Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

Вход

Вход

Регистрация

Начало

Новости

ТОПы

Учебные заведения

Предметы

Проверочные работы

Обновления

Переменка

Поиск по сайту

Отправить отзыв

org/BreadcrumbList»>
• 
  Предметы
• 
  Алгебра
• 
  9 класс

1. 
   

   
   Злементы комбинаторики. Комбинаторные задачи
   

   
   
   
   
   
   
   
   

2. 
   

   
   Элементы статистики.

   Методы обработки информации
   

   
   
   
   
   
   
   
   

3. 
   

   
   Элементы теории вероятности. Нахождение вероятности
   

   
   
   
   
   
   
   
   

4. 
   

   
   Относительная частота и статистическая вероятность события
   

   
   
   
   
   
   
   
   

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

Copyright © 2021 ООО ЯКласс

Контакты

Пользовательское соглашение

«Комбинаторика и вероятности» курс Райгородского А.

М.

Math.

ru

Автор(ы)	Название	Год	Стр.	Загрузить, Mb
				djvu	pdf	ps	html	TeX
И. И. Баврин, Е. А. Фрибус	Старинные задачи.	1994	128	1.86	—	—	—	—
А. Н. Боголюбов	Математики. Механики.	1983	639	13.94	—	—	—	—
Е. С. Вентцель	Элементы теории игр.	1961	68	0. 49	—	—	—	—
Н. Я. Виленкин	Комбинаторика.	1969	328	2.58	—	—	—	—
Н. Я. Виленкин	Популярная комбинаторика.	1975	208	3.24	—	—	—	—
Б. В. Гнеденко, А. Я. Хинчин	Элементарное введение в теорию вероятностей.	1970	168	2.48	—	—	—	—
С. М. Гусейн-Заде	Разборчивая невеста.	2003	24	—	0.23	—	—	—
Е.  Б. Дынкин, В. А. Успенский	Математические беседы.	1952	288	3.36	—	—	—	—
И. Г. Журбенко, А. Н. Колмогоров, А. В. Прохоров	Введение в теорию вероятностей.	1982	160	5.26	—	—	—	—
Ф. Мостеллер	Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями.	1975	112	1.67	—	—	—	—
Сборник	Математическое просвещение (III). N 16.	2012	240	—	2.14	—	—	—
Сборник	Математическое просвещение. Выпуск 1.	1934	72	1.42	—	—	—	—
Сборник	Математическое просвещение. Выпуск 10.	1937	72	1.25	—	—	—	—
Сборник	Математическое просвещение. Выпуск 11.	1937	80	1.43	—	—	—	—
Сборник	Труды Всероссийского съезда математиков в Москве (27 апреля — 4 мая 1927)	1928	280	9.23	—	—	—	—
И. М. Соболь	Метод Монте-Карло.	1968	64	0. 61	—	—	—	—
Я. Стюарт	Концепции современной математики.	1980	384	4.02	—	—	—	—
А. М. Яглом, И. М. Яглом		1973	512	8.25	—	—	—	—
А. М. Яглом, И. М. Яглом	Неэлементарные задачи в элементарном изложении.	1954	544	5.28	—	—	—	—

Комбинаторика: основные правила и формулы.

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и  принципы  комбинаторики  используются  в  теории  вероятностей для подсчета  вероятности  случайных  событий и,  соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это,  в  свою  очередь,  позволяет  исследовать  закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания  статистических  закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы.  Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m  способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Решение

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения.  Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k  способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

способами.

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Решение

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

 Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

 Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

 Размещения без повторений. Размещения с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение.

В  данной  задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким  образом,  задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Решение

Можно  считать,  что  опыт  состоит  в 5-кратном выборе  с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом,  число  пятизначных  номеров  определяется  числом  размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

.

 Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Решение

Генеральной  совокупностью  являются 4  буквы слова  «брак» (б, р, а, к). Число  «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение

Здесь 1 буква  «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква  «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Основные понятия комбинаторики

Основными понятиями в комбинаторики являются понятия размещения, сочетания и перестановки. k=\frac{n!}{(n-k)!k!}$

Основные понятия теории вероятностей

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия события и вероятности события.

Определение 4

Событием будем называть любое утверждение, которое может как произойти, так и не произойти.

Обычно события обозначаются большими английскими буквами.

Пример: $A$ – выпадение числа $6$ на кости.

В связи с тем, что событие может иметь две вариации исхода («произошло» и «не произошло») мы сталкиваемся с понятие вероятности такого события. Это понятие имеет $4$ основных определения.

Классическое определение.

Классическое определение связано с такими неопределяемыми понятиями как равновозможность и элементарность события. Интуитивно их можно понять на следующих примерах:

Равновозможность: При подбрасывании монеты она может упасть как аверсом, так и реверсом независимо от внешних условий. То есть можно сказать что вероятность выпадения одной или другой стороны по сути одинакова.

Элементарность события: Если на кости выпадет число $4$, то это означает, что числа $1, 2, 3, 5$ и $6$ уже не выпали.

Определение 5

Вероятностью события будем называть отношения числа $n$ равновозможных элементарных событий исходного события $B$ ко всем элементарным событиям $N$.

Математически это выглядит следующим образом:

$P(B)=\frac{n}{N}$

Геометрическое определение.

Геометрическое определение применяется для случая, когда количество равновозможных событий будет бесконечно. Здесь, для введения геометрического определения рассмотрим следующий пример. Для игры дартс берем круг площадью $S$ и разбиваем его на несколько кругов. Какова вероятность, что дротик попадет в центральный круг? (Исключим здесь случаи полного непопадания в поле). Очевидно что равновозможных событий здесь будет бесконечно (как и общих событий) так как круг содержит в себе бесконечное число точек.

Пусть площадь центрального круга равняется $s$. Тогда мы сталкиваемся с геометрическим определением вероятности такого события:

$P(B)=\frac{s}{S}$

Статистическое (частотное) определение.

Классическое определение довольно часто не учитывает всех возможностей. Рассматривая даже классический пример с бросанием кости мы пренебрегаем возможностью, что не выпадет никакого из шести чисел (кубик просто «остановится» на уголке). Поэтому вводят следующее определение вероятности, учитывающее все возможности. Рассматриваем $N$ наблюдений. Пусть нужное нам событие при этом выпало $n$ раз. Тогда

$P(B)=lim_{N→∞}⁡\frac{n}{N}$

Аксиоматическое определение.

Данное определение задается с помощью аксиоматики Колмогорова.

Пусть $X$ — пространство всех элементарных событий. Тогда

Определение 6

Вероятностью события $B$ будем называть такую функцию $P(B)$, которая удовлетворяет следующим условиям:

1. Данная функция всегда неотрицательна,
2. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из попарно несовместных событий равняется сумме их вероятностей. k=\frac{10!}{(10-4)!4!}=\frac{10!}{6!4!}=\frac{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=210$

   Четыре же зерна посадить в $4$ горшка можно

   $P_4=4!=24$

   способами.

   Для нахождения окончательного результата нужно перемножить эти два, получим:

   $210\cdot 24=5040$

   Ответ: $5040$.

   Пример 2

   Найти вероятность того, что наугад вытащенная из колоды карта будет пиковой масти (сумма карт в колоде кратна $4$-м).

   Решение.

   Так как количество карт кратно четверке, то пусть всего карт будет $4k$. Тогда каждой масти карт будет $k$ штук (так как мастей $4$ и их количество одинаково).

   При решении этой задачи будем использовать определение $5$. Во введенных нами обозначениях, получим что в определении $5$ мы будем иметь

   $N=4k,n=k$

   Следовательно

   $P=\frac{k}{4k}=\frac{1}{4}$

   Ответ: $\frac{1}{4}$.

   Домашний Урок

   25 мая 2020 г.
   Стереометрия. Построение сечений многогранников	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   Алгебра и начала математического анализа. Задачи с экономическим содержанием на выплаты неравными платежами	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   21 мая 2020 г.
   Алгебра. Построение графика функции, содержащей модуль	Математика 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   Геометрия. Использование подобия треугольников при решении задач	Математика 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   13 мая 2020 г.
   Алгебра и начала математического анализа. Задачи с экономическим содержанием	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   Геометрия. Объемы шара, конуса и цилиндра	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   7 мая 2020 г.
   Геометрия. Многоугольники	Математика 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   Алгебра. Построение графика кусочно-заданной функции	Математика 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   5 мая 2020 г.
   Алгебра и начала математического анализа. Теория вероятностей	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   Геометрия. Площадь поверхности цилиндра и конуса	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   4 мая 2020 г.
   Алгебра. Решение уравнений, неравенств и их систем. Практикум	Математика 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   Геометрия. Окружность	Математика 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   24 апреля 2020 г.
   Алгебра и начала математического анализа. Решение задач с параметром	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   Геометрия. Многогранники. Площади боковых поверхностей призмы и пирамиды	Математика 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   22 апреля 2020 г.
   Геометрия. Решение задач о равновеликих фигурах	Математика 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   10 апреля 2020 г.
   Правильные многогранники	Стереометрия 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   Функционально-графический метод решения задач с параметром	Алгебра и начала математического анализа 11 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   8 апреля 2020 г.
   Площади треугольников и четырехугольников	Геометрия 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
   Теория вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей	Алгебра 9 класс	30 минут	Шайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО

   Методическая разработка программы элективного курса «Теория вероятностей, комбинаторика, статистика»

   Краснодарский край

   муниципальное образование город Новороссийск

   ( территориальный, административный округ (город. район. посёлок)

   муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

   средняя общеобразовательная школа №29 имени Ю.В. Амелова

   ( полное наименоваие образовательного учреждения)

   Утверждено

   Решением педагогического совета

   от __. 08.2018 года протокол №1.

   Председатель________ Н.Г.Иванась.

   программа

   элективного курса « Теория вероятностей, комбинаторика, статистика»

   (указать учебный предмет, курс)

   Уровень образования (класс) основное общее образование, 7 класс.

   ( начальное общее. Основное общее образование с указанием классов)

   Количество часов 34/1 часа в неделю

   Учитель Таймарова Ольга Леонидовна

   Программа разработана на основе учебника: Теория вероятностей и статистика. Ю.Н.Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко.

   Пояснительная записка

   Программа элективного курса «Теория вероятностей, статистика, комбинаторика», для 7 класса, разработана в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования.

   В технике, социологии, экономике и других областях, теория вероятности, комбинаторика и статистика широко применяются. Поэтому необходимо включение этих компонентов в школьные программы.

   Статистические знания занимают важное место в общеобразовательной подготовке современного человека. Без знаний теории вероятности человеку сложно принимать верные решения в социальных, экономических, политических областях. Физика, биология, экономика, математика – это комплекс наук, который развивается на вероятностно-статистической базе. Без знаний этой базы человек не может полноценно изучить комплекс наук уже в средней школе.

   Цель курса:

   — развитие у детей знаний по теории вероятностей, комбинаторики и статистике;

   — развитие мышления.

   Задачи курса:

   — заострить внимание детей на случайных явлениях

   — научить выделять закономерности в случайных явлениях

   — решать комбинаторные задачи

   — решать статистические задачи

   — решать задачи по теории вероятности

   — извлекать и обрабатывать информацию ( таблицы, графики, диаграммы)

   — научить учащихся собирать, систематизировать, наглядно представлять информацию, анализировать данные.

   Планируемые результаты изучения курса 7 класса:

   По окончании учебного курса «Теория вероятностей, статистика, комбинаторика»

   Ученик научиться:

   — знать историю развития комбинаторики, теории вероятности, статистики

   — собирать, систематизировать, наглядно представлять информацию

   — представлять данные в виде диаграмм, графиков, таблиц

   — решать задачи на комбинации элементов

   -перебирать возможные варианты

   — строить граф-дерево

   — составлять таблицы вариантов

   — находить средние значения результатов измерения

   — решать комбинаторные задачи с помощью правила произведения

   Планируемые результаты:

   -Изучении теории , которая поможет учащимся сделать осознанный выбор профиля обучения.

   -Формирование интереса к предмету.

   -Развитие творческой активности учащихся.

   -Развитие математического мышления

   — Развитие и воспитание у учащихся трудолюбия, упорства в достижении цели.

   Общая характеристика учебного курса

   Незаменимый компонент школьного образования – это вероятность и статистика. Материал нужен для формирования у учеников умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать характер реальных зависимостей, проводить расчеты. Основы комбинаторики позволяют осуществлять перебор и подсчет вариантов в задачах.

   Изучение курса «Теория вероятностей, статистика, комбинаторика» расширяет представления о современной картине мира и его исследования.

   Место учебного курса в учебном плане.

   Изучение в математике элементов статистики, тории вероятностей и комбинаторики начинается в 5-6 классах. Учащиеся знакомятся с терминами, решают задачи на подсчет вариантов. С 7 класса вводится курс «Основы статистики, теории вероятности, комбинаторики» отдельным модулем. Количество часов по классам: 34 часа – 7 класс, 34 часа – 8 класс, 34 часа – 9 класс. 102 часа за учебный курс.

   Содержание учебного курса

   Начало теории вероятностей. Начало статистики. Азартные игры. Зашифрованные письма. Исторические заблуждения.

   Многогранность общества. Вариативность научной картины мира.

   Возможные ситуации в повседневной жизни. Оценка риска. Оценка шансов на успех. Связь математики с действительностью.

   Комбинаторные задачи Римской империи. Фигурные числа. Конструирование треугольных чисел и их нахождение. Конструирование квадратных чисел и их нахождение. Конструирование простых и составных чисел и их нахождение.

   Составление и конструирование магических и латинских квадратов.

   Комбинации из трех элементов. Составление задач. Решение задач.

   Перебор вариантов, графы вариантов.

   Граф-дерево.

   Составление таблиц вариантов.

   Метод полного перебора. Решение задач.

   Правило произведения. Решение задач.

   Чтение и составление таблиц, диаграмм, графиков.

   Статистические характеристики.

   Медиана, размах, мода, среднее арифметическое.

   Задания на систематизацию данных.

   Задания на сбор данных.

   Задания на наглядное представление данных.

   Задания на анализ данных.

   Тематический план курса 7 класса

   № п\п	Тема занятий	Количество часов	Форма — занятия
   1	Цель изучения статистики, комбинаторики, теории вероятностей.	1	лекция
   2	Начало теории вероятностей, статистики, комбинаторики.	1	лекция
   3	Повседневная жизнь и вероятность.	1	лекция
   4	Комбинаторные задачи.	1	Решение задач
   5	Комбинации из нескольких элементов.	1	Решение задач
   6	Перебор возможных вариантов.	1	Решение задач
   7	Решение задач по комбинаторике.	1	Решение задач
   8	Фигурные числа.	1	лекция
   9	Граф.	1	лекция
   10	Что такое факториал?	1	лекция
   11	Правило умножения в комбинаторике.	1	Решение задач
   12	Решение задач по правилу умножения.	1	Решение задач
   13	Перестановки.	1	лекция
   14	Задачи на перестановки.	1	Решение задач
   15	Сочетание.	1	лекция
   16	Задачи на сочетание.	1	Решение задач
   17	Размещение.	1	лекция
   18	Задачи на размещение.	1	Решение задач
   19	Статистика.	1	лекция
   20	Составление таблиц.	1	Решение задач
   21	Чтение таблиц.	1	Решение задач
   22	Графики и диаграммы.	1	Решение задач
   23	Составление графиков, диаграмм.	1	Решение задач
   24	Среднее арифметическое, размах, мода.	1	лекция
   25	Нахождение среднего арифметического.	1	Решение задач
   26	Нахождение моды.	1	Решение задач
   27	Нахождение размаха.	1	Решение задач
   28	Медиана.	1	лекция
   29	Нахождение медианы.	1	Решение задач
   30	Сбор данных.	1	Решение задач
   31	Группировка данных.	1	Решение задач
   32	Таблица частот.	1	Решение задач
   33	Урок – соревнование по теме «Теория вероятностей, статистика, комбинаторика»	1	Решение задач
   34	Урок – повторение пройденного материала.	1	Решение задач

   Учебно-методическое сопровождение учебного курса

   Мордкович А.Г., Семенов П.В. «События. Статистическая обработка данных» 7-9 классы, М. . «Мнемозина».2003

   Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Изучаем элементы статистики – Математика в школе, М.

   Виленкин Н.Я., Депман И.Я. «За страницами учебника математики». М., «Просвещение».

   Мир математики — Mathigon

   Введение

   Леонард Эйлер (1707 — 1783)

   Комбинаторика — это раздел математики, насчитывающий около , считая , и мы откроем для себя множество захватывающих примеров «вещей», которые вы можете сосчитать.

   Первые комбинаторные задачи изучались математиками Древней Индии, Арабских стран и Греции. Интерес к этому предмету возрос в XIX и XX веках, вместе с развитием теории графов и таких проблем, как теорема о четырех цветах.Среди ведущих математиков — Блез Паскаль (1623–1662), Якоб Бернулли (1654–1705) и Леонард Эйлер (1707–1783).

   Комбинаторика имеет множество приложений в других областях математики, включая теорию графов, кодирование и криптографию, а также вероятность.

   Факториалы

   Комбинаторика может помочь нам подсчитать количество заказов , в которых что-то может случиться. Рассмотрим следующий пример:

   В классе находится В.CombA1 учеников и стульев V.CombA1 , стоящих в ряд. В скольких различных порядках ученики могут сидеть на этих стульях?

   Перечислим возможности — в этом примере V.CombA1 разных зрачков представлены V.CombA1 разных цветов стульев.

   Существует {2: 2, 3: 6, 4: 24, 5: 120} [V.CombA1] различных возможных порядков. Обратите внимание, что количество возможных порядков очень быстро увеличивается по мере увеличения количества учеников.У 6 учеников есть 720 различных возможностей, и перечислять их все становится непрактично. Вместо этого нам нужна простая формула, которая говорит нам, сколько имеется заказов на n человек, чтобы они сели на n стульев. Тогда мы можем просто заменить 3, 4 или любое другое число на на , чтобы получить правильный ответ.

   Предположим, у нас есть стульев V.CombB1 и мы хотим разместить V.CombB1 == 1? ‘Один ученик’: V.CombB1 == 2? ‘Два ученика’: V.CombB1 == 3? ‘Три ученика ‘: V.CombB1 == 4? ‘Четыре ученика’: V.CombB1 == 5? ‘Пять учеников’: V.CombB1 == 6? ‘Шесть учеников’: ‘семь учеников’ на них.

   {7: «Семь учеников могут сесть на первый стул. Затем есть 6 учеников, которые могли бы сесть на второй стул. Есть 5 вариантов для третьего стула, 4 варианта для четвертого стула, 3 варианта для пятого стула, 2 варианта для шестого стула и только один вариант для последнего стула. ‘,
   6: «Есть 6 учеников, которые могли бы сесть на первый стул. Затем есть 5 учеников, которые могли бы сесть на второй стул.Есть 4 варианта для третьего стула, 3 варианта для четвертого стула, 2 варианта для пятого стула и только один вариант для последнего стула. ‘,
   5: «Пятеро учеников могли бы сесть на первый стул. Затем есть 4 ученика, которые могут сесть на второй стул. Есть 3 варианта для третьего стула, 2 варианта для четвертого стула и только один вариант для последнего стула. ‘,
   4: «Есть 4 ученика, которые могли бы сесть на первый стул. Затем есть 3 ученика, которые могут сесть на второй стул.Есть 2 варианта для третьего стула и только один вариант для последнего стула. ‘,
   3: «Есть 3 ученика, которые могут сесть на первый стул. Затем есть 2 ученика, которые могут сесть на второй стул. Наконец, остался только один ученик, чтобы сесть на третий стул. ‘,
   2: «Есть 2 ученика, которые могут сесть на первый стул. Далее остается только один ученик, который может сесть на второй стул. ‘,
   1: ‘Это только один вариант для одиночного стула.’} [V.CombB1]

   Всего

   возможности.Чтобы упростить обозначения, математики используют знак «!» называется факториалом. Например, 5! («Пять факториалов») то же самое, что 5 × 4 × 3 × 2 × 1. Выше мы только что показали, что существует n ! возможности заказать н объектов.

   Насколько разными способами 23 ребенка могут сесть на 23 стула в классе математики? Если у вас 4 урока в неделю, а в году 52 недели, сколько лет нужно, чтобы изучить все возможности? Примечание: возраст Вселенной составляет около 14 миллиардов лет.

   Для 23 детей, чтобы сесть на 23 стула, их 23! = 25 852 016 738 884 800 000 000 возможностей (это число слишком велико для отображения на экране калькулятора). Испытание всех возможностей займет

   23! 4 × 52 = 124 288 542 000 000 000 000 лет.

   Это почти в 10 миллионов раз больше нынешнего возраста Вселенной!

   Перестановки

   Вышеупомянутый метод требовал, чтобы у нас было столько же учеников, сколько стульев, на которых можно сесть.Но что будет, если стульев не хватит?

   Сколько различных возможностей существует для любого Math. min (V.CombC1, V.CombC2) из V.CombC1 учеников, чтобы сесть на Math.min (V.CombC1, V.CombC2) стулья? Обратите внимание, что Math.max (0, V.CombC1-V.CombC2) останется включенным, и мы не должны включать его при перечислении возможностей.

   Давайте начнем снова, перечислив все возможности:

   min(V.CombC1,V.CombC2))==2)?480:(V.CombC1==4&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==3)?532:586)»>

   Чтобы найти простую формулу, подобную приведенной выше, мы можем думать о ней очень похожим образом.
   «Есть ученики« + V.CombC1 + », которые могут сесть на первый стул. ‘+
   (((Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 2 || (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 3 || (Math.min (V.CombC1, V .CombC2)) == 4)? ‘Тогда есть’ + (V.CombC1-1) + ‘ученики, которые могли бы сесть на второй стул.’: ») +
   (((Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 3 || (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 4)? ‘Тогда есть’ + (V.CombC1 -2) + ‘ученики, которые могли бы сесть на третий стул.’: ») +
   (((Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 4)? ‘Наконец, остался один ученик, который сядет на последний стул.’:’ ‘) +
   ((V.CombC1- (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 1 || V.CombC1- (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 2 || V. CombC1- (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 3)? ‘Нас не волнуют оставшиеся’ + (V.CombC1-V.CombC2) + ‘дети, оставшиеся стоять. ‘: ‘ ‘)
   

   Всего

   возможности. Мы снова должны подумать об обобщении этого. Мы начинаем, как и делали бы с факториалами, но останавливаемся, не дойдя до 1. Фактически, мы останавливаемся, как только достигаем числа студентов без стула. При размещении 7 учеников на 3 стульях их

   7 × 6 × 5 = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 17 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7 ! 4! = 7 ! ( 7 — 3 )!

   возможности, так как 4 × 3 × 2 × 1 будут компенсировать друг друга.Опять же, для этого есть более простое обозначение: 7 P 3 . Если мы хотим разместить n объектов на m позиций, то будет

   n P м = n ! ( n — м )!

   возможности. P означает « p ermutations», поскольку мы подсчитываем количество перестановок (порядков) объектов. Если m и n такие же, как и в задаче в начале этой статьи, мы имеем

   n P n = n ! ( n — n )! = n ! 0 !.

   Чтобы понять это, мы определяем 0! = 1. Теперь n P n = n ! как и следовало ожидать от нашего решения первой проблемы.

   К сожалению, вы не можете вспомнить код своего четырехзначного замка. Вы только знаете, что не использовали ни одну цифру более одного раза. Сколько разных способов вы должны попробовать? Что вы делаете о безопасности этих замков?

   Имеется 10 цифр (0, 1,…, 9), каждая из которых встречается не более одного раза.Число порядков этих цифр составляет 10 P 4 = 5040. Проверка такого количества комбинаций займет очень много времени, поэтому 4-значные блокировки очень безопасны.

   Комбинации

   Перестановки используются, когда вы выбираете объекты и заботитесь об их порядке — например, порядок детей на стульях. Однако в некоторых задачах вы не заботитесь о порядке и просто хотите знать, сколько есть способов выбрать определенное количество объектов из большего набора.

   В магазине есть пять разных футболок, которые вам нравятся: красного, синего, зеленого, желтого и черного цветов.К сожалению, у вас достаточно денег, чтобы купить три из них. Сколько существует способов выбрать три футболки из пяти, которые вам нравятся?

   Здесь нас не волнует порядок (неважно, покупаем ли мы сначала черный, а затем красный или сначала красный, а затем черный), а только количество комбинаций футболок. Возможностей

   , итого их 10. Если бы мы вычислили 5 P 3 = 60, мы бы дважды подсчитали некоторые возможности, как показано в следующей таблице:

   При перестановках мы считаем каждую комбинацию из трех футболок 6 раз, потому что их 3! = 6 способов заказать три футболки.Чтобы получить количество комбинаций из количества перестановок, нам просто нужно разделить на 6. Мы пишем

   5 C 3 = 5 P 33! = 606 = 10.

   Здесь C означает «комбинацию c ». В общем, если мы хотим выбрать r объектов из общего числа n , будет

   n C r = n P r r ! = n ! р ! ( n — r )!

   различных комбинаций.Вместо n C r математики часто пишут n C r = ( n r ), как дробь в скобках, но без промежуточной линии. (Для упрощения набора мы продолжим использовать первую строчную нотацию.)

   (a) В вашем классе 10 детей, но вы можете пригласить только пятерых на свой день рождения. Сколько разных комбинаций друзей вы могли бы пригласить? Объясните, следует ли использовать комбинации или перестановки.

   (б) На вечеринке 75 человек. Каждый раз всем пожимает руку. Как часто в целом рукопожатие? Подсказка: сколько людей участвует в рукопожатии?

   (a) Количество комбинаций друзей, которых вы можете пригласить, составляет 10 C 5 = 252. Мы использовали комбинации, потому что не имеет значения, в каком порядке мы приглашаем друзей, на какие мы приглашаем.

   (b) Вы хотите найти количество всех возможных пар гостей вечеринки.Это просто 75 C 2 = 2775. (Это много рукопожатий!)

   Комбинаторика и треугольник Паскаля

   Рассчитаем несколько значений n C r . Начнем с 0 C 0. Затем находим 1 C 0 и 1 C 1. Затем 2 C 0, 2 C 1 и 2 C 2. Затем 3 C 0 , 3 C 1, 3 C 2 и 3 C 3. Мы можем записать все эти результаты в таблицу:

   					0 С 0 = 1
   				1 С 0 = 1		1 С 1 = 1
   			2 С 0 = 1		2 С 1 = 2		2 С 2 = 1
   		3 С 0 = 1		3 С 1 = 3		3 С 2 = 3		3 С 3 = 1
   	4 С 0 = 1		4 С 1 = 4		4 С 2 = 6		4 С 3 = 4		4 С 4 = 1
   5 С 0 = 1		5 С 1 = 5		5 С 2 = 10		5 С 3 = 10		5 С 4 = 5		5 С 5 = 1

   Это в точности треугольник Паскаля, который мы исследовали в статье о последовательностях.Его можно создать проще, если учесть, что любая ячейка представляет собой сумму двух ячеек, указанных выше. В треугольнике Паскаля скрыто бесчисленное множество узоров и числовых последовательностей.

   Теперь мы также знаем, что r -е число в n -й строке также задается n C r (но мы всегда должны начинать отсчет с 0, поэтому первая строка или столбец фактически нулевой ряд). Если мы применим то, что мы знаем о создании треугольника Паскаля, к нашим комбинациям, мы получим

   ( n r )
   +
   ( n r + 1)
   знак равно
   ( n + 1 r + 1)

   .

   Это известно как идентификатор Паскаля . Вы можете получить его, используя определение n C r в терминах факториалов, или вы можете думать об этом следующим образом:

   Мы хотим выбрать r + 1 объектов из набора n + 1 объектов. Это в точности то же самое, что пометить один объект из n + 1 , который будет называться X, и либо выбрать X плюс r других (из оставшихся n), либо не выбрать X и r + 1 других ( от оставшихся n).

   У многих задач комбинаторики есть простое решение, если вы подумаете о нем правильно, и очень сложное решение, если вы просто попытаетесь использовать алгебру…

   Звезды и полосы

   Решение

   Пример

   Зеленщик на рынке хранит большое количество из различных видов фруктов. Какими способами мы можем сделать сумку из или фруктов? Обратите внимание, что r может быть меньше, равно или больше n .

   Обратите внимание, что с r ≤ n существует n C r способов выбрать по одному фрукту каждого вида. Однако мы также можем съесть более одного фрукта каждого вида, например, два яблока, одну клубнику и один банан.

   Мы можем представить любой допустимый выбор фруктов цепочкой звезд и полосок, как показано в этом примере:

   ★★★	|	★★	|		|	★★	|	★
   3 типа 1		2 типа 2		0 типа 3		2 типа 4		1 типа 5

   Всего имеется r звезд (представляющих r фруктов, которые нам разрешено брать) и n — 1 столбик (деление на разных фруктов).Это составляет r + n — всего 1 место. Любой заказ r звездочек и n — 1 батончик соответствует ровно одному действительному выбору фруктов.

   Теперь мы можем применить наши комбинаторные инструменты: есть r + n — 1 разрядов, и мы хотим выбрать n — 1 из них в качестве столбцов (все остальные — звездочки). Что есть ровно ( r + n — 1) C ( n — 1) возможностей для этого!

   Предположим, есть пять видов фруктов, и мы хотим взять десять штук.Исходя из того, что мы подсчитали выше, всего

   (10 + 5-1) C (5-1) = 14 C 4 = 24 024

   возможности. Подумайте об этом в следующий раз, когда пойдете за покупками!

   Комбинаторика и вероятность

   Комбинаторика имеет множество приложений в теории вероятностей. Вы часто хотите найти вероятность одного конкретного события, и вы можете использовать уравнение

   P ( X ) = вероятность того, что произойдет X = количество исходов, при которых случится X , общее количество возможных исходов

   Вы можете использовать комбинаторику, чтобы вычислить «общее количество возможных результатов».Вот пример:

   Четверо детей, которых зовут A, B, C и D, случайным образом сидят на четырех стульях. Какова вероятность того, что А сядет на первый стул?

   Мы уже показали, что всего существует 24 способа сесть на четыре стула. Если вы посмотрите на наше решение, вы также обнаружите, что А сидит на первом стуле в шести случаях. Следовательно,

   P (A сидит на первом стуле) = количество результатов, где A сидит на первом стуле, общее количество возможных результатов = 624 = 14.

   Этот ответ был ожидаемым, поскольку каждый из четырех детей с одинаковой вероятностью сядет на первый стул. Но в других случаях все не так просто…

   (a) Почтальон должен доставить четыре письма в четыре разных дома на улице. К сожалению, дождь стер адреса, поэтому он просто раздает их случайным образом, по одной букве на дом. Какова вероятность, что каждый дом получит нужную букву? (☆ Какова вероятность, что каждый дом получит неправильную букву?)

   (b) В лотерее вам нужно угадать 6 номеров из 49.Какова вероятность того, что вы все сделаете правильно? Если каждую неделю отправлять 100 предположений, сколько времени в среднем вам понадобится, чтобы выиграть?

   (a) Всего 4! = 24 способа случайного распределения букв и только один способ получить их все правильно. Таким образом, вероятность того, что каждое письмо будет доставлено в нужный дом, составляет 1/24 = 0,0417 = 4,17%.

   Определить вероятность того, что каждое письмо будет доставлено не в тот дом, немного сложнее.Это не просто 1 — 0,0417, так как во многих случаях один или два, но не , все домов получают правильную букву. В этом простом случае самым простым решением было бы записать все 24 варианта. Вы обнаружите, что в 9 из 24 случаев каждый дом получает неправильную букву, что дает вероятность 0,375 = 37,5%. Если домов слишком много, чтобы записать все возможности, вы можете использовать идею под названием «Принцип включения-исключения» .

   (b) Существует 49 C 6 = 13 983 816 возможных результатов лотереи, поэтому вероятность получения правильного решения составляет 1/49 C 6 = 0.000000072.

   В среднем также потребуется 13 983 816 попыток, чтобы выиграть. Если мы отправляем 100 предположений каждую неделю, это соответствует 139 838 неделям, что равняется 2689 годам. Урок, который нужно усвоить: не играйте в лото!

   Комбинаторика | математика | Британника

   Комбинаторика , также называемая комбинаторной математикой , область математики, связанная с проблемами выбора, расположения и работы в конечной или дискретной системе.Включена тесно связанная область комбинаторной геометрии.

   Одна из основных задач комбинаторики — определить количество возможных конфигураций (, например, графов, схем, массивов) данного типа. Даже когда правила, определяющие конфигурацию, относительно просты, перечисление иногда может представлять огромные трудности. Математику, возможно, придется довольствоваться поиском приблизительного ответа или, по крайней мере, хорошей нижней и верхней границей.

   В математике обычно говорят, что объект «существует», если математический пример удовлетворяет абстрактным свойствам, которые определяют объект.В этом смысле может быть неочевидным, что существует хотя бы одна конфигурация с определенными заданными свойствами. Эта ситуация порождает проблемы существования и строительства. Снова существует важный класс теорем, которые гарантируют существование определенного выбора при соответствующих гипотезах. Помимо собственного интереса, эти теоремы могут использоваться как теоремы существования в различных комбинаторных задачах.

   Наконец, есть проблемы с оптимизацией. Например, функция f , экономическая функция, присваивает числовое значение f ( x ) любой конфигурации x с определенными заданными свойствами.В этом случае проблема состоит в том, чтобы выбрать конфигурацию x ₀ , которая минимизирует f ( x ) или делает его ε = минимальным, то есть для любого числа ε> 0, f ( x ). ₀ ) f ( x ) + ε, для всех конфигураций x с указанными свойствами.

   Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.
   Подпишитесь сейчас

   История

   Ранние разработки

   Некоторые типы комбинаторных задач привлекали внимание математиков с давних времен.Например, магические квадраты, представляющие собой квадратные массивы чисел со свойством, что строки, столбцы и диагонали в сумме дают одно и то же число, встречаются в И Цзин, , китайской книге, датируемой XII веком до нашей эры. Биномиальные коэффициенты, или целочисленные коэффициенты в разложении ( a + b ) ⁿ , были известны индийскому математику XII века Бхаскара, который в своей книге Līlāvatī («Изящный»): посвященный красивой женщине, привел правила их расчета вместе с наглядными примерами.«Треугольник Паскаля», треугольный массив биномиальных коэффициентов, преподавал персидский философ 13 века Накир ад-Дин ас-Суси.

   Считается, что на Западе комбинаторика началась в 17 веке с Блеза Паскаля и Пьера де Ферма, оба из Франции, которые открыли многие классические комбинаторные результаты в связи с развитием теории вероятностей. Термин комбинаторный впервые был использован в современном математическом смысле немецким философом и математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем в его Dissertatio de Arte Combinatoria («Диссертация о комбинированных искусствах»).Он предвидел применение этой новой дисциплины во всем диапазоне наук. Швейцарский математик Леонард Эйлер был, наконец, ответственен за развитие школы аутентичной комбинаторной математики, начиная с 18 века. Он стал отцом теории графов, когда решил проблему Кенигсбергского моста, и его знаменитая гипотеза о латинских квадратах не была решена до 1959 года.

   В Англии Артур Кейли в конце XIX века внес важный вклад в создание перечислительного графа. теории, и Джеймс Джозеф Сильвестр открыл много комбинаторных результатов.Британский математик Джордж Буль примерно в то же время использовал комбинаторные методы в связи с развитием символической логики, а также комбинаторные идеи и методы Анри Пуанкаре, которые развились в начале 20 века в связи с проблемой n. тел, привели к дисциплине топологии, которая занимает центральное место в математике. Многие комбинаторные проблемы были поставлены в 19 веке как чисто развлекательные и идентифицированы под такими названиями, как «проблема восьми королев» и «проблема школьницы Киркман».С другой стороны, изучение тройных систем, начатое Томасом П. Киркманом в 1847 году и продолженное Якобом Штайнером, немецким математиком швейцарского происхождения, в 1850-х годах стало началом теории дизайна. Среди первых книг, посвященных исключительно комбинаторике, — книга немецкого математика Ойгена Нетто Lehrbuch der Combinatorik (1901; «Учебник комбинаторики») и книга британского математика Перси Александра Мак-Магона Combinatory Analysis (1915–16), которые дают представление о комбинаторная теория в том виде, в котором она существовала до 1920 г.

   Комбинаторика в 20 веке

   Многие факторы способствовали ускорению темпов развития комбинаторной теории с 1920 года. Одним из них было развитие статистической теории планирования экспериментов английскими статистиками Рональдом Фишером и Фрэнком Йейтсом. что породило множество проблем, представляющих комбинаторный интерес; методы, изначально разработанные для их решения, нашли применение в таких областях, как теория кодирования. Теория информации, зародившаяся примерно в середине века, также стала богатым источником комбинаторных проблем совершенно нового типа.

   Еще одним источником возрождения интереса к комбинаторике является теория графов, важность которой заключается в том, что графы могут служить абстрактными моделями для множества различных схем отношений между множествами объектов. Его приложения распространяются на исследования операций, химию, статистическую механику, теоретическую физику и социально-экономические проблемы. Теорию транспортных сетей можно рассматривать как раздел теории ориентированных графов. Одна из самых сложных теоретических проблем, проблема четырех цветов (см. Ниже), относится к области теории графов.Он также имеет приложения к таким другим разделам математики, как теория групп.

   Развитие компьютерных технологий во второй половине 20 века является основной причиной интереса к конечной математике в целом и комбинаторной теории в частности. Комбинаторные проблемы возникают не только при численном анализе, но также при проектировании компьютерных систем и при применении компьютеров к таким задачам, как проблемы хранения и поиска информации.

   Статистическая механика — один из старейших и наиболее продуктивных источников комбинаторных задач.С середины 20 века прикладными математиками и физиками была проделана значительная комбинаторная работа, например работа над моделями Изинга (см. Ниже проблему Изинга).

   В чистой математике комбинаторные методы успешно используются в таких различных областях, как вероятность, алгебра (конечные группы и поля, матрица и теория решеток), теория чисел (разностные множества), теория множеств (теорема Спернера) и математическая логика. (Теорема Рамсея).

   В отличие от широкого круга комбинаторных проблем и множества методов, которые были разработаны для их решения, стоит отсутствие центральной объединяющей теории.Однако объединяющие принципы и перекрестные связи начали появляться в различных областях комбинаторной теории. Поиск основного паттерна, который может каким-то образом указать на переплетение различных частей комбинаторики, — задача, с которой математики столкнулись в последней четверти 20 века.

   Комбинаторика — Викиверситет

   Комбинаторика — это раздел чистой математики, связанный с изучением дискретных (и обычно конечных) объектов. Это связано со многими другими областями математики, такими как алгебра, теория вероятностей, эргодическая теория и геометрия, а также с прикладными предметами в области информатики и статистической физики.Аспекты комбинаторики включают «подсчет» объектов, удовлетворяющих определенным критериям (перечислительная комбинаторика), определение того, когда критерии могут быть соблюдены, а также построение и анализ объектов, отвечающих критериям, поиск «самых больших», «самых маленьких» или «оптимальных» объектов (как в комбинаторных планах, экстремальной комбинаторике и комбинаторной оптимизации), а также поиск алгебраических структур, которые могут иметь эти объекты (алгебраическая комбинаторика).

   Комбинаторика занимается не только построением теории, но и решением проблем, хотя она разработала мощные теоретические методы, особенно с конца двадцатого века.Одна из старейших и наиболее доступных частей комбинаторики — теория графов, которая также имеет многочисленные естественные связи с другими областями. Комбинаторика часто используется в информатике для получения оценок количества элементов определенных наборов.

   Первая глава Принципы подсчета полностью основан на перечислительной комбинаторике и включает такие темы, как перестановки и комбинации, рекурсивный подсчет, целочисленные разбиения, теория вероятностей.Он также включает такие понятия, как биномиальная теорема и ее приложения к производящим функциям, а также комбинаторные тождества. Многие техники перечислительной комбинаторики, такие как «Звезды и столбцы» и «Последовательности Фибоначчи», глубоко изучены.

   Вторая глава Теория графов и Рамсея обсуждает проблемы теории проектирования, экстремальной комбинаторики, конфигураций и теории сетей и их решения с помощью метода графов или систем вершин и ребер.Теория Рамсея — это раздел математики, изучающий условия, при которых должен возникать порядок. Некоторые важные аспекты включают пути, проблемы окраски, матрицы смежности и оптимальные покрытия.

   Третья глава Структурная алгебра посвящена теории групп и другим темам абстрактной алгебры с комбинаторным привкусом. Основное внимание в главе уделяется группам перестановок и диэдров, группам как циклическим или плотным, бесконечности групповых элементов, инвариантам групповых элементов и двоичным операциям над множествами.Некоторые хорошо известные проблемы в этой области включают поиск минимального количества шагов для решения любой перестановки кубика Рубика.

   Комбинаторика: определение, пошаговые статьи

   Комбинаторика — это раздел математики, который занимается отношениями, характеризующими множества, подмножества, списки и мультимножества.

   Иногда говорят, что комбинаторика — это раздел математики, который занимается счетом; и это правда, но не в том смысле, в котором вы научились считать в детском саду.Хотя комбинаторика занимается нумерацией и определением количества членов в наборах, она предназначена для поиска способов сделать это без фактического, потенциально утомительного подсчета.

   Статьи

   Нажмите на название статьи:

   1. Как решать задачи комбинаций и перестановок
   2. 5 Выберите 3: Определение комбинаций
   3. Теория графов
   4. Включение — Принцип исключения
   5. Теорема о полиномиальной теории
   6. Мультинабор, множественность и множественный выбор
   7. Дерево вероятностей: примеры, как рисовать легкими шагами
   8. Вероятностная модель
   9. Второго рода числа Стирлинга

   Перечисления, комбинации, перестановки

   Вы, вероятно, познакомились с комбинаторикой, когда узнали о комбинациях, перестановках и, возможно, перечислении.

   Перечисление — это способ подсчета, который включает в себя организацию подсчитываемых элементов в полном и систематизированном списке.

   Комбинации включают, вообще говоря, выбор подмножества из большего набора. Примером сочетания будет выбор трех учеников из класса из 26 человек или выбор трех ягод черники с куста с 600 ягодами. В комбинациях порядок не имеет значения.

   Перестановки не сильно отличаются от комбинаций, но здесь вы выбираете набор или список из упорядоченных без повторений.(В комбинаторике мы определяем список как упорядоченную последовательность объектов). Если вы выбираете не просто трех студентов, например, но президента студенческого совета, вице-президента и секретаря, вы выбираете упорядоченный список и работаете с перестановками.

   Комбинаторика также имеет дело с списками , которые допускают повторение; слова , состоящие из букв английского языка, являются хорошим примером этого. Затем есть еще мультимножеств , которые представляют собой неупорядоченных наборов , в которых разрешено повторение.

   Примеры комбинаторных задач

   Комитет из пяти студентов должен быть выбран из числа студентов, состоящих из 30 человек. Сколько существует возможных выборов?

   Эта классическая задача комбинаторики представляет собой пример комбинаций, в котором используется формула комбинаций:

   Подключаем всего 30 студентов (n), выбираем пять (r) в формулу, получаем:
   30! / (5! (30-5)!) = 30! / (5! * 25!) = 142506.

   Если бы каждая позиция в комитете была различима, мы бы смотрели на количество перестановок, а не на количество комбинаций.Это дается выражением n! / (N-k) !, или 30! / 25 !, что равно 17100720.

   Комбинаторика и статистика

   Комбинаторика и статистика — смежные области, и в статистических исследованиях используются многие комбинаторные методы. В частности, такие области, как непараметрическая статистика, теория статистического распределения, проблемы времени ожидания / теория массового обслуживания и изучение моделей урн, в значительной степени основаны на комбинаторных задачах.

   Поскольку комбинаторика дает нам ответы на вопрос о количестве возможных результатов, которые мы получаем при выборе подмножеств из более крупных множеств, комбинаторика также важна при разработке исследовательских проектов или исследований в области социальных наук.Он формирует основу для многих вероятностных проблем.

   Важные обозначения в комбинаторике

   n ^k подсчитывает количество списков с k элементами, взятыми из подмножества n элементов. Элементы могут повторяться, и порядок имеет значение. Этот n ^k такой же, как n ^k , с которым вы привыкли работать в алгебре: n ⁴ = n * n * n * n
   (n) _k считает число списков с k элементами — и без повторений — взятых из набора из n элементов (подумайте о перестановках).
   подсчитывает количество k-элементных подмножеств набора, содержащего n элементов. Повторение не допускается, и порядок не имеет значения (подумайте о комбинациях).

   подсчитывает количество k-элементных мультимножеств, которые могут быть взяты из n-элементного набора. Помните, что для мультимножеств порядок не имеет значения, и повторение разрешено.

   Список литературы

   Гринстед, К. и Снелл, Дж. (2012) Введение в вероятность. American Mathematical Soc.
   Гишар, Д. (2017). Введение в комбинаторику и теорию графов.Получено 30 октября 2017 г. из: https://www.whitman.edu/mat Mathematics/cgt_online/cgt.pdf.
   Балакришнан Н. (1997). Достижения комбинаторных методов и приложений теории вероятностей и статистики. Springer Science and Business Media.

   ————————————————— —————————-

   Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области.Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

   Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .

   Комбинаторный счет

   Этот сайт является частью JavaScript E-labs обучающих объектов для принятия решений. Другой JavaScript в этой серии классифицирован по различным областям приложений в разделе MENU на этой странице.

   ---

   Ниже приведен набор JavaScript для вычисления перестановок и комбинаций с подсчетом с повторениями или без них.

   Многие дисциплины и науки требуют ответа на вопрос: сколько? В теории конечной вероятности нам нужно знать, сколько результатов будет для конкретного события, и нам нужно знать общее количество исходов в пространстве выборки.

   Комбинаторика , также известная как Комбинаторная математика , представляет собой область математики, занимающуюся проблемами выбора, расположения и работы в конечной или дискретной системе.Его цель: как считать без счета. Поэтому одной из основных задач комбинаторики является определение количества возможных конфигураций объектов данного типа.

   Вы спросите, а почему комбинаторика? Если пробелы содержат конечный набор результатов, определение вероятности события часто является проблемой подсчета. Но часто числа слишком велики, чтобы их можно было сосчитать обычными способами 1, 2, 3, 4.

   Фундаментальный результат: Если операция состоит из двух шагов, из которых первый может быть выполнен n1 способами, а для каждого из них второй может быть выполнен n2 способами, тогда вся операция может быть выполнена в общей сложности n1 & раз n2 способами.

   Это простое правило можно обобщить следующим образом: если операция состоит из k шагов, из которых первый может быть выполнен n1 способами, и для каждого из них второй шаг может быть выполнен n2 способами, для каждого из них третий шаг может выполняется n3 способами и так далее, тогда вся операция может быть выполнена n1 × n2 × n3 × n4 × .. × nk способами.

   Числовой пример: Инспектор по контролю качества хочет выбрать одну деталь для проверки из каждой из четырех различных ячеек, содержащих 4, 3, 5 и 4 части соответственно.Общее количество способов, которыми могут быть выбраны части, составляет 4 × 3 × 5 и times4 или 240 способов.

   Факториальное обозначение: обозначение n! (читается как n факториал) означает по определению продукт:

   п! = (п) (п-1) (п-2) (п-3) … (3) (2) (1).

   Обратите внимание, что по соглашению 0! = 1, (т.е. 0! º 1). Например, 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

   Перестановки по сравнению с комбинацией: Перестановка — это расположение объектов из набора объектов.То есть объекты выбираются из определенного набора и перечисляются в определенном порядке. Комбинация — это выбор объектов из набора объектов, то есть объекты выбираются из определенного набора и перечисляются, но порядок, в котором они перечислены, не имеет значения.

   Количество способов выстраивания k объектов одновременно из n различных объектов обозначено как _n P ^k , и согласно предыдущему мы имеем:

   _n P ^k = (n) (n-1) (n-2) (n-3)…… (п-к + 1)

   Следовательно, количество перестановок n различных объектов, взятых k за раз, можно записать как:

   _n P ^k = n! / (п — к)!

   Комбинации: Есть много проблем, в которых мы заинтересованы в определении количества способов, которыми k объектов могут быть выбраны из n различных объектов, независимо от порядка, в котором они выбираются. Такие выборки называются комбинациями или k-наборами. Может быть полезно думать о комбинациях как о комитете.Главное здесь — невнимание к порядку.

   Количество комбинаций k объектов из набора с n объектами составляет _n C ^k . Например, комбинации {1,2,3,4}, взятые k = 2 за раз, следующие: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2, 4}, {3,4}, всего 6 = 4! / [(2!) (4-2)!] Подмножества.

   Общая формула:

   _n C ^k = n! / [k! (н-к)!].

   Перестановка с повторениями: Сколько различных буквенных комбинаций можно составить, используя буквы P E P P E R?

   В общем, есть полиномиальные коэффициенты:

   п! / (n ₁ ! n ₂ ! n ₃ !… n _r !)

   различные перестановки n объектов, из которых n ₁ одинаковы, n ₂ одинаковы, n ₃ одинаковы, ….. n _r одинаковы. Следовательно, ответ — 6! / (3! 2! 1!) = 60 возможных расстановок букв P E P P E R.

   МЕНЮ:

   1. Перестановка n объектов в группе размера k
   2. Перестановка n объектов в группе размера k, повторения допускаются
   3. Объединение n объектов в группу размером k
   4. Объединение n объектов в группу размером k, повторение разрешено

   Введите положительные целые значения для n и k, а затем нажмите Calculate .

   ---

   Перестановка n объектов в группе размера k, k £ n Перестановка n объектов в группе размера k, повторения разрешены Объединение n объектов в группу размером k, k £ n Объединение n объектов в группу размером k, повторение разрешено

   Некоторые разделы теории вероятностей, комбинаторики и теории информации

   Автор: Ли, Цзянгэ

   Цитируемый URI:

   http: // udspace.udel.edu/handle/19716/19957

   Советник: Мадиман, Мокшай; Ли, Вэньбо

   Отделение: Университет Делавэра, Отдел математических наук
   

   Издатель: University of Delaware

   Дата выпуска: 2016

   Аннотация: В диссертации исследуются три темы на стыке теории вероятностей, комбинаторики и теории информации. Первая часть посвящена изучению неравенств малого шара для сумм и разностей независимых, одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения в очень общих наборах.В зависимости от ситуации (абелевы или неабелевы группы, векторные пространства или банаховы пространства) мы предоставляем набор неравенств, связывающих различные вероятности маленького шара, которые являются точными во многих интересных случаях. Мы показываем, что в основе этих вероятностных неравенств без распределения лежат неравенства экстремального комбинаторного характера, связанные, среди прочего, с классическими проблемами упаковки, такими как проблема числа поцелуев. Что касается приложений, мы разрабатываем различные моментные неравенства.Вторая часть посвящена исследованию формальной параллельной связи между энтропийными неравенствами в теории информации и оценками сумм в аддитивной комбинаторике. Наша работа тесно связана с изучением множеств, в которых сумма больше, чем разностей, в аддитивной комбинаторике. Получены различные информационные теоретические неравенства, такие как энтропийный аналог неравенства Фреймана-Пигарева. Мы также представляем приложения наших результатов в построении полярных кодов со значительно улучшенной вероятностью ошибки по сравнению с канонической конструкцией.Принцип концентрации меры является одним из краеугольных камней геометрического функционального анализа и теории вероятностей, и он широко используется во многих других областях. В третьей части мы изучаем свойство концентрации информационного содержания, которое является одним из центральных интересов теории информации и имеет большое отношение к различным другим областям, таким как теория вероятностей, статистика и статистическая физика. На евклидовых пространствах получены точные оценки экспоненциального отклонения информативности, а также точная оценка вариентропии для выпуклых вероятностных мер.

   URI:

   http://udspace.udel.edu/handle/19716/19957

   Показать полную запись товара

   Н. А. Рашевский, “Метод траекторий в комбинаторике и теории вероятностей”, Матем. Ред., 2019. 4 (92), 43–57

   Студенты и преподаватели математических специальностей Метод траекторий в комбинаторике и теории вероятностей. Н.А. Рашевский Криворожский национальный университет Аннотация: Для решения комбинаторной или вероятностной задачи часто целесообразно использовать ее геометрическую интерпретацию, сводя задачу к подсчету количества путей (траекторий) с определенными свойствами. Это метод траектории. Ключевые слова: комбинаторные задачи, вероятностные задачи, метод траекторий, комбинаторные структуры, геометрическая интерпретация структур. Полный текст: PDF-файл (714 kB) Ссылки : PDF файл HTML файл УДК: 519.212.2 Образец цитирования: Н. А. Рашевский, “Метод траекторий в комбинаторике и теории вероятностей”, Матем. Ред., 2019. 4 (92), 43–57 Цитирование в формате AMSBIB \ RBibitem {Ras19} \ by Н. ~ А. ~ Рашевский \ paper Метод траекторий в комбинаторике и теории вероятностей \ jour Матем. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт