Тест на степени сравнения прилагательных ‹ engblog.ru

Выберите правильный вариант

Задание 1.

Every year The Guinness Book of World Records announces … person in the world.

Задание 2.

I am 1. 9 cm … than you are.

Задание 3.

This chair is … than the other one.

Задание 4.

Cindy is … girl I have ever met.

Задание 5.

Cars are getting … as the years go by.

Задание 6.

Jim’s is … restaurant in our city.

Задание 7.

This is the … hangover I ever had. I’m never going to drink again.

Задание 8.

For … information do not hesitate to call our assistant.

Задание 9.

It was … joke I have ever heard!

Задание 10.

In my opinion the tiger is … animal of all.

Задание 11.

Do you know that dinosaurs were … than houses?

Задание 12.

I enjoy living in the country. It’s a lot … than the city.

Задание 13.

The harder he works … he becomes.

Задание 14.

The noise was getting … until I could not bear it any longer.

Задание 15.

Their car was twice as … as ours.

Задание 16.

My best friend is … than me.

Задание 17.

She’s by far … woman I have ever seen.

Задание 18.

I’ve heard James playing the piano. He doesn’t seem to be getting … .

Задание 19.

My computer is really old. I need something … .

Задание 20.

Chemistry is … of all subjects.

Тест на тему «Степени сравнения прилагательных»

Сложность: знаток.Последний раз тест пройден более 24 часов назад.

Перед прохождением теста рекомендуем прочитать:

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории

Опыт работы учителем русского языка и литературы — 27 лет.

1. Вопрос 1 из 7

   Что такое степени сравнения имен прилагательных?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Пояснение: Степени сравнения прилагательных — это лексико-грамматические категории, которые указывают на возможность называемого прилагательным признака проявляться в меньшей, большей или наивысшей степени.
   • Вы и еще 65% ответили правильно
   • 65% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Следующий вопросОтветить

2. Вопрос 2 из 7

   Какой степени сравнения имен прилагательных не существует?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Пояснение: В русском языке есть 3 степени сравнения прилагательных: положительная, сравнительная и превосходная. Отрицательной степени нет.
   • Вы и еще 75% ответили правильно
   • 75% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

3. Вопрос 3 из 7

   Прилагательным какого разряда присуща категория степени сравнения?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Пояснение: Степени сравнения есть только у качественных прилагательных. Признаки, выраженные притяжательными и относительными прилагательными, не могут проявляться в меньшей, большей или наивысшей степени.
   • Вы и еще 66% ответили правильно
   • 66% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

4. Вопрос 4 из 7

   В каком из словосочетаний употреблено прилагательное в форме положительной степени сравнения?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Пояснение: Кислый — прилагательное в форме положительной степени сравнения. Это прилагательное обозначает признак, который не сравнивается с другими признаками.
   • Вы и еще 57% ответили правильно
   • 57% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

5. Вопрос 5 из 7

   В каком из словосочетаний употреблено прилагательное в составной форме сравнительной степени?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Пояснение: Более сообразительный — прилагательное в составной форме сравнительной степени.
     Составная форма сравнительной степени образуется путем прибавления к начальной форме прилагательного слов «более» или «менее».
   • Вы и еще 61% ответили правильно
   • 61% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

6. Вопрос 6 из 7

   В каком из словосочетаний употреблено прилагательное в простой форме превосходной степени?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Пояснение: Крепчайшая — прилагательное в простой форме превосходной степени. Образовано при помощи суффикса «-айш»: крепкая — крепчАЙШая.
   • Вы и еще 57% ответили правильно
   • 57% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

7. Вопрос 7 из 7

   Найдите в предложении прилагательное в простой форме сравнительной степени: «В ночной темноте были слышны тишайшие шорохи и отдаленные песни соловьев, все казалось волшебнее, чем днем».

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Пояснение: Волшебнее — прилагательное в простой форме сравнительной степени. Образовано при помощи суффикса «-ее»: волшебное — волшебнЕЕ.
   • Вы и еще 56% ответили правильно
   • 56% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.



• Марина Гребенчук

  7/7

• Zahidjon Marufov

  7/7

• Shaxboz Isoqjonov

  7/7

• Анна Ножеева

  7/7

• Соня Лойко

  7/7

• Таня Ионова

  7/7

• Саша Кирюхина

  6/7

• Аня Тихонова

  6/7

• Саша Коноваов

  7/7

• Мария Булгакова

  6/7

ТОП-3 тестакоторые проходят вместе с этим

Рейтинг теста

Средняя оценка: 3.6. Всего получено оценок: 1253.

А какую оценку получите вы? Чтобы узнать — пройдите тест.

Тест поттеме «Степени сравнения прилагательных»

6 класс

Проверочная работа по теме «Степени сравнения прилагательных»

1 вариант

1. Исправьте ошибки в образовании степеней сравнения прилагательных:

А) Волга ширее Дона

Б) с наступлением весны дни становятся длиньше

В) из двух зол выбирай более меньшее

2. Образуйте от данных слов сравнительную и превосходную степени:

а) красивый

б) умный

в) лёгкий

3. от каких прилагательных образованы следующие формы степеней сравнения?

А) лучше

Б) тише

В) громче

Г) мягче

Д) глубочайший

4. Подчеркните прилагательные как члены предложения и разберите по составу прилагательное в сравнительной степени.

Доброе братство сильнее богатства.

5. Расставьте ударения: красивее, свободнее, удобнее, спокойнее..

6. Выполните фонетический разбор слова легче.

Проверочная работа по теме «Степени сравнения прилагательных»

2 вариант

1.Исправьте ошибки в образовании степеней сравнения прилагательных:

А) Нет ничего красивше природы родного края.

Б) Человек твердее камня, нежнее цветка.

В) они хотели устроить более лучшую жизнь.

2. Образуйте от данных слов сравнительную и превосходную степени:

А) сильный

Б) строгий

В) острый

3. От каких прилагательных образованы следующие формы степеней сравнения?

А) хуже

Б) выше

В) ниже

Г) быстрее

Д) величайший

4. Подчеркните прилагательные как члены предложения и разберите по составу прилагательное в сравнительной степени.

Утро вечера мудренее.

5. Расставьте ударения: красивее, свободнее, удобнее, спокойнее.

6. Выполните фонетический разбор слова мягче.

Тест. Spotlight 9. Степени сравнения прилагательных.

1-Variant 1.Напишите сравнительную и превосходную степень.  1. happy -__________-___________ 2. intelligent   -__________-___________ 3. big   -__________-___________ 4. good -__________-___________ 5. little  -__________-___________ 2.Вставьте подходящее прилагательное в нужной степени. A train is ___________ than a bus.         a/ fast b/ faster c/ the fastest This text is the ___________ of all.    a/ interesting  b/more interesting c/ the most interesting Park Street is ___ place I have ever seen. a/ beautiful b/more beautiful c/ the most beautiful My test is as_______ as  yours.             a/ difficult  b/more difficult c/ the most difficult This mobile phone is by far______ one in the shop. a/ expensive b/ more expensive c/ the most expensive

2—Variant 1.Напишите сравнительную и превосходную степень.  1. friendly -__________-___________ 2. fat  -__________-___________ 3. handsome   -__________-___________ 4. far -__________-___________ 5. much  -__________-___________ 2.Вставьте подходящее прилагательное в нужной степени. John’s idea is by far ­­­______option.         a/ good b/ better  c/ the best Books are ______  than films.    a/ interesting  b/more interesting c/ the most interesting This coffee is the __________ I’ve ever tasted. a/ good b/ better c/ the best       4.Maths is as _______ as English.            a/ difficult  b/more difficult c/ the most difficult 5.Kate was the_________  of the family.      a/ practical b/ more practical c/ the most practical

2-Variant 1.Напишите сравнительную и превосходную степень.  1. friendly -__________-___________ 2. fat  -__________-___________ 3. handsome   -__________-___________ 4. far -__________-___________ 5. much  -__________-___________ 2.Вставьте подходящее прилагательное в нужной степени. John’s idea is by far ­­­______option.         a/ good b/ better  c/ the best Books are ______  than films.    a/ interesting  b/more interesting c/ the most interesting This coffee is the __________ I’ve ever tasted. a/ good b/ better c/ the best       4.Maths is as _______ as English.            a/ difficult  b/more difficult c/ the most difficult 5.Kate was the_________ of the family.      a/ practical b/ more practical c/ the most practical

Сложный тест на степени сравнения прилагательных

Автор: katrin
30.09.2014

Усиление степеней сравнения прилагательных – тема в английской грамматике, на первый взгляд, простая, однако, как показывает опыт, она зачастую вызывает сложности даже у самых сильных учеников при сдаче всякого рода тестов или экзаменов. Основной причиной является то, что, как правило, тема эта проходится вскользь и практически не отрабатывается на занятиях. Я решила восполнить данный пробел. Ранее я уже публиковала теоретическую статью о способах усиления степеней прилагательных и наречий, а сегодня подготовила небольшой онлайн тест, пройдя который, вы сможете верно оценить свои знания и при необходимости хорошенько проштудировать данную тему.

Усиление степеней сравнения.

Лимит времени: 0

0 из 20 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10
11. 11
12. 12
13. 13
14. 14
15. 15
16. 16
17. 17
18. 18
19. 19
20. 20

Информация

Отметьте единственно правильный вариант постановки артикля.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10
11. 11
12. 12
13. 13
14. 14
15. 15
16. 16
17. 17
18. 18
19. 19
20. 20

1. С ответом

2. С отметкой о просмотре

После прохождения теста, нажимаете кнопку ЗАВЕРШИТИЬ ТЕСТ. После этого вы узнаете свой результат и увидите еще 2 кнопки НАЧАТЬ ТЕСТ ЗАНОВО и ПОКАЗАТЬ ВОПРОСЫ. При нажатии на кнопку показать вопросы, вы увидите вопросы с вашими вариантами ответа и правильными вариантами. Таким образом вы сможете увидеть и проанализировать все ошибки.

Понравилось? Сохраните на будущее и поделитесь с друзьями!

Тест: степени сравнения имён прилагательных

Сегодня у нас тест: степени сравнения имён прилагательных. Тест простой, интуитивно понятный. Это — материал шестого класса. Как обычно, тест состоит из трёх частей:

• самого теста;
• теории к нему;
• ответов.

Тест Вы можете пройти прямо сейчас, а теорию и ответы посмотреть под картинкой.

Обратите внимание: в вопросах, где нужно выбрать несколько ответов, баллы засчитываются только если вы выбрали все верные ответы.

Тест: степени сравнения имён прилагательных

 

ТЕОРИЯ

Существует две степени сравнения имён прилагательных: сравнительная и превосходная. Каждая из них делится на две формы: простую и составную.

Примеры:

• Стройный — начальная форма имени прилагательного.
• Стройнее — простая сравнительная степень.
• Более стройный, менее стройный — составная сравнительная степень.
• Стройнейший, наистройнейший — простая превосходная степень.
• Самый стройный, стройнее всех, наиболее стройный — это составная превосходная степень.

___

1. При сравнительной степени мы сравниваем. Этот человек стройный, а этот — ещё стройнее, более стройный.
2. При использовании превосходной степени мы устанавливаем превосходство. Этот человек стройнейший, самый стройный.

