ОТВЕТИТЬ 30 PTS, И Я ДАЮ НАИБОЛЕЕ МОЗГОВОЙ И 5 ЗВЕЗД ЛЮДЯМ, КОТОРЫЕ НЕ НАЧИНАЮТ !!!!!
Мистер Джейкобс собирается построить гистограмму t
…

Результаты последнего теста по математике, которые он дал.Он планирует сначала организовать данные в виде диаграммы стеблей и листьев, а затем построить гистограмму из диаграммы стеблей и листьев. Результаты тестов перечислены ниже.
79, 82, 65, 61, 94, 97, 84, 77, 89, 91, 90, 83, 99, 71, 68, 77, 87, 85
Какая из следующих гистограмм представляет эти данные?

Сколько там денег?
Пожалуйста, помогите мне

В квартире 90 квадратных метров коврового покрытия. Сколько это в квадратных футах? Используйте следующее преобразование: 1 квадратный метр равен 10.2 * п-52

На координатной сетке показаны два похожих треугольника:
Какой набор преобразований был выполнен в треугольнике PQR, чтобы сформировать треугольник P’Q’R ‘?
Дила
…

с коэффициентом масштабирования от 1 до 2 с последующим отражением вокруг оси x
Расширение с коэффициентом масштабирования 2 с последующим отражением относительно оси x
Расширение с коэффициентом масштабирования от 1 до 2 с последующим отражением вокруг оси y
Расширение с коэффициентом масштабирования 2 с последующим отражением вокруг оси Y

Когда x = 10, какое решение мы имеем?

.