Урок 17. степень с рациональным и действительным показателем — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №17. Степень с рациональным и действительным показателем.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие степени;

2) определение степени с рациональным и действительным показателем;

3) нахождения значения степени с действительным показателем.

Глоссарий по теме

Если n- натуральное число, , m— целое число и частное является целым числом, то при справедливо равенство:

.

При любом действительном х и любом положительном а ) степень является положительным числом:

Но если основание степени а=0, то степень определяют только при и считают, что

При выражение не имеет смысла.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А. Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Пример: вычислим

Мы можем представить , тогда

Таким образом, мы можем записать

или

На основании данного примера можно сделать вывод:

Если n- натуральное число, , m— целое число и частное является целым числом, то при 0 справедливо равенство:

.

Напомним, что r-рациональное число вида , где m— целое число , n- натуральное число. Тогда по нашей формуле получим:

Таким образом, степень определена для любого рационального показателя r и любого положительного основания а.

Если , то выражение имеет смысл не только при 0, но и при а=0, причем, Поэтому считают, что при r0 выполняется равенство

Пользуясь формулой степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.

Рассмотрим несколько примеров:

Отметим, что все свойства степени с натуральным показателем, которые мы с вами повторили, верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием, а именно, для любых рациональных чисел p и q и любых 0 и 0 ы следующие равенства:

1. ;
2. ;

Разберем несколько примеров, воспользовавшись данными свойствами:

1. Вычислим:

1. Упростить выражение:

В числителе вынесем общий множитель ab за скобки, в знаменателе представим корни в виде дробных показателей степени:

А теперь дадим определение степени с действительным показателем, на примере .

Пусть последовательность десятичных приближений с недостатком :

Эта последовательность стремится к числу , т.е.

Числа являются рациональными, и для них определены степени т.е. определена последовательность

Можно сделать вывод, что данная последовательность стремится к некоторому действительному числу, которое обозначают , т. (х₂). Умножив обе части этого равенства на положительное число , получим . По свойству умножения степеней получаем: , т.е. .

Из данной теоремы вытекают три следствия:

1. Пусть Тогда
2. Пусть и

.

1. Пусть и

.

Эти теорема и следствия помогают при решении уравнений и неравенств, сравнении чисел.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Сравнить числа

Сравним показатели

Т.к. , и 12 < 18, то .

Поэтому по теореме

Пример 2. Решим уравнение

.

Поэтому уравнение можно записать так:

Получим, , разделим на 2 обе части уравнения.

Следовательно,

Пример 3. Сравнить числа

Избавимся от корней, для это возведем оба числа в шестую степень, т.к. шесть делится — наименьшее общее кратное двух и трех:

Т.к. 0<8<9 и , то , т.е. .

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

      Пусть p – произвольное положительное рациональное число. Тогда это рациональное число можно представить в виде несократимой дроби

где m и n – натуральные числа. Предположим также, что a – произвольное положительное действительное число.

      Теперь мы можем дать определение степени с рациональным показателем.

      Определение. Степень, показатель которой есть положительное рациональное число, определяется по формуле:

      Определение. Степень, показатель которой есть отрицательное рациональное число, определяется по формуле:

      Определение. Степень с нулевым показателем определяется по формуле:

a⁰ = 1 .

      Пример.

Свойства степеней с рациональными показателями

      Для степеней с рациональными показателями выполняются следующие свойства:

      Кроме того, если   p   и   q   – произвольные рациональные числа, то

      Замечание.  Желающие могут ознакомиться с нашей презентацией  «Степень с рациональным показателем», содержание которой связано с данным разделом.

Понятие о степени с иррациональным показателем

      Кроме степеней с рациональными показателями в математике и других точных науках большое значение имеют и степени с иррациональными показателями, однако их определение выходит за рамки курса средней школы. Упомянем лишь о том, что степень с иррациональным показателем строится с помощью предельного перехода по последовательностям степеней с рациональными показателями, которые являются приближениями иррационального показателя степени с недостатком и с избытком.

      С понятиями степени с целочисленным показателем и арифметического корня можно ознакомиться в разделе «Степень с целочисленным показателем и арифметический корень» нашего справочника. {\frac{1}{2}}, $$

Так как \(0 \lt \frac{1}{5} \lt 1\) и \(\frac{1}{3} \lt \frac{1}{2}\)

Степень с рациональным показателем. Ее свойства. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задач

Степень с рациональным
показателем.

Ее свойства.

Свойства степени с рациональным
показателем.

Примеры решения задач.

1.Упростите выражение:

а) 14а^2/5-10(а^1\5)²=14а^2/5-10а^1/5∙^2/1=14а^2/5-10а^2\5=4а^2/5;

б)3а^0,3:1,5а^-3,7= 3/1,5 а^0,3-(-3,7)=
2а^0,3+3,7=2а⁴;

в)в^-5,6∙11в^0,4=11в^-5,6+0,4=11в^-5,2.

2. Найдите значение выражения

а) (1/4)^3а:(4^-5а) при а=0,5.

Так, как 1/4=1/4¹= 4^-1, то

(4^-1)^3а:4^-5а=4^-3а:4^-5а=4^-3а-(-5а)=4^-3а+5а=4^2а,
при а=0,5

4^{2∙ 0,5}=4¹=4.

2^4в

^{б)(_______)-1/3 при в=-2.}

^2-2в

2^4в

^{(
______)-1/3 =( 24в-(-2в))-1/3=
(24в+2в)-1/3= (26в)-1/3=26в∙(-1/
3)=2-2в, при в = -2}

^2-2в

^{2-2∙
(-2)=24=16.}

в) (а^а/2∙3^а)^-1
при а=-2.

(а^а/2∙3^а)^-1=
(а^а/2)^-1∙(3^а)^-1=а^-а/
2∙3^-а, при а=-2

(-2)^{-(-2) / 2}∙3^-(-2) =(-2)^{2 /
2}∙3²=(-2)¹∙9=-18

3. Вычислить.

3.Задания для
самостоятельного решения.

1.Упростите выражение:

а) 6^0,7/ 6^0,3;
в) а^7/6:а^-5/6;

б) к ^-5,3∙4к ^0,1;
г) (а^3/2: а^-7/2)∙а³;

д) 4с^2/7+ 3(с^1/7 )² ; ^{д) (43а
∙ 4-2а)
-2.}

2. Найти значение выражения

а) 5^3в

^_____при
в=0,25;

^5-в

^{б) 27с∙2-3
с при с=-1/4;}

в) (16^-3)^{а / 6} при
а=-1/2;

г) (4^3а∙4^-2а)^-2
при а=-1/4.

3. Упростите выражение

4.

5. Найти значение выражения

6. Упростите
выражение.

Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением

Степень с рациональным и действительным показателем

а) Степень с рациональным показателем определяется равенством

б) Свойства степени с рациональным показателем (р, q — рациональные числа, а > 0, b > 0).

в) Степень с действительным иррациональным показателем х и основанием а, где а > 0, определяется как действительное число (обозначается

), являющееся пределом последовательности где — последовательность рациональных чисел такая, что При этом для степени с любым действительным показателем справедливы те же свойства, которыми обладает степень с рациональным показателем. Это доказывается в курсе высшей математики.

Пример №19.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

Решение:

Обозначим

тогда Умножая числитель и знаменатель полученной дроби на и применяя формулу разности кубов, запишем А в следующем виде:

Снова применяя формулу разности кубов, получаем

Ответ:

Пример №20.

Доказать, что

Доказательство. Пусть

Применяя формулу куба суммы и учитывая, что получаем

Таким образом, левая часть А рассматриваемого равенства является корнем уравнения

Это уравнение имеет корень

а его левую часть можно записать в виде Так как уравнение не имеет действительных корней, а левая часть равенства А — действительное число, то

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

11 класс.

Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций. — Обобщение понятия о показателе степени — начальные сведения.

Комментарии преподавателя

Чтобы обоб­щить по­ня­тие о по­ка­за­те­ле сте­пе­ни, вспом­ним, что такое сте­пень.