___

1. При простых формах используется лишь одно слово: стройнее, стройнейший, наистройнейший.
2. При составных формах используется два и более слов: более стройный, самый стройный, стройнее всех, менее стройный.

—

Важно!

• Некоторые формы нужно запомнить. Например: сладкий — слаще, горький — горче ( а если речь идёт о доле, то она уже горше).
• Сочетать разные формы степеней сравнения нельзя. Нельзя сказать «наиболее красивейший», верно — «наиболее красивый» или «красивейший».

 

ОТВЕТЫ

Вопрос № 1

• Выберите имя прилагательное в простой сравнительное степени.
• Ответ: вкуснее.

 

Вопрос № 2

• Выберите имя прилагательное в составной сравнительной степени.
• Ответ: более вкусный.

 

Вопрос № 3

• Выберите имя прилагательное в простой превосходной степени.
• Ответ: вкуснейший.

 

Вопрос № 4

• Выберите имя прилагательное в составной превосходной степени.
• Ответ: самый вкусный.

 

Вопрос № 5

• Выберите все имена прилагательные в составной форме сравнительной степени.
• Ответ: более суровый и менее умный.

 

Вопрос № 6

• Выберите все имена прилагательные в составной форме превосходной степени.
• Ответ: самый ответственный, капризнее всех, наиболее правильный, наименее подходящий.

 

Вопрос № 7

• Выберите все имена прилагательные в простой форме превосходной степени.
• Ответ: наихудший, прекраснейший, ближайший.

 

Вопрос № 8

• Выберите все имена прилагательные в простой форме сравнительной степени.
• Ответ: печальнее, поинтереснее, глубже, звонче.

 

Вопрос № 9

• Выберите простую форму сравнительной степени имени прилагательного РАННИЙ.
• Ответ: не образует простой формы сравнительной степени. РАНЬШЕ — это наречие, а не прилагательное.

 

Вопрос № 10

• Выберите для слова в скобках верную форму. Его доля (горький) всех.
• Ответ: Его доля ГОРШЕ всех.

 

Вопрос № 11

• Выберите для слова в скобках верную форму. Его вкус (горький) всех.
• Ответ: Его вкус ГОРЧЕ всех. Да, надо запомнить: вкус — горче, доля — горше.

 

 

 

Тест «Степени сравнения имени прилагательного»

Тест «Степени сравнения имен прилагательных»

Вариант 1

1) Укажите прилагательное в сравнительной степени.

1. большой 2. огромный 3. ярче 4. звонкий

2) Укажите прилагательное в превосходной степени.

1. более яркий 2. самый веселый 3. лучше 4. исполинский

3) Укажите ошибку в образовании степени сравнения.

1. ярчайший 2. самый высочайший 3.наилучший 4. звонче

4) Укажите, где форма сравнительной степени образована верно.

1. звонче 2. хорошее 3. более лучше 4. менее гуще

5) От какого прилагательного нельзя образовать форму сравнительной степени с помощью суффикса –ШЕ (-ЧЕ)?

1. яркий 2. легкий 3. мелкий 4. тяжелый

6) От какого прилагательного нельзя образовать форму простой сравнительной степени?

1. большой 2. хороший 3. гигантский 4. сладкий

7) Укажите предложение, в котором прилагательное является сказуемым.

1. Старый друг лучшее новых двух.

2. Ваши доводы более серьёзные.

3. Лучше горькая правда, чем сладкая ложь.

4. Мы собирались за грибами в ближайший лес.

8) Укажите ошибку в постановке ударения.

1. удОбнейший 2. свобОднее 3. красивЕе 4. вернЕйший

9) Укажите, в каких примерах допущены ошибки в образовании формы сравнительной степени имени прилагательного.

1. Ученик решил наиболее труднейшую задачу.

2. На этом празднике она выглядела взрослее всех своих одноклассниц.

3. Байкал глубже Ладожского озера.

4. Розы – самые красивейшие из всех цветов в нашем саду.

10) Укажите, в каких примерах допущены ошибки в образовании формы сравнительной степени имени прилагательного.

1. Туристы выбрали самый короткий маршрут.

2. Мой чай сладче твоего.

3. Студенты пятого курса были более активнее, чем первокурсники.

4. На наших глазах разворачивались величайшие события.

Тест «Степени сравнения имен прилагательных»

Вариант 2

1) Укажите прилагательное в сравнительной степени.

1. громадный 2. могучий 3. яркий 4. Звонче

2) Укажите прилагательное в превосходной степени.

1. сильнейший 2. более веселый 3. лучше 4. дождливый

3) Укажите ошибку в образовании степени сравнения.

1.самый яркий 2. строже 3. более умный 4. наиболее сильнейший

4) Укажите, где форма сравнительной степени образована неверно.

1. менее привлекательный 2. более умный 3. строже 4. красивше

5) От какого прилагательного нельзя образовать форму сравнительной степени с помощью суффикса –ШЕ (-ЧЕ)?

1. яркий 2. легкий 3. мелкий 4. тяжелый

6) От какого прилагательного нельзя образовать форму простой сравнительной степени?

1. шумный 2. влажный 3. сладкий 4. боевой

7) Укажите предложение, в котором прилагательное является сказуемым.

1. Чтение – вот лучшее учение.

2. Любовь к родной природе – один из вернейших признаков любви к своей стране.

3. Правда всего дороже.

4. Мы собирались за грибами в ближайший лес.

8) Укажите ошибку в постановке ударения.

1. красивЕе 2. удОбнейший 3. свобОднее 4. вернЕйший

9) Укажите, в каких примерах допущены ошибки в образовании формы сравнительной степени имени прилагательного.

1. Татьяна была более образованнее Ольги.

2. Речь оратора произвела на слушателей самое сильнейшее впечатление.

3. Дело принимает самый неожиданный поворот.

4. Это был один из самых талантливых преподавателей.

10) Укажите, в каких примерах допущены ошибки в образовании формы сравнительной степени имени прилагательного.

1. Мой кофе горчее твоего.

1. На наших глазах разворачивались величайшие события.

2. Нет ничего радостнее труда.

3. Эти цвета были более нежнее.

8.4: Тесты сходимости — сравнительный тест

Мы видели, что интегральный тест позволяет нам определять сходимость или расхождение ряда, сравнивая его с соответствующим неправильным интегралом. В этом разделе мы покажем, как использовать сравнительные тесты для определения сходимости или расхождения ряда, сравнивая его с рядом, сходимость или расхождение которого известны. Обычно эти тесты используются для определения сходимости рядов, похожих на геометрические ряды или p-ряды. k \ dfrac {1} {n − 1/2} \)

2 2.n + 2} \) сходится или расходится.

Подсказка

Сравните с геометрическим рядом.

Ответ

Серия расходится.

5.4 Сравнительные тесты — Calculus Volume 2

Задачи обучения

• 5.4.1 Используйте сравнительный тест, чтобы проверить ряд на сходимость.
• 5.4.2 Используйте тест сравнения пределов, чтобы определить сходимость ряда.

Мы видели, что интегральный тест позволяет нам определять сходимость или расходимость ряда, сравнивая его с соответствующим несобственным интегралом. В этом разделе мы покажем, как использовать сравнительные тесты для определения сходимости или расхождения ряда, сравнивая его с рядом, сходимость или расхождение которого известны. Обычно эти тесты используются для определения сходимости рядов, аналогичных геометрическим рядам или рядам p .

Сравнительный тест

В предыдущих двух разделах мы обсудили два больших класса серий: геометрические серии и p -серии.Мы точно знаем, когда эти ряды сходятся, а когда расходятся. Здесь мы покажем, как использовать сходимость или расхождение этих рядов, чтобы доказать сходимость или расхождение для других рядов, используя метод, называемый сравнительным тестом.

Для примера рассмотрим серию

∑n = 1∞1n2 + 1. n = 1∞1n2 + 1.

Эта серия похожа на сходящуюся серию

∑n = 1∞1n2.∑n = 1∞1n2.

Поскольку члены каждого ряда положительны, последовательность частичных сумм для каждого ряда монотонно возрастает.Кроме того, с

для всех натуральных чисел n, n, k-я k-я частичная сумма SkSk числа ∑n = 1∞1n2 + 1∑n = 1∞1n2 + 1 удовлетворяет условию

Sk = ∑n = 1k1n2 + 1 <∑n = 1k1n2 <∑n = 1∞1n2. Sk = ∑n = 1k1n2 + 1 <∑n = 1k1n2 <∑n = 1∞1n2.

(См. Рис. 5.16 (a) и таблицу 5.1.) Поскольку ряд справа сходится, последовательность {Sk} {Sk} ограничена сверху. Мы заключаем, что {Sk} {Sk} — ограниченная сверху монотонно возрастающая последовательность. Следовательно, по теореме о монотонной сходимости {Sk} {Sk} сходится, и, следовательно,

∑n = 1∞1n2 + 1∑n = 1∞1n2 + 1

сходится.

Аналогично рассмотрим серию

∑n = 1∞1n − 1/2. N = 1∞1n − 1/2.

Эта серия похожа на расходящуюся серию

Последовательность частичных сумм для каждой серии монотонно возрастает и

1n − 1/2> 1n> 01n − 1/2> 1n> 0

для каждого натурального числа n.n. Следовательно, k-я частичная сумма SkSk числа ∑n = 1∞1n − 1 / 2∑n = 1∞1n − 1/2 удовлетворяет

Sk = ∑n = 1k1n − 1/2> ∑n = 1k1n. Sk = ∑n = 1k1n − 1/2> ∑n = 1k1n.

(см. Рис. 5.16 (b) и таблицу 5.2.) Поскольку ряд ∑n = 1∞1 / n∑n = 1∞1 / n расходится до бесконечности, последовательность частичных сумм ∑n = 1k1 / n∑n = 1k1 / n неограничен.Следовательно, {Sk} {Sk} — неограниченная последовательность и поэтому расходится. Делаем вывод, что

∑n = 1∞1n − 1 / 2∑n = 1∞1n − 1/2

расходится.

Рис. 5.16 (a) Каждая из частичных сумм для данного ряда меньше, чем соответствующая частичная сумма для сходящегося p — ряда. P — ряда. (b) Каждая из частичных сумм данного ряда больше, чем соответствующая частичная сумма расходящегося гармонического ряда.

кк	11	22	33	44	55	66	77	88
∑n = 1k1n2 + 1∑n = 1k1n2 + 1	0.50,5	0,70,7	0,80,8	0,85880,8588	0,89730,8973	0,92430,9243	0,94430,9443	0,95970,9597
∑n = 1k1n2∑n = 1k1n2	11	1. 251.25	1,36111,3611	1.42361.4236	1.46361.4636	1.49141.4914	1.51181.5118	1,52741,5274

Таблица 5.1 Сравнение серии с серией p ( p = 2)

.9103

кк	11	22	33	44	55	66	77	88
∑n = 1k1n − 1 / 2∑n = 1k1n − 1/2	22	2. 66672.6667	3.06673.0667	3,35 243,3524	3,57 463,5746	3.75643.7564	3.
4.04364.0436
∑n = 1k1n∑n = 1k1n	11	1,51,5	1,83331,8333	2.09332.0933	2,28332,2833	2.452.45	2,59292,5929	2.71792.7179

Таблица 5.2 Сравнение ряда с гармоническим рядом

Теорема 5.11

Сравнительный тест

1. Предположим, что существует целое число NN такое, что 0≤an≤bn0≤an≤bn для всех n≥N.n≥N. Если ∑n = 1∞bn∑n = 1∞bn сходится, то ∑n = 1∞an∑n = 1∞an сходится.
2. Предположим, что существует целое число NN такое, что an≥bn≥0an≥bn≥0 для всех n≥N. n≥N. Если ∑n = 1∞bn∑n = 1∞bn расходится, то ∑n = 1∞an∑n = 1∞an расходится.

Проба

Докажем часть i. Доказательство части ii. является контрапозитивом части i. Пусть {Sk} {Sk} — последовательность частичных сумм, ассоциированная с ∑n = 1∞an, ∑n = 1∞an, и пусть L = ∑n = 1∞bn.L = ∑n = 1∞bn. Поскольку члены an≥0, an≥0,

Sk = a1 + a2 + ⋯ + ak≤a1 + a2 + ⋯ + ak + ak + 1 = Sk + 1. Sk = a1 + a2 + ⋯ + ak≤a1 + a2 + ⋯ + ak + ak + 1 = Sk + 1.

Следовательно, последовательность частичных сумм увеличивается. Кроме того, поскольку an≤bnan≤bn для всех n≥N, n≥N, то

∑n = Nkan≤∑n = Nkbn≤∑n = 1∞bn = L.∑n = Nkan≤∑n = Nkbn≤∑n = 1∞bn = L.

Следовательно, для всех k≥1, k≥1,

Sk = (a1 + a2 + ⋯ + aN − 1) + ∑n = Nkan≤ (a1 + a2 + ⋯ + aN − 1) + L.Sk = (a1 + a2 + ⋯ + aN − 1) + ∑n = Nkan≤ ( а1 + а2 + ⋯ + аN − 1) + L.

Поскольку a1 + a2 + ⋯ + aN − 1a1 + a2 + ⋯ + aN − 1 — конечное число, мы заключаем, что последовательность {Sk} {Sk} ограничена сверху. Следовательно, {Sk} {Sk} — возрастающая ограниченная сверху последовательность. По теореме о монотонной сходимости заключаем, что {Sk} {Sk} сходится, а значит, сходится ряд ∑n = 1∞an∑n = 1∞an.

□

Чтобы использовать сравнительный тест для определения сходимости или расходимости ряда ∑n = 1∞an, ∑n = 1∞an, необходимо найти подходящий ряд для его сравнения. Поскольку нам известны свойства сходимости геометрических рядов и p -рядов, эти ряды используются часто.Если существует целое число NN такое, что для всех n≥N, n≥N каждый член anan меньше каждого соответствующего члена известного сходящегося ряда, то ∑n = 1∞an∑n = 1∞an сходится. Аналогично, если существует целое число NN такое, что для всех n≥N, n≥N каждый член anan больше каждого соответствующего члена известного расходящегося ряда, то thenn = 1∞an∑n = 1∞an расходится.

Пример 5.17

Использование сравнительного теста

Для каждого из следующих рядов используйте сравнительный тест, чтобы определить, сходится ли ряд или расходится.

1. ∑n = 1∞1n3 + 3n + 1∑n = 1∞1n3 + 3n + 1
2. ∑n = 1∞12n + 1∑n = 1∞12n + 1
3. ∑n = 2∞1ln (n) ∑n = 2∞1ln (n)

Решение

1. Сравните с ∑n = 1∞1n3∑n = 1∞1n3 Поскольку ∑n = 1∞1n3∑n = 1∞1n3 — это p-серия с p = 3, p = 3, она сходится. Далее,

   для любого натурального числа n.n. Следовательно, можно заключить, что ∑n = 1∞1n3 + 3n + 1∑n = 1∞1n3 + 3n + 1 сходится.

2. Сравните с ∑n = 1∞ (12) n. N = 1∞ (12) n. Поскольку ∑n = 1∞ (12) n∑n = 1∞ (12) n — геометрический ряд с r = 1 / 2r = 1/2 и | 1/2 | <1, | 1/2 | <1, он сходится.Также для любого натурального числа n.n. Следовательно, мы видим, что ∑n = 1∞12n + 1∑n = 1∞12n + 1 сходится.
3. Сравните с ∑n = 2∞1n.∑n = 2∞1n. С

   для любого целого n≥2n≥2 и n = 2∞1 / n∑n = 2∞1 / n расходится, имеем wen = 2∞1ln (n) ∑n = 2∞1ln (n) расходится.

КПП 5.

16

Используйте сравнительный тест, чтобы определить, сходится или расходится ряд ∑n = 1∞nn3 + n + 1∑n = 1∞nn3 + n + 1.

Тест сравнения предельных значений

Сравнительный тест работает хорошо, если мы можем найти сопоставимый ряд, удовлетворяющий гипотезе теста.Однако иногда бывает сложно найти подходящую серию. Рассмотрим серию

∑n = 2∞1n2−1.∑n = 2∞1n2−1.

Естественно сравнить этот ряд с сходящимся рядом

.
∑n = 2∞1n2.∑n = 2∞1n2.

Однако эта серия не удовлетворяет гипотезе, необходимой для использования сравнительного теста, поскольку

для всех целых чисел n≥2.n≥2. Хотя мы могли бы поискать другую серию для сравнения ∑n = 2∞1 / (n2−1), ∑n = 2∞1 / (n2−1), вместо этого мы покажем, как мы можем использовать тест сравнения пределов для сравнить

∑n = 2∞1n2−1 и n = 2∞1n2.∑n = 2∞1n2−1 и n = 2∞1n2.

Давайте рассмотрим идею теста сравнения пределов. Рассмотрим два ряда ∑n = 1∞an∑n = 1∞an и ∑n = 1∞bn.∑n = 1∞bn. с положительными условиями anandbnanandbn и оцените

limn → ∞anbn.limn → ∞anbn.

Если

limn → ∞anbn = L ≠ 0, limn → ∞anbn = L 0,

, то для достаточно большого nn an≈Lbn.an≈Lbn. Следовательно, либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся. Для рядов ∑n = 2∞1 / (n2−1) ∑n = 2∞1 / (n2−1) и ∑n = 2∞1 / n2, ∑n = 2∞1 / n2, мы видим, что

limn → ∞1 / (n2−1) 1 / n2 = limn → ∞n2n2−1 = 1.limn → ∞1 / (n2−1) 1 / n2 = limn → ∞n2n2−1 = 1.

Так как ∑n = 2∞1 / n2∑n = 2∞1 / n2 сходится, мы заключаем, что

∑n = 2∞1n2−1∑n = 2∞1n2−1

сходится.

Тест сравнения пределов можно использовать в двух других случаях. Предположим

limn → ∞anbn = 0. limn → ∞anbn = 0.

В этом случае {an / bn} {an / bn} — ограниченная последовательность. В результате существует постоянная MM такая, что an≤Mbn.an≤Mbn. Следовательно, если ∑n = 1∞bn∑n = 1∞bn сходится, то n = 1∞an∑n = 1∞an сходится. С другой стороны, предположим, что

limn → ∞anbn = ∞.limn → ∞anbn = ∞.

В этом случае {an / bn} {an / bn} является неограниченной последовательностью. Следовательно, для каждой константы MM существует целое число NN такое, что an≥Mbnan≥Mbn для всех n≥N.n≥N. Следовательно, если ∑n = 1∞bn∑n = 1∞bn расходится, то n = 1∞an∑n = 1∞an также расходится.

Теорема 5.12

Тест сравнения пределов

Пусть an, bn≥0an, bn≥0 для всех n≥1.n≥1.

1. Если limn → ∞an / bn = L ≠ 0, limn → ∞an / bn = L ≠ 0, то ∑n = 1∞an∑n = 1∞an и ∑n = 1∞bn∑n = 1∞ bn оба сходятся или оба расходятся.
2. Если limn → ∞an / bn = 0limn → ∞an / bn = 0 и ∑n = 1∞bn∑n = 1∞bn сходится, то ∑n = 1∞an∑n = 1∞an сходится.
3. Если limn → ∞an / bn = ∞limn → ∞an / bn = ∞ и ∑n = 1∞bn∑n = 1∞bn расходится, то ∑n = 1∞an∑n = 1∞an расходится.

Обратите внимание, что если an / bn → 0an / bn → 0 и ∑n = 1∞bn∑n = 1∞bn расходятся, тест сравнения пределов не дает никакой информации. Аналогично, если an / bn → ∞an / bn → ∞ и ∑n = 1∞bn∑n = 1∞bn сходится, тест также не дает никакой информации. Например, рассмотрим два ряда ∑n = 1∞1 / n∑n = 1∞1 / n и ∑n = 1∞1 / n2. n = 1∞1 / n2. Обе эти серии являются сериями p с p = 1 / 2p = 1/2 и p = 2, p = 2 соответственно. Поскольку p = 1/2 <1, p = 1/2 <1, ряд ∑n = 1∞1 / n∑n = 1∞1 / n расходится.С другой стороны, поскольку p = 2> 1, p = 2> 1, ряд ∑n = 1∞1 / n2∑n = 1∞1 / n2 сходится. Однако предположим, что мы попытались применить тест сравнения пределов, используя сходящийся p − ряд p − ряд ∑n = 1∞1 / n3∑n = 1∞1 / n3 в качестве нашей серии сравнения. Сначала мы видим, что

1 / n1 / n3 = n3n = n5 / 2 → ∞asn → ∞. 1 / n1 / n3 = n3n = n5 / 2 → ∞asn → ∞.

Аналогично видим, что

1 / n21 / n3 = n → ∞asn → ∞. 1 / n21 / n3 = n → ∞asn → ∞.

Следовательно, если an / bn → ∞an / bn → ∞ при ∑n = 1∞bn∑n = 1∞bn сходится, мы не получаем никакой информации о сходимости или расходимости ∑n = 1∞an.∑n = 1∞an.

Пример 5.18

Использование сравнительного теста предельных значений

Для каждого из следующих рядов используйте тест сравнения пределов, чтобы определить, сходится ли ряд или расходится. Если тест не подходит, скажите об этом.

