Углы при параллельных прямых и их свойства

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые  и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы  и  — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы  и ,  и  — тоже вертикальные.

Углы  и  — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы  и  (а также  и ,  и ,  и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

,

,

,

.

Углы  и  — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы  и  — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

,

.

Углы  и  (а также  и ,  и ,  и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

,

.

Углы  и  (а также  и ,  и ,  и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

,

,

,

.

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть  — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и  равны  и  соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и  параллельны,  — секущая, углы и  являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник  — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

.

Отсюда , .

Ответ: .

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы  и  — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

°.

Итак,

, тогда .

Ответ: .

Пары углов, образованные параллельными прямыми, пересеченными секущей

Когда есть две параллельные линии (на рисунке внизу), можно выделить две основные области: внутреннюю и внешнюю.

Когда две параллельные линии пересекаются третьей прямой, эта прямая называется секущей. В примере, приведенном ниже, образуются восемь углов, когда параллельные линии m и n пересекаются секущей — прямой t.

Есть несколько пар углов, образованных на этом рисунке. Некоторые пары уже рассмотрены:

      Вертикальные пары:       1 и 4

                                  2 и 3

                                  5 и 8

                                  6 и 7

Напомним, что все пары вертикальных углов равны.

      Смежные углы:       1 и 2

                                            2 и 4

                                            3 и 4

                                            1 и 3

                                            5 и 6

                                            6 and 8

                                            7 and 8

                                            5 and 7

Напомним, что смежные углы это углы, которые дополняют друг друга до 180°. Все эти смежные пары есть линейными парами. Есть и другие пары смежных углов, которые описаны далее в этом разделе. Есть еще три специальные пары углов. Эти пары есть конгруэнтными (равными) парами.

Внутренние накрест лежащие углы это два угла во внутренней области параллельных прямых и на разных сторонах секущей. Внутренние накрест лежащие углы попарно равны.

Внешние накрест лежащие углы это два угла во внешней области параллельных прямых и на разных сторонах секущей. Внешние накрест лежащие углы попарно равны.

Соответственные углы это два угла, один во внешней области, один во внутренней области, и которые лежат на одной стороне секущей. Соответственные углы равны.

Используйте следующие диаграмма параллельных линий, пересеченных секущей, чтобы дать ответы на вопросы в примерах.

Пример:

Чему равен угол 8?

Угол, величина которого на рисунке равна 53° и 8 — внешние накрест лежащие углы. Так как такие углы являются равными, то величина 8 = 53°.

Пример:

Чему равен угол 7?

8 и 7 есть линейной парой; они смежные. Они дополняют друг друга до 180°. Поэтому, 7 = 180° – 53° = 127°.

1. Когда секущая пересекает параллельные прямые, все образующиеся при этом острые углы равны, и все образующиеся тупые углы- равны.

На рисунку вверху1, 4, 5, и 7 есть острыми углами. Они все равны между собой. 1 ≅ 4 есть вертикальными углами. 4 ≅ 5 есть внутренним накрест лежащими углами, и 5 ≅ 7 — вертикальные углы. То же свойство и справедливо для тупых углов на рисунке: 2, 3, 6, и 8 есть равными между собой.

2. Когда секущая пересекает параллельные прямые, один любой образующийся угол и один любой образующийся тупой угол есть смежными.

На рисунке Вы можете видеть, что 3 и 4 являются смежными, потому что они есть линейной парой. Обратите внимание, что 3 ≅ 7, так как они есть соответсвенными углами. Поэтому, вы можете заменить 7 на 3 и знать, что 7 и 4 есть смежными.

Пример:

На рисунке внизу изображены две параллельные прямые, пересечённые секущей. Какой из пронумерованных углов является смежным к углу 1?

Угол, смежный 1 есть 6. 1 является тупым углом, а как мы помним, любой острый угол является смежным любому тупому углу. Но на рисунке пронумерован только один острый угол.

Виды и отношения углов

1. Главная
2. Геометрия
3. Начальные геометрические сведения
4. Виды и отношения углов

Развёрнутый угол и угловой градус

Развёрнутый угол — это угол, образованный двумя дополнительными полупрямыми. Развёрнутый угол принимаем равным 180°. Таким образом один угловой градус — это 1/180 часть развёрнутого угла.

AB и AC — это две дополнительные полупрямые, образующие развёрнутый угол BAC. Двигай луч AB.

Виды углов

Острый угол больше 0°, но меньше 90°. Тупой угол больше 90°, но меньше 180°. Прямой угол равен 90°.

Угол ABC — острый. Двигай точки A, B и C. Угол DEF — тупой. Двигай точки D, E и F. Угол GHI — прямой. Двигай точки G, H и I.

Смежные углы

Смежные углы это такие углы, у которых одна сторона общая, а две другие — дополнительные полупрямые.

Здесь углы BAC и CAD — смежные. У них сторона AC — общая, а стороны AB и AD — дополнительные полупрямые.

Вертикальные углы

Вертикальные углы — это углы, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого угла.

Здесь углы BAC и DAE — вертикальные. У них сторона AB — дополнительная полупрямая к стороне AD, а сторона AC — дополнительная полупрямая к стороне AE. Двигай точки A, B и C.

Соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.

При пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы — это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, сонаправлены, и стороны, лежащие на секущей, сонаправлены.

Через точку C проходит прямая, параллельная прямой AB. Двигай точки A, B и C. Тронь внутреннюю область угла, чтобы выделить этот угол и соответственный ему угол.

Односторонние углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.

При пересечении двух параллельных прямых секущей односторонние углы — это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, сонаправлены, а стороны, лежащие на секущей, противоположно направлены.

Через точку C проходит прямая, параллельная прямой AB. Двигай точки A, B и C. Тронь внутреннюю область угла, чтобы выделить этот угол и односторонний с ним угол.

Накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.

При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы — это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, противоположно направлены, и стороны, лежащие на секущей, противоположно направлены.

Через точку C проходит прямая, параллельная прямой AB. Двигай точки A, B и C. Тронь внутреннюю область угла, чтобы выделить этот угол и накрест лежащий с ним угол.

Урок 19. признаки параллельности прямых — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 19

Признаки параллельности прямых

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Параллельные прямые.
• Накрест лежащие, соответственные, односторонние углы.
• Признаки параллельности прямых.
• Решение задач на доказательство параллельности прямых.

Тезаурус:

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признаки параллельности двух прямых:

1. Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже знаете, что при пересечении двух прямых секущей образуются углы:

• накрест лежащие: 3 и 6, 4 и 5.
• односторонние: 3 и 5, 4 и 6.
• соответственные: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6; 4 и 8.

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

Рассмотрим и докажем признаки параллельности прямых.

Теорема 1.

Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠ 1 = ∠ 2 накрест лежащие.

Доказать: a║b.

Доказательство:

1 случай:

∠1 = ∠2 = 90°

В этом случае две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются, т. е. параллельны.

2 случай: ∠ 1= ∠ 2 ≠ 90°

1) Из середины O отрезка AB проведём перпендикуляр OH к прямой а. На прямой b от точки B отложим отрезок BH₁, равный отрезку AH и проведем отрезок OH₁.

2) AO = OB т. к. O середина AB; AH = BH₁ по построению; ∠1 = ∠2 по условию. Тогда ΔOHA = ΔOH₁B по первому признаку равенства треугольников.

Далее следует из равенства треугольников: ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6.

3) Из равенства углов ∠3 и ∠4 следует, что точка H₁ лежит на продолжении луча OH. Это значит, что точки H₁, O, H лежат на одной прямой.

4) Из равенства ∠5 и ∠6 следует, что ∠6 = 90°. Это значит, что прямые a и b перпендикулярны к третьей НН₁, а значит, по теореме о двух прямых, перпендикулярных к третьей, не пересекаются, т. е. параллельны.

Теорема 2.

Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠1 = ∠2 соответственные.

Доказать: a ║b.

Доказательство:

∠1 = ∠2 – по условию и ∠2 = ∠3 – по свойству вертикальных углов.

Значит, ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Теорема 3.

Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано:

Прямые a и b, секущая AB, ∠1 + ∠2 = 180° ‑ односторонние.

Доказать: a║b.

∠3 +∠2 = 180°– по свойству смежных углов, откуда ∠3 = 180° – ∠2.

∠1 + ∠2 = 180^° по условию, откуда ∠1 = 180° – ∠2.

Тогда ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Задача 1

Дано: ∠1= 60°, ∠2 = 120°.

Докажите: a║b

Решение:

1. ∠2 и ∠3 смежные, ∠3 = 180° – 120° = 60° по свойству смежных углов;
2. ∠3 = ∠1, это накрест лежащие углы;
3. Значит, прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Ответ: прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Задача 2.

Дано: ΔABC – равнобедренный, ∠А = 60°. CD – биссектриса ∠BCK.

Докажите: AB ║ CD.

Доказательство:

1. ∠A = ∠C = 60° – углы при основании равнобедренного Δ–ка равны.
2. ∠BCK и ∠С смежные. ∠BCK = 180° – 60°= 120° – по свойству смежных углов.
3. ∠BCD = ∠CDK = 60° т. к. CD – биссектриса делит угол пополам.
4. Значит, ∠A = ∠DCK = 60° ‑ соответственные, следовательно, AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

Ответ: AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

Геометрия. Урок 2. Углы — ЁП

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠AOB  или ∠BOA,  но ни в коем случае не ∠OAB,∠OBA,∠ABO,∠BAO.

Величину угла измеряют в градусах. ∠AOB=24°.

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Или

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

OD – биссектриса угла ∠AOB. Она делит этот угол на два равных угла.

∠AOD=∠BOD=∠AOB2

Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон OA и OB угла ∠AOB.

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна 180°.

Пример:

Пары углов

(1) и (3)
(2) и (4)

называются вертикальными.

По свойству вертикальных углов:

∠COD=∠AOB
∠BOD=∠AOC

Пары углов

(1) и (2)
(2) и (3)
(3) и (4)
(4) и (1)

называются смежными.

По свойству смежных углов:

∠COD+∠DOB=180°∠DOB+∠BOA=180°∠BOA+∠AOC=180°∠AOC+∠COD=180°

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

Пары углов:

(1) и (5)
(2) и (6)
(3) и (7)
(4) и (8)

называются соответственными.
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

Пары углов:

(3) и (5)
(4) и (6)

называются внутренними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

Пары углов:

(1) и (7)
(2) и (8)

называются внешними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

Пары углов:

(3) и (6)
(4) и (5)

называются внутренними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

Пары углов:

(1) и (8)
(2) и (7)

называются внешними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны, то углы имеют следующие свойства:

• Соответственные углы равны.
• Внутренние накрест лежащие углы равны.
• Внешние накрест лежащие углы равны.
• Сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
• Сумма внешних односторонних углов равна 180°.

Сумма углов произвольного n-угольника вычисляется по формуле:

Sn=180°⋅(n−2)

где n – это количество углов в n-угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n-угольника.

Сумма углов треугольника: S3=180°⋅(3−2)=180°

Сумма углов четырехугольника: S4=180°⋅(4−2)=360°

Сумма углов пятиугольника: S5=180°⋅(5−2)=540°

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Чтобы найти величину угла правильного n-угольника, необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

αn=180°⋅(n−2)n

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

Скачать домашнее задание к уроку 2.

1. Определение и доказательства признаков параллельности прямых в плоскости

Рис. \(1\). Железная дорога. Рельсы не пересекаются.

Две прямые в плоскости, либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек).

На плоскости две прямые \(a\) и \(b\), которые не пересекаются, называются параллельными и обозначаются a∥b.

Обрати внимание!

Если рассмотреть прямые, которые не лежат в одной плоскости, то возможна ситуация, что прямые не пересекаются, но они и не параллельны.

Рис. \(2\). Выделенные малиновым цветом отрезки не параллельны.

Один из признаков параллельности прямых на плоскости гласит:

1. признак. Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Рис. \(3\). Один из признаков параллельности прямых на плоскости.

Этот признак легко доказать, если вспомнить, что к прямой в плоскости из любой точки можно провести только один перпендикуляр.

Допустим, что прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не параллельны, то есть имеют общую точку.

Рис. \(4\). Доказательство признака параллельности прямых на плоскости.

Получается противоречие — из одной точки \(H\) к прямой \(c\) проведены два перпендикуляра. Такое невозможно, поэтому две прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

Для рассмотрения других признаков надо ознакомиться с некоторыми видами углов:

1) вспомним, что нам известны названия и свойства углов, которые образуют две пересекающиеся прямые.

Рис. \(5\). Углы, образованные двумя пересекающимися прямыми.

Вертикальные углы равны: ∡1=∡3;∡2=∡4.

Сумма смежных углов 1800:∡1+∡2=∡2+∡3=∡3+∡4=∡4+∡1=1800.

2) Вспомним названия углов при пересечении двух прямых третьей прямой (секущей).

Рис. \(6\). Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.

Накрест лежащие углы: ∡3 и ∡5;∡2 и ∡8;

соответственные углы: ∡1 и ∡5;∡4 и ∡8;∡2 и ∡6;∡3 и ∡7;

односторонние углы: ∡3и∡8;∡2и∡5.

Эти углы помогут определить параллельность прямых \(a\) и \(b\). Итак, другой признак параллельности прямых на плоскости гласит:

2. признак. Если при пересечении двух прямых третьей секущей:

накрест лежащие углы равны, или

соответственные углы равны, или

сумма односторонних углов равна \(180°\) — то прямые параллельны.

Рис. \(7\). Признаки параллельности прямых на плоскости.

Приведём доказательство.

Сначала докажем: если прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\), и накрест лежащие углы равны, то прямые \(a\) и \(b\) параллельны.

Например, если ∡3=∡5, то a∥b.

Рис. \(8\). Признак параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов.

Рис. \(9\). Доказательство признака параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов.

1) Отметим точки \(C\) и \(D\), в которых прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\). Через серединную точку \(K\) этого отрезка проведём перпендикуляр \(AB\) к прямой \(a\).

2) ∡CKA \(=\) ∡DKB как вертикальные углы, ∡3 \(=\) ∡5 \(=\) α, \(CK = KD\) — значит, ΔCKA \(=\) ΔDKB по признаку о стороне и двум прилежащим к ней углам.

3) Очевидно, если ΔCKA прямоугольный, то и ΔDKB прямоугольный, и \(AB\) перпендикулярен к прямой \(b\).

4) Согласно первому доказанному признаку прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны. 

5) В случае, когда равны соответственные углы, имеем в виду, что вертикальные углы равны, и доказываем, как в пунктах 1) — 4).

Рис. \(10\). Признак параллельности прямых по равенству соответственных углов.

Рис. \(12\). Доказательство признака параллельности прямых по равенству соответственных углов.

6) В случае, когда сумма односторонних углов равна 180°, имеем в виду, что сумма смежных углов тоже равна \(180°\), и используем в доказательстве пункты 1) — 4). 

Рис. \(13\). Признак параллельности прямых по сумме односторонних углов.

Рис. \(14\). Доказательство признака параллельности прямых по сумме односторонних углов.

О свойствах параллельных прямых — в следующем пункте теории.

Источники:

Рис. 1. Железная дорога. Указание авторства не требуется, https://clck.ru/V8F9q.

Основные факты о треугольниках, теория в ЕГЭ по математике

\[{\Large{\text{Основные сведения}}}\]

Определения

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки.\circ\).

Вертикальные углы равны: \(\alpha=\gamma\).

Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.

Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.

Теоремы: признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.\circ\).

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Замечание

Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

\[{\Large{\text{Параллельные прямые}}}\]

Определение

Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Замечание

Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.\circ\), то \(\angle 4 = \angle 1 + \angle 2\), что и требовалось доказать.
 

\[{\Large{\text{Равнобедренный треугольник}}}\]

Определения

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона — основанием.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство

Пусть \(ABC\) – равнобедренный треугольник, \(AB = BC\), \(BD\) – биссектриса (проведённая к основанию).

Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(BCD\): \(AB = BC\), \(\angle ABD =
\angle CBD\), \(BD\) – общая. Таким образом, \(\triangle ABD =
\triangle BCD\) по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства этих треугольников следует, что \(AD = DC\), следовательно, \(BD\) – медиана.\circ = \angle CDB\), то есть \(BD\) – высота.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство

Проведем биссектрису \(BD\) (см. рисунок из предыдущей теоремы). Тогда \(\triangle ABD=\triangle CBD\) по первому признаку, следовательно, \(\angle A=\angle C\).

Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
 

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.\circ\).

Свойства параллельных линий — урок. Математика CBSE, Class 7.

Две прямые, лежащие на одной плоскости, либо имеют только одну общую точку, либо не имеют единой общей точки.
В одном случае говорят, что линии пересекаются, во втором случае линии не пересекаются.

Две прямые на плоскости \ (a \) и \ (b \), которые не пересекаются, называются параллельными линиями и имеют вид a & par; b.

Важно!

Если мы рассмотрим две прямые, которые не лежат в одной плоскости, то возможно, что эти линии не пересекаются друг с другом.Итак, это не параллельные линии.

Один из признаков параллельных прямых на плоскости:

1. Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Эту особенность легко доказать, если вспомнить, что к прямой на плоскости из любой точки можно провести только один перпендикуляр.

Предположим, что прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не параллельны, то есть имеют общую точку.

Получается противоречие — точка \ (H \) прямо к точке \ (c \), видны два перпендикуляра.Это невозможно, поэтому две прямые на плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.

Чтобы рассмотреть другие знаки, вам необходимо ознакомиться с некоторыми типами углов:

1) Названия и свойства углов, образующих две пересекающиеся прямые:

Вертикальные углы: & angmsd; 1 = & angmsd; 3; & angmsd; 2 = & angmsd; 4.
Сумма смежных углов будет 180 °: & angmsd; 1 + & angmsd; 2 = & angmsd; 2 + & angmsd; 3 = & angmsd; 3 + & angmsd; 4 = & angmsd; 4 + & angmsd; 1 = 180 °.

2) Если две прямые пересекают третью, то углы называются так:

лежащих углов: & angmsd; 3 и & angmsd; 5; & angmsd; 2 и & angmsd; 8;
соответствующих углов: & angmsd; 1 и & angmsd; 5; & angmsd; 4 и & angmsd; 8; & angmsd; 2 и & angmsd; 6; & angmsd; 3 и & angmsd; 7;
односторонних уголка: & angmsd; 3 и & angmsd; 8; & angmsd; 2 и & angmsd; 5.

Эти углы помогут определить параллельность прямых \ (a \) и \ (b \).Итак, еще один признак параллельности прямых на плоскости:

2. Если на пересечении двух прямых третьей секущей:
— лежащие углы равны, или
— соответствующие углы равны, или
— сумма односторонних углов равна 180 ° — тогда прямые параллельны.

Докажем эту особенность.

Если прямые \ (a \) и \ (b \) пересекают прямую \ (c \) и лежащие на них углы равны, то прямые \ (a \) и \ (b \) параллельны .

Например, если & angmsd; 3 = & angmsd; 5, то a & par; b.

1) Обратите внимание на точки \ (C \) и \ (D. \), в которых прямые \ (a \) и \ (b \) пересекают прямую \ (c \). Через середину \ (K \) проведите перпендикуляр этого отрезка \ (AB \) к прямой \ (a \).
2) & angmsd; CKA = & angmsd; DKB аналогично вертикальным углам & angmsd; 3 = & angmsd; 5 = α, \ (CK = KD \), что означает ΔCKA = ΔDKB на основе стороны и двух смежных углов.
3) Если ΔCKA и ΔDKB равны, то AB перпендикулярна прямой b.
4) Согласно первому проверенному признаку, прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
5) В случае, когда соответствующие углы равны, мы подразумеваем, что вертикальные углы равны, и доказываем, как в пунктах 1) — 4).

6) В случае, когда сумма односторонних углов равна 180 °, мы имеем в виду, что сумма смежных углов также равна 180 °, и мы используем пункты 1) — 4) в доказательстве.

3. Знак параллельных прямых также действует как свойство параллельных прямых.

На пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:
— поперечные углы равны,
— соответствующие углы равны,
— сумма односторонних углов равна 180 °.

Если две параллельные прямые пересекаются 3. Параллельные линии, знаки и условия для параллельных линий. перекрестные углы равны

AB и ОТ D пересекает третья линия MN , то образующиеся при этом углы попарно получают следующие названия:

соответствующие углы : 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6 , 3 и 7;

внутренние перекрещивающиеся углы : 3 и 5, 4 и 6;

внешние углы : 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы : 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы : 1 и 8, 2 и 7.

Итак, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 = ∠ 8.

3.
Соответствующие углы 2 и 6 одинаковые, так как ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Так же следим за равенством остальных соответствующих углов.

4.
Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0, а ∠ 4 можно заменить на идентичный ∠ 6.Также убеждаемся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.

5.
Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренних односторонних углов , как и углов по вертикали .

Из приведенного выше доказательства получаем обратных теорем.

Когда на пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получаем, что:

1. Внутренние перекрестные углы такие же;

или 2. Наружные углы такие же;

или 3. Соответствующие углы совпадают;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0;

или 5. Сумма внешней односторонней равна 2d = 180 0 ,

то первые две линии параллельны.

Определение-де-ле-ни:

Два прямых на-зы-ва-ут-ся па-ра-лель-ус-ми , если они не ре-се-ка-сы (рис.1). Обозначается это так:

Через точку, которая не лежит на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной (рис. 2) .

Следствия из аксиомы

Следствие 1:

Если прямая pe-re-se-ka-et одна из параллельных-прямых, то она trans-se-ka-et и другая.

Дано: .

До-к-зат: .

Доказательства:

Будем звонить наоборот. Представим, что из не пересекаются прямо b (рис. 4).

Тогда: (по условию), (по пре-ло-сам-ню). То есть через точку M проходят две прямые ( и и c ), па-ра-лел-ный прямой b … А это pro-t-in- перечитать ак-сио-ме. Знаете, у нас неправильное предварительное размещение.Тогда прям мая c pe-re-se-chet прямо b .

Следствие 2:

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис. 5) .

Дано: .

До-к-зат: .

Доказательства:

Перезвоним с обратного. Предварительно нажмите эту прямую a и b pe-re-se-k-are-Xia в определенной точке M (рис.6).

Таким образом, by-lo-cha-em pro-ty-in-speech с ak-si-o-my: через точку M pro-go-dyat две прямые, одноразовые, но параллельные -лел-ные третьи подряд.

Next-to-va-tel-но, наше pre-po-lo-g-ness неверно. Потом.

Теоремы о свойствах параллельных прямых

Тео-ре-ма 1:

Если две прямые пе-ре-се-че-ный се-ку-щей, то на-поперечном углы лежания равны (рис. 7).

Дано: .

До-к-зат: .

Доказательства:

Перезвоним с обратного. Давайте сделаем вид, что:.

Тогда от луча MN можно избавиться только от угла ∠
PMN , что будет равно ∠
2 ( рисунок: 7). Но тогда ∠
PMN и ∠
2
— на кресте лежат и равны. Потом прямые PM и b — па-ра-лел-ный.Затем через точку M пройдите две прямые, паралель-ный третий. А именно:

In-lu-cha-em pro-t-in-speech с ak-si-o-my. Знаю-чит, наша пре-по-ло-ше-ность ошибочна. То есть:.

Последствия:

Если прямая-майская-пер-ди-ку-лар-на одной из па-ра-лель-прямых линий, то это пер-пер-ди-ку-лар-на и вторая.

Дано:

До-к-зат:

Обоснование:

.

1. из pe-re-se-ka-e и , но это означает-chit, а pe-re-se-ka-e-pa-ra-lel-nue ее прямая, то есть b .. Затем из — се-ку-ая по отношению к и и b .

2. насколько они на кресте лгут. Потом. Т.е. .

Тео-ре-ма 2:

Если две параллельные прямые — пе-ре-се-че-ный се-ку-щей, то углы совместного ответа равны.

Дано: — се-ку-щая.

До-к-зат: (рис.9).

Обоснование:

.

Если, то из предыдущей теоремы следует, что углы прилегания равны. Т.е.

ГЛАВА III.
ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ЛИНИЯ

§ 38. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ УГЛАМИ,
ОБРАЗУЕТСЯ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ И БЕЗОПАСНЫМИ.

Мы знаем, что две прямые параллельны, если при пересечении их третьей прямой соответствующие углы равны, либо внутренние или внешние пересекающиеся углы, либо сумма внутренних, либо сумма внешних односторонних углы 2 d … Докажем, что верны и обратные теоремы, а именно:

Если две параллельные линии пересекает третья, то:

1) соответствующие углы равны;
2) внутренние углы, лежащие крест-накрест, равны;
3) углы расположения наружного креста равны;
4) сумма внутренних односторонних углов 2
г
;
5) сумма внешних односторонних углов 2
г
.

Докажем, например, что если две параллельные прямые пересекаются третьей линией, то соответствующие углы равны.

Пусть прямые AB и CD параллельны, а MN — их секущая (рис. 202). Докажем, что соответствующие углы 1 и 2 равны друг другу.

Предположим, что /
1 и /
2 не равны. Тогда в точке O можно построить /
IOC, соответствующий и равный /
2 (рис.203).

Но если /
MOQ = /
2, то линия OK будет параллельна CD (§ 35).

Мы получили, что через точку O проводятся две прямые AB и OK, параллельные прямой CD. Но этого не может быть (§ 37).

Мы пришли к противоречию, поскольку предположили, что /
1 и /
2 не равны. Следовательно, наше предположение неверно и /
1 должно быть равно /
2, т.е. соответствующие углы равны.

Установим соотношение между остальными углами. Пусть прямые AB и CD параллельны, а MN — их секущая (рис. 204).

Мы только что доказали, что в этом случае соответствующие углы равны. Предположим, что любые два из них имеют по 119 °. Давайте посчитаем размер каждого из шести других углов. Основываясь на свойствах смежных и вертикальных углов, мы находим, что четыре из восьми углов будут иметь по 119 ° каждый, а остальные — по 61 ° каждый.

Оказалось, что и внутренний, и внешний углы, лежащие попарно, равны, а сумма внутренних или внешних односторонних углов составляет 180 ° (или 2 d ).

То же самое будет иметь место для любого другого значения равных соответствующих углов.

Следствие 1. Если каждая из двух прямых AB и CD параллельна одной и той же третьей прямой МN, то первые две прямые параллельны друг другу
(рис.205).

Действительно, после прохождения секущей EF (рис.206), получаем:
и) /
1 = /
3, так как AB || MN; б) /
2 = /
3, так как CO || MN.

Следовательно, /
1 = /
2, а это углы, соответствующие прямым AB, CD и секущей EF, следовательно, прямые AB и CD параллельны.

Следствие 2. Если линия перпендикулярна одной из двух параллельных линий, то она перпендикулярна другой
(рис.207).

Действительно, если EF _ | _ AB, затем /
1 = d ; если AB || CD, затем /
1 = /
2.

Следовательно, /
2 = d т.е. ЕF _ | _ СD.

Стр. 1 из 2

Вопрос 1. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Ответ. Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Доказательства. Пусть прямые a и b параллельны прямой c.Предположим, что a и b не параллельны (рисунок 69). Тогда они не пересекаются в некоторой точке C. Значит, через точку C проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно, поскольку через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана.

Вопрос 2. Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются перекрестными?
Ответ. Пары углов, которые образуются на пересечении прямых AB и CD секущей AC, имеют специальные названия.
Если точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними односторонними (рис. 71, а).
Если точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются перекрестно лежащими (рис. 71, б).

Рисунок: 71

Вопрос 3. Докажите, что если внутренние поперечные углы одной пары равны, то поперечные внутренние углы другой пары также равны, и сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180 °.
Ответ. Секущая AC образует прямыми AB и CD две пары внутренних односторонних и две пары внутренних перекрещивающихся углов. Внутренние перекрещивающиеся углы одной пары, например угол 1 и угол 2, примыкают к внутренним перекрещивающимся углам другой пары: углу 3 и углу 4 (рис. 72).

Рисунок: 72

Следовательно, если внутренние углы перекрестного расположения одной пары равны, то внутренние углы перекрестного расположения другой пары также равны.
Пара перекрестно лежащих внутренних углов, например, угол 1 и угол 2, и пара внутренних односторонних углов, например, угол 2 и угол 3, имеют один общий угол — угол 2 и два других. углы смежны: угол 1 и угол 3.
Следовательно, если внутренние углы, лежащие крест-накрест, равны, то сумма внутренних углов равна 180 °. И наоборот: если сумма углов внутреннего перекрестия равна 180 °, то углы внутреннего перекрестия равны. Q.E.D.

Вопрос 4. Докажите критерий параллельности прямых.
Ответ. Теорема 4.2 (критерий параллельности прямых). Если углы расположения внутреннего креста равны или сумма односторонних внутренних углов равна 180 °, то прямые линии параллельны.
Доказательства. Пусть прямые a и b образуют с секущей AB равные поперечные углы (рис. 73, a). Предположим, что прямые a и b не параллельны, значит, они пересекаются в некоторой точке C (рис. 73, b).

Рисунок 73

Секущая AB разделяет плоскость на две полуплоскости.Один из них содержит точку C. Постройте треугольник BAC 1, равный треугольнику ABC, с вершиной C 1 в другой полуплоскости. По предположению, внутренние углы перекрестия для параллелей a, b и секущей AB равны. Поскольку соответствующие углы треугольников ABC и BAC 1 с вершинами A и B равны, они совпадают с внутренними углами, лежащими на пересечении. Следовательно, прямая AC 1 совпадает с прямой a, а прямая BC 1 совпадает с прямой b. Оказывается, две разные прямые a и b проходят через точки C и C 1.Это невозможно. Следовательно, прямые a и b параллельны.
Если прямые a, b и секущая AB имеют сумму внутренних односторонних углов, равную 180 °, то, как мы знаем, внутренние углы, лежащие крест-накрест, равны. Следовательно, по доказанному выше прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

Вопрос 5. Объясните, какие углы называются соответствующими. Докажите, что если внутренние углы, лежащие крест-накрест, равны, то соответствующие углы также равны, и наоборот.

Ответ. Если один угол пары перекрестно лежащих внутренних углов заменить на вертикальный, то получится пара углов, которые называются соответствующими углами этих прямых с секущей. Это именно то, что нужно было объяснить.
Из равенства внутренних углов, лежащих крест-накрест, следует равенство соответствующих углов, и наоборот. Предположим, у нас есть две параллельные прямые (поскольку по условию внутренние углы, лежащие крест-накрест, равны) и секущая, образующая углы 1, 2, 3.Углы 1 и 2 равны углам расположения внутреннего креста. А углы 2 и 3 равны по вертикали. Получаем: \ (\ угол \) 1 = \ (\ угол \) 2 и \ (\ угол \) 2 = \ (\ угол \) 3. По Из свойства транзитивности знака равенства следует, что \\ (\\ angle \\) 1 = \\ (\\ angle \\) 3. Обратное утверждение доказывается аналогично.
Это указывает на параллельность прямых линий под соответствующими углами. А именно: прямые параллельны, если соответствующие углы равны.Q.E.D.

Вопрос 6. Докажите, что параллельную линию можно провести через точку, не лежащую на данной прямой. Сколько линий, параллельных данной линии, можно провести через точку, не лежащую на этой линии?

Ответ. Задача (8). Вам даны прямая AB и точка C, не лежащие на этой прямой. Докажите, что через точку C вы можете провести линию, параллельную линии AB.
Решение. Линия AC разделяет плоскость на две полуплоскости (рис. 75). Точка Б лежит в одном из них.Отложим от полупрямой CA до другой полуплоскости угол ACD, равный углу CAB. Тогда прямые AB и CD будут параллельны. Действительно, для этих линий и секущей AC углы BAC и DCA являются поперечными внутренними углами. А поскольку они равны, прямые AB и CD параллельны. Q.E.D.
Сравнивая постановку задачи 8 и аксиому IX (основное свойство параллельных прямых), мы приходим к важному выводу: через точку, которая не лежит на этой прямой, можно провести линию, параллельную ей, и только одну.

Вопрос 7. Докажите, что если две прямые пересекают третью линию, то внутренние углы, лежащие крест-накрест, равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180 °.

Ответ. Теорема 4.3 (обратная к теореме 4.2). Если две параллельные прямые пересекают третью прямую, то углы расположения внутреннего креста равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180 °.
Доказательства. Пусть a и b — параллельные прямые, а c — прямая, пересекающая их в точках A и B.Проведите линию a 1 через точку A так, чтобы внутренние углы пересечения, образованные секущей c с прямыми a 1 и b, были равны (рис. 76).
На основании параллельности прямых, прямые a 1 и b параллельны. А поскольку через точку A проходит только одна прямая, параллельная прямой b, то прямая a совпадает с прямой a 1.
Следовательно, внутренние перекрестные углы, образованные секущей с
параллельными прямыми a и b равны.Теорема доказана.

Вопрос 8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если линия перпендикулярна одной из двух параллельных линий, то она перпендикулярна другой.
Ответ. Из теоремы 4.2 следует, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Предположим, что любые две прямые перпендикулярны третьей линии. Следовательно, эти прямые пересекаются с третьей линией под углом, равным 90 °.
Из свойства углов, образованных на пересечении параллельных прямых с секущей, следует, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна другой.

Вопрос 9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180 °.

Ответ. Теорема 4.4. Сумма углов треугольника составляет 180 °.
Доказательства. Пусть ABC — заданный треугольник. Проведите прямую через вершину B параллельно прямой AC. Отметим на нем точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC (рис. 78).
Углы DBC и ACB равны, поскольку они лежат крест-накрест, образованы секущей BC с параллельными прямыми AC и BD.Следовательно, сумма углов треугольника в вершинах B и C равна углу ABD.
И сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Поскольку эти углы являются внутренними односторонними для параллелей AC и BD и секущей AB, их сумма составляет 180 °. Теорема доказана.

Вопрос 10. Докажите, что у любого треугольника есть как минимум два острых угла.
Ответ. Действительно, предположим, что у треугольника есть только один острый угол или вообще нет острых углов.Тогда у этого треугольника есть два угла, каждый из которых составляет не менее 90 °. Сумма этих двух углов составляет не менее 180 °. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180 °. Q.E.D.

Признаки параллельности двух прямых

Теорема 1. Если на пересечении двух секущих:

углы перекрещивания равны, или

соответствующие углы равны, или

сумма односторонних углов 180 °, тогда

прямые параллельны (рис.1).

Доказательства. Мы ограничиваемся доказательством случая 1.

Предположим, что на пересечении прямых a и b секущей AB углы пересечения равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что a || б.

Предположим, что прямые a и b не параллельны. Затем они пересекаются в некоторой точке M и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника ABM. Пусть для определенности 4 — внешний угол треугольника ABM, а ∠ 6 — внутренний.Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что 4 больше 6, а это противоречит условию, которое означает, что прямые a и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

Следствие 1. Две разные прямые в плоскости, перпендикулярной одной прямой, параллельны (рис. 2).

Комментарий. То, как мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется противоречием или сведением к абсурду. Этот метод получил свое первое название, потому что в начале рассуждений делается предположение, противоположное (противоположное) тому, что требуется для доказательства.Это называется доведением до абсурда потому, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к абсурдному выводу (до абсурда). Получение такого заключения заставляет нас отказаться от предположения, сделанного вначале, и принять то, которое требовалось доказать.

Цель 1. Построить прямую линию, проходящую через заданную точку M и параллельную заданной прямой линии a, но не проходящую через M.

Решение.
Проведите через точку M прямую p, перпендикулярную прямой a (рис.3).

Затем проводим прямую b через точку M перпендикулярно прямой p. Прямая b параллельна прямой a согласно следствию теоремы 1.

Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на заданной линии, всегда можно провести линию, параллельную заданной .

Основное свойство параллельных линий заключается в следующем.

Аксиома параллельных прямых. Через заданную точку, которая не лежит на заданной линии, проходит только одна линия, параллельная заданной.

Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.

1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, она также пересекает другую (рис. 4).

2) Если две разные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис. 5).

Также верна следующая теорема.

Теорема 2. Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:

углы перекрещивания равны;

соответствующие углы равны;

сумма односторонних углов составляет 180 °.

Следствие 2. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна другой (см. Рис. 2).

Комментарий. Теорема 2 называется обращением теоремы 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратное, то есть если эта теорема верна. , то обратное утверждение теоремы может быть неверным.

Поясним это на примере теоремы о вертикальном угле.Эту теорему можно сформулировать следующим образом: если два угла вертикальны, то они равны. Обратная теорема будет следующей: если два угла равны, то они вертикальны. И это, конечно, неправда. Два равных угла вовсе не обязательно должны быть вертикальными.

Пример 1. Две параллельные линии пересекает третья. Известно, что разница между двумя внутренними односторонними углами составляет 30 °. Найдите эти углы.

Решение.
Пусть рисунок 6 удовлетворяет условию.

Чтение: Карты | Геология

Карты — важный инструмент в геологии. Карты так же важны в геологии, как письменные тексты при изучении литературы. Изучая карты, геолог может увидеть форму и геологию земной поверхности и определить геологические структуры, скрытые под поверхностью. Геологов обучают чтению и составлению карт. Многие геологи имеют опыт картирования некоторых частей земной поверхности.

Для умелого чтения карт требуется некоторое обучение.От вас не ожидается, что вы станете экспертом-геологом в чтении карт. Однако ожидается, что вы разовьете свои навыки чтения карт, когда будете использовать карты для изучения геологии.

Топографические карты

Рисунок 1. Карта Йеллоустона.

Топографическая карта (как на рисунке 1) — это один из типов карт, используемых геологами. Топографические карты показывают трехмерную форму земли и особенности ее поверхности. Топографические карты также используются путешественниками, проектировщиками, принимающими решения о зонировании и разрешениях на строительство, государственными учреждениями, участвующими в планировании землепользования и оценками опасностей, а также инженерами-строителями.Топографические карты, составленные и опубликованные Геологической службой США, изображают сетки, которые используются в документах для определения местоположения недвижимости, поэтому домовладельцы и владельцы недвижимости иногда считают полезным использовать топографические карты своего района.

Большинство топографических карт используют контурные линии для обозначения высоты над уровнем моря. Контурные линии показывают форму земли в вертикальном направлении, позволяя изобразить трехмерную форму земли на двухмерном листе бумаги или экране компьютера.Когда вы знаете, как читать контурные линии, вы можете смотреть на них на топографической карте и визуализировать горы, равнины, хребты или долины, которые они изображают.

Топографические карты важны в геологии, потому что они детально изображают поверхность земли. Этот вид поверхности показывает образцы, которые предоставляют информацию о геологии под поверхностью.

Формы рельефа земли являются результатом поверхностных процессов, таких как эрозия или седиментация, в сочетании с внутренними геологическими процессами, такими как подъем магмы с образованием вулкана или гребня коренных пород, вытесненная вверх вдоль разлома.Изучая форму земной поверхности с помощью топографических карт, геологи могут понять природу поверхностных процессов в данной области, включая зоны, подверженные оползням, места, подвергающиеся эрозии, и места, где накапливаются наносы. Они также могут найти ключи к разгадке геологической структуры и геологической истории местности.

В дополнение к топографической карте для полного понимания основной геологической структуры и истории области требуется заполнение геологической карты и разрезов.Топографическая карта представляет собой систему отсчета, на которой строится большинство геологических карт.

Чтение топографической карты

Чтение топографической карты требует знания того, как она отображает трехмерную форму земли, чтобы, глядя на топографическую карту, вы могли визуализировать форму земли. Чтобы читать топографическую карту, нужно понимать правила контурных линий.

Правила для контурных линий

• Контурная линия соединяет все точки области карты, которые находятся на определенной высоте. Например, каждая точка на контурной линии длиной 600 футов представляет собой точку на Земле, которая находится на высоте 600 футов над уровнем моря. Вы можете визуализировать контурную линию как береговую линию, которая существовала бы, если бы океан покрыл землю до этой отметки.
• Интервал изолиний — это расстояние по вертикали, также известно как перепад высот, между соседними горизонтальными линиями. На карте с 40-футовым интервалом изолиний вертикальное расстояние между двумя горизонтальными линиями, которые находятся рядом друг с другом, составляет 40 футов, независимо от горизонтального расстояния между двумя линиями на карте.
• Изолинии не пересекаются друг с другом, потому что точка на поверхности земли не может находиться на двух разных отметках. (Однако в редких случаях, когда на топографической карте отображается вертикальный обрыв, контурные линии вдоль обрыва могут соединяться в одну линию.)
• Круги, которые представляют собой замкнутые контуры, обычно обозначают холмы.
• Углубления, не имеющие выхода, обозначаются замкнутыми контурами с короткими линиями, выходящими из них и направленными к центру.(Короткие линии, выходящие из контурных линий, называются штрихами, штриховками или делениями.)
• Контурные линии на стандартных топографических картах Геологической службы США коричневые — xcept на поверхности ледников, где контурные линии синие.
• Отметка точки на карте, которая не находится на горизонтальной линии, должна оцениваться как больше, чем отметка ближайшей горизонтальной линии под ней, и меньше, чем отметка ближайшей горизонтальной линии над ней. Например, точка, лежащая на полпути между контурами 5440 футов и 5480 футов, будет находиться на высоте приблизительно 5460 футов.
• Изолинии изгибаются вверх по течению, когда пересекают долину. Это приводит к «Правилу V». : Там, где они пересекают потоки, изолинии образуют V, указывающие вверх по потоку.
• Если контуры близки, рельеф крутой; там, где контурные линии далеко друг от друга, уклон будет пологим или пологим.
• Рельеф на ландшафте — это разница высот между двумя заданными точками. Максимальный рельеф на топографической карте — это разница высот между самой высокой и самой низкой точками на карте.

Карта четырехугольника, широты и долготы

Стандартные топографические карты Геологической службы США покрывают четырехугольник. Четырехугольник карты охватывает долю градуса долготы с востока на запад и такую ​​же долю градуса широты с севера на юг. Поскольку линии градусов долготы (также называемые меридианами) в Северном полушарии приближаются все ближе и ближе друг к другу, чем ближе они подходят к Северному полюсу, тогда как линии градусов широты остаются на том же расстоянии друг от друга, когда они окружают Землю, карты четырехугольника охватывают меньшее расстояние на восток. -на запад, чем с севера на юг.

Широта — это то, насколько далеко к северу или югу от экватора находится точка на Земле, измеряемая в градусах, от 0 ° на экваторе до 90 ° на полюсах. При указании широты всегда указывайте, находится ли она в северном полушарии (N) или в южном полушарии (S).

Долгота — это то, насколько далеко на восток или запад, максимум до 180 °, находится точка на Земле от нулевого меридиана. Главный меридиан (0 ° долготы) — это линия с севера на юг, проходящая через Гринвич, Англия. При указании долготы укажите, находится ли она в западном полушарии (W) или в восточном полушарии (E).

Меридианы, линии долготы, проходят от Южного полюса до Северного полюса, сходясь (сходясь) на полюсах. Поскольку меридианы сходятся на полюсах, градусы долготы становятся все меньше и меньше около каждого полюса. Напротив, градус широты остается примерно 69 миль в поперечнике, независимо от того, насколько близко или далеко он находится от полюсов или экватора.

Градусы широты и долготы делятся на угловые минуты и угловые секунды. В этом контексте их обычно называют просто минутами и секундами, но следует иметь в виду, что эти минуты и секунды представляют собой единицы углов, а не единиц времени.Эти устройства, которые делят углы на более мелкие части, работают следующим образом:

1. В 1 градусе 60 угловых минут.
2. Минуты обозначаются одним апострофом: ‘.
3. В символах 60 ‘= 1 ° означает, что в 1 градусе 60 минут.
4. В 1 угловой минуте 60 угловых секунд.
5. Чтобы преобразовать угловые минуты в десятичную дробь градуса, умножьте количество угловых минут на 1 ° / 60 ′. Например, чтобы преобразовать 15 ′ в десятичную дробь градуса, 15 ′ x 1 ° / 60 ′ = 0.25 °. Проще говоря, просто разделите количество угловых минут на 60, чтобы преобразовать их в десятичные градусы.
6. Символ угловой секунды — двойной апостроф или кавычка: «.
7. В символах 60 ″ = 1 ′ означает, что в 1 минуте 60 секунд.

Два обычных размера четырехугольника: 7,5 минут (1/8 градуса) и 15 минут (1/4 градуса).

Название, размер и широта-долгота четырехугольника топографической карты

На изображении выше показан северо-восточный угол топографической карты четырехугольника можжевельника, который пересекает границу штатов Орегон и Вашингтон.Название четырехугольника происходит от названия места на карте. Найдите в этом углу карты следующую информацию:

1. Название четырехугольника
2. Состояние (а), в котором находится четырехугольник
3. Размер четырехугольника
4. Название и дробный масштаб карты четырехугольника, расположенной рядом с северо-востоком от углового угла
5. Долгота восточной границы карты
6. Широта северной границы карты

Показать ответ

1. Можжевельник
2. Орегон и Вашингтон
3. 7.5 минут
4. Валлула, 1: 125 000
5. 119 ° 00 ′
6. 46 ° 00 ′

Масштаб карты, интервал изолиний и магнитное склонение

Важная информация отображается внизу карты четырехугольника USGS, включая масштаб карты, интервал изолиний и магнитное склонение. Изображение выше получено из нижней части 7,5-минутного четырехугольника Juniper. В нем, среди прочего, указано:

1. Масштаб карты. Масштаб карты указан в дробном масштабе 1: 24 000.Это означает, что 1 дюйм на карте соответствует 24 000 дюймов в реальном мире, представленном на карте, или 1 см равен 24 000 см; Другими словами, расстояния на карте уменьшились в 24 000 раз по сравнению с их реальным размером. Под дробным масштабом масштаб карты также отображается по-другому, в виде столбиков с использованием трех различных единиц. Одна из шкал — в милях, одна — в тысячах футов и одна — в километрах.
2. Интервал изолиний, разница в высоте между соседними горизонтальными линиями на карте, указан под масштабом карты как 20 футов.
3. Также есть напоминание о том, что отметки, показанные на карте, — это отметки над средним (средним) уровнем моря на Земле.
4. (Вы можете заметить, что эта карта делает что-то необычное для топографической карты. Она показывает глубины реки Колумбия в футах ниже поверхности реки, когда река подпирается в своем резервуаре за плотиной до нормального уровня поверхности бассейна 340 футов над уровнем моря.)
5. Слева от шкалы шкалы магнитное склонение показано стрелкой, расходящейся от линии, ориентированной на истинный север.Истинный север — это направление к географическому Северному полюсу. Географический Северный полюс — это то место, где находится северный конец оси вращения Земли. Северный магнитный полюс находится на северо-востоке Канады. В 1962 году магнитный Северный полюс, измеренный от четырехугольника можжевельника, находился в 20,5 ° к востоку от истинного севера. Если вы взяли магнитный компас к четырехугольнику Можжевельника в 1962 году, его стрелка на север указала бы на 20,5 ° к востоку от истинного севера, поэтому вам пришлось бы настроить магнитный компас, чтобы компенсировать склонение.Северный магнитный полюс отклоняется на несколько миль каждый год, а в 1962 году было определено магнитное склонение 20,5 ° к востоку от истинного севера; сейчас может быть немного иначе.

Построение топографического профиля

Одним из важных инструментов, которые можно использовать для извлечения вертикальной информации из топографической карты и более четкого просмотра формы земной поверхности, которую она представляет, является топографический профиль.

Построение топографического профиля позволяет визуализировать вертикальную составляющую ландшафта.Топографический профиль похож на вид на пейзаж, который вы видите, когда стоите на земле, глядя на холмы и долины сбоку, а не сверху.

Для топографической карты, подобной приведенной ниже, вот как построить топографический профиль.

Шаг 1

Определите линию профиля, линию через ту часть карты, которую вы хотите видеть в виде профиля или поперечного сечения. В зависимости от того, какую часть карты вы хотите видеть в профиле, вы можете провести линию профиля в любом направлении, которое вы выберете, через любую часть карты по вашему выбору.Для карты, используемой в этом примере, мы решили нарисовать профиль от A до A ’, как показано на схеме ниже, чтобы увидеть всю длину холма в профиле.

Шаг 2

Нарисуйте сетку, которая будет содержать профиль. Ширина сетки должна быть такой же, как длина линии профиля. Чтобы нарисовать профиль, сетка должна быть пересечена равномерно расположенными горизонтальными линиями, которые представляют отметки изолиний. Сетка должна простираться достаточно высоко, чтобы охватить диапазон высот горизонтальных линий, пересекаемых линией профиля.Вы можете видеть, что сетка, показанная ниже, включает диапазон высот, которые линия профиля пересекает на карте. Кроме того, сетка должна иметь дополнительную горизонтальную линию внизу и вверху для размещения частей профиля, которые проходят выше самой высокой отметки контура и ниже самой низкой отметки контура. Вот почему сетка в приведенном ниже примере идет ниже 400 футов и выше 500 футов по высоте.

Шаг 3

Перенести отметки изолиний с топографической карты в сетку профиля.Точка, в которой каждая горизонтальная линия пересекает линию профиля на топографической карте, определяет горизонтальную координату каждой соответствующей точки на сетке топографического профиля. Высота каждой изолинии соответствует вертикальной координате каждой соответствующей точки на профильной сетке, как показано на диаграмме ниже.

Шаг 4

Теперь, когда вы отметили точки высот на сетке профиля, нарисуйте плавную линию, соединяющую точки данных, как показано ниже.Обратите внимание, что концы этого профиля идут ниже отметки контура 400 футов, но они не доходят до отметки 380 футов, потому что на карте линия профиля не достигла отметки контура 380 футов. Также обратите внимание, что вершина профиля достигает пика выше 520 футов, но менее 540 футов, потому что линия профиля не пересекает контурную линию 540 футов.

Шаг 5

Завершенный топографический профиль и карта, с которой он был составлен, показаны ниже. Топографические профили обычно строятся без нанесения каких-либо линий на карту.Вместо этого край листа бумаги укладывается вдоль линии профиля, и данные контурной линии переносятся на край листа бумаги. С края листа данные переносятся в профильную сетку, которая находится на отдельном листе бумаги.

Обратите внимание на топографический профиль, построенный выше, о том, что вершина холма находится выше 520 футов, но ниже 540 футов. Точно так же концы профиля находятся ниже 400 футов, но выше 380. Это согласуется с отметками этих частей холма. линия профиля на карте.

Обратите внимание, что вертикальный масштаб профиля сильно отличается от горизонтального масштаба на карте. В этом примере карта покрывает 0,25 мили по горизонтали на меньшее расстояние, чем профиль покрывает 100 футов по вертикали. В результате топографический профиль сильно преувеличен по вертикали. При реальном взгляде на холм со стороны он не выглядел бы таким крутым, как на построенном нами топографическом профиле.

Если вертикальный масштаб на топографическом профиле отличается от масштаба карты, как в этом случае, тогда профиль будет иметь вертикальное преувеличение .Можно рассчитать вертикальное преувеличение топографического профиля. Это дробный масштаб вертикальной оси топографического профиля, деленный на дробный масштаб карты. Например, если вертикальный масштаб профиля составляет 1: 200, а масштаб карты — 1:24 000, вертикальное увеличение будет [latex] \ displaystyle \ frac {\ left (\ frac {1} {200} \ right)} {\ left (\ frac {1} {24,000} \ right)} [/ латекс]. Чтобы разделить на дробь, вы можете инвертировать и умножить, так что это становится [latex] \ displaystyle \ left (\ frac {1} {200} \ right) \ times \ left (\ frac {24,000} {1} \ right) = \ frac {24,000} {200} = 120 [/ латекс].Топографический профиль с VE 120 был бы очень преувеличенным топографическим профилем. Это было бы так, как если бы резиновую модель ландшафта тянули в вертикальном направлении, пока она не стала в 120 раз выше, чем она есть на самом деле.

Если вертикальный масштаб топографического профиля отличается от масштаба карты, вертикальное преувеличение должно быть указано рядом с профилем, например, VE = 10 или VE 10x, если вертикальное преувеличение составляет 10.

Сравните профиль с топографической картой.Вы увидите, что холм круче с западной (левой) стороны, чем с восточной (правой). Это согласуется с тем, что контурные линии расположены более близко на западной стороне холма и дальше друг от друга на восточной стороне холма. Это согласуется с правилами контурных линий, которые гласят, что уклоны круче там, где контурные линии расположены ближе друг к другу, а уклоны менее крутые, где контурные линии более широко разнесены.

Если вы начертите профиль с севера на юг через вершину холма, как вы думаете, будет ли профиль симметричным или асимметричным?

Контрольный список для полного топографического профиля

Правильно нарисованный топографический профиль будет иметь следующие атрибуты:

• Топографический профиль нарисован на прямолинейном графике с равномерно распределенными линиями сетки.(Вертикальные линии сетки не требуются.)
• Линии высот нанесены вдоль левой вертикальной оси.
• Профиль — это плавная кривая, градиент которой изменяется, а не прямые отрезки, соединяющие точки и только изгибающиеся в точках.
• Если вертикальный масштаб профиля отличается от масштаба карты, отображается результирующая величина вертикального преувеличения.
• Концы и любые высокие или низкие точки топографического профиля должны находиться выше или ниже линий высот, а не на них, за исключением случаев, когда конечная, высокая или низкая точка линии профиля падает прямо на контурная линия.

Подробнее: топографические карты

Используйте этот ресурс, чтобы ответить на следующие вопросы. Вы можете прекратить просмотр на отметке 4:04.

1. Что делают топографические карты и как они это делают?
2. Каковы значения терминов топографическая карта, контурная линия, горизонтальный интервал и указательный контур?
3. Если бы вы прошли по контурной линии, что бы произошло с вашим возвышением?
4. Если вы идете перпендикулярно контурным линиям, что вы делаете?
5. Что обозначают близкие контурные линии?

Батиметрические карты

Рисунок 3.Вулкан Лоихи, растущий на склоне вулкана Килауэа на Гавайях. Черные линии на вставке показывают поверхность суши над уровнем моря, а синие линии показывают топографию ниже уровня моря. Щелкните изображение, чтобы просмотреть его в увеличенном виде.

Батиметрическая карта похожа на топографическую карту с контурными линиями, представляющими глубину ниже уровня моря, а не высоту выше. Числа низкие вблизи уровня моря и становятся выше с увеличением глубины.

Килауэа — самый молодой вулкан, обнаруженный над уровнем моря на Гавайях.На склоне Килауэа находится еще более молодой вулкан под названием Лоихи. Батиметрическая карта, изображенная на рисунке 3, показывает форму Лоихи.

Геологические карты

Геологическая карта показывает геологические особенности региона (см. Пример на рисунке 4). Камни имеют цветовую кодировку и обозначены ключом. Разломы и складки также показаны на геологических картах. Геология накладывается на топографическую карту, чтобы дать более полное представление о геологии региона.

На геологической карте показаны отображаемые единицы горных пород, наносимые на карту единицы отложений, которые покрывают породы, и геологические структуры, такие как разломы и складки.Картографируемая единица породы или отложений — это единица, которую геолог может последовательно распознать, проследить по ландшафту и описать, чтобы другие люди могли распознать ее и проверить ее присутствие и идентичность. Отображаемые единицы показаны разными цветами или узорами на базовой карте географической области.

Рис. 4. Геологическая карта региона вокруг Old Faithful, Йеллоустонский национальный парк.

Геологические карты важны по двум причинам. Во-первых, когда геологи составляют геологические карты и связанные с ними объяснения и разрезы, они развивают теоретическое понимание геологии и геологической истории данной области.

Во-вторых, геологические карты являются важным инструментом для практических приложений, таких как зонирование, гражданское строительство и оценка опасностей. Геологические карты также имеют жизненно важное значение для поиска и разработки геологических ресурсов, таких как гравий для прокладки дороги, по которой вы едете, масло для привода автомобиля, в котором вы путешествуете, или алюминий для создания более экономичного двигателя в вашем следующем автомобиле. Еще один ресурс, который разрабатывается на основе геологических карт, — это подземные воды, от которых многие города, фермы и фабрики используют воду.

Основные компоненты геологических карт

Полная геологическая карта имеет как минимум две особенности:

• сама карта
• легенда карты или ключ, объясняющий все символы на карте.

Профессиональные геологические карты обычно содержат еще два компонента:

• сопроводительное объяснение горных пород или отложений
• геологических разрезов области карты.

Легенда или ключ к геологической карте обычно печатается на той же странице, что и карта, в обычном формате.Символ для каждой породы или отложений показан в рамке рядом с их названием и кратким описанием. Эти символы расположены в возрастной последовательности от самого старого внизу к самому младшему вверху. Геологическая эра, или период, или эпоха — геологический возраст — указаны для каждой горной единицы в ключе. Сложив блоки в возрастной последовательности от самых молодых вверху до самых старых внизу и определив, к какому интервалу геологического времени принадлежит каждая единица, устройство чтения карт может быстро увидеть возраст каждой породы или толщи отложений.Ключ карты также содержит список и объяснение символов, показанных на карте, таких как символы для различных типов разломов и складок. См. Таблицу символов геологической карты для получения изображений и обзора символов карты, включая простирания и падения, разломы, складки и обзор.

Таблица обозначений геологической карты

Объяснения горных пород часто даются в отдельной брошюре, прилагаемой к карте.Объяснения включают достаточно подробные описания, чтобы любой геолог мог распознать единицы и узнать, как был определен их возраст.

Если включено, разрезы обычно печатаются на той же странице, что и геологическая карта. Они являются важным дополнением к геологическим картам, особенно если карта фокусируется на геологии коренных пород под почвой и рыхлых отложений.

Геологические разрезы

Геологический разрез — это вид сбоку кусочка земли.Он показывает, как различные типы горных пород слоистые или иначе конфигурируются, а также изображает геологические структуры под поверхностью земли, такие как разломы и складки. Геологические разрезы строятся на основе геологии, нанесенной на карту на поверхности, в сочетании с пониманием горных пород с точки зрения их физического поведения и трехмерных структур.

Сводка

• Ученые-геологи регулярно используют топографические, батиметрические и геологические карты.
• Топографические карты показывают форму ландшафта.Отметки указывают высоту над уровнем моря.
• Батиметрические карты похожи на топографические карты объектов, обнаруженных под водой. Отметки указывают на глубину ниже уровня моря.
• Геологические карты показывают горные породы и геологические особенности, такие как разломы и складки.

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Черчение | графика | Британника

Чертеж , также пишется Чертеж , также называемый инженерный чертеж , графическое представление конструкций, машин и их составных частей, которое сообщает о техническом замысле технического проекта мастеру или рабочему, создающему продукт.

На этапе проектирования чертежи от руки и механические чертежи служат как вдохновляющие и направляющие функции дизайнера, так и общение между дизайнером, сотрудниками, производственным отделом, маркетинговым или управленческим персоналом. На этом этапе точные механические чертежи могут уточнить, подтвердить или опровергнуть схему, которая выглядела многообещающей на эскизе от руки. Фактически, и эскиз, и точный механический чертеж являются важными частями процесса проектирования, и оба относятся к области черчения.После того, как базовая конструкция установлена, навыки составления чертежей помогают в разработке и передаче большого количества данных, необходимых для производства и сборки деталей. Для автомобиля, небоскреба или космического корабля могут потребоваться десятки тысяч чертежей, чтобы передать все требования к готовому продукту от дизайнеров к производителям.

Завершение набора чертежей, необходимых для производства продукта или создания проекта, включает три важных фактора: (1) детальное описание каждой детали и требований конечного продукта или проекта; (2) применение здравого смысла и знания стандартных процедур составления проектов для выбора комбинации чертежей и спецификаций, которые будут передавать информацию, идентифицированную на этапе (1), наиболее ясным образом; и (3) размещение квалифицированного персонала и подходящего оборудования для подготовки документов, указанных на этапе (2).

Черчение основано на концепции ортогональной проекции, которая, в свою очередь, является основной задачей раздела математики, называемой начертательной геометрией. Книга Géométrie descriptive (1798) Гаспара Монжа, французского математика 18-го века, предшествовала публикации соответствующего материала и сопровождалась обширным развитием, она считается первым изложением начертательной геометрии и формализацией орфографической проекции. . Росту и развитию профессии чертежника способствовали применение концепций, опубликованных Монжем, необходимость производства взаимозаменяемых деталей, введение процесса проектирования и экономия, предлагаемая набором чертежей, которые в большинстве случаев делали здание. работающей модели ненужно.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.
Подпишитесь сейчас

Люди с различными навыками и специальностями необходимы для разработки и реализации инженерных и архитектурных проектов. Редактирование обеспечивает общение между ними и координацию их деятельности. Дизайнер несет основную ответственность за основную концепцию и окончательное решение, но зависит от поддержки нескольких уровней составителей, которые готовят графические исследования деталей; определить посадки, зазоры и возможность изготовления; и подготовим рабочие чертежи.Художник-иллюстратор, или технический иллюстратор, преобразует предварительные или окончательные рисунки в графические изображения, обычно полноцветные перспективные конструкции, чтобы помочь другим визуализировать продукт, информировать публику, привлекать инвестиции или способствовать продажам. Прежде чем приступить к созданию собственных чертежей, лица, занимающиеся чертежной профессией, могут отслеживать чертежи, чтобы отредактировать или отремонтировать их, а затем перейти к подготовке подробных чертежей, таблиц материалов, спецификаций узлов (таких как двери и окна) и определения размеров чертежей. по инициативе более опытных коллег.Широкий спектр действий, требуемых от команды дизайнеров, требует, чтобы ее члены сочетали опыт и творческий подход с навыками визуализации, анализа и определения границ, а также со знанием материалов, производственных процессов и стандартов.

Производители, изготовители или строители несут ответственность за точное соблюдение набора чертежей и спецификаций; у них не должно быть необходимости задавать вопросы или принимать решения относительно деталей дизайна.Ответственность за все такие детали несет группа разработчиков; чертежи должны четко отражать всю необходимую информацию, чтобы выполнялись функциональные требования и нормативные ограничения к готовому продукту или проекту, чтобы механические свойства материалов были подходящими, а операции по механической обработке, а также процедуры сборки или монтажа были возможны.

Строго утилитарные цели рисования и упор на ясность и точность явно отличают его от родственной формы искусства, описанной в рисунке статьи.Картографическое оформление рассматривается в статьях картографических и геодезических. Некоторые конкретные применения чертежей рассматриваются в статьях «Строительство зданий»: «Современные строительные практики»; дизайн интерьера; и швейная и обувная промышленность.

Виды чертежей

В зависимости от продукта или проекта набор чертежей обычно содержит подробные чертежи (также называемые рабочими чертежами), сборочные чертежи, чертежи в разрезе, планы (виды сверху) и фасады (виды спереди).Для изготовления машины форма и размер каждой отдельной детали, за исключением стандартных крепежных деталей, описаны на подробном чертеже, и, по крайней мере, один сборочный чертеж показывает, как детали подходят друг к другу. Чтобы прояснить детали интерьера или стыковку частей, может потребоваться подготовить чертеж сечения, показывающий деталь или сборку, как если бы они были вырезаны плоскостью, с удаленной частью объекта. Для строительства здания необходимы планы, фасады, чертежи в разрезе и подробные чертежи, чтобы передать информацию, необходимую для оценки затрат, а затем возведения конструкции.В этом случае подробные чертежи содержат точную информацию о таких элементах, как лифты, лестницы, кабельная сеть, а также обрамление окон, дверей и перемычек. В наборе чертежей моста, плотины или шоссе появляется различная информация, но в каждом случае различия связаны с наилучшим способом передачи необходимой информации.

Дискретная математика: открытое введение, 3-е издание

Расследовать!

Если связный граф можно нарисовать без пересечения ребер, он называется планарным .Когда плоский граф нарисован таким образом, он делит плоскость на области, называемые гранями .

1. Нарисуйте, если возможно, два разных плоских графа с одинаковым числом вершин, ребер и граней.

2. Нарисуйте, если возможно, два разных плоских графа с одинаковым количеством вершин и ребер, но разным количеством граней.

Когда можно нарисовать граф так, чтобы ни одно из ребер не пересекалось? Если этот является возможным , мы говорим, что график плоский (так как вы можете нарисовать его на плоскости ).

Обратите внимание, что определение плоского включает фразу «это возможно». Это означает, что даже если график не выглядит плоским, он все равно может быть таким. Возможно, вы сможете перерисовать его так, чтобы края не пересекались. Например, это планарный график:

Это потому, что мы можем перерисовать его так:

Графики такие же, поэтому если один плоский, другой тоже должен быть. Однако исходный рисунок графика не был планарным представлением графика.

Когда плоский граф рисуется без пересечения ребер, ребра и вершины графа делят плоскость на области. Мы будем называть каждый регион лицом . График выше имеет 3 грани (да, мы с по включаем «внешнюю» область как грань). Количество граней не меняется независимо от того, как вы рисуете граф (если вы делаете это без пересечения ребер), поэтому имеет смысл приписать количество граней как свойство плоского графа.

ВНИМАНИЕ: подсчитывать грани можно только тогда, когда график нарисован плоско.Например, рассмотрим эти два представления одного и того же графа:

Если вы попытаетесь подсчитать лица, используя график слева, вы можете сказать, что есть 5 лиц (включая внешние). Но рисование графа в плоском представлении показывает, что на самом деле всего 4 грани.

Существует связь между количеством вершин (\ (v \)), количеством ребер (\ (e \)) и количеством граней (\ (f \)) в любом связном плоском графе. Эта связь называется формулой Эйлера.

Формула Эйлера для плоских графов.

Для любого связного плоского графа с \ (v \) вершинами, \ (e \) ребрами и \ (f \) гранями мы имеем

\ begin {уравнение *}
v-e + f = 2 \ текст {.}
\ end {уравнение *}

Почему формула Эйлера верна? Один из способов убедиться в его обоснованности — пошагово нарисовать планарный граф. Начнем с графика \ (P_2 \ text {:} \)

Любой связный граф (кроме одной изолированной вершины) должен содержать этот подграф. Теперь доработайте до своего графа, добавляя ребра и вершины.Каждый шаг будет состоять либо из добавления новой вершины, соединенной новым ребром, с частью вашего графа (таким образом, создавая новый «шип»), либо из соединения двух вершин, уже находящихся в графе, новым ребром (завершение схемы).

Что делают эти «ходы»? При добавлении шипа количество ребер увеличивается на 1, количество вершин увеличивается на единицу, а количество граней остается прежним. Но это означает, что \ (v — e + f \) не меняется. При завершении схемы добавляется одно ребро, одна грань и остается неизменным количество вершин.Итак, снова \ (v — e + f \) не меняется.

Поскольку мы можем построить любой граф, используя комбинацию этих двух ходов, и это никогда не изменит количество \ (v — e + f \ text {,} \), это количество будет одинаковым для всех графов. Но обратите внимание, что наш начальный граф \ (P_2 \) имеет \ (v = 2 \ text {,} \) \ (e = 1 \) и \ (f = 1 \ text {,} \), поэтому \ (v — e + f = 2 \ text {.} \) Этот аргумент является доказательством по индукции. Хорошим упражнением было бы переписать его как формальное индукционное доказательство.

Подраздел Непланарные графы

Расследовать!

Для полных графов \ (K_n \ text {,} \) мы хотели бы иметь возможность сказать кое-что о количестве вершин, ребер и (если граф плоский) граней.Сначала рассмотрим \ (K_3 \ text {:} \)

1. Сколько вершин у \ (K_3 \)? Сколько ребер?

2. Если \ (K_3 \) плоский, сколько граней у него должно быть?

Повторить части (1) и (2) для \ (K_4 \ text {,} \) \ (K_5 \ text {,} \) и \ (K_ {23} \ text {.} \)

А как насчет полных двудольных графов? Сколько вершин, ребер и граней (если бы они были плоскими) у \ (K_ {7,4} \)? Для каких значений \ (m \) и \ (n \) являются \ (K_n \) и \ (K_ {m, n} \) планарными?

Не все графики плоские.Если ребер слишком много, а вершин слишком мало, некоторые ребра должны пересекаться. Наименьший граф, на котором это происходит, — \ (K_5 \ text {.} \)

.

Если вы попытаетесь перерисовать это без пересечения краев, у вас быстро возникнут проблемы. Кажется, одного края слишком много. Фактически, мы можем доказать, что независимо от того, как вы его нарисуете, \ (K_5 \) всегда будет пересекаться рёбер.

Теорема 4.3.1.

\ (К_5 \) не плоский.

Доказательство.

Доказательство от противоречия.Итак, предположим, что \ (K_5 \) плоский. Тогда граф должен удовлетворять формуле Эйлера для плоских графов. \ (K_5 \) имеет 5 вершин и 10 ребер, поэтому получаем

\ begin {уравнение *}
5–10 + f = 2 \ text {,}
\ end {уравнение *}

, который говорит, что если граф нарисован без пересечения ребер, будет \ (f = 7 \) граней.

Теперь посчитайте, сколько ребер окружают каждую грань. Каждая грань должна быть окружена как минимум 3 краями. Пусть \ (B \) будет общим количеством границ вокруг всех граней в графе.Таким образом, мы имеем \ (3f \ le B \ text {.} \) Но также и \ (B = 2e \ text {,} \), поскольку каждое ребро используется как граница ровно дважды. Собирая это вместе, получаем

\ begin {уравнение *}
3f \ le 2e \ text {.}
\ end {уравнение *}

Но это невозможно, поскольку мы уже определили, что \ (f = 7 \) и \ (e = 10 \ text {,} \) и \ (21 \ not \ le 20 \ text {.} \) Это противоречие, так что на самом деле \ (K_5 \) не планарен.

Другой простейший граф, который не является плоским, — это \ (K_ {3,3} \)

Доказательство того, что \ (K_ {3,3} \) не является плоским, дает ответ на загадку домов и коммунальных служб: невозможно соединить каждый из трех домов с каждой из трех инженерных сетей без пересечения линий.

Теорема 4.3.2.

\ (K_ {3,3} \) не плоский.

Доказательство.

Опять же, мы действуем от противоречия. Предположим, что \ (K_ {3,3} \) были плоскими. Тогда по формуле Эйлера будет 5 граней, так как \ (v = 6 \ text {,} \) \ (e = 9 \ text {,} \) и \ (6 — 9 + f = 2 \ text {.} \)

Сколько границ окружают эти 5 граней? Пусть это число \ (B \). Поскольку каждое ребро используется в качестве границы дважды, мы имеем \ (B = 2e \ text {.} \) Кроме того, \ (B \ ge 4f \), поскольку каждая грань окружена 4 или более границами.Мы знаем, что это правда, потому что \ (K_ {3,3} \) двудольный, поэтому не содержит 3-реберных циклов. Таким образом,

\ begin {уравнение *}
4f \ le 2e \ text {.}
\ end {уравнение *}

Но это означало бы, что \ (20 \ le 18 \ text {,} \), что явно неверно. Таким образом, \ (K_ {3,3} \) не плоский.

Обратите внимание на сходство и различие в этих доказательствах. Оба являются доказательствами от противоречия, и оба начинаются с использования формулы Эйлера для определения (предполагаемого) количества граней в графе. Затем мы находим взаимосвязь между количеством граней и количеством ребер в зависимости от того, сколько ребер окружают каждую грань.Это единственная разница. В доказательстве для \ (K_5 \ text {,} \) мы получили \ (3f \ le 2e \), а для \ (K_ {3,3} \) идем \ (4f \ le 2e \ text {.} \ ) Коэффициент при \ (f \) является ключевым. Это наименьшее количество ребер, которое может окружать любую грань. Если грань окружает некоторое количество ребер, то эти ребра образуют цикл. Таким образом, это число является размером наименьшего цикла на графике.

В общем, если мы позволим \ (g \) быть размером наименьшего цикла в графе (\ (g \) обозначает обхват , что является техническим термином для этого), то для любого плоского графа мы имеем \ (gf \ le 2e \ text {.} \) Когда это не согласуется с формулой Эйлера, мы точно знаем, что граф не может быть плоским.

Подраздел Многогранники

Расследовать!

Куб — это пример выпуклого многогранника. Он содержит 6 одинаковых квадратов для граней, 8 вершин и 12 ребер. Куб представляет собой правильный многогранник (также известный как платоново твердое тело ), потому что каждая грань представляет собой идентичный правильный многоугольник, и каждая вершина соединяет равное количество граней.

Есть ровно четыре других правильных многогранника: тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр с 4, 8, 12 и 20 гранями соответственно.Сколько вершин и ребер у каждого из них?

Еще одна область математики, в которой вы, возможно, слышали термины «вершина», «ребро» и «грань», — это геометрия. Многогранник — это геометрическое тело, состоящее из плоских многоугольных граней, соединенных ребрами и вершинами. Нас особенно интересуют выпуклых многогранников, что означает, что любой отрезок прямой, соединяющий две точки внутри многогранника, должен полностью содержаться внутри многогранника. ⁷

Альтернативное определение выпуклости состоит в том, что внутренний угол, образованный любыми двумя гранями, должен быть меньше \ (180 \ deg \ text {.} \)

Обратите внимание, что поскольку \ (8 — 12 + 6 = 2 \ text {,} \) вершины, ребра и грани куба удовлетворяют формуле Эйлера для плоских графов. Это не совпадение. Мы можем представить куб в виде плоского графа, спроецировав вершины и ребра на плоскость. Одна такая проекция выглядит так:

Фактически, из каждых выпуклых многогранников можно спроецировать на плоскость без пересечения ребер. Подумайте о размещении многогранника внутри сферы с источником света в центре сферы.Ребра и вершины многогранника отбрасывают тень на внутреннюю часть сферы. Затем вы можете вырезать отверстие в сфере в середине одной из проецируемых граней и «растянуть» сферу, чтобы она легла на плоскость. Проколотая грань становится «внешней» гранью плоского графа.

Дело в том, что мы можем применить то, что мы знаем о графах (в частности, о плоских графах), к выпуклым многогранникам. Поскольку каждый выпуклый многогранник может быть представлен в виде плоского графа, мы видим, что формула Эйлера для плоских графов верна и для всех выпуклых многогранников.Мы также можем применить те же рассуждения, которые мы используем для графов в других контекстах, к выпуклым многогранникам. Например, мы знаем, что не существует выпуклого многогранника с 11 вершинами степени 3, так как это даст 33/2 ребра.

Пример 4.3.3.

Существует ли выпуклый многогранник, состоящий из трех треугольников и шести пятиугольников? А как насчет трех треугольников, шести пятиугольников и пяти семиугольников (7-сторонних многоугольников)?

Решение

Сколько ребер было бы у таких многогранников? Для первого предложенного многогранника треугольники будут давать в общей сложности 9 ребер, а пятиугольники — 30.Однако это учитывает каждое ребро дважды (поскольку каждое ребро граничит ровно с двумя гранями), что дает 39/2 ребра, что невозможно. Такого многогранника нет.

Второй многогранник не имеет этого препятствия. Дополнительные 35 ребер семиугольников дают в сумме 74/2 = 37 ребер. Все идет нормально. Сколько вершин у этого предполагаемого многогранника? Мы можем использовать формулу Эйлера. Имеется 14 граней, поэтому у нас есть \ (v — 37 + 14 = 2 \) или, что эквивалентно, \ (v = 25 \ text {.} \). Но теперь используйте вершины, чтобы снова подсчитать рёбра.\ circ \)), поэтому сумма степеней вершин не меньше 75. Так как сумма степеней должна быть ровно вдвое больше числа ребер, это означает, что имеется строго более 37 ребер. Опять же, такого многогранника нет.

Чтобы завершить это применение плоских графов, рассмотрим правильные многогранники. Мы утверждали, что их всего пять. Как мы узнаем, что это правда? Мы можем доказать это с помощью теории графов.

Теорема 4.3.4.

Правильных многогранников ровно пять.

Доказательство.

Напомним, что все грани правильного многогранника — это одинаковые правильные многоугольники и что каждая вершина имеет одинаковую степень. Рассмотрим четыре случая в зависимости от типа правильного многоугольника.

Случай 1. Каждая грань представляет собой треугольник. Пусть \ (f \) — количество граней. Тогда имеется \ (3f / 2 \) ребер. Используя формулу Эйлера, мы имеем \ (v — 3f / 2 + f = 2 \), поэтому \ (v = 2 + f / 2 \ text {.} \) Теперь каждая вершина имеет одинаковую степень, скажем, \ (k \ text { .} \) Таким образом, количество ребер тоже \ (kv / 2 \ text {.} \) Если сложить это вместе, получим

\ begin {уравнение *}
e = \ frac {3f} {2} = \ frac {k (2 + f / 2)} {2} \ text {,}
\ end {уравнение *}

, что говорит о

\ begin {уравнение *}
k = \ frac {6f} {4 + f} \ text {.}
\ end {уравнение *}

И \ (k \), и \ (f \) должны быть натуральными числами. Обратите внимание, что \ (\ frac {6f} {4 + f} \) — возрастающая функция для положительного \ (f \ text {,} \), ограниченная сверху горизонтальной асимптотой в \ (k = 6 \ text {.} \ ) Таким образом, единственные возможные значения для \ (k \) — 3, 4 и 5. Каждое из них возможно.Чтобы получить \ (k = 3 \ text {,} \) нам понадобится \ (f = 4 \) (это тетраэдр). В качестве \ (k = 4 \) возьмем \ (f = 8 \) (октаэдр). В качестве \ (k = 5 \) возьмем \ (f = 20 \) (икосаэдр). Таким образом, есть ровно три правильных многогранника с треугольниками вместо граней.

Случай 2: Каждая грань представляет собой квадрат. Теперь у нас есть \ (e = 4f / 2 = 2f \ text {.} \). Используя формулу Эйлера, мы получаем \ (v = 2 + f \ text {,} \) и считая ребра, используя степень \ (k \) числа каждая вершина дает нам

\ begin {уравнение *}
е = 2f = \ гидроразрыва {к (2 + е)} {2} \ текст {.}
\ end {уравнение *}

Решение относительно \ (k \) дает

\ begin {уравнение *}
k = \ frac {4f} {2 + f} = \ frac {8f} {4 + 2f} \ text {.}
\ end {уравнение *}

Это снова возрастающая функция, но на этот раз горизонтальная асимптота равна \ (k = 4 \ text {,} \), поэтому единственное возможное значение, которое может принять \ (k \), — 3. Это дает 6 граней и у нас есть куб. Есть только один правильный многогранник с квадратными гранями.

Случай 3: Каждая грань представляет собой пятиугольник. Мы выполняем те же вычисления, что и выше, на этот раз получая \ (e = 5f / 2 \), поэтому \ (v = 2 + 3f / 2 \ text {.} \) Тогда

\ begin {уравнение *}
e = \ frac {5f} {2} = \ frac {k (2 + 3f / 2)} {2} \ text {,}
\ end {уравнение *}

т.

\ begin {уравнение *}
k = \ frac {10f} {4 + 3f} \ text {.}
\ end {уравнение *}

Теперь горизонтальная асимптота равна \ (\ frac {10} {3} \ text {.} \). Это меньше 4, поэтому мы можем только надеяться на то, что \ (k = 3 \ text {.} \) Мы можно сделать это, используя 12 пятиугольников, получив додекаэдр. Это единственный правильный многогранник с пятиугольниками в качестве граней.

Случай 4: Каждая грань представляет собой \ (n \) — угольник с \ (n \ ge 6 \ text {.} \) Следуя той же процедуре, что и выше, мы выводим, что

\ begin {уравнение *}
k = \ frac {2nf} {4+ (n-2) f} \ text {,}
\ end {уравнение *}

, который будет возрастать до горизонтальной асимптоты \ (\ frac {2n} {n-2} \ text {.} \) Когда \ (n = 6 \ text {,} \) эта асимптота находится в \ (k = 3 \ text {.} \) Любое большее значение \ (n \) даст еще меньшую асимптоту. Следовательно, не существует правильных многогранников с гранями больше пятиугольника. ⁸

Обратите внимание, что вы можете выложить плоскость шестиугольниками.Это бесконечный планарный граф; каждая вершина имеет степень 3. Это бесконечное количество шестиугольников соответствует пределу от \ (f \ до \ infty \), чтобы сделать \ (k = 3 \ text {.} \)

Упражнения Упражнения

1.

Может ли планарный граф иметь 6 вершин, 10 ребер и 5 граней? Объяснять.

Решение

Нет. (Связный) плоский граф должен удовлетворять формуле Эйлера: \ (v — e + f = 2 \ text {.} \) Здесь \ (v — e + f = 6-10 + 5 = 1 \ text { .} \)

2.

Граф \ (G \) имеет 6 вершин со степенями \ (2, 2, 3, 4, 4, 5 \ text {.} \) Сколько ребер у \ (G \)? Может ли \ (G \) быть плоским? Если да, то сколько лиц у него было бы. Если нет, объясните.

Решение

\ (G \) имеет 10 ребер, поскольку \ (10 ​​= \ frac {2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5} {2} \ text {.} \) Оно может быть плоским, и тогда оно будет иметь 6 граней, используя формулу Эйлера: \ (6-10 + f = 2 \) означает \ (f = 6 \ text {.} \) Однако, чтобы убедиться, что он действительно плоский, нам нужно будет нарисовать график с те степени вершин без пересечения ребер. Это можно сделать методом проб и ошибок (и возможно).

3.

Можно ли нарисовать связный граф с 7 вершинами и 10 ребрами так, чтобы никакие ребра не пересекались и образовывали 4 грани? Объяснять.

Подсказка

Что вам скажет формула Эйлера?

4.

Может ли граф с 10 вершинами и ребрами быть связным плоским графом? Объяснять.

5.

Существует ли связный плоский граф с нечетным числом граней, в котором каждая вершина имеет степень 6? Обоснуйте свой ответ.

Подсказка

Вы можете использовать лемму о рукопожатии, чтобы найти количество ребер в терминах \ (v \ text {,} \) количества вершин.

6.

Я думаю о многограннике, состоящем из 12 граней. Семь треугольников и четыре четырехугольника. Многогранник имеет 11 вершин, включая вершины вокруг загадочной грани. Сколько сторон у последней грани?

Решение

Скажем, последний многогранник имеет \ (n \) ребер, а также \ (n \) вершин. Таким образом, общее количество ребер многогранника равно \ ((7 \ cdot 3 + 4 \ cdot 4 + n) / 2 = (37 + n) / 2 \ text {.} \) В частности, мы знаем последнюю грань должно иметь нечетное количество ребер.У нас также есть \ (v = 11 \ text {.} \) По формуле Эйлера мы имеем \ (11 — (37 + n) / 2 + 12 = 2 \ text {,} \) и решение для \ (n \) получаем \ (n = 5 \ text {,} \), поэтому последняя грань представляет собой пятиугольник.

7.

Рассмотрим несколько классических многогранников.

1. Октаэдр — правильный многогранник, состоящий из 8 равносторонних треугольников (он похож на две пирамиды со склеенными основаниями). Нарисуйте плоское графическое представление октаэдра. Сколько вершин, ребер и граней имеет октаэдр (и ваш граф)?

2. Традиционный футбольный мяч представляет собой (сферическую проекцию) усеченный икосаэдр.Он состоит из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. Нет двух смежных пятиугольников (поэтому края каждого пятиугольника разделяются только шестиугольниками). Сколько вершин, ребер и граней у усеченного икосаэдра? Объясните, как вы пришли к своим ответам. Бонус: нарисуйте плоское графическое представление усеченного икосаэдра.

3. Ваш «друг» утверждает, что он построил выпуклый многогранник из двух треугольников, двух квадратов, шести пятиугольников и пяти восьмиугольников. Докажите, что ваш друг лжет.Подсказка: каждая вершина выпуклого многогранника должна граничить как минимум с тремя гранями.

8.

Докажите формулу Эйлера индукцией по количеству ребер в графе.

Решение

Доказательство.

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением, «каждый связный плоский граф, содержащий \ (n \) ребер, удовлетворяет \ (v — n + f = 2 \ text {.} \)». Мы покажем \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 0 \ text {.} \)

Базовый случай: есть только один граф с нулевыми ребрами, а именно одна изолированная вершина.В этом случае \ (v = 1 \ text {,} \) \ (f = 1 \) и \ (e = 0 \ text {,} \), поэтому формула Эйлера верна.

Индуктивный случай: предположим, что \ (P (k) \) верно для некоторого произвольного \ (k \ ge 0 \ text {.} \). Теперь рассмотрим произвольный граф, содержащий \ (k + 1 \) ребер (и \ (v \) вершины и \ (f \) грани). Независимо от того, как выглядит этот граф, мы можем удалить одно ребро, чтобы получить граф с \ (k \) ребрами, к которому мы можем применить индуктивную гипотезу.

Возможны два случая: либо граф содержит цикл, либо его нет.Если граф содержит цикл, выберите ребро, которое является частью этого цикла, и удалите его. Это не приведет к разъединению графа и уменьшит количество граней на 1 (поскольку край граничил с двумя отдельными гранями). Таким образом, согласно индуктивной гипотезе у нас будет \ (v — k + f-1 = 2 \ text {.} \). Добавление ребра назад даст \ (v — (k + 1) + f = 2 \) по мере необходимости.

Если граф не содержит цикла, то он является деревом, поэтому имеет вершину степени 1. Затем мы можем выбрать ребро, которое нужно удалить, чтобы оно было инцидентно такой вершине степени 1.В этом случае также удалите эту вершину. Меньший граф теперь будет удовлетворять \ (v-1 — k + f = 2 \) по предположению индукции (удаление ребра и вершины не уменьшило количество граней). Добавление ребра и вершины обратно дает \ (v — (k + 1) + f = 2 \ text {,} \) по мере необходимости.

Следовательно, по принципу математической индукции формула Эйлера верна для всех плоских графов.

9.

Докажите формулу Эйлера индукцией по количеству вершин в графе.

10.

Формула Эйлера (\ (v — e + f = 2 \)) верна для всех связанных плоских графов. Что делать, если граф не связан? Предположим, что планарный граф состоит из двух компонентов. Какое значение сейчас имеет \ (v — e + f \)? Что, если в нем есть \ (k \) компонентов?

11.

Докажите, что график Петерсена (ниже) не является плоским.

Подсказка

Какова длина самого короткого цикла? (Эта величина обычно называется обхват графика.)

12.

Докажите, что любой плоский граф с \ (v \) вершинами и \ (e \) ребрами удовлетворяет \ (e \ le 3v — 6 \ text {.} \)

Решение

Доказательство.

Мы знаем, что в любом плоском графе количество граней \ (f \) удовлетворяет условию \ (3f \ le 2e \), поскольку каждая грань ограничена по крайней мере тремя ребрами, но каждое ребро граничит с двумя гранями. Объедините это с формулой Эйлера:

\ begin {уравнение *}
v — e + f = 2
\ end {уравнение *}

\ begin {уравнение *}
v — e + \ frac {2e} {3} \ ge 2
\ end {уравнение *}

\ begin {уравнение *}
3в — e \ ge 6
\ end {уравнение *}

\ begin {уравнение *}
3v — 6 \ ge e \ text {.}
\ end {уравнение *}

13.

Докажите, что любой плоский граф должен иметь вершину степени 5 или меньше.

14.

Тщательно докажите, что приведенный ниже график не является плоским.

Подсказка

Обхват графика — 4.

15.

Объясните, почему мы не можем использовать такое же доказательство, как в упражнении 4.3.14, чтобы доказать, что приведенный ниже график не является плоским. Затем объясните, откуда вы знаете, что график в любом случае не плоский.

Подсказка

Что случилось с подпругой? Осторожно: у нас тоже разное количество граней.Лучше проверьте формулу Эйлера.

21 причина, почему угловые участки для бездельников — Len Penzo dot Com

Из шести человек, оставшихся в Америке, которые все еще хотят купить дом, я подумал, что дам небольшой совет и избавлю вас от серьезного случая покупателя. раскаяние.

Не обманывайтесь агентами по недвижимости, которые пытаются сказать вам, что угловой участок очень желателен. Они не.

Да, конечно, у вас участок побольше и соседи только с двух сторон, но как бывший владелец углового участка, поверьте мне, когда я говорю, что минусы намного перевешивают плюсы.

На самом деле, помимо того, что зачастую покупать дороже, вот еще 21 причина того, почему угловые участки просто не стоят того:

1. Шум, шум, шум. Двойной фасад с улицы и тротуара означает вдвое меньше шума пешеходов и автомобилей. Поднимите стул и откройте холодный; Я только начал.

2. Нестандартные конфигурации. Например, передний двор дома на угловом участке обычно больше заднего, а гараж может располагаться за углом.

3. Двор — много. Чем больше площадь участка, тем больше нужно скашивать. Еще хуже, когда газон большой, но не настолько большой, чтобы покупать ездовую косилку. А если вместо этого вы нанимаете профессионала, имейте в виду, что стрижка газонов на угловых участках обычно стоит в среднем на 20% дороже.

4. Двор — много (часть II). При прочих равных, газоны большего размера требуют более высоких затрат на ландшафтный дизайн.

5. Еще мусор, который нужно забрать. Машины, останавливающиеся у знака «Стоп», с большей вероятностью выбрасывают мусор на ваш большой двор.Вы также можете получить больше мусора, потому что…

6. Углы — отличное место для остановки школьного автобуса. Эй, у меня тоже есть дети. Я просто говорю. ‘

7. Меньше конфиденциальности. Да, у вас на одного соседа меньше, но в обмен на это вы получаете пешеходов по двум сторонам дома вместо одной. Поверьте мне, если вы беспокоитесь о конфиденциальности, вам лучше будет с дополнительным соседом. Говоря о пешеходном движении…

8. Дети и другие пешеходы любят использовать угловые газоны в качестве кратчайшего пути. Если у них есть выбор, большинство людей сэкономят 16 секунд своей жизни, перерезав лужайку перед угловым домом. Но прежде чем у вас возникнут какие-либо яркие идеи, просто запомните это…

9. Меньше конфиденциальности (Часть II). Многие юрисдикции строго ограничивают высоту ограждения частной жизни или запрещают их все вместе в целях безопасности дорожного движения. Даже если нет ограничений на ограждение частной собственности, владельцам угловых участков приходится иметь дело с…

10. Более высокие затраты на ограждение. Иметь дело с одним соседом — это здорово! Ну, если вам не нужно одолжить чашку сахара.Или вы пытаетесь убедить ваших соседей разделить стоимость нового забора.

11. Двойное налогообложение. Поскольку угловые участки граничат с улицами с двух сторон, вы можете получить вдвое больше оценок тротуаров и улиц.

12. Требования к двойной задержке. Владельцы угловых участков могут подпадать под действие городских или иных юрисдикционных сервитутов или требований об ограничении права собственности на двух сторонах их собственности, а не только на одной.

13. Больше собачьего помета. Хотя у меня не было времени на тщательное научное исследование, я вполне уверен, что вероятность того, что соседская собака без поводка какает на лужайке перед угловым участком, составляет 100 процентов. Докажи, что я неправ.

14. Повышенный риск столкновения автомобиля с вашим домом. Хорошо, я признаю это; вероятность того, что это произойдет, примерно такая же, как если бы Кристина Агилера наняла Тейлор Свифт в качестве тренера по вокалу, но трудно спорить, что это неправда.

15. Большие работы по снегу. Для тех из вас, кто живет в более холодном климате, чем больше тротуар, тем больше снега нужно сгребать.

16. Меньше конфиденциальности (Часть III). Задворки угловых участков открыты для посещения. Это может быть неприятно, если вы собираетесь устроить семейное барбекю или позагорать в обнаженном виде. (Не то чтобы я так поступал, а каждому свое, верно?)

17. Больше светового загрязнения. Усиленное уличное освещение и фары при поворотах автомобилей могут доставлять неудобства.

18.Двор — много (Часть III). У людей на угловых участках больше листьев для сгребания, особенно у тех, кто живет с подветренной стороны от соседних парков.

19. Более уязвимы для взлома. Поскольку дом окружает меньше соседей и больше путей эвакуации — благодаря улицам с двух сторон — дома на угловых участках являются более крупными объектами краж со взломом.

20. Усиление давления со стороны соседей и ассоциаций. Поскольку угловые дома часто считаются воротами на улицы или в тупики и кварталы, внешний вид этих домов часто считается более высоким стандартом сообществами и соседскими ассоциациями.

21. Их сложнее продать. Большинство риэлторов скажут вам, что угловые участки сложнее продать. Гы, интересно, почему.

Фото предоставлено: Lady DragonflyCC

Глава 3 | Постановление о зонировании

Следующие определения должны применяться в Разделе 23-90 (ВКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ ЖИЛЬЕ), включительно:

Управляющий агент

«Управляющий агент» — это организация, ответственная за обеспечение в соответствии с нормативным соглашением , что:

(a) каждая предметная аренда доступное жилье арендуется в соответствии с таким нормативным соглашением при при аренде и при каждой последующей вакансии; или

(b) каждый субъект домовладение Доступное жилье принадлежит и занято в соответствии с таким нормативным соглашением при продаже и при каждой перепродаже .

Доступная площадь

(a) Где все жилых единиц , квартир для совместного проживания и вспомогательных жилых единиц на производственной площадке 907 MIH или , кроме любой единицы super , это единиц доступного жилья , вся площадь жилого дома , или жилой площади для проекта вспомогательного жилья , на таком участке генерирующей станции или участок MIH является «доступной площадью.

(b) Если одна или несколько из жилых единиц или квартирных квартир на генерирующей площадке , кроме любой единицы super , не являются доступным жильем единиц , доступная площадь в таком генерирующем участке составляет сумму:

(1) всей площади жилых этажей в пределах периметральных стен доступного жилья блоки в таком генерирующем участке ; плюс

(2) число, определяемое умножением жилой площади из соответствующих критериям общих частей в таком генерирующем участке на дробь, числителем которой является все площадь жилого этажа в пределах периметральных стен единиц доступного жилья в таком генерирующем участке и знаменателем которой является сумма жилой площади в пределах периметральных стен единиц доступного жилья в таком генерирующем участке плюс жилой площади в пределах периметральных стен жилых единиц или квартирных единиц на таком генерирующем участке , кроме любого блок супер , т их нет единиц доступного жилья .

(c) Если одна или несколько из жилых единиц или квартирных квартир на участке MIH , кроме любой единицы super , не являются доступными жилищными единицами , доступная площадь на таком участке MIH представляет собой сумму:

(1) всей площади жилых этажей из единиц доступного жилья в таких MIH site ; плюс

(2) число, определяемое умножением жилой площади из соответствующих критериям общих частей в таком сайте MIH на дробную часть, числителем которой является все жилая площадь из единиц доступного жилья на таком участке MIH , знаменатель которого является суммой жилой площади из единиц доступного жилья в таких участок плюс жилой этаж из жилых единиц или квартир на таком участке MIH , кроме любых единиц супер , которые не единиц доступного жилья .

Доступное жилье

«Доступное жилье» включает:

(a) единиц доступного жилья ; и

(b) соответствующих критериям общих частей .

Фонд доступного жилья

Что касается требований пункта (d) (3) (v) Раздела 23-154, «фонд доступного жилья» — это фонд, управляемый HPD , все взносы которое будет использоваться для развития, приобретения, восстановления или сохранения доступного жилья или других целей доступного жилья, как указано в руководящих принципах .Каждый взнос в такой фонд должен быть зарезервирован для использования в районе, в котором находится MIH development , делающий такой взнос, и в течение как минимум 10 лет должен быть зарезервирован для использования в том же районе Сообщества, в котором находится Девелопмент MIH , вносящий такой вклад, находится. HPD должен выпускать публичный отчет об использовании такого фонда не реже одного раза в год.

Дополнительные положения об использовании таких средств могут быть изложены в руководящих принципах .

План доступного жилья

«План доступного жилья» — это план, утвержденный HPD — развитие , восстановление или сохранение арендуемого или домовладение доступное жилье на генерирующем участке , в соответствии с положениями разделов 23-90 включительно.

Доступное жилье

«Доступное жилье» — это:

(a) Жилая единица , кроме квартиры super , которая используется для размещения класса A, как определено в Закон о многоквартирных домах, который ограничен или будет ограничен в соответствии с нормативным соглашением для проживания:

(1) домохозяйств с низким доходом ;

(2), если это разрешено параграфом (c) Раздела 23-154 (Инклюзивное жилье), либо домохозяйств с низким доходом , либо комбинация домохозяйств с низким доходом и домохозяйств со средним доходом или домохозяйств со средним доходом ;

(3) при перепродаже из домовладений доступного жилья , других правомочных покупателей , в зависимости от обстоятельств; или

(4) соответствующих критериям домохозяйств ;

(b) однокомнатная квартира , кроме квартиры super , которая используется для проживания класса B, как определено в Законе о многоквартирных домах, и которая ограничена или будет ограничена в соответствии с регулирующее соглашение , на размещение домохозяйств с низким доходом ; или

(c) вспомогательное жилье в рамках проекта вспомогательного жилья .

Доступное жилье , ограниченное домовладением , как определено в Разделе 23-913, в соответствии с нормативным соглашением , должно быть жилых единиц .

Капитальный элемент

«Основные элементы» — это, по отношению к любому производственному объекту или MIH участок , электрические, водопроводные, отопительные и вентиляционные системы на таком участке генерирующего объекта , любая система кондиционирования воздуха на таком участке выработки и все фасады, парапеты, крыши, окна, двери, лифты, бетон и каменная кладка на таком участке выработки и любых других частях такого участка выработки или Сайт MIH , указанный в руководящих принципах .

Компенсируемая застройка

В областях, отличных от Обязательных жилых районов , «компенсируемая застройка» — это застройка , расширение более чем 50 процентов этажа площадь существующего здания или, если это разрешено положениями Раздела 98-262 (Увеличение жилой площади), преобразование здания или его части из не- жилое использование до жилых единиц , что находится в пределах компенсированного участка зонирования .

Участок с компенсированным зонированием

«Участок с компенсированным зонированием» — это участок с зонированием , не расположенный в зоне обязательного включения , которая содержит компенсируемую застройку и получает увеличенную коэффициент площади , в соответствии с положениями разделов 23-154 и 23-90 включительно.

Уведомление о завершении

«Уведомление о завершении» — это уведомление от HPD в Департамент строительства, в котором говорится, что доступное жилье полностью или частично на любом участке создания или MIH участок завершен и с указанием доступной площади такого доступного жилья .

Допустимая общая площадь

В генерирующей площадке «подходящая общая площадь» включает любую жилую площадь , которая расположена в пределах стен периметра дома super , а также включает любую жилую площадь в таком генерирующем участке , который не расположен в пределах периметра любой другой жилой единицы или жилой единицы , за исключением любой жилой площади , по которому взимается абонентская плата с жителей единиц доступного жилья .

На участке MIH соответствующая общая площадь включает в себя любую жилую площадь , которая расположена в пределах единицы super , и любую жилую площадь в такой участок MIH , который не расположен в какой-либо другой жилой единице или квартирной единице , но не должен включать любую жилую площадь , за которую взимается плата за пользование с жителей единиц доступного жилья .

Компенсация за площадь

«Компенсация за площадь пола» — это любая дополнительная жилой площади , разрешенная в компенсируемой застройке , в соответствии с положениями разделов 23-154 и 23-90 включительно.

Генерирующая площадка

«Генерирующая площадка» — это здание или строительный сегмент , содержащий либо жилой доступной площади , либо проект вспомогательного жилья , который генерирует компенсация площади помещения .Не жилой площади на генерирующей площадке , за исключением проекта вспомогательного жилья , не может генерировать компенсацию за площадь .

Генерирующая площадка также может быть площадкой MIH , при условии, что ни одна из площадей не удовлетворяет требованиям пунктов (d) (3) (i) — (d) (3 ) (iv) или (d) (5) Раздела 23-154 (Дополнительное жилье) также может генерировать компенсацию за площадь .

Унаследованный арендатор

«Унаследованный арендатор» — это любое домашнее хозяйство , которое:

(a) занимало доступное жилье в сохранение доступного жилья или существенное восстановление доступного жилья жилье на дату нормативного соглашения , в соответствии с договором аренды, соглашением о найме или установленным законом договором аренды, в соответствии с которым один или несколько членов такого домохозяйства являлись основным арендатором такой единицы доступного жилья ; и

(b) не было подтверждено управляющим агентом , чтобы иметь годовой доход ниже предела низкого дохода , предела умеренного дохода или предела среднего дохода , поскольку применимо к такому доступное жилье ; или

(c) в домовладение сохранение доступное жилье или домовладение существенное восстановление доступное жилье , было сертифицировано управляющим агентом , чтобы иметь годовой доход ниже предела низкого дохода , предел среднего дохода или предел среднего дохода , что применимо к такой доступной жилой единице , но принял решение не покупать такую ​​ доступную жилую единицу .

В обязательных жилых районах , унаследованных арендаторов могут включать арендаторов зданий на участке MIH , которые были или будут снесены, как указано в руководящие принципы .

Руководящие принципы

«Руководящие принципы» — это руководящие принципы , принятые HPD в соответствии с параграфом (k) Раздела 23-96 (Требования к созданию сайтов или сайтов MIH).

Домохозяйство

До первоначальное размещение из единиц доступного жилья , «домохозяйство» в совокупности — это все лица, намеревающиеся занять такую ​​ единиц доступного жилья at начальная заполняемость . После первоначального заселения из единиц доступного жилья , домохозяйство в совокупности представляет собой всех лиц, занимающих такие единиц доступного жилья .

HPD

«HPD» — это Департамент по сохранению и развитию жилищного строительства или его правопреемное агентство или уполномоченное лицо, действующее через своего Уполномоченного или его представителя.

Диапазон доходов

«Диапазон доходов» — это процент от индекса дохода , который является максимальным доходом для домохозяйства, отвечающего критериям при первоначальном размещении доступного жилья ед. . диапазоны доходов все должны быть кратны 10 процентам от индекса дохода , за исключением диапазона дохода , составляющего 135 процентов от индекса дохода , предусмотренного в соответствии с пунктом (d) ( 3) (iv) Раздела 23-154 (Дополнительное жилье).

Индекс дохода

«Индекс дохода» составляет 200 процентов от предела очень низкого дохода, установленного Министерством жилищного строительства и городского развития США (HUD) для проектов многосемейного налогового субсидирования (MTSP) в соответствии с Налоговым кодексом. Разделы 42 и 142 с поправками, внесенными разделом 3009 (а) Закона о жилищном строительстве и экономическом восстановлении от 2008 года, с поправкой на размер домохозяйства. HPD должен скорректировать эту цифру для количества человек в домохозяйстве в соответствии с такой методологией, которая может быть указана HUD или в руководящих принципах . HPD может округлить эту цифру до ближайших 50 долларов или в соответствии с такой методологией, которая может быть указана HUD или в руководящих принципах . Если HUD прекращает устанавливать или изменяет стандарты или методологию для установления такого лимита дохода для ССП или прекращает устанавливать методологию корректировки такой цифры для размера домохозяйства , стандарты и методологию для установления Индекс дохода должен быть указан в нормах .

Первоначальное размещение

«Первоначальное размещение» — это:

(a) в аренде доступное жилье , первая дата, на которую конкретное домохозяйство занимает конкретную единиц доступного жилья в качестве арендатора и не относится к любому последующему продлению аренды той же доступной единицы жилья тому же арендатору домохозяйства ; или

(b) в домовладении доступным жильем , первая дата, когда конкретное домашнее хозяйство занимает конкретную единиц доступного жилья в качестве домовладельца .

Для любого домохозяйства , занимающего единиц доступного жилья из сохраняемого доступного жилья или существенного восстановления доступного жилья на дату нормативного соглашения , первоначальное размещение — это , дата нормативного соглашения .

Жилая площадь с низким доходом

«Жилая площадь с низким уровнем дохода» — это доступная по цене площадь , которая предоставляется домохозяйствам с низким уровнем дохода или, при перепродаже , как определено в разделе 23 -913, для подходящих покупателей .

Домохозяйство с низким доходом

«Домохозяйство с низким доходом» — это домохозяйство , имеющее доход меньше или равный предел низкого дохода при первоначальном размещении , за исключением того, с Что касается жилой площади с низким доходом в пределах сохранения доступного жилья или существенного восстановления доступного жилья , престарелый арендатор также должен быть домохозяйством с низким доходом .

Предел низкого дохода

«Предел низкого дохода» составляет 80 процентов от индекса дохода .

Площадь пола со средним уровнем дохода

«Площадь пола со средним уровнем дохода» — это доступная площадь , которая предоставляется домохозяйствам со средним уровнем дохода или, при перепродаже , как определено в Разделе 23 -913, для подходящих покупателей .

Домохозяйство со средним доходом

«Домохозяйство со средним доходом» — это домохозяйство , имеющее доход, превышающий предел среднего дохода и меньше или равный пределу среднего дохода при первоначальное размещение , за исключением того, что в отношении нижнего этажа со средним уровнем дохода в пределах существенного ремонта доступного жилья , престарелый арендатор также должен быть домохозяйством со средним доходом .

Предел среднего дохода

«Предел среднего дохода» составляет 175 процентов от индекса дохода .

Заявление MIH

«Заявление MIH» — это заявка, поданная по адресу HPD , в которой указывается, как доступное жилье будет предоставлено на сайте MIH в соответствии с положениями Раздел 23-90 (ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЖИЛЬЕ) включительно.

Развитие MIH

«Развитие MIH» — это разработка , расширение или преобразование , которое соответствует положениям пунктов (d) (3) (i) — ( d) (3) (v) или (d) (5) Раздела 23-154 (Инклюзивное жилье), или предоставляет доступное жилье или взнос в фонд доступного жилья в соответствии с такими положениями, как изменено специальным разрешением Совета по стандартам и апелляциям в соответствии с разделом 73-624 (Уменьшение или изменение требований об обязательном включении жилья).

Площадка MIH

«Площадка MIH» — это здание , содержащее доступной площади , которая удовлетворяет либо специальной площади этажа положениям для участков зонирования в Обязательные жилые помещения в пунктах (d) (3) (i) — (d) (3) (iv) и (d) (5), в зависимости от обстоятельств, Раздела 23-154 (Дополнительное жилье) для MIH development в зоне обязательного инклюзивного жилья или положения, измененные специальным разрешением Совета по стандартам и апелляциям в соответствии с разделом 73-624 (Сокращение или изменение требований к обязательному инклюзивному жилью).

Площадка MIH также может быть производственной площадкой , при условии, что ни одна из площадей не удовлетворяет требованиям пунктов (d) (3) (i) — (d) (3 ) (iv) или (d) (5) Раздела 23-154 также может генерировать компенсацию площади пола .

Участок для зонирования MIH

«Участок для зонирования MIH» — это участок для зонирования , который содержит участок MIH .

Площадь пола со средним доходом

«Площадь пола со средним доходом» — это доступная по цене площадь , которая предоставляется домохозяйствам со средним доходом или, при перепродаже , как определено в Разделе 23 -913, для подходящих покупателей .

Домохозяйство со средним доходом

«Домохозяйство со средним доходом» — это домохозяйство , имеющее доход, превышающий предел низкого дохода и меньше или равный пределу среднего дохода при первоначальное размещение , за исключением того, что в отношении жилой площади с умеренным доходом в пределах существенного восстановления доступного жилья , престарелый арендатор также должен быть домохозяйством с умеренным доходом .

Умеренный предел дохода

«Предел умеренного дохода» составляет 125 процентов от индекса дохода .

Новое строительство доступного жилья

«Новое строительство доступного жилья» — это доступное жилье , которое:

(a) находится в здании или его части, которая не существовала на дату, когда за 36 месяцев до даты нормативного соглашения ;

(b) расположен на площади , для которой Департамент строительства впервые выдал временный или постоянный сертификат занятости на или после даты нормативного соглашения ; и

(c) соответствует таким дополнительным критериям, которые могут быть указаны в HPD в руководящих принципах .

Уведомление о разрешении

Для компенсируемых застроек «уведомление о разрешении» представляет собой уведомление от HPD в Департамент строительства, в котором говорится, что разрешения на строительство могут быть выданы для использования компенсации за площадь от всей или части доступной площади на генерирующей площадке . Любое уведомление о разрешении должно:

(a) указывать сумму минимального дохода , минимального дохода или минимального дохода среднего дохода , относящуюся к таким генерирующим сайт ;

(b) указать, является ли доступным жильем , включающим такие жилые помещения с низким уровнем дохода , жилые помещения со средними доходами или жилые помещения со средними доходами , составляет новое строительство доступного жилья , существенное восстановление доступного жилья или сохранение доступного жилья ;

(c) указать, использовало ли доступное жилье , включающее в себя минимальный уровень дохода , минимальный уровень дохода или минимальный уровень дохода государственное финансирование ; и

(d) указать количество такого доступного жилья , которое застройщик может использовать для получения компенсации за площадь .

Для MIH застройки , уведомление о разрешении — это уведомление от HPD в Департамент строительства, в котором говорится, что разрешения на строительство могут быть выданы для любого проекта , расширение или преобразование в соответствии с особыми требованиями параграфа (d) Раздела 23-154 (Инклюзивное жилье) или любым изменением таких положений по специальному разрешению Совета по стандартам и апелляциям в соответствии с разделу 73-624 (Уменьшение или изменение требований об обязательном включении жилья).В таком уведомлении о разрешении должна быть указана сумма доступной жилой площади , предоставленная на участке MIH , или сумма жилой площади , на которую вносится вклад в фонд доступного жилья изготовлен.

Сохранение доступного жилья

«Сохранение доступного жилья» — это доступного жилья , которое:

(a) — это генерирующая площадка , которая существовала и была законно разрешена для проживания согласно нормативным требованиям дата соглашения , за исключением случаев, разрешенных правилами ; и

(b) соответствует положениям параграфа (e) Раздела 23-961 (Особые требования к доступному жилью с сохранением аренды) или параграфа (f) Раздела 23-962 (Особые требования к доступному жилью с сохранением домовладения), поскольку применимый.

Государственное финансирование

«Государственное финансирование» — это любой грант, заем или субсидия от любого федерального, государственного или местного агентства или механизма, включая, помимо прочего, отчуждение недвижимого имущества по цене ниже рыночной, деньги на покупку финансирование, финансирование строительства, постоянное финансирование, использование поступлений от облигаций и распределение налоговых кредитов на жилье с низким доходом. Государственное финансирование не включает получение субсидий на аренду в соответствии с Разделом 8 Закона США о жилищном строительстве 1937 года с поправками, а также освобождение от налогов на недвижимость или снижение их налогов в соответствии с Разделом 420-a, Раздел 420-c , Раздел 421-a, Раздел 422, Раздел 488-a или Раздел 489 Закона о налоге на недвижимое имущество, Статья XI Закона о финансировании частного жилищного строительства или такие другие программы полного или частичного освобождения от налогообложения недвижимого имущества или снижения налога на него, которые могут быть указано в правилах .

Соответствующее домохозяйство

«Соответствующее домохозяйство» — это домохозяйство с низким доходом , домохозяйство со средним доходом или домохозяйство со средним доходом , которое удовлетворяет применимым требованиям диапазона доходов параграфы (d) (3) (i) — (d) (3) (iv) или (d) (5) Раздела 23-154 (Инклюзивное жилье) или как предусмотрено специальным разрешением Совета по стандартам и апелляциям в соответствии с к Разделу 73-624 (Уменьшение или изменение требований об обязательном включении жилья).

Нормативное соглашение

«Регулирующее соглашение» — это соглашение между HPD и владельцем доступного жилья или, для участков MIH , ограничительной декларацией или другим документом, как предусмотренных в руководящих принципах , которые требуют соблюдения всех применимых положений плана доступного жилья или Заявление MIH , раздел 23-90 включительно, других применимых положений настоящей Резолюции и руководящие принципы .

Дата нормативного соглашения

«Дата нормативного соглашения» в отношении любого доступного жилья является датой исполнения применимого нормативного соглашения . Если в нормативное соглашение в любое время вносятся поправки, дата нормативного соглашения является первоначальной датой исполнения такого нормативного соглашения без учета даты внесения каких-либо поправок.

Период регулирования

«Период регулирования» — это, по отношению к любой производственной площадке , весь период времени, в течение которого компенсация площади генерируется доступной площадью на такой генерирующей площадке является предметом разрешения, временного свидетельства о заселении или постоянного свидетельства о заселении, выданного Департаментом строительства, или иным образом находится в стадии строительства или использования в компенсируемой застройке .

В отношении любого участка MIH период регулирования — это весь период времени, в течение которого доступная площадь помещения на таком участке MIH удовлетворяет требованиям специального площадь положения для участков для зонирования в Обязательные жилые районы в пункте (d) Раздела 23-154 (Дополнительное жилье) для девелопмента MIH или любое изменение таких положений по специальному разрешению Совета по стандартам и апелляциям в соответствии с разделом 73-624 (Уменьшение или изменение требований к обязательному включению жилья), является предметом разрешения, временного свидетельства о проживании или постоянного свидетельства о проживании, выданного Департаментом строительства, или иным образом строится или используется.