 – сте­пень с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем, здесь а – ос­но­ва­ние сте­пе­ни, n – по­ка­за­тель сте­пе­ни;

                 n штук

Кроме того, на­пом­ним, что:

 и ;

Вы­ра­же­ние  не су­ще­ству­ет.

Ос­нов­ные свой­ства сте­пе­ней:

1.      ;

Для того чтобы умно­жить сте­пе­ни с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем, нужно сло­жить их по­ка­за­те­ли, ос­но­ва­ние оста­вить тем же самым.

2.      ;

Можно раз­де­лить сте­пе­ни с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем, для этого их по­ка­за­те­ли нужно вы­честь, а ос­но­ва­ние оста­вить тем же самым;

3.      ;

Для того чтобы сте­пень воз­ве­сти в сте­пень, нужно пе­ре­мно­жить по­ка­за­те­ли сте­пе­ни, ос­но­ва­ние оста­вить без из­ме­не­ний.

4.      ;

При умно­же­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вым по­ка­за­те­лем, нужно пе­ре­мно­жить ос­но­ва­ния и воз­ве­сти ре­зуль­тат в ис­ход­ную сте­пень;

5.      ;

Чтобы раз­де­лить сте­пе­ни с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми, нужно раз­де­лить ос­но­ва­ния и воз­ве­сти ре­зуль­тат в ис­ход­ную сте­пень;

На­пом­ним ос­нов­ные чис­ло­вые мно­же­ства:

 – на­ту­раль­ные числа;

 – целые числа;

 – ра­ци­о­наль­ные числа;

Числа, ко­то­рые не могут быть пред­став­ле­ны в виде дроби , на­зва­ли ир­ра­ци­о­наль­ны­ми, на­при­мер . Если к мно­же­ству ра­ци­о­наль­ных чисел при­ба­вить мно­же­ство ир­ра­ци­о­наль­ных чисел, по­лу­чим мно­же­ство дей­стви­тель­ных чисел

 – дей­стви­тель­ные числа;

На­пом­ним связь между мно­же­ством дей­стви­тель­ных чисел и чис­ло­вой осью. Между мно­же­ством дей­стви­тель­ных чисел и мно­же­ством точек чис­ло­вой оси су­ще­ству­ет вза­и­мо­од­но­знач­ное со­от­вет­ствие. То есть, если мы го­во­рим, что есть число , то ему на оси со­от­вет­ству­ет един­ствен­ная точка. Точно так же каж­дой точке со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное дей­стви­тель­ное число.

Рис. 1. Чис­ло­вая ось

Опре­де­ле­ние:

Сте­пе­нью неот­ри­ца­тель­но­го числа а с ра­ци­о­наль­ным по­ло­жи­тель­ным по­ка­за­те­лем  на­зы­ва­ет­ся число 

На­при­мер: 

При­мер 1 – вы­чис­лить:

При­мер 2 – вы­чис­лить:

При­мер 3 – вы­чис­лить:

При­мер 4 – пред­ста­вить в виде сте­пе­ни:

При­мер 5 – пред­ста­вить в виде сте­пе­ни:

При­мер 6 – пред­ста­вить в виде сте­пе­ни:

При­мер 7 – пред­ста­вить в виде сте­пе­ни:

Опре­де­ле­ние:

Сте­пе­нью по­ло­жи­тель­но­го числа а с ра­ци­о­наль­ным от­ри­ца­тель­ным по­ка­за­те­лем  на­зы­ва­ет­ся число .

На­при­мер: 

При­мер 8 – вы­чис­лить:

При­мер 9 – вы­чис­лить:

При­мер 10 – вы­чис­лить:

Об­ра­тим вни­ма­ние на ти­по­вую ошиб­ку. Вы­чис­лить:

Ответ: не су­ще­ству­ет

По­яс­не­ние:

 – вы­ра­же­ние 1;

Дан­ное ра­вен­ство невер­но, так как наше опре­де­ле­ние не долж­но про­ти­во­ре­чить опре­де­ле­ни­ям, дан­ным ранее, на­при­мер ос­нов­но­му свой­ству дроби:

 – вы­ра­же­ние 2;

Из вы­ра­же­ний 1 и 2 по­лу­чи­ли , невер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство.

За­пом­ним:

 опре­де­ле­но толь­ко при .

При­мер 11 – по­стро­ить гра­фи­ки функ­ций:

Гра­фик пер­вой функ­ции нам из­ве­стен, он про­хо­дит через три фик­си­ро­ван­ные точки: (0;0), (1;1) и (-1;-1), об­ласть опре­де­ле­ния .

Гра­фик вто­рой функ­ции по опре­де­ле­нию со­от­вет­ству­ет гра­фи­ку функ­ции  при .

От­ли­чие за­дан­ных функ­ций на­гляд­но про­де­мон­стри­ро­ва­но на гра­фи­ках 2 и 3.

Рис. 2. Гра­фик функ­ции 

Рис. 3. Гра­фик функ­ции 

При­мер 12 – найти об­ласть опре­де­ле­ния вы­ра­же­ния:

По опре­де­ле­нию по­ло­жи­тель­но­го ра­ци­о­наль­но­го по­ка­за­те­ля сте­пе­ни:

По опре­де­ле­нию от­ри­ца­тель­но­го ра­ци­о­наль­но­го по­ка­за­те­ля сте­пе­ни:

По опре­де­ле­нию по­ло­жи­тель­но­го ра­ци­о­наль­но­го по­ка­за­те­ля сте­пе­ни:

По опре­де­ле­нию от­ри­ца­тель­но­го ра­ци­о­наль­но­го по­ка­за­те­ля сте­пе­ни:

Итак, мы рас­смот­ре­ли по­ня­тие сте­пе­ни с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем, дали важ­ные опре­де­ле­ния.  

На­пом­ним, что такое мно­же­ство ра­ци­о­наль­ных чисел.

 – ра­ци­о­наль­ные числа.

Каж­дая дробь может быть пред­став­ле­на в де­ся­тич­ном виде, на­при­мер :

Итак, ра­ци­о­наль­ное число может быть пред­став­ле­но как бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь с пе­ри­о­дом.

На­пом­ним опре­де­ле­ние: для  вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство:

На­при­мер: ; ;  (нужно пе­ре­ве­сти бес­ко­неч­ную пе­ри­о­ди­че­скую дробь в обык­но­вен­ную).

Рас­смот­рим свой­ства сте­пе­ни с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем, они ана­ло­гич­ны свой­ствам сте­пе­ни с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем, здесь s и r – ра­ци­о­наль­ные числа:

1. .

Для того чтобы умно­жить сте­пе­ни с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем, нужно сло­жить их по­ка­за­те­ли, ос­но­ва­ние оста­вить без из­ме­не­ний.

2. .

Можно раз­де­лить сте­пе­ни с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем, для этого их по­ка­за­те­ли нужно вы­честь, а ос­но­ва­ние оста­вить без из­ме­не­ний.

3. .

Для того чтобы сте­пень воз­ве­сти в сте­пень, нужно пе­ре­мно­жить по­ка­за­те­ли сте­пе­ни, ос­но­ва­ние оста­вить без из­ме­не­ний.

4. .

При умно­же­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вым по­ка­за­те­лем, нужно пе­ре­мно­жить ос­но­ва­ния и воз­ве­сти ре­зуль­тат в ис­ход­ную сте­пень.

5. .

Чтобы раз­де­лить сте­пе­ни с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми, нужно раз­де­лить ос­но­ва­ния и воз­ве­сти ре­зуль­тат в ис­ход­ную сте­пень.

Вы­ше­пе­ре­чис­лен­ные свой­ства спра­вед­ли­вы для любых ра­ци­о­наль­ных по­ка­за­те­лей. До­ка­жем пер­вое свой­ство:

До­ка­за­тель­ство:

s и r – ра­ци­о­наль­ные числа, , ,  

.

При­ве­дем корни к оди­на­ко­во­му по­ка­за­те­лю:

.

Пре­об­ра­зу­ем по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние со­глас­но свой­ствам корня:

.

По опре­де­ле­нию сте­пе­ни с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем:

.

Со­глас­но свой­ствам сте­пе­ни:

.

Итак, по­лу­чи­ли:

.

До­ка­жем тре­тье свой­ство:

До­ка­за­тель­ство:

s и r – ра­ци­о­наль­ные числа, , , .

Схема до­ка­за­тель­ства стан­дарт­ная: от сте­пе­ней пе­рей­ти к кор­ням, вы­пол­нить пре­об­ра­зо­ва­ния с кор­ня­ми и вер­нуть­ся к сте­пе­ням.

Осталь­ные свой­ства до­ка­зы­ва­ют­ся ана­ло­гич­но.

Пе­рей­дем к ре­ше­нию ти­по­вых задач.

При­мер 1 – имеет ли смысл вы­ра­же­ние:

а) 

Ответ: нет.

б) 

Ответ: да ().

в) 

Ответ: да, т. к. -4 – целое число ().

г) 

Ответ: нет.

При­мер 2 – вы­чис­лить:

Рас­смот­рим сла­га­е­мые от­дель­но:

.

По­лу­ча­ем:

.

При­мер 3 – упро­стить вы­ра­же­ние:

Упро­стим зна­ме­на­тель:

.

По­лу­ча­ем:

.

От­ме­тим, что обя­за­тель­но в дан­ном слу­чае .

При­мер 4 – упро­стить вы­ра­же­ние:

Воз­во­дим в квад­рат дву­член:

.

По­лу­чи­ли вы­ра­же­ние:

.

В дан­ной за­да­че могут быть по­став­ле­ны до­пол­ни­тель­ные во­про­сы, на­при­мер, до­пу­сти­мы ли от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния с. Ответ: нет, т. к. с имеет ра­ци­о­наль­ный по­ка­за­тель сте­пе­ни и по опре­де­ле­нию яв­ля­ет­ся неот­ри­ца­тель­ным.

При­мер 5 – упро­стить вы­ра­же­ние:

Ком­мен­та­рий: огра­ни­че­ние на х на­ло­же­но в связи с тем, что он имеет от­ри­ца­тель­ный ра­ци­о­наль­ный по­ка­за­тель сте­пе­ни.

Итак, мы рас­смот­ре­ли свой­ства сте­пе­ней с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/obobschenie-ponyatiya-o-pokazatele-stepeni-nachalnye-svedeniya

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/stepen-s-ratsionalnym-pokazatelem-prosteyshie-zadachi

http://www. е=1$.

9.2 — Радикальные выражения и рациональные экспоненты

Цели обучения

• (9.2.1) — Определить и идентифицировать радикальное выражение
• (9.2.2) — Преобразование радикалов в выражения с рациональными показателями
• (9.2.3) — Преобразование выражений с рациональными показателями в их радикальный эквивалент
• (9.2.4) — Рациональные показатели, числитель которых не равен единице
• (9.2.5) — Упростить радикальные выражения
  • Упростить радикальные выражения с помощью факторизации
  • Упростите радикальные выражения, используя рациональные показатели степени и законы показателей

Квадратные корни чаще всего записываются с помощью знака корня, например [латекс] \ sqrt {4} [/ latex].{\ tfrac {1} {2}}} [/ латекс].

Не можете представить себе возведение числа до рациональной степени? К ним может быть трудно привыкнуть, но рациональные показатели могут действительно помочь упростить некоторые проблемы. {\ frac {1} {n}}} [/ latex].{\ frac {1} {3}}}} = 2 \ sqrt [3] {x} [/ латекс]

Гибкость

Мы можем писать радикалы с рациональными показателями, и, как мы увидим, когда мы упростим более сложные радикальные выражения, это может упростить задачу. Наличие различных способов выражения и записи алгебраических выражений позволяет нам гибко решать и упрощать их. Когда вы пишете, это как тезаурус: вы хотите иметь возможность самовыражения!

Пример

Запишите [латекс] \ sqrt [4] {81} [/ latex] как выражение с рациональной степенью.3} = 2 [/ латекс]

В нашем последнем примере мы перепишем выражения с рациональными показателями как радикалы. Эта практика поможет нам, когда мы упростим более сложные радикальные выражения и научимся решать радикальные уравнения. Обычно проще упростить, когда мы используем рациональные показатели степени, но это упражнение предназначено для того, чтобы помочь вам понять, как числитель и знаменатель показателя степени являются показателем степени подкоренного выражения и индексом радикала. {4 }} y} [/ латекс].{\ frac {1} {2}}} [/ латекс]

И поскольку вы знаете, что возведение числа в степень [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] — это то же самое, что извлечение квадратного корня из этого числа, вы также можете записать это так.

[латекс] \ sqrt {3x} = \ sqrt {3} \ cdot \ sqrt {x} [/ латекс]

Посмотрите на это — вы можете думать о любом числе под радикалом как о произведении отдельных множителей , каждый под собственным радикалом.

Продукт, возведенный в правило степени или иногда называемый квадратным корнем правила продукта

Для любых действительных чисел [латекс] a [/ латекс] и [латекс] b [/ латекс], [латекс] \ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ cdot \ sqrt {b} [/ latex].{2}}} [/ латекс].

Квадратный корень из правила произведения поможет нам упростить корни, которые не идеальны, как показано в следующем примере.

Упростите радикальные выражения с помощью факторизации

Пример

Упростить. 2 [/ latex], поэтому мы можем переписать подкоренное выражение.{2} [/ латекс].

[латекс] \ sqrt {7} \ cdot 3 [/ латекс]

Переставьте множители так, чтобы целое число стояло перед радикалом, а затем умножьте. (Это сделано для того, чтобы было ясно, что под радикалом находится только 7, а не 3.)

[латекс] 3 \ cdot \ sqrt {7} [/ латекс]

Ответ
[латекс] \ sqrt {63} = 3 \ sqrt {7} [/ latex]

Окончательный ответ [latex] 3 \ sqrt {7} [/ latex] может выглядеть немного странно, но в упрощенной форме. Вы можете прочитать это как «три корня из семи» или «три раза больше квадратного корня из семи».{2}} [/ латекс] [латекс] \ слева | x \ справа | [/ латекс] [латекс] -5 [/ латекс] 25 5 5 [латекс] -2 [/ латекс] 4 2 2 0 0 0 0 6 36 6 6 10 100 10 10

Примечание. {2}} = \ left | x \ right | [/ latex].2 [/ latex] всегда будет неотрицательным. Один совет, чтобы знать, когда применять абсолютное значение после упрощения любого даже индексированного корня, — это посмотреть на конечный показатель степени в ваших переменных условиях. Если показатель нечетный, включая 1, добавьте абсолютное значение. Это относится к упрощению любого корня с помощью четного индекса, как мы увидим в следующих примерах.

В следующем видео вы увидите больше примеров того, как упростить радикальные выражения с помощью переменных.

Мы покажем другой пример, где упрощенное выражение содержит переменные как с нечетной, так и с четной степенью.2} = 2 [/ латекс]; и вставив [латекс] x = 1 [/ latex] в наш окончательный ответ, также получим: [latex] | 1-3 | = 2 [/ latex]. Однако, если мы не поставим знаки абсолютного значения, подключение [латекс] x = 1 [/ latex] к [latex] x-3 [/ latex] даст [latex] 1-3 = -2 [/ latex], другое значение.

В нашем следующем примере мы начнем с выражения, записанного с рациональной экспонентой. Вы увидите, что вы можете использовать аналогичный процесс — разложение и сортировку членов по квадратам — для упрощения этого выражения.

Пример

Упростить.{4}} [/ латекс]

Упростить кубические корни

Мы можем использовать те же методы, которые мы использовали для упрощения квадратных корней, чтобы упростить корни более высокого порядка. Например, чтобы упростить кубический корень, цель состоит в том, чтобы найти под радикалом множители, которые являются идеальными кубами, чтобы вы могли извлечь их кубический корень. Нам больше не нужно беспокоиться о том, идентифицировали ли мы главный корень, поскольку теперь мы находим кубические корни. По мере упрощения сосредоточьтесь на поиске одинаковых трех факторов.

Пример

Упростить.{4}} [/ латекс].

В следующем видео мы покажем больше примеров моделирования кубических корней.

Упрощение корней четвертой степени

Теперь перейдем к упрощению корней четвертой степени. Независимо от того, какой корень вы упрощаете, применима та же идея: найти кубы для кубических корней, степени четырех для корней четвертой степени и т. Д. Вспомните, что когда ваше упрощенное выражение содержит четный индексированный радикал и переменный множитель с нечетной степенью, вам нужно применить абсолютное значение.{2}}} [/ латекс]

Ну, это заняло время, но вы сделали это. Вы применили то, что знаете о дробных показателях, отрицательных показателях и правилах экспонент, чтобы упростить выражение.

В нашем последнем видео мы показываем, как использовать рациональные показатели для упрощения радикальных выражений.

Сводка

Радикальное выражение — это математический способ представления корня n -й степени числа. Квадратные корни и кубические корни являются наиболее распространенными радикалами, но корень может быть любым числом.{n}}} = \ left | х \ право | [/ латекс]. (Абсолютное значение учитывает тот факт, что если x отрицательное и возведено в четную степень, это число будет положительным, как и главный корень n -го числа этого числа.)

Радикальные выражения и рациональные экспоненты

Результаты обучения

• Преобразование между радикальными и показательными представлениями

Квадратные корни чаще всего записываются с помощью знака корня, например [латекс] \ sqrt {4} [/ latex].{\ tfrac {1} {2}}} [/ латекс].

Не можете представить себе, как число возводится в рациональную степень? К ним может быть трудно привыкнуть, но рациональные показатели могут действительно помочь упростить некоторые проблемы. Запись радикалов с рациональными показателями пригодится, когда мы обсудим методы упрощения более сложных радикальных выражений. {\ frac {1} {n}}} [/ латекс].{\ tfrac {1} {n}}} [/ латекс]

В приведенной выше таблице обратите внимание, как знаменатель рациональной экспоненты определяет индекс корня. Таким образом, показатель степени [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] переводится в квадратный корень, показатель степени [латекс] \ frac {1} {5} [/ latex] переводится в корень пятой степени или [латекс] \ sqrt [5] {a} [/ latex], а [latex] \ frac {1} {8} [/ latex] переводится в корень восьмой степени или [латекс] \ sqrt [8] {a} [ /латекс].

Пример

Запишите [латекс] \ sqrt [4] {81} [/ latex] как выражение с рациональной степенью.{\ frac {1} {4}} [/ латекс]

При переходе от радикального представления к рациональному показателю степень корня становится знаменателем показателя степени. Если вы начнете с квадратного корня, у вас будет показатель степени [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] в выражении в корне (подкоренное выражение). С другой стороны, если вы начнете с экспоненты [latex] \ frac {1} {3} [/ latex], вы будете использовать корень куба. {\ frac {1} {n}} [/ latex] .{\ frac {1} {3}}}} [/ latex] в радикальной форме.

Показать решение

Перепишите выражение с дробной степенью как радикал. Знаменатель дроби определяет корень, в данном случае кубический корень.

[латекс] 2 \ sqrt [3] {x} [/ латекс]

Показатель степени относится только к той части выражения, которая находится непосредственно слева от показателя степени, в данном случае x, , но не [латекс] 2 [/ латекс].

Запишите выражение с радикалом как рациональную экспоненту

Гибкость

Мы можем переписать радикалы, используя рациональные показатели.Как мы увидим, когда мы упростим более сложные радикальные выражения, это может упростить задачу. Наличие различных способов выражения и записи алгебраических выражений позволяет нам гибко решать и упрощать их. Когда вы пишете, это похоже на тезаурус. Вы хотите иметь возможность самовыражения!

Пример

Экспресс [латекс] 4 \ sqrt [3] {xy} [/ latex] с рациональными показателями.

Показать решение

Перепишите радикал, используя рациональную экспоненту.{\ frac {1} {3}}} [/ латекс]

Поскольку [латекс] 4 [/ латекс] находится вне радикала, он не включается в символ группировки, и показатель степени не относится к нему.

Рациональные экспоненты, числитель которых не равен единице

Обратите внимание, что в двух предыдущих примерах подкоренные выражения имели экспоненты. Мы упростили эти выражения с помощью факторизации, но мы все еще можем преобразовать эти радикальные выражения в выражения с рациональными показателями. Также обратите внимание, что все числители для дробных показателей в предыдущих примерах выше были [латекс] 1 [/ латекс].{\ frac {1} {4}} = 2 [/ латекс]

В нашем последнем примере мы перепишем выражения с рациональными показателями как радикалы. Эта практика поможет нам, когда мы упростим более сложные радикальные выражения и научимся решать радикальные уравнения. Обычно проще упростить, когда мы используем рациональные показатели степени, но это упражнение предназначено для того, чтобы помочь вам понять, как числитель и знаменатель показателя степени являются показателем степени подкоренного выражения и индексом радикала.

Пример

Перепишите выражения, используя радикал.{\ frac {x} {n}} [/ латекс]. Переписывание радикалов с использованием дробных показателей степени может быть полезно при упрощении некоторых радикальных выражений. При работе с дробными показателями помните, что дробные показатели подчиняются всем тем же правилам, что и другие показатели, когда они появляются в алгебраических выражениях.

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Упрощение выражений с рациональными показателями — математический класс [видео 2021 года]

Пример № 1

y (1/2) * y (1/3)

В этом примере мы будем следовать произведению степеней.Помните, когда мы умножаем, мы складываем их показатели.

1/2 + 1/3 = 5/6

Итак, ответ будет y (5/6).

Пример № 2

Упростить: x (3/5) / x (2/3)

Для этого мы будем использовать частное степеней. Помните, когда мы делим, мы вычитаем их показатель степени.Итак, у нас будет:

x (3/5 — 2/3)

3/5 — 2/3 = -1/15

Итак, наш ответ: x (-1 / 15).

Пример № 3

Упростить: x (-2/7)

В этом примере мы собираемся использовать свойство отрицательной степени. Помните, когда у нас есть отрицательный показатель степени, мы его переворачиваем. Если он в числителе, мы переворачиваем его в знаменатель, который есть в данном случае.

Итак, наш ответ будет 1 / ( x (2/7)).(3/5)

Пример № 5

Включение нескольких правил экспоненты для работы со свойствами экспоненты … Упростите использование положительных показателей. Всегда уменьшайте дроби до наименьших значений.

Сначала мы собираемся упростить мощность до мощности. Итак, теперь у нас будет:

При необходимости поставьте одинаковые термины друг над другом.Что ж, у нас уже есть p вместо p и q вместо q . Теперь нет необходимости упрощать дроби. Мы собираемся сразу перейти к упрощению отношения степеней. Помните, когда мы делим, мы вычитаем их показатель степени. Итак, мы имеем:

p (2/6 — 1/2) * q (6/3 — 1/2)

Это дает нам:

p (-1/6) * q (9/6)

Затем нам нужно уменьшить дроби, потому что мы почти добрались до нашего ответа.Итак, у нас будет:

p (-1/6) * q (3/2)

Мы хотим переписать их, используя положительные показатели. Помните, если значение в числителе отрицательное, оно переворачивается в знаменатель. Итак, наш окончательный ответ будет:

q (3/2) / p (1/6)

Пример № 6

Упростите, используя положительные показатели.Всегда уменьшайте дроби до наименьших значений. У нас будет:

Мы собираемся упростить мощность до мощности. Итак, у нас будет:

Помните, степень в степени означает умножение степени. Далее давайте напишем одинаковые термины друг над другом. У нас уже есть 23 более 82 и м (6/3) более м (2/6). Итак, перейдем к следующему шагу. Пока нет необходимости упрощать дроби, поэтому мы собираемся упростить отношение степеней.Помните, когда мы делим, мы вычитаем. Итак, теперь у нас будет:

8/64 * м (6/3 — 2/6)

Ну, 8/64 это 1/8. м до 6/3 — 2/6 это м до 10/6. Получается, что наш окончательный ответ:

м (5/3) / 8

Мы не будем касаться неправильной дроби в этом видео. Мы просто упрощаем рациональные показатели.

Example # 7

Упростите, используя положительные показатели степени. Всегда уменьшайте дроби до наименьших значений.

Сначала мы собираемся упростить мощность до мощности. Помните, что сила в степени означает умножение показателей. Это даст нам:

Затем, если нужно, напишите одинаковые термины друг над другом. Теперь нет необходимости упрощать дроби. Мы собираемся перейти к коэффициенту степеней. Помните, когда мы делим, мы вычитаем их показатель степени. Это даст нам:

p (3/10 — (-2/10)) q (-1/4 — (-1/4))

Итак, давайте продолжим упрощение.

p (5/10) q (0)

Нулевой показатель показывает, что q 0 равно 1. Теперь нам нужно уменьшить нашу дробь на 5/10. Это даст нам ответ:

p (1/2)

Формула радикальной дроби в рациональную

Пересмотреть формулу радикальной дроби в рациональную …

Корень b -й корень из x a = x ( a / b )

Индекс является знаменателем.Показатель степени является числителем. Что происходит, когда в выражении есть радикалы?

1. Заменить радикалы на рациональные показатели
2. Следуйте правилам экспоненты

Пример № 8

(корень третий из x ) (корень пятой степени из x 4)

Сначала нам нужно перейти на рациональные показатели, поэтому у нас будет:

x (1 / 3) * x (4/5)

Вы помните, что знаменатель — это порядковый номер, а числитель — это степень подкоренного выражения? Следуя нашим правилам экспоненты, мы собираемся создать произведение степеней.Помните, когда мы умножаем, мы складываем их показатели. Итак, у нас будет:

x (1/3 + 4/5)

Ну, 1/3 плюс 4/5 будет 17/15. Итак, наш ответ будет:

x (17/15)

Помните, нам нужно снова изменить рациональную экспоненту на радикальное выражение.

x (17/15) = 15-й корень из x 17

Резюме урока

Рациональные показатели следуют правилам экспонент. Не забудьте уменьшить дроби в качестве окончательного ответа, но вам не нужно уменьшать до окончательного ответа.Для операций с радикальными выражениями измените радикальное выражение на рациональное, следуйте правилам экспоненты, а затем измените рациональное выражение обратно на радикальное выражение.

Цели урока

К концу этого урока вы научитесь упрощать выражения с помощью рациональных показателей.

Рациональные экспоненты — математический класс [видео 2021 года]

от рационального к радикальному

Во-первых, у нас есть радикальный символ.(1/2). Вы видите, что 4 x не в скобках, как в предыдущем примере? Поскольку 4 и x не указаны в скобках, только x возводится в степень 1/2. Четверка сама по себе. Так как это выглядело бы радикально? Поскольку 4 не возведена в степень, она будет стоять перед радикалом. Что касается радикала, числитель равен 1, поэтому показатель степени внутри подкоренного выражения равен 1. Знаменатель равен 2, так что это будет наш индекс. Когда мы видим радикальный символ без числа в индексе, мы всегда предполагаем, что это 2.

Резюме урока

Как вы видели, дробь говорит нам, что мы будем переписывать экспоненту как радикальное выражение. Числитель дроби — это показатель степени внутри подкоренного выражения, а знаменатель — это просто индекс.

Цели урока

По завершении этого урока у вас не возникнет проблем с преобразованием рациональной степени в радикальное выражение и наоборот.

6. 2} = | x | \) и примените его при упрощении радикальных выражений

Знаете ли вы, что можно извлечь корень 6-й степени числа? Вы, наверное, слышали о квадратном корне, записанном \ (\ sqrt {\, \, \,} \), но вы также можете взять корень третьей, четвертой и даже пятитысячной (если вам действительно нужно).В этом уроке мы узнаем, как определяется квадратный корень, а затем мы будем опираться на это, чтобы сформировать представление о корнях n-й степени. Мы будем использовать факторинг и правила для экспонент, чтобы упростить математические выражения, содержащие корни.

Самый распространенный корень — это квадратный корень из . Сначала мы определим, что такое квадратный корень и как найти квадратный корень из числа. Затем мы применим аналогичные идеи для определения и оценки корней n-й степени.

Корни являются обратными показателям степени, так же как умножение является обратным делению.{\ text {n}}} \)

Название: «Тройка в квадрате» или «Тройка во второй степени», «Четыре в пятой степени», « x в кубе», « x в n -й степени»

Повторное умножение: \ (3 \ cdot 3 \), \ (4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \), \ (x \ cdot x \ cdot x \), \ (\ underbrace { x \ cdot x \ cdot x… \ cdot x} _ {n \ text {times}} \).

И наоборот, когда вы пытаетесь найти квадратный корень из числа (скажем, 25), вы пытаетесь найти число, которое можно умножить само на себя, чтобы получить это исходное число.В случае 25 вы можете найти \ (5 \ cdot5 = 25 \), поэтому 5 должно быть квадратным корнем.

Квадратные корни

Символ квадратного корня называется радикальным символом и выглядит так: \ (\ sqrt {\, \, \,} \). Выражение \ (\ sqrt {25} \) читается как «квадратный корень из двадцати пяти» или «корень из двадцати пяти». Число, которое написано под радикальным символом, называется подкоренным числом и .

В следующей таблице показаны различные радикалы и их эквивалентные письменные и упрощенные формы.

Снова рассмотрим \ (\ sqrt {25} \).Вы можете понять, что есть еще одно значение, которое при умножении само на себя также дает 25. Это число равно \ (- 5 \).

\ (\ begin {array} {r} 5 \ cdot 5 = 25 \\ — 5 \ cdot -5 = 25 \ end {array} \)

По определению, символ квадратного корня всегда означает нахождение положительного корня, называемого главным корнем . Итак, хотя \ (5 \ cdot5 \) и \ (- 5 \ cdot-5 \) оба равны 25, только 5 является основным корнем. Вы также должны знать, что ноль особенный, потому что он имеет только один квадратный корень: сам (поскольку \ (0 \ cdot0 = 0 \)).2 \) тоже даст положительный результат. Это приводит к важному факту — вы не можете найти квадратный корень из отрицательного числа.

В следующем видео мы представляем больше примеров того, как найти квадратный корень.

Последний пример, который мы показали, приводит к важной характеристике квадратных корней. Вы можете извлекать квадратный корень только из неотрицательных значений.

Домен квадратного корня
\ (\ sqrt {-a} \) не определен для всех действительных чисел, a.{3} = 8 \), мы говорим, что 2 — это кубический корень из 8. В следующем примере мы будем вычислять кубические корни некоторых совершенных кубов.

Пример

Оцените следующее:

1. \ (\ sqrt [3] {125} \)
2. \ (\ sqrt [3] {27} \)
3. \ (\ sqrt [3] {- 8} \)

Показать решение

1. Вы можете прочитать это как «корень третьей степени из 125» или «кубический корень из 125». Чтобы оценить это выражение, найдите число, которое при умножении на себя два раза (всего три одинаковых множителя) равно 125.

\ (\ text {?} \ Cdot \ text {?} \ Cdot \ text {?} = 125 \).

Поскольку 125 заканчивается на 5, 5 — хороший кандидат.

\ (5 \ cdot5 \ cdot5 = 125 \)
2. Мы хотим найти число, куб которого равен 27.

\ (3 \ cdot3 \ cdot3 = 27 \), поэтому кубический корень из 27 равен 3.

3. Мы хотим найти число, куб которого равен -8. Мы знаем, что 2 — это кубический корень из 8, поэтому, возможно, мы можем попробовать -2. \ (- 2 \ cdot {-2} \ cdot {-2} = — 8 \), поэтому кубический корень -8 равен -2. Это отличается от квадратного корня, потому что умножение трех отрицательных чисел вместе дает отрицательное число.{3}}} = — 1 \).

В следующем видео мы покажем больше примеров нахождения кубического корня.

N-й корень

Кубический корень числа записывается с помощью маленького числа 3, называемого индексом , сразу за радикальным символом и над ним. Похоже, \ (\ sqrt [3] {{}} \). Эта маленькая тройка отличает кубические корни от квадратных корней, которые записываются без маленького числа снаружи и над символом корня.

Мы можем применить ту же идею к любой экспоненте и соответствующему корню.{5} = 243 \). Если \ (a \) является действительным числом с хотя бы одним корнем n -й степени, то основной n -й корень из \ (a \) — это число с тем же знаком, что и \ (a \), которое при возведении в степень n в степени равно \ (a \).

Главный n -й корень \ (a \) записывается как \ (\ sqrt [n] {a} \), где \ (n \) — положительное целое число, большее или равное 2. В корне Выражение \ (n \) называется индексом радикала.

Определение: основной

n -й корень

Если \ (a \) является действительным числом с хотя бы одним корнем n -й степени, то основной корень n -й корень из \ (a \), записанный как \ (\ sqrt [n] {a} \) — это число с тем же знаком, что и \ (a \), которое при возведении в степень n в -й степени равно \ (a \).4} = 3 \)

В следующем видео мы покажем больше примеров того, как вычислить и nth root.

Вы можете найти нечетный корень отрицательного числа, но вы не можете найти четный корень отрицательного числа и получить реальный ответ. Это означает, что вы можете вычислить радикалы \ (\ sqrt [3] {- 81}, \ \ sqrt [5] {- 64} \) и \ (\ sqrt [7] {- 2187} \), но не можете оцените радикалы \ (\ sqrt [{}] {- 100}, \ \ sqrt [4] {- 16} \) или \ (\ sqrt [6] {- 2500} \) и получите ответ, который является настоящий номер.Позже мы научимся иметь дело с этими радикалами, но мы просто скажем, что пока они не определены.

Оценка корней

Подход к обработке несовершенных корней (квадраты, кубы и т. Д.) Заключается в их приближении путем сравнения значений с точными квадратами, кубами или корнями n-й степени. Предположим, вы хотите узнать квадратный корень из 17. Давайте посмотрим, как его можно аппроксимировать.

Пример

Смета. \ (\ sqrt {17} \)

Показать решение
Представьте себе два идеальных квадрата, окружающих 17.17 находится между точными квадратами 16 и 25. Итак, \ (\ sqrt {17} \) должен быть между \ (\ sqrt {16} \) и \ (\ sqrt {25} \).

Определите, где \ (\ sqrt {17} \) ближе к 4 или к 5, и сделайте еще одну оценку.

\ (\ sqrt {16} = 4 \) и \ (\ sqrt {25} = 5 \)

Поскольку 17 ближе к 16, чем 25, \ (\ sqrt {17} \), вероятно, составляет около 4,1 или 4,2.

Используйте метод проб и ошибок, чтобы получить более точную оценку \ (\ sqrt {17} \). Попробуйте возвести в квадрат все большие числа, начиная с 4.1, чтобы найти хорошее приближение для \ (\ sqrt {17} \).{2} \).

\ (4,1 \ cdot4.1 = 16,81 \ 4,2 \ cdot4.2 = 17,64 \)

Продолжайте использовать метод проб и ошибок, чтобы получить еще лучшую оценку.

\ (4.12 \ cdot4.12 = 16.9744 \ 4.13 \ cdot4.13 = 17.0569 \)

Ответ

\ (\ sqrt {17} \ около 4,12 \)

Это приближение довольно близко. Если вы продолжите использовать эту стратегию проб и ошибок, вы сможете и дальше находить квадратный корень с точностью до тысячных, десятитысячных и стотысячных разрядов, но со временем это станет слишком утомительным, чтобы делать это вручную.

По этой причине, когда вам нужно найти более точное приближение квадратного корня, вам следует использовать калькулятор. Большинство калькуляторов имеют ключ квадратного корня \ ((\ sqrt {{}}) \), который быстро даст вам приближение квадратного корня. На простом калькуляторе с 4 функциями вы, скорее всего, наберете число, из которого вы хотите извлечь квадратный корень, а затем нажмите клавишу квадратного корня.

Попробуйте найти \ (\ sqrt {17} \) с помощью калькулятора. Обратите внимание, что вы не сможете получить «точный» ответ, потому что \ (\ sqrt {17} \) — это иррациональное число, число, которое не может быть выражено в виде дроби, а десятичная дробь никогда не заканчивается и не повторяется.Чтобы точно определить значение \ (\ sqrt {17} \), вам потребуется бесконечная точность . С точностью до девяти десятичных разрядов \ (\ sqrt {17} \) приблизительно равно 4,123105626. Калькулятор может сэкономить много времени и дать более точный квадратный корень, когда вы имеете дело с числами, не являющимися точными квадратами.

Пример

Приблизительно \ (\ sqrt [3] {30} \) и также найдите его значение с помощью калькулятора.

Показать решение
Найдите кубики, окружающие 30.

30 находится между идеальными кубиками 27 и 81.

\ (\ sqrt [3] {27} = 3 \) и \ (\ sqrt [3] {81} = 4 \), поэтому \ (\ sqrt [3] {30} \) находится между 3 и 4.
Воспользуйтесь калькулятором.

\ (\ sqrt [3] {30} \ Approx3.10723 \)

Ответ

По приближению: \ (3 \ ge \ sqrt [3] {30} \ le4 \)

С помощью калькулятора: \ (\ sqrt [3] {30} \ Approx3.10723 \)

В следующем видео показан еще один пример вычисления квадратного корня.

Радикальные выражения и дробные показатели

Квадратные корни чаще всего записываются с помощью знака корня, например, \ (\ sqrt {4} \).{4}} y} \)

Записать выражение с дробной степенью в виде радикала

Радикалы и дробные показатели — это альтернативные способы выражения одного и того же. В таблице ниже показаны эквивалентные способы выражения радикалов: с корнем, с дробной степенью и в качестве главного корня.

Давайте рассмотрим еще несколько примеров, но на этот раз с кубическими корнями.{\ frac {1} {3}}}} = 2 \ sqrt [3] {x} \)

Запишите радикальное выражение как выражение с дробной степенью

Мы можем записывать радикалы с дробными показателями, и, как мы увидим, когда мы упростим более сложные радикальные выражения, это может упростить задачу. Наличие различных способов выражения и записи алгебраических выражений позволяет нам гибко решать и упрощать их. Когда вы пишете, это как тезаурус: вы хотите иметь возможность самовыражения!

Пример

Запишите \ (\ sqrt [4] {81} \) как выражение с дробной степенью.3} = 2 \)

В нашем последнем примере мы перепишем выражения с дробными показателями как радикалы. Эта практика поможет нам, когда мы упростим более сложные радикальные выражения и научимся решать радикальные уравнения. Обычно проще упростить, когда мы используем дробные показатели степени, но это упражнение предназначено для того, чтобы помочь вам понять, как числитель и знаменатель показателя степени являются показателем степени подкоренного выражения и индексом радикала. {4}} y} \).{\ frac {1} {2}}} \)

И поскольку вы знаете, что возведение числа в степень \ (\ frac {1} {2} \) — это то же самое, что извлечение квадратного корня из этого числа, вы также можете записать это так.

\ (\ sqrt {3x} = \ sqrt {3} \ cdot \ sqrt {x} \)

Посмотрите на это: вы можете думать о любом числе под радикалом как о произведении отдельных множителей , каждый под собственным радикалом.

Продукт, возведенный в правило степени или иногда называемый квадратным корнем правила продукта

Для любых действительных чисел a и b , \ (\ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ cdot \ sqrt {b} \).{2} \).
\ (\ sqrt {7} \ cdot 3 \)
Поменяйте местами множители так, чтобы целое число стояло перед корнем, а затем умножьте. (Это сделано для того, чтобы было ясно, что под корнем находится только 7, а не 3.)
\ (3 \ cdot \ sqrt {7} \)
Ответ
\ (\ sqrt {63} = 3 \ sqrt {7} \)

Окончательный ответ \ (3 \ sqrt {7} \) может показаться немного странным, но он дан в упрощенной форме. {2}} = \ left | x \ right | \).2 \) всегда будет неотрицательным. Включение столбцов абсолютных значений было бы излишним. Один совет, чтобы знать, когда применять абсолютное значение после упрощения любого даже индексированного корня, — это посмотреть на конечный показатель степени в ваших переменных условиях. Если показатель нечетный, включая 1, добавьте абсолютное значение. Это относится к упрощению любого корня с помощью четного индекса, как мы увидим в следующих примерах.

В следующем видео вы увидите больше примеров того, как упростить радикальные выражения с помощью переменных.{4}} \)

Упростить кубические корни

Мы можем использовать те же методы, которые мы использовали для упрощения квадратных корней, чтобы упростить корни более высокого порядка. Например, чтобы упростить кубический корень, цель состоит в том, чтобы найти факторы под радикалом, которые являются идеальными кубами, чтобы вы могли извлечь их кубический корень. Нам больше не нужно беспокоиться о том, идентифицировали ли мы главный корень, поскольку теперь мы находим кубические корни. По мере упрощения сосредоточьтесь на поиске одинаковых трех факторов.

Пример

Упростить.{2}}} \)

В следующем видео мы покажем больше примеров упрощения кубических корней.

Упрощение корня четвертой степени

Теперь перейдем к упрощению корней четвертой степени. Независимо от того, какой корень вы упрощаете, применима та же идея: найти кубы для кубических корней, степени четырех для корней четвертой степени и т. Д. Вспомните, что когда ваше упрощенное выражение содержит четный индексированный радикал и переменный множитель с нечетной степенью, вам нужно для применения абсолютного значения (если контекст вашей проблемы не позволяет «предположить, что \ (x \ ge 0 \)»).{2}}} \)

Ну, это заняло время, но вы сделали это. Вы применили то, что знаете о дробных показателях, отрицательных показателях и правилах экспонент, чтобы упростить выражение.

В нашем последнем видео мы показываем, как использовать дробные показатели для упрощения радикальных выражений. {n}}} = x \).{n}}} = \ left | х \ право | \). (Абсолютное значение учитывает тот факт, что если x отрицательное и возведено в четную степень, это число будет положительным, как и главный корень n -го числа этого числа.)

Рациональные экспоненты и сурды | Показатели и показатели

1.2 Рациональные показатели и показатели (EMBF5)

Законы экспонент также могут быть расширены, чтобы включать рациональные числа.
Рациональное число — это любое число, которое можно записать в виде дроби с целым числом в числителе и знаменателе.м} \)

где \ (a> 0 \), \ (r> 0 \) и \ (m, n \ in \ mathbb {Z} \), \ (n \ ne 0 \).

Для \ (\ sqrt {25} = 5 \) мы говорим, что \ (\ text {5} \) — квадратный корень из \ (\ text {25} \), а для \ (\ sqrt [3] { 8} = 2 \), мы говорим, что \ (\ text {2} \) является кубическим корнем \ (\ text {8} \).
Для \ (\ sqrt [5] {32} = 2 \) мы говорим, что \ (\ text {2} \) является корнем пятой степени из \ (\ text {32} \).

При работе с экспонентами корень относится к числу, которое многократно умножается само на себя определенное количество раз, чтобы получить другое число.Радикал относится к числу, написанному, как показано ниже.

Радикальный символ и степень показывают, какой корень определяется. Подкоренное выражение — это число под радикальным символом.

• Если \ (n \) — четное натуральное число, подкоренное выражение должно быть положительным, иначе корни не являются действительными. Например, \ (\ sqrt [4] {16} = 2 \), поскольку \ (2 \ times 2 \ times 2 \ times 2 = 16 \), но корни \ (\ sqrt [4] {- 16} \) не реальны, поскольку \ ((- 2) \ times (-2) \ times (-2) \ times (-2) \ ne -16 \).2 = 4 \), поэтому и \ (- \ text {2} \), и \ (\ text {2} \) являются квадратными корнями из \ (\ text {4} \).

  Сурд — радикал, приводящий к иррациональному числу. Иррациональные числа — это числа, которые нельзя записать в виде дроби с числителем и знаменателем как целыми числами. {\ frac {1} {2}}
  \ end {align *}

  Извлеките квадратный корень

  \ begin {align *}
  & = \ sqrt {36} \\
  & = 6
  \ end {align *}

  Присоединяйтесь к тысячам учеников, улучшающих свои оценки по математике онлайн с помощью Siyavula Practice.{\ frac {31} {16}}
  \ end {выровнять *}

  Упрощение сурдов (EMBF6)

  Мы видели в предыдущих примерах и упражнениях, что рациональные показатели тесно связаны с сурдами. Часто бывает полезно записать сурд в экспоненциальной записи, поскольку это позволяет нам использовать экспоненциальные законы.

  Дополнительные законы, перечисленные ниже, упрощают упрощение процедур:

  • \ (\ sqrt [n] {a} \ sqrt [n] {b} = \ sqrt [n] {ab} \)
  • \ (\ sqrt [n] {\ dfrac {a} {b}} = \ dfrac {\ sqrt [n] {a}} {\ sqrt [n] {b}} \)
  • \ (\ sqrt [m] {\ sqrt [n] {a}} = \ sqrt [mn] {a} \)
  • \ (\ sqrt [n] {a ^ m} = a ^ {\ frac {m} {n}} \)
  • \ (\ left (\ sqrt [n] {a} \ right) ^ m = a ^ {\ frac {m} {n}} \)

  Рабочий пример 5: Упрощение Surds

  Покажите, что:

  1. \ (\ sqrt [n] {a} \ times \ sqrt [n] {b} = \ sqrt [n] {ab} \)
  2. \ (\ sqrt [n] {\ dfrac {a} {b}} = \ dfrac {\ sqrt [n] {a}} {\ sqrt [n] {b}} \)
  1. \ begin {align *}
     \ sqrt [n] {a} \ times \ sqrt [n] {b}
     & = a ^ {\ frac {1} {n}} \ times b ^ {\ frac {1} {n}} \\
     & = (ab) ^ {\ frac {1} {n}} \\
     & = \ sqrt [n] {ab}
     \ end {выровнять *}
  2. \ begin {align *}
     \ sqrt [n] {\ frac {a} {b}}
     & = \ left (\ frac {a} {b} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} \\
     & = \ dfrac {a ^ {\ frac {1} {n}}} {b ^ {\ frac {1} {n}}} \\
     & = \ dfrac {\ sqrt [n] {a}} {\ sqrt [n] {b}}
     \ end {выровнять *}

  Примеры:

  1. \ (\ sqrt {2} \ times \ sqrt {32} = \ sqrt {2 \ times 32} = \ sqrt {64} = 8 \)

  2. \ (\ dfrac {\ sqrt [3] {24}} {\ sqrt [3] {3}} = \ sqrt [3] {\ dfrac {24} {3}} = \ sqrt [3] {8}) = 2 \)

  3. \ (\ sqrt {\ sqrt {81}} = \ sqrt [4] {81} = \ sqrt [4] {3 ^ 4} = 3 \)

  Как и в отличие от Surds (EMBF7)

  Два сурда \ (\ sqrt [m] {a} \) и \ (\ sqrt [n] {b} \) похожи на сурды, если \ (m = n \), иначе они называются в отличие от сурдов. {- 1}} & = \ sqrt {25 \ times 3} \ times \ sqrt [3] {\ frac {1} {48}} \ \
  & = \ sqrt {25 \ times 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt [3] {8 \ times 6}}
  \ end {align *}

  Упростите, используя \ (\ sqrt [n] {ab} = \ sqrt [n] {a} \ times \ sqrt [n] {b} \)

  \ begin {align *}
  & = \ sqrt {25} \ times \ sqrt {3} \ times \ frac {1} {\ sqrt [3] {8} \ times \ sqrt [3] {6}} \\
  & = 5 \ times \ sqrt {3} \ times \ frac {1} {2 \ times \ sqrt [3] {6}}
  \ end {align *}

  Упростите и напишите окончательный ответ

  \ begin {align *}
  & = 5 \ sqrt {3} \ times \ frac {1} {2 \ sqrt [3] {6}} \\
  & = \ frac {5 \ sqrt {3}} {2 \ sqrt [3] {6}}
  \ end {align *}

  Присоединяйтесь к тысячам учеников, улучшающих свои оценки по математике онлайн с помощью Siyavula Practice.{\ frac {1} {2}} \ right)
  \ end {выровнять *}

  Рационализирующие знаменатели (EMBF9)

  Часто проще работать с дробями, имеющими рациональные знаменатели, а не с сомнительными знаменателями. Рационализируя знаменатель, мы конвертируем дробь с помутнением в знаменателе в дробь с рациональным знаменателем.

  Рабочий пример 11: Рационализация знаменателя

  Рационализируем знаменатель:
  \ [\ frac {5x-16} {\ sqrt {x}} \]

  Умножьте дробь на \ (\ frac {\ sqrt {x}} {\ sqrt {x}} \)

  Обратите внимание, что \ (\ frac {\ sqrt {x}} {\ sqrt {x}} = 1 \), поэтому значение дроби не изменилось.2} \\
  & = \ frac {\ sqrt {x} (5x — 16)} {x}
  \ end {align *}

  Число в знаменателе изменилось с сурда на рациональное число. Выражение сурда в числителе — предпочтительный способ написания выражений.

  Рабочий пример 12: Рационализация знаменателя

  Запишите следующее в рациональном знаменателе:
  \ [\ frac {y-25} {\ sqrt {y} +5} \]

  Умножьте дробь на \ (\ frac {\ sqrt {y} -5} {\ sqrt {y} -5} \)

  Чтобы исключить из знаменателя сурд, мы должны умножить дробь на выражение, которое приведет к разнице в два квадрата в знаменателе.2 -25} \\
  & = \ frac {(y-25) (\ sqrt {y} -5)} {y-25} \\
  & = \ sqrt {y} -5
  \ end {align *}

  Рационализация знаменателя

  Упражнение 1.5

  \ begin {align *}
  \ dfrac {10} {\ sqrt {5}}
  & = \ frac {10} {\ sqrt {5}} \ times \ frac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {5}} \\
  & = \ frac {10 \ sqrt {5}} {5} \\
  & = 2 \ sqrt {5}
  \ end {выровнять *}

  \ begin {align *}
  \ dfrac {3} {\ sqrt {6}}
  & = \ frac {3} {\ sqrt {6}} \ times \ dfrac {\ sqrt {6}} {\ sqrt {6}} \\
  & = \ frac {3 \ sqrt {6}} {6} \\
  & = \ frac {\ sqrt {6}} {2}
  \ end {выровнять *}

  \ (\ dfrac {2} {\ sqrt {3}} \ div \ dfrac {\ sqrt {2}} {3} \)

  \ begin {align *}
  \ dfrac {2} {\ sqrt {3}} \ div \ dfrac {\ sqrt {2}} {3}
  & = \ dfrac {2} {\ sqrt {3}} \ div \ dfrac {\ sqrt {2}} {3} \\
  & = \ dfrac {2} {\ sqrt {3}} \ times \ dfrac {3} {\ sqrt {2}} \\
  & = \ dfrac {6} {\ sqrt {6}} \ times \ dfrac {\ sqrt {6}} {\ sqrt {6}} \\
  & = \ frac {6 \ sqrt {6}} {6} \\
  & = \ sqrt {6}
  \ end {выровнять *}

  \ (\ dfrac {3} {\ sqrt {5} -1} \)

  \ begin {align *}
  \ dfrac {3} {\ sqrt {5} -1}
  & = \ dfrac {3} {\ sqrt {5} -1} \ times \ dfrac {\ sqrt {5} +1} {\ sqrt {5} +1} \\
  & = \ dfrac {3 \ sqrt {5} +3} {5-1} \\
  & = \ dfrac {3 \ sqrt {5} +3} {4}
  \ end {выровнять *}

  \ begin {align *}
  \ dfrac {x} {\ sqrt {y}}
  & = \ dfrac {x} {\ sqrt {y}} \ times \ dfrac {\ sqrt {y}} {\ sqrt {y}} \\
  & = \ dfrac {x \ sqrt {y}} {y}
  \ end {выровнять *}

  \ (\ dfrac {\ sqrt {3} + \ sqrt {7}} {\ sqrt {2}} \)

  \ begin {align *}
  \ dfrac {\ sqrt {3} + \ sqrt {7}} {\ sqrt {2}}
  & = \ dfrac {\ sqrt {3} + \ sqrt {7}} {\ sqrt {2}} \ times \ dfrac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} \\
  & = \ dfrac {\ sqrt {3} \ sqrt {2} + \ sqrt {7} \ sqrt {2}} {2} \\
  & = \ dfrac {\ sqrt {6} + \ sqrt {14}} {2}
  \ end {выровнять *}

  \ (\ dfrac {3 \ sqrt {p} — 4} {\ sqrt {p}} \)

  \ begin {align *}
  \ dfrac {3 \ sqrt {p} — 4} {\ sqrt {p}}
  & = \ dfrac {3 \ sqrt {p} -4} {\ sqrt {p}} \ times \ dfrac {\ sqrt {p}} {\ sqrt {p}} \\
  & = \ dfrac {3 \ left (\ sqrt {p} \ right) ^ 2-4 \ left (\ sqrt {p} \ right)} {p} \\
  & = \ dfrac {3p-4 \ sqrt {p}} {p}
  \ end {выровнять *}

  \ (\ dfrac {t-4} {\ sqrt {t} + 2} \)

  \ begin {align *}
  \ dfrac {t-4} {\ sqrt {t} + 2}
  & = \ dfrac {t-4} {\ sqrt {t} +2} \ times \ dfrac {\ sqrt {t} -2} {\ sqrt {t} -2} \\
  & = \ dfrac {\ left (t-4 \ right) \ left (\ sqrt {t} -2 \ right)} {t-4} \\
  & = \ sqrt {t} -2
  \ end {выровнять *}

  \ (\ влево (1 + \ sqrt {m} \ right) ^ {- 1} \)

  \ begin {align *}
  \ left (1 + \ sqrt {m} \ right) ^ {- 1}
  & = \ frac {1} {1+ \ sqrt {m}} \ times \ frac {1- \ sqrt {m}} {1- \ sqrt {m}} \\
  & = \ frac {1- \ sqrt {m}} {1-m}
  \ end {выровнять *}

  \ (a \ left (\ sqrt {a} \ div \ sqrt {b} \ right) ^ {- 1} \)

  \ begin {align *}
  a \ left (\ sqrt {a} \ div \ sqrt {b} \ right) ^ {- 1}
  & = a \ left (\ sqrt {a} \ times \ frac {1} {\ sqrt {b}} \ right) ^ {- 1} \\
  & = a \ left (\ frac {\ sqrt {a}} {\ sqrt {b}} \ right) ^ {- 1} \\
  & = a \ frac {\ sqrt {b}} {\ sqrt {a}} \ times \ frac {\ sqrt {a}} {\ sqrt {a}} \\
  & = \ frac {a \ sqrt {ab}} {a} \\
  & = \ sqrt {ab}
  \ end {выровнять *}

  .