1. ∑n = 1∞1n + 1∑n = 1∞1n + 1
2. ∑n = 1∞2n + 13n∑n = 1∞2n + 13n
3. ∑n = 1∞ln (n) n2∑n = 1∞ln (n) n2

Решение

1. Сравните этот ряд с ∑n = 1∞1n.∑n = 1∞1n. Вычислить
   limn → ∞1 / (n + 1) 1 / n = limn → ∞nn + 1 = limn → ∞11 + 1 / n = 1.limn → ∞1 / (n + 1) 1 / n = limn → ∞nn + 1 = limn → ∞11 + 1 / n = 1.
   Согласно тесту предельного сравнения, поскольку ∑n = 1∞1n∑n = 1∞1n расходится, то n = 1∞1n + 1∑n = 1∞1n + 1 расходится.
2. Сравните этот ряд с ∑n = 1∞ (23) n.n = 1∞ (23) n. Мы видим, что
   limn → ∞ (2n + 1) / 3n2n / 3n = limn → ∞2n + 13n · 3n2n = limn → ∞2n + 12n = limn → ∞ [1+ (12) n] = 1.limn → ∞ (2n + 1 ) / 3n2n / 3n = limn → ∞2n + 13n · 3n2n = limn → ∞2n + 12n = limn → ∞ [1+ (12) n] = 1.
   Следовательно,
   limn → ∞ (2n + 1) /3n2n/3n=1.limn sizes∞ (2n + 1) / 3n2n / 3n = 1.
   Поскольку ∑n = 1∞ (23) n∑n = 1∞ (23) n сходится, заключаем, что ∑n = 1∞2n + 13n∑n = 1∞2n + 13n сходится.
3. Поскольку lnn limn → ∞lnn / n21 / n = limn → ∞lnnn2 · n1 = limn → ∞lnnn.limn → ∞lnn / n21 / n = limn → ∞lnnn2 · n1 = limn → ∞lnnn.
   Чтобы вычислить limn → ∞lnn / n, limn → ∞lnn / n, вычислите предел при x → ∞x → ∞ действительной функции ln (x) /x.ln (x) / x. Эти два ограничения равны, и внесение этого изменения позволяет нам использовать правило L’Hôpital. Получаем
   limx → ∞lnxx = limx → ∞1x = 0. limx → ∞lnxx = limx → ∞1x = 0.
   Следовательно, limn → ∞lnn / n = 0, limn → ∞lnn / n = 0 и, следовательно,
   limn → ∞lnn / n21 / n = 0.limn → ∞lnn / n21 / n = 0.
   Поскольку предел равен 00, но ∑n = 1∞1n∑n = 1∞1n расходится, тест сравнения пределов не дает никакой информации.
   Сравните вместо этого с ∑n = 1∞1n2∑n = 1∞1n2. В данном случае
   limn → ∞lnn / n21 / n2 = limn → ∞lnnn2 · n21 = limn → ∞lnn = ∞.limn → ∞lnn / n21 / n2 = limn → ∞lnnn2 · n21 = limn → ∞lnn = ∞.
   Поскольку предел равен ∞∞, но ∑n = 1∞1n2∑n = 1∞1n2 сходится, тест по-прежнему не дает никакой информации.
   Итак, теперь мы пробуем серию между двумя, которые мы уже пробовали. Выбирая ряд ∑n = 1∞1n3 / 2, ∑n = 1∞1n3 / 2, видим, что
   limn → ∞lnn / n21 / n3 / 2 = limn → ∞lnnn2 · n3 / 21 = limn → ∞lnnn.limn → ∞lnn / n21 / n3 / 2 = limn → ∞lnnn2 · n3 / 21 = limn → ∞lnnn.
   Как и выше, чтобы вычислить limn → ∞lnn / n, limn → ∞lnn / n, вычислите предел при x → ∞x → ∞ действительной функции lnx / x.lnx / x. По правилу L’Hôpital,
   limx → ∞lnxx = limx → ∞2xx = limx → ∞2x = 0. limx → ∞lnxx = limx → ∞2xx = limx → ∞2x = 0.
   Поскольку предел равен 00 и n = 1∞1n3 / 2∑n = 1∞1n3 / 2 сходится, мы можем заключить, что ∑n = 1∞lnnn2∑n = 1∞lnnn2 сходится.

КПП 5.17

Используйте тест сравнения пределов, чтобы определить, сходится или расходится ряд ∑n = 1∞5n3n + 2∑n = 1∞5n3n + 2.

Раздел 5.4. Упражнения

Используйте сравнительный тест, чтобы определить, сходятся ли следующие ряды.

194.

∑n = 1∞an∑n = 1∞an, где an = 2n (n + 1) an = 2n (n + 1)

195.

∑n = 1∞an∑n = 1∞an, где an = 1n (n + 1/2) an = 1n (n + 1/2)

196.

∑n = 1∞12 (n + 1) ∑n = 1∞12 (n + 1)

197.

∑n = 1∞12n − 1∑n = 1∞12n − 1

198.

∑n = 2∞1 (nlnn) 2∑n = 2∞1 (nlnn) 2

199.

∑n знак равно 1∞n! (N + 2)! ∑n знак равно 1∞n! (N + 2)!

201.

∑n = 1∞sin (1 / n) n∑n = 1∞sin (1 / n) n

202.

∑n = 1∞sin2nn2∑n = 1∞sin2nn2

203.

∑n = 1∞sin (1 / n) n∑n = 1∞sin (1 / n) n

204.

∑n = 1∞n1.2−1n2.3 + 1∑n = 1∞n1.2−1n2.3 + 1

205.

∑n = 1∞n + 1 − nn∑n = 1∞n + 1 − nn

206.

∑n = 1∞n4n4 + n23∑n = 1∞n4n4 + n23

Используйте тест сравнения пределов, чтобы определить, сходится или расходится каждый из следующих рядов.

207.

∑n = 1∞ (lnnn) 2∑n = 1∞ (lnnn) 2

208.

∑n = 1∞ (lnnn0.6) 2∑n = 1∞ (lnnn0.6) 2

209.

∑n = 1∞ln (1 + 1n) n∑n = 1∞ln (1 + 1n) n

210.

∑n = 1∞ln (1 + 1n2) ∑n = 1∞ln (1 + 1n2)

211.

∑n = 1∞14n − 3n∑n = 1∞14n − 3n

212.

∑n = 1∞1n2 − nsinn∑n = 1∞1n2 − nsinn

213.

∑n = 1∞1e (1.1) n − 3n∑n = 1∞1e (1.1) n − 3n

214.

∑n = 1∞1e (1.01) n − 3n∑n = 1∞1e (1.01) n − 3n

215.

∑n = 1∞1n1 + 1 / n∑n = 1∞1n1 + 1 / n

216.

∑n = 1∞121 + 1 / nn1 + 1 / n∑n = 1∞121 + 1 / nn1 + 1 / n

217.

∑n = 1∞ (1n − sin (1n)) ∑n = 1∞ (1n − sin (1n))

218.

∑n = 1∞ (1 − cos (1n)) ∑n = 1∞ (1 − cos (1n))

219.

∑n = 1∞1n (π2 − tan − 1n) ∑n = 1∞1n (π2 − tan − 1n)

220.

∑n = 1∞ (1−1n) nn∑n = 1∞ (1−1n) nn ( Подсказка: (1−1n) n → 1 / e.) (1−1n) n → 1 / e .)

221.

∑n = 1∞ (1 − e − 1 / n) ∑n = 1∞ (1 − e − 1 / n) ( Подсказка: 1 / e≈ (1−1 / n) n, 1 / e ≈ (1−1 / n) n, поэтому 1 − e − 1 / n≈1 / n.) 1 − e − 1 / n≈1 / n.)

222.

Сходится ли ∑n = 2∞1 (lnn) p∑n = 2∞1 (lnn) p, если pp достаточно велико? Если да, то для какого p? P?

223.

Сходится ли ∑n = 1∞ ((lnn) n) p∑n = 1∞ ((lnn) n) p, если pp достаточно велико? Если да, то для какого p? P?

224.

Для какого pp сходится ряд ∑n = 1∞2pn / 3n∑n = 1∞2pn / 3n?

225.

При каком p> 0p> 0 сходится ряд ∑n = 1∞np2n∑n = 1∞np2n?

226.

При каком r> 0r> 0 сходится ряд ∑n = 1∞rn22n∑n = 1∞rn22n?

227.

При каком r> 0r> 0 сходится ряд ∑n = 1∞2nrn2∑n = 1∞2nrn2?

228.

Найдите все значения pp и qq такие, что ∑n = 1∞np (n!) Q∑n = 1∞np (n!) Q сходится.

229.

Сходится или расходится ∑n = 1∞sin2 (nr / 2) n∑n = 1∞sin2 (nr / 2) n? Объяснять.

230.

Объясните, почему для каждого n, n хотя бы одно из {| sinn |, | sin (n + 1) | ,…, | sinn + 6 |} {| sinn |, | sin (n + 1) |, …, | sinn + 6 |} больше 1 / 2,1 / 2. Используйте это соотношение, чтобы проверить сходимость ∑n = 1∞ | sinn | n.n = 1∞ | sinn | n.

231.

Предположим, что сходятся an≥0an≥0 и bn≥0bn≥0 и что ∑n = 1∞a2n∑n = 1∞a2n и ∑n = 1∞b2n∑n = 1∞b2n. Докажите, что ∑n = 1∞anbn∑n = 1∞anbn сходится и ∑n = 1∞anbn≤12 (∑n = 1∞an2 + ∑n = 1∞bn2) .∑n = 1∞anbn≤12 (∑n = 1∞an2 + ∑n = 1∞bn2).

232.

Сходится ли ∑n = 1∞2 − lnlnn∑n = 1∞2 − lnlnn? ( Подсказка: Запишите 2lnlnn2lnlnn как степень lnn.) Lnn.)

233.

Сходится ли ∑n = 1∞ (lnn) −lnn∑n = 1∞ (lnn) −lnn? ( Подсказка: Используйте n = eln (n) n = eln (n) для сравнения с p-серией.) P-серия.)

234.

Сходится ли ∑n = 2∞ (lnn) −lnlnn∑n = 2∞ (lnn) −lnlnn? ( Подсказка: Сравните anan с 1 / n.) 1 / n.)

235.

Докажите, что если an≥0an≥0 и ∑n = 1∞an∑n = 1∞an сходится, то ∑n = 1∞a2n∑n = 1∞a2n сходится. Если ∑n = 1∞a2n∑n = 1∞a2n сходится, обязательно ли сходится ∑n = 1∞an∑n = 1∞?

236.

Предположим, что an> 0an> 0 для всех nn и что ∑n = 1∞an∑n = 1∞an сходится.Предположим, что bnbn — произвольная последовательность нулей и единиц. Обязательно ли сходится ∑n = 1∞anbn∑n = 1∞anbn?

237.

Предположим, что an> 0an> 0 для всех nn и что ∑n = 1∞an∑n = 1∞an расходится. Предположим, что bnbn — произвольная последовательность нулей и единиц, в которой бесконечно много членов равны единице. Обязательно ли ∑n = 1∞anbn∑n = 1∞anbn расходиться?

238.

Завершите детали следующего рассуждения: если ∑n = 1∞1n∑n = 1∞1n сходится к конечной сумме s, s, то 12s = 12 + 14 + 16 + ⋯ 12s = 12 + 14 + 16 + ⋯ и s − 12s = 1 + 13 + 15 + ⋯.s − 12s = 1 + 13 + 15 + ⋯. Почему это приводит к противоречию?

239.

Докажите, что если an≥0an≥0 и ∑n = 1∞a2n∑n = 1∞a2n сходится, то ∑n = 1∞sin2 (an) ∑n = 1∞sin2 (an) сходится.

240.

Предположим, что an / bn → 0an / bn → 0 в сравнительном тесте, где an≥0an≥0 и bn≥0.bn≥0. Докажите, что если ∑bn∑bn сходится, то an∑an сходится.

241.

Пусть bnbn — бесконечная последовательность нулей и единиц. Какое наибольшее возможное значение x = ∑n = 1∞bn / 2n? X = ∑n = 1∞bn / 2n?

242.

Пусть dndn будет бесконечной последовательностью цифр, что означает, что dndn принимает значения в {0,1,…, 9}.{0,1,…, 9}. Какое максимально возможное значение x = ∑n = 1∞dn / 10nx = ∑n = 1∞dn / 10n, которое сходится?

243.

Объясните, почему, если x> 1/2, x> 1/2, то xx нельзя записать x = ∑n = 2∞bn2n (bn = 0or1, b1 = 0) .x = ∑n = 2∞bn2n (bn = 0 или 1, b1 = 0).

244.

[T] Evelyn имеет идеальные весы для балансировки, неограниченное количество гирь весом 1 кг1 кг и по одной гири 1/2 кг, 1/4 кг, 1/8 кг, 1 / 2- кг, 1/4 кг, 1/8 кг и т. д. Она хочет взвесить метеорит неизвестного происхождения с произвольной точностью.Если масштаб достаточно большой, сможет ли она это сделать? При чем здесь бесконечный ряд?

245.

[T] Роберт хочет знать массу своего тела с произвольной точностью. У него есть большие балансировочные весы, которые отлично работают, неограниченное количество гирь весом 1 кг1 кг и девять гирь по 0,1 кг, 0,1 кг, 0,01 кг, 0,001 кг, 0,01 кг, 0,001 кг и так о весах. Предполагая, что масштаб достаточно большой, сможет ли он это сделать? При чем здесь бесконечный ряд?

246.

Ряд ∑n = 1∞12n∑n = 1∞12n составляет половину гармонического ряда и, следовательно, расходится.Он получается из гармонического ряда удалением всех членов, в которых nn нечетное. Пусть фиксировано m> 1m> 1. Покажите, в более общем плане, что удаление всех членов 1 / n1 / n, где n = mkn = mk для некоторого целого kk, также приводит к расходящемуся ряду.

247.

Принимая во внимание предыдущее упражнение, может показаться удивительным, что подсерии гармонического ряда, в которых удаляется примерно один из каждых пяти членов, могут сходиться. Истощенный гармонический ряд — это ряд, полученный из ∑n = 1∞1n∑n = 1∞1n путем удаления любого члена 1 / n1 / n, если данная цифра, скажем 9,9, появляется в десятичном разложении n.п. Докажите, что этот обедненный гармонический ряд сходится, ответив на следующие вопросы.

1. Сколько целых чисел nn состоит из dd цифр?
2. Сколько d-значных целых чисел h (d) .h (d). не содержат 99 в качестве одной или нескольких цифр?
3. Какое наименьшее d-значное число m (d)? M (d)?
4. Объясните, почему удаленный гармонический ряд ограничен d = 1∞h (d) m (d). )D = 1∞h (d) m (d).
5. Докажите, что ∑d = 1∞h (d) m (d) ∑d = 1∞h (d) m (d) сходится.

248.

Предположим, что последовательность чисел an> 0an> 0 обладает тем свойством, что a1 = 1a1 = 1 и an + 1 = 1n + 1Sn, an + 1 = 1n + 1Sn, где Sn = a1 + ⋯ + an.Sn = a1 + ⋯ + ан. Можете ли вы определить, сходится ли ∑n = 1∞an∑n = 1∞an? ( Подсказка: SnSn монотонный.)

249.

Предположим, что последовательность чисел an> 0an> 0 обладает тем свойством, что a1 = 1a1 = 1 и an + 1 = 1 (n + 1) 2Sn, an + 1 = 1 (n + 1) 2Sn, где Sn = a1 + ⋯ + an.Sn = a1 + ⋯ + an. Можете ли вы определить, сходится ли ∑n = 1∞an∑n = 1∞an? ( Подсказка: S2 = a2 + a1 = a2 + S1 = a2 + 1 = 1 + 1/4 = (1 + 1/4) S1, S2 = a2 + a1 = a2 + S1 = a2 + 1 = 1 + 1/4 = (1 + 1/4) S1, S3 = 132S2 + S2 = (1 + 1/9) S2 = (1 + 1/9) (1 + 1/4) S1, S3 = 132S2 + S2 = (1 + 1/9) S2 = (1 + 1/9) (1 + 1/4) S1 и т. Д.Посмотрите на ln (Sn), ln (Sn) и используйте ln (1 + t) ≤t, ln (1 + t) ≤t, t> 0.) t> 0.)

MathCS.org — Реальный анализ: сравнительный тест

4.2. Тесты сходимости

Сравнительный тест

Это полезный тест, но сравнительный тест предельных значений, который довольно похож на
намного проще в использовании, а значит, и полезнее. Однако этот сравнительный тест очень
легко запомнить: если предположить, что все положительно, для простоты скажем, что мы знаем
что:

| b _n |

| a _n |

для всех n .затем просто просуммируйте обе стороны, чтобы увидеть, что вы
получить формально:

Потом:

• Если левая сторона равна бесконечности, то и правая сторона должна равняться.
• Если правая часть конечна, левая сторона также сходится.

Проба:

Доказательство на первый взгляд кажется простым: предположим, что

абсолютно сходится, и
| b _n | | a _n |
для всех n .Для простоты предположим, что все термины в
обе последовательности положительны. Позволять

S _N =
и
Т _N =

Тогда у нас есть это

Т _N
S _N

Поскольку левая часть является сходящейся последовательностью, она, в частности,
ограниченный. Следовательно, правая часть также является ограниченной последовательностью
частичные суммы. Поэтому он сходится.

Это доказательство неверно , потому что оно показывает, что последовательность
частичные суммы ограничены , но это не обязательно верно, что
ограниченный ряд также сходится — как мы знаем.

Однако это доказательство, слегка измененное, действительно работает: снова предположим, что
что все члены в обеих последовательностях положительны. С

сходится, удовлетворяет критерию Коши:

| |
& lt

если m & gt n & gt N .С
| b _n |

| a _n |
тогда мы имеем

| |
|
| & lt

если m & gt n & gt N . Следовательно

удовлетворяет критерию Коши и поэтому сходится.

Доказательство расходимости аналогично.

Прямые и предельные сравнительные испытания | Ханская академия вики

Прямые и предельные сравнительные испытания
Описание
Название упражнения:	Прямые и предельные сравнительные испытания
Математические задания:	Интегральное исчисление Math Mission
Типы проблем:	3

Тесты прямого и предельного сравнения Упражнение отображается в разделе «Математическая задача интегрального исчисления».В этом упражнении практикуется один из тестов сходимости / расхождения рядов.

Типы проблем

В этом упражнении есть три типа задач:

1. Примените «прямой» сравнительный тест : Эта задача дает ряд, аналогичный ряду, который, как известно, сходится или расходится. Ожидается, что пользователь напрямую сравнит данный ряд с известным рядом и определит сходимость.

   Примените «прямой» сравнительный тест

2. Примените «предельный» сравнительный тест : Эта задача предоставляет ряд, который можно сравнить с другим рядом, который, как известно, сходится или расходится.Ожидается, что пользователь сравнит заданный ряд, в пределе, с известным рядом и определит сходимость.

   Применить «предельный» сравнительный тест

3. Определите соответствующий тест и сделайте вывод : Эта проблема предоставляет серию, но не указывает на используемый тест. Пользователя просят определить, какой тест будет подходящим и каков будет результат этого теста.

   Определите подходящий тест и заключение

Стратегии

Для обеспечения успеха в этом упражнении рекомендуется знание всех предельных тестов, особенно сравнительных тестов, а также опыт работы с предельными значениями последовательности.

1. В «прямом» сравнительном тесте серия часто сравнивается с либо или. Если он больше расходящегося ряда, он расходится. Если он меньше сходящегося ряда, он сходится.
2. Сравнительный тест «Предел» находит предел отношения двух последовательностей. Если результат конечно-положительный, оба ряда расходятся или оба сходятся. Если он идет к 0, и нижняя часть сходится, то также и верхняя. Если он уходит в бесконечность, а низ расходится, то же самое происходит и с верхом.
3. Ряд в вопросе может использоваться для мотивации сравнительного ряда.

Реальные приложения

1. Реальные жизненные ситуации не являются «точными», поэтому аппроксимирующие функции используются в качестве моделей поведения в реальной жизни в естественных науках и экономике. Эти концепции используются для создания этих аппроксимирующих функций.
2. Умение сравнивать неизвестные вещи с известными — обычное упражнение в математике, которое находит применение во многих областях.

Ford F-150 против Chevy Silverado против Ram 1500: что лучше?

Из январского выпуска журнала Car and Driver за 2019 год.

В 2017 году американцы купили больше полноразмерных пикапов, чем люди, на всех рынках, кроме трех крупнейших, в ЕС.

Мы покупаем невероятное количество таких вещей — около 2,3 миллиона только в этом году. Но вот теория: мы не покупаем пикапы в таких количествах, потому что мы более производительны, чем наши братья, носящие береты, через Атлантику.

Дело не в том, что у нас стало так много подрядчиков, фермеров и торговцев, которым нужны пикапы.Дело в том, что у американцев больше игрушек. По оценкам, здесь продается от 50 до 60 процентов прогулочных судов в мире, а также более 40 процентов снегоходов в мире. Лодки должны добраться до озера, а снегоходы — до тропы. И немногие из машин, которые мчатся по 1339 драг-полосам, дорожным полосам и овалам страны, сами едут туда. Американцам нужны эти рабочие лошадки для работы на выходных, но это не значит, что мы хотим, чтобы они топтались, как Клайдесдейлы. Вот почему каждый из приведенных здесь примеров — это модель с максимальной комплектацией, предназначенная для повседневного использования от соответствующего производителя.

Марк Урбано Автомобиль и водитель

Chevrolet Silverado — новый автомобиль 2019 года с новым кузовом на новой раме. Опциональный восьмицилиндровый двигатель, установленный на этом примере, имеет объем 6,2 литра, как и лучшее предложение бренда прошлого года, но двигатель тоже свежий. В то время как в прошлом году 6.2 сэкономили топливо за счет программы отключения цилиндров, которая отключала четыре цилиндра при малых нагрузках, двигатель 2019 года работает по новой схеме от поставщика Delphi, которая может опускать до шести цилиндров при подходящих условиях, работая с двигателем от чего угодно. восемь-два горшка.Silverado, протестированный здесь, представляет собой версию High Country по доступной цене, которая включает в себя двухскоростную раздаточную коробку, автоматический стоп-старт, двойной выхлоп, бамперы в цвет кузова, светодиодное освещение и кожаные сиденья ( с подогревом и вентиляцией спереди, с подогревом подвесного двигателя сзади) и базами за 57 795 долларов. С массой вспомогательных средств вождения, 22-дюймовыми колесами, модернизированным двигателем (по сравнению с базовым 5,3-литровым V-8) и подножками с механическим приводом, этот стоит 67 420 долларов.

Это важный год для рынка полноразмерных грузовиков — Ram 1500 также является новым.Его 5,7-литровый двигатель Hemi V-8, теперь доступный с 48-вольтовым мотор-генератором, уютно разместился в переработанной раме, обернутой в новый кузов. Грузовики с экипажем, подобные тому, что здесь, тоже имеют неплохое пространство для ног сзади. Super-giganto Mega Cab еще нет, но Rolls-Roycian 45,2 дюйма расширенного пространства означает, что Ram имеет 65 кубических футов пространства для задних сидений. Ограниченные модели 4×4, подобные этой, стоимость которой составляет 58 390 долларов, также могут похвастаться интерьером с таким необычайным вниманием к деталям, что трудно поверить, что этот грузовик мог бы съехать с завода сотнями тысяч.Стереосистема Harman / Kardon с 19 динамиками, набор активных систем помощи при вождении, панорамный люк на крыше и 5,7-литровый Hemi с дополнительной 48-вольтовой гибридной системой eTorque увеличивают цену до 69 190 долларов.

Марк Урбано Автомобиль и водитель

Кажется, это много, пока не заглянешь в Монруни для нашего Ford F-150. Полностью переосмысленный в «военном» корпусе Faygo 2015 года, F-150 получил в прошлом году небольшую реконструкцию, включая новую решетку радиатора и модернизированные двигатели.Ford пошел дальше с последним в 2019 году, выпустив полнопроходный 3,5-литровый двигатель EcoBoost с двойным турбонаддувом, отвечающий требованиям Raptor, с 450 лошадиными силами и стандартным крутящим моментом 510 фунт-футов в топовой модели Limited. (Меньшие варианты доводятся до 375 лошадиных сил и 470 фунт-футов). По базовой цене в 72 055 долларов F-150 Limited поставляется с предварительно загруженным панорамным люком на крыше, массажными передними сиденьями, подножками с электроприводом и различными роскошными аксессуарами. Этот прибыл со ступенькой задней двери, буксировочным комплектом и небольшим количеством аксессуаров для кровати, которые подняли его цену до ошеломляющих 74865 долларов.

Даже с учетом того, что даже самая низкая протестированная цена здесь приближается к 70 000 долларов, это, несомненно, больше, чем инструменты, аксессуары для образа жизни. Поэтому мы заставили их работать, когда они возили соответствующие спортивные автомобили их брендов в Питтсбургский международный гоночный комплекс, примерно в 40 милях к северо-западу от Питтсбурга, штат Пенсильвания. Потому что эти грузовики предназначены не только для тяжелой работы; они о развлечениях с комфортом. Посмотрим, какой из них лучший.

3 место:

Chevrolet Silverado 1500

Марк Урбано Автомобиль и водитель

Максимум: Скоро мы станем высокой страной. Это сделает это более терпимым.
Минусы: Суровая езда, дешевый салон.
Вердикт: Мы ожидали гораздо большего в плане изысканности, полировки кабины и стоимости от этого совершенно нового грузовика Chevy.

Поразительно, насколько разительна разница между Silverado и двумя другими грузовиками.В одном из бортовых журналов Chevy назван «ударом на 70 000 долларов». Технический редактор Дэвид Бирд написал: «Мне нравится двигатель в этом грузовике, и все».

Честно говоря, есть еще несколько вещей, которые стоит оценить. Низкая высота сиденья придает Silverado уникальное автомобильное сиденье. Педаль тормоза кажется такой, как будто ее вытащили прямо из Corvette, а остановка на 175 футов на скорости 70 миль в час довольно впечатляет для грузовика весом 5500 фунтов, хотя 5600 фунтов F-150 остановился еще короче.А поскольку люк в крыше Chevy закрывает только передние сиденья, у этого грузовика больше всего места для головы на задних сиденьях. Но сиденья плоские, жесткие и не поддерживают, а передняя часть не массирует вас (как у Ford), а задние части не охлаждаются (как у Ram).

Выйдите из Ford и сядьте в Chevy, и вы по достоинству оцените легкий, естественный крутящий момент двигателя большого объема и поддержку трюка с отключением цилиндра Silverado для установки 6.2 опережает 3,5-литровый двигатель по экономии топлива, как с прицепом, так и без него. Это просто показывает, что независимо от количества цилиндров, рабочего объема или давления наддува, для выработки мощности требуется топливо. Кроме того, довольно удивительно, что второй по скорости грузовик здесь разогнался до 13,9 со скоростью 100 миль в час на четверти мили.

Chevrolet Silverado High Country — наименее убедительный аргумент в пользу замены роскошного автомобиля. Его ходовые качества и качество интерьера не в той же лиге, что и два других ковбойских кадиллака в этом тесте.

Марк Урбано Автомобиль и водитель

Наше разочарование в Silverado коренится в его плавности хода и приятном ощущении от конструкции. Chevy проследовал за своим соперником из перекрестка по алюминиевой дороге лишь на короткое время, штампуя из алюминия капот, двери и заднюю дверь. Кузов и коробка по-прежнему стальные. Chevy все же удается подорвать Ford на 90 фунтов, хотя после поездки на Silverado мы пожалели, что Chevy добавил немного больше говядины в его структуру. Эти 22-дюймовые колеса — молотки, а тело — струна из цимбалы.Этот грузовик трясется и вибрирует так сильно, что мы ожидали, что на неровной дороге нам позвонят из OnStar и спросят, не попали ли мы в аварию. (У нас был такой опыт до выезда на тротуар.) В какой-то момент нашей поездки, когда мы проезжали серию лежачих полицейских, технический директор Эрик Тингволл связался по рации с Барана в задней части рюкзака, чтобы сказать, что он может видеть разница в качестве езды между Chevy и Ford, наблюдая за множественными колебаниями подвески Silverado, когда F-150 сжимается и отскакивает только один раз.И больше всего Silverado пострадал от своего прицепа, с диагональными швами проезжей части, которые вызывали тревожное колебание груза. Хотя, хотя все три грузовика имеют режимы камеры заднего вида, которые позволяют водителю приближать сцепное устройство прицепа, когда он движется к нему задним ходом, только у Chevy есть дополнительная камера, встроенная в стоп-сигнал с высоким креплением, чтобы служить в качестве заднего вида под большим углом. зеркало при прикрепленном прицепе. Дисплей камеры заменяет зеркало заднего вида, когда водитель щелкает переключателем день / ночь, и дает гораздо лучший обзор движения за кормой, чем обычно имеет эвакуатор.Это настолько полезная функция, что мы ожидаем, что два других грузовика примут ее на вооружение в течение пары лет.

Марк Урбано Автомобиль и водитель

С другой стороны, Chevy будет труднее и дороже устранить недостатки Silverado. Нет ничего лучше Silverado за 70 000 долларов, чтобы доказать, насколько далеко GM не зашла со своими интерьерами. Пластик выглядит дешево, а дизайн даже в этой модели High Country кажется заданным. Все наши присяжные согласились, что некоторые вещи в этом грузовике кажутся новыми; Tingwall постановил, что это «возврат к тем временам, когда пикапы не были семейным транспортом.»Это далеко от роскошных игрушечных тягачей, предлагаемых Ford и Ram.

2 место:

Ford F-150

Марк Урбано Автомобиль и водитель

Максимумы: Мощная шестерка с турбонаддувом и бесшовная 10-скоростная, привлекательная как внутри, так и снаружи.
Минусы: Двухточечный разброс в деталях, смещение не так сильно влияет на потребление, как мощность.
Вердикт: Отличный грузовик, который может превзойти только выдающийся.

Ford убедить покупателей грузовиков в том, что двигатель V-6, даже с турбинами, свисающими с боков, является подходящей заменой V-8, было бы почти столь же удивительным достижением, как любой из этих брендов, завоевавший лидирующие позиции по продажам у других. Но, особенно в этой высокопроизводительной спецификации, двигатель впечатляет. Хотя его низкочастотный отклик не такой энергичный, как у осьминога Chevy, его грубая сила избавляет от беспокойства о слияниях шоссе, даже с тремя тоннами прицепа для поездки.

Единственным серийным грузовиком, который мы когда-либо тестировали, который обогнал этот F-150, был старый Dodge Ram SRT-10, и это был грузовик с коротким кузовом со стандартной кабиной и Viper V-10.Примечательно, что кабина экипажа с кожаной подкладкой и двигателем V-6 поражает это звание — и разгоняется до 13,7 на скорости 102 мили в час на четверть мили. Хотя приглушенный звук выхлопной трубы шестерки не такой волнующий, как этот старый двигатель Viper или любая из восьмерок на других протестированных здесь грузовиках, как заметил Тингволл, «я бы с радостью променял характер двигателя на производительность в таком утилитарном приложении, как это.» Кроме того, компания Ford лучше справилась с калибровкой 10-ступенчатой ​​коробки передач, разработанной совместно Ford и GM.Сильверадо часто требовало двух отдельных переключений с колебаниями между ними, чтобы найти правильную передачу, как если бы он не хотел полностью переключаться. Чаще всего Ford находил нужное передаточное число с первой попытки.

Ford F-150 Limited — самый быстроходный, самый мощный и самый дорогой грузовик в этой группе быстрых, мощных и дорогих грузовиков. Но он едва не попадает в нашу награду за лучший роскошный грузовик.

Марк Урбано Автомобиль и водитель

Вы могли бы потратить недели, пытаясь угадать разницу в качестве езды между Ford и Ram, так как оба имеют похвально шикарные характеристики с подключенными прицепами и без них.Неровности исчезают за один цикл хорошо демпфированной подвески, и нет никакой структурной дрожи, от которой страдает Silverado. Тем не менее, мы были еще больше поражены поездкой на F-150 с меньшими колесами, и мы бы выбрали более скромные диски, чем 22, если бы это были наши собственные деньги. Но мы все согласились с тем, что после подключения игрушечных самосвалов Ram стал более плавным и управляемым, чем Ford.

Марк Урбано Автомобиль и водитель

Даже через четыре года интерьер этого грузовика выглядит великолепно, с богатыми деталями, такими как металлическая штриховка вокруг вентиляционных отверстий, панели из натурального ясеня за дверными ручками, которые выглядят так, как будто они были получены от Гибсона. фабрика гитары, и потрепанная и крапчатая кожа на спинках сидений.Компоновка вторичного управления Ford проста для понимания и использования, а массажные сиденья приветствовались спинами, которые были измучены поездкой на Silverado. Но, в конце концов, нас немного склонили к Team Ram из-за великолепной внутренней отделки бывшего Dodge и более сдержанного маневренного поведения.

1 место:
Ram 1500

Марк Урбано Автомобиль и водитель

Максимум: Интерьер предполагает связь с Daimler, бархатистый ход, рев Hemi.
Минусы: Финишировал последним во всех тестах производительности, здесь самый тяжелый с большим отрывом.
Вердикт: Буксир и баржа в одном лице; готов буксировать ваш, э-э, буксир или баржу для вечеринок.

Это небольшое клише — сказать о буксирующем автомобиле, что вы даже не чувствуете прицеп, но мы были шокированы тем, насколько буквально это верно для Ram. При смене полосы движения сзади возникает небольшая лень, но в остальном легко забыть, что рывок, который вас преследует, на самом деле является автомобилем, который вы прикрепили к заднему бамперу.Пневматические рессоры накачиваются, чтобы поддерживать дорожный просвет, поездка остается такой же невозмутимой, как и в порожнем грузовике, а километры исчезают, ну, не в памяти, потому что в них нет ничего запоминающегося, кроме того, насколько они ничем не примечательны. Это выдающаяся буксирная установка. Доказательство: единственная жалоба, с которой любой из нас мог придумать относительно его поведения при буксировке, заключалась в том, что в указателях поворота нет функции шести миганий одним касанием в режиме буксировки.

Даже такое маленькое упущение вызывает удивление, потому что Ram, несомненно, является самым продуманным из существующих полноразмерных звукоснимателей.Для начала, это выглядит так, как будто внутри взорвался Mercedes-Benz S-класса. Здесь он больше похож на S-класс, чем даже на E-класс, особенно в комбинации темно-синий / кремовый (Indigo / Frost per Ram), которую носил этот грузовик. Металлическая отделка Limited с никелевым покрытием и полосатое черное дерево означают, что даже стандартный черный интерьер достаточно красив, но недорогой двухцветный вариант с контрастной строчкой и окантовкой кажется оторванным от страниц руководства по заказу люксовых брендов. На поручнях на передней стойке есть даже маленькие сшитые кожаные корсеты, и один сотрудник сравнил филигрань, вшитую в дверные панели и сиденья, с татуировками на пояснице.Кстати о Mercedes, знаете ли вы, что указанные татуировки по-немецки обозначают Arschgeweih ? Это переводится как «рога задницы».

Может показаться глупым хвалить пикап, даже такой же роскошный, как Ram Limited, за размер его информационно-развлекательного экрана. Но спросите себя: если у моего пикапа есть экран, я бы хотел, чтобы он был маленьким или большим?

Марк Урбано Автомобиль и водитель

Штатным технофилам понравилось, что огромный 12-дюймовый сенсорный экран можно разделить на две части, например, чтобы показать Apple CarPlay сверху и навигацию снизу.И всех поразила аудиосистема Harman / Kardon с 19 динамиками, особенно динамики из матового металла, встроенные над головами пассажиров задних сидений. В то время как огромный двухрядный люк на крыше Ram, как и у Ford, сокращает пространство над головой для самых высоких задних пассажиров, задние сиденья Ram сдвигаются и откидываются, позволяя пассажирам выбирать свой приоритет: пространство для головы или ног.

Марк Урбано Автомобиль и водитель

Ram не лишен недостатков.В его конструкции также используется немного алюминия — задняя дверь, подушки двигателя, рулевой механизм, нижние передние рычаги управления (верхние части составные) и поперечина трансмиссии — но при весе 6102 фунта он на 500 и 600 фунтов соответственно тяжелее Ford и Chevy. Добавьте к этому самый слабый (но лучше всего звучащий) движок из всех, и он будет медленным. FCA утверждает, что система eTorque за 1450 долларов хороша для кратковременного увеличения крутящего момента до 130 фунт-футов, но ни сиденье наших штанов, ни наш секундомер не могут этого подтвердить.Ram не только медленный, но и его педаль тормоза, по словам Тингволла, «мягче, чем живот 23-фунтовой кошки». И он бы знал. Когда его полосатый скутер ложится — так всегда — она ​​выглядит как лужа кошки с плавающей в ней головой.

Ram, с другой стороны, представляет собой липкую лужу роскошного седана с буксирным устройством, торчащим из заднего бампера. Это игрушечный тягач, который сам по себе является игрушкой. Это наш новый любимый полноразмерный пикап. И это стоит своих денег.

---

Этот контент создается и поддерживается третьей стороной и импортируется на эту страницу, чтобы помочь пользователям указать свои адреса электронной почты.Вы можете найти больше информации об этом и подобном контенте на сайте piano.io.

7.4.7. Как мы можем проводить множественные сравнения?

7. Сравнение продуктов и процессов 7,4. Сравнения на основе данных более чем двух процессов 7.4.7. Как мы можем проводить множественные сравнения?
Что делать после отказа от равенства средств	При сравнении процессов и нулевой гипотезе равенства (или однородность) отвергается, все, что мы знаем в этот момент, это то, что между ними нет равенства.Но мы не знаем формы неравенства.
Типичные вопросы	Вопросы относительно причины отклонения нулевого гипотезы возникают в виде: «Какие значения или пропорции отличаются от стандартных или друг от друга?» «Отличается ли средство обработки 1 от средства лечения лечение 2? » «Отличается ли среднее значение обработок 1 и 2 от среднее количество процедур 3 и 4? »
Требуются процедуры множественного сравнения	Один популярный способ исследовать причину отказа от null гипотеза — процедура множественного сравнения . Это методы, которые исследуют или сравнивают более одной пары средств или пропорции при этом. Примечание : Попарное сравнение процедуры снова и снова для всех возможных пар не будут, в Общая работа. Это потому, что общий уровень значимости не как указано для сравнения одной пары.
Тест ANOVA F — предварительный тест	ANOVA использует F-тест, чтобы определить, существует ли значительная разница между лечебными средствами или взаимодействиями.В в этом смысле это предварительный тест, который сообщает нам, должны ли мы продолжить исследование имеющихся данных. Если нулевая гипотеза (нет различий между видами лечения или взаимодействия) принимается, подразумевается, что нет связи существует между уровнями факторов и реакцией. Нет мы можем многому научиться, и мы закончили анализ. Когда F-тест отвергает нулевую гипотезу, мы обычно хотим провести тщательный анализ природы факторного уровня эффекты.
Процедуры изучения эффектов на уровне факторов	Ранее мы обсудили несколько процедур для изучения конкретных эффекты на уровне факторов. Это были
Определите контрасты до наблюдения за результатами экспериментов.	Эти типы исследований должны проводиться на комбинациях факторы, которые были определены до наблюдения результаты экспериментов, или же уровни достоверности не такие в соответствии с процедурой.Кроме того, выполнение нескольких сравнений может изменить общий уровень достоверности (см. примечание выше). Этого можно избежать, тщательно подбирая контрасты для заранее изучите и убедитесь, что: количество таких контрастов не превышает количества степени свободы между процедурами Только выбраны ортогональные контрасты. Однако есть также несколько мощных множественных сравнений. процедуры, которые мы можем использовать после наблюдения экспериментальных результатов.
	Испытания средств после экспериментов
Процедуры выполнения множественных сравнений	Если решение о том, какие сравнения проводить, будет отложено до данные проверяются, могут использоваться следующие процедуры: Метод Тьюки для проверки всех возможные попарные различия средств для определения по крайней мере одно различие существенно отличается от 0. Метод Шеффе для проверки все возможные контрасты одновременно, чтобы увидеть, есть ли хотя бы один существенно отличается от 0. Метод Бонферрони для проверки, или поставить одновременные доверительные интервалы вокруг, предварительно выбранная группа контрастов
	Множественные сравнения пропорций
Процедура определения пропорции дефектных данных	Когда мы имеем дело с долей населения дефектные данные, Marascuilo процедура может использоваться для одновременного изучения сравнений между всеми группами после данные были собраны.

Тестирование анализа множественных сравнений в ANOVA

Использование тестов для анализа множественных сравнений

После завершения теста дисперсионного анализа (ANOVA) исследователю все еще может потребоваться понимание различий в подгруппах между различными экспериментальными и контрольными группами. Различия в подгруппах называются «попарными» различиями. ANOVA не предоставляет тестов на парные различия. Когда исследователю необходимо проверить попарные различия, необходимы дополнительные тесты, называемые апостериорными тестами .

Результат

ANOVA не обеспечивает никакого анализа попарных различий, так как же исследователь должен исследовать различия между различными подгруппами, протестированными с помощью ANOVA? Первый подход, который приходит на ум, — выполнить ряд t-тестов между каждой из интересующих пар. Это не лучший подход по двум причинам: во-первых, повторные статистические тесты на одних и тех же данных — что и происходит при выполнении t-тестов для каждой интересующей пары — вызывает альфа-инфляцию (1). Во-вторых, результаты все равно нельзя будет интерпретировать, потому что отдельные t-тесты могут исследовать только две группы одновременно.Каждая из подгрупп в ANOVA имеет собственное среднее значение. Общее количество средних (то есть количество средних, по одному для каждой экспериментальной и контрольной групп) исключается из анализа, когда повторные t-тесты используются для изучения попарных различий с помощью дисперсионного анализа. Игнорирование того факта, что в ANOVA гораздо больше средних значений подгрупп, искусственно увеличит количество значимых попарных различий, и, что еще хуже, индивидуальная попарная t-статистика будет больше, когда некоторые подгруппы будут исключены из апостериорного тестирования .Следовательно, использование t-критериев для изучения попарных различий может привести к переоценке размера отдельных t-критериев. Это означает, что сумма t-значений из всех парных t-критериев часто будет превышать значение t-статистики, полученной с помощью одной из статистик анализа множественных сравнений (2). В результате выполнение нескольких t-тестов приведет исследователя к более высокой вероятности совершения ошибки типа I. То есть исследователь с гораздо большей вероятностью сообщит о существенных различиях между некоторыми парами, которые не имеют реальной разницы (1).

Выполнение нескольких попарных t-тестов приводит к другой проблеме. Исследователь может пожелать проверить различия между одной или несколькими исследовательскими группами и набором объединенных исследовательских групп. Парные t-тесты не могут выполнять такой анализ. Однако существует набор многомерной статистики, которая преодолевает все ограничения подхода попарного t-критерия. Эта категория статистики называется анализ множественных сравнений . Одну из статистических данных анализа множественного сравнения следует использовать для изучения парных и подгрупповых различий после того, как полный ANOVA обнаружит значимость.Ключевые тесты парных различий включают: Бонферрони, Шеффи, Тьюки, Ньюман-Кеулс и Даннетт.

Каждый из тестов анализа множественных сравнений (MCA) имеет свои сильные стороны и ограничения. Некоторые будут автоматически проверять все попарные сравнения, другие позволяют исследователю ограничить тесты только парами или подгруппами, представляющими интерес. Каждый подход имеет значение для альфа-инфляции и для того, какие ответы исследователь может получить в результате теста. Следовательно, выбор статистики MCA, как и любой выбор статистики для использования (3), должен основываться на конкретных вопросах исследования.Например, исследователь может иметь одну экспериментальную группу, представляющую особый интерес, которую следует сравнивать отдельно с каждой из контрольных групп. В качестве альтернативы исследователь может захотеть сравнить одну экспериментальную группу с комбинацией всех контрольных групп, или только с некоторыми из контрольных групп, или даже с одной или несколькими другими экспериментальными группами.

В исследованиях встречается множество различных ситуаций, которые могут повлиять на выбор теста множественного сравнения (3).Например, группы могут иметь неравные размеры выборки. Один тест для анализа множественных сравнений был специально разработан для работы с неравными группами. Мощность может быть проблемой в исследовании, и некоторые тесты имеют большую мощность, чем другие. Тесты всех сравнений будут важны в некоторых исследованиях, в то время как другие исследования требуют тестирования только заранее определенных комбинаций экспериментальных или контрольных групп. Когда особые обстоятельства влияют на требуемый конкретный попарный анализ, выбор теста для анализа множественных сравнений должен контролироваться способностью конкретной статистики отвечать на интересующие вопросы и типом данных, которые необходимо проанализировать.

Категории контрастов

Контраст — это проверка разницы между средними значениями двух групп из ANOVA. Среди групп, протестированных с помощью ANOVA, есть две категории контрастов: простые и сложные. Простой контраст — это проверка различия между любыми двумя парами, например, Экспериментальная группа 1 и Контрольная группа 2 . Комплексный контраст — это проверка разницы между комбинациями групп. Примером сложного контраста является тест различия между подгруппой, созданной путем объединения экспериментальных групп 1, 2 и 4 , объединенных , и подгруппы, созданной путем объединения контрольных групп 1, и 3. Цель ANOVA — либо проверить теорию, либо генерировать теорию, и анализ множественных сравнений может использоваться для поддержки любой цели.

Тесты для сравнения пар

Метод Тьюки

Метод множественного сравнения Тьюки сравнивает каждую экспериментальную группу с каждой контрольной группой. Метод Тьюки предпочтительнее, если есть неравные размеры групп между экспериментальной и контрольной группами. В методе Тьюки сначала проверяется наибольшее попарное различие.Тьюки использует статистику « q» , чтобы определить, являются ли групповые различия статистически значимыми. Статистический показатель « q » получается путем вычитания наименьшего из наибольшего среднего и деления этого произведения на общую групповую стандартную ошибку среднего (4). Общая групповая стандартная ошибка среднего, деленного на размер выборки, известна как средний квадрат в пределах (MS _w ) и является сатистической, обеспечиваемой выходными данными ANOVA практически во всех программах статистического анализа (5).Значение q можно сравнить со значениями в таблице q-значений , чтобы определить, превышает ли q-значение из конкретной пары критическое q-значение , необходимое для достижения статистической значимости. Если значение q соответствует критическому значению или превышает его, разница этой пары статистически значима.

Примечание: обычно используются односторонние тесты, потому что средние по группе уже известны из ANOVA.

Если разница в средних для первой пары была значительной (что будет иметь место, если общий ANOVA был значительным), проверяется следующая пара.Попарные тесты продолжаются до тех пор, пока полученное значение q не станет значимым. Никаких других проверять не нужно, потому что они не будут значительными. Тьюки использует довольно консервативную оценку альфы. Он проверяет все контрасты как семью и, следовательно, имеет немного меньше возможностей для поиска различий между парами. В этом контексте семейство относится к частоте ошибок в семье (6). Этот термин указывает на вероятность совершения ошибки типа I и, следовательно, ложного открытия. Тесты семейства снижают вероятность ложного утверждения о значимости (6) и должны использоваться, когда последствия ложного сообщения о значительном различии больше, чем последствия отсутствия различия.Семейные тесты обеспечивают большую уверенность в результатах, потому что такие тесты дают мало ошибок типа I (5,7).

Примером правильного использования статистики Тьюки является исследование, в котором для лечения инфекций, вызываемых Staphyloccus Aureus (MRSA), использовались четыре различных антибиотика. Предположим, что контрольная группа лечится только ванкомицином, стандартным лечебным препаратом, и что три новых антибиотика составляют три экспериментальные группы. Вполне вероятно, что размеры групп могут быть разными, и это одна из причин использовать Tukey.Однако наиболее важной причиной использования Tukey является то, что ошибка типа I вызывает большее беспокойство, чем ошибка типа II. Причина в том, что ошибка типа I означает, что исследователь приходит к выводу, что один или несколько экспериментальных препаратов более эффективны, чем ванкомицин. Если правда в том, что ванкомицин не менее или более эффективен, чем экспериментальные препараты, эта ошибка типа I имеет гораздо более серьезные последствия, чем ошибка типа II. В этом примере ошибка типа I побудила бы врачей использовать менее эффективное экспериментальное лекарство, которое также, вероятно, будет стоить намного дороже, чем ванкомицин.Результатом будет больше смертей и более высокая стоимость лечения. Однако при нанесении ошибки типа II протоколы лечения остаются неизменными. Таким образом, консервативная альфа Тьюки может привести к большему количеству ошибок типа II, но поможет исследователю избежать ошибки типа I.

Преимущества метода Тьюки заключаются в том, что он проверяет все попарные различия, прост в вычислении и снижает вероятность ошибки типа I. Он также устойчив в отношении неравных размеров групповых выборок. Его главные недостатки заключаются в том, что он менее мощный, чем некоторые другие тесты, и не предназначен для тестирования сложных сравнений.

Метод Ньюмана-Кеулса

Метод Ньюмана-Кеулса очень похож на тест Тьюки, за исключением того, что он рассматривает отдельно альфа каждого из возможных контрастов. Таким образом, это не тест на семейные контрасты. В конечном счете, это более мощный тест, чем тест Тьюки, поскольку он выполняет больше парных сравнений. Таким образом, более вероятно, что некоторые различия будут статистически значимыми. Первоначально он выполняет те же парные сравнения, что и тест Тьюки.Для тех первых сравнений он имеет ту же мощность, что и Tukey. Однако затем он запускает тесты каждого из средних значений группы относительно общего среднего. Цена этой повышенной мощности состоит в том, что она гораздо более подвержена ошибкам типа I. Следует отметить, что критическое значение, используемое для Newman-Keuls, уменьшается с каждым последующим тестом, тогда как Tukey использует одно и то же критическое значение для всех тестов. Вот как Тьюки сохраняет альфу, в то время как метод Ньюмана-Кеулса расходует альфу в поиске статистически значимых контрастов.

Эту статистику следует использовать в исследованиях, для которых важны относительно небольшие попарные различия. Примеры такого рода исследований включают практически любые исследования очень новых и малоизученных явлений. Например, когда эпидемия ВИЧ была новой и не существовало лекарств для лечения инфекции, даже незначительные различия между лекарственными препаратами были важны. Поскольку лекарств для лечения инфекции не было, важно было принять лекарство, которое могло бы продлить жизнь. С его большей мощностью статистика Ньюмана-Кеулса будет более подходящей для использования, чем менее мощный тест, такой как Тьюки.Кроме того, в этом примере ошибка типа I не так опасна, как отказ от эффективного лекарства от неизбежно смертельной болезни, когда нет альтернативного лечения. История лечения смертельных заболеваний, таких как рак и СПИД, показывает, что большинство людей предпочли бы рискнуть с лекарством, которое может не помочь или причинить вред, чем вообще ничего не делать.

Таким образом, статистика Ньюмана Кеулса подходит для исследований, в которых важно найти даже очень небольшие различия и где последствия ошибки типа II хуже, чем последствия ошибки типа I.Это делает его полезным инструментом для новых областей науки, в которых мало что известно об интересующих нас явлениях. Это классическая ситуация исследования развития теории. Другие статистические данные следует использовать для более развитых областей исследований, а также в тех случаях, когда различия должны быть относительно большими, чтобы сделать новый метод лечения лучше существующего. Newman Keuls следует использовать в исследованиях, которые производят равный размер группы.

Тесты для сравнения нескольких групп

Тесты Тьюки и Ньюмана-Кеулса предназначены для проверки простых сравнений.Когда исследователь должен протестировать подгруппы, состоящие из комбинаций экспериментальных и контрольных групп, следует использовать другие статистические данные, которые могут проверить сложные сравнения. Наиболее часто используемые статистические данные в этой категории — это статистика Шеффи, Бонферрони и Даннета.

Метод Шеффи

Метод Шеффи проверяет все возможные контрасты, простые и сложные. Если заранее известно, что все контрасты будут проверены, метод Шеффи немного мощнее всех двух других методов.Если нужно тестировать только выбранные контрасты, лучше использовать другой тест, называемый тестом множественного анализа Бонферрони. Таким образом, тест Шеффи, как и тест Тьюки, является более подходящим тестом для использования, когда предсказанные различия невелики, а последствия ошибки типа II перевешивают последствия ошибки типа I. Тест Шеффи предполагает равные по размеру экспериментальные и контрольные группы в ANOVA.

Когда теория, предсказывающая групповые различия, которые исследователь ожидает найти, недостаточно хорошо разработана или проверена, предпочтение отдается методу Шеффи, поскольку он проверяет все возможные сравнения.В ситуациях, когда нет достаточных предварительных исследований для проверки теории, объясняющей результаты ANOVA, необходим более исследовательский анализ данных для апостериорных тестов . Scheffee — хорошая исследовательская статистика, потому что она проверяет все возможные сравнения. В результате это позволяет исследователю наблюдать, какие группы или комбинации групп дали значительную разницу, обнаруженную в исходном тесте ANOVA. Это один из методов исследовательского анализа данных, который представляет собой стратегию для обнаружения ранее неизвестных различий между исследовательскими группами или для определения того, могут ли быть поддержаны гипотезы, основанные на очень ограниченной теории.

Если теория хорошо развита, Шеффи также может быть хорошим выбором. Хорошо разработанная теория должна предсказывать различия для всех групп и комбинаций групп. Учитывая, что Шеффи проверяет все возможные различия, это хорошая проверка множества положений хорошо разработанной теории. Несмотря на то, что он анализирует все возможные сравнения, Scheffee ограничивает проблему альфа-инфляции, как и все многомерные анализы. Используя Шеффи как статистику проверки теории, теория подтверждается, когда Шеффи обнаруживает различия, предсказанные теорией.Когда теория предсказывает отсутствие различий между другими группами, Шеффи подтверждает теорию, когда не находит существенных различий между этими группами. Тест Шеффи идеально подходит для проверки хорошо разработанной теории, потому что при минимальной альфа-инфляции он проверяет все возможные попарные различия, включая комбинации пар.

Тест Шеффи также является хорошим инструментом, когда теория недостаточно развита, чтобы с уверенностью предсказать, какие пары и комбинации пар будут существенно отличаться.Общий ANOVA может дать значимый F-тест, даже если две или более групп в рамках анализа существенно не различаются. Часто бывает важно выяснить, какие именно групповые различия привели к значимому F-критерию. В этой ситуации, чтобы обнаружить, какие группы в рамках ANOVA существенно различались, исследователь должен выполнить несколько сравнительных анализов. Например, предположим, что четыре разных антибиотика были протестированы на уровень смертности среди пациентов с некротическим фасциитом.Все, что можно определить с помощью ANOVA, — это наличие значительных различий между уровнями смертности в группах. Он не может определить, какое лекарство вызвало самый низкий уровень смертности, или были ли два или три препарата эквивалентными по эффективности, а одно — неэффективным. Эту подробную информацию о каждом лекарстве предоставляет метод Шеффи.

Тест Шеффи позволяет исследователю провести исследование генерации теории, проверяя все возможные контрасты, чтобы обнаружить, какие из них значительны. Подобные исследования помогают исследователю делать неожиданные выводы из существующих данных и являются частью науки о открытиях в области исследовательского анализа данных.Можно обнаружить ранее неизвестные различия, и исследователь создает новую теорию, разрабатывая объяснение, объясняющее наблюдаемые различия. Теория, созданная с помощью этого метода, должна быть проверена в последующих исследованиях, специально разработанных для проверки новой теории. Это важно, потому что вероятность обнаружения ложных взаимосвязей выше при исследовательском анализе данных, чем в процедурах теоретического тестирования (т.е. ошибки 1-го типа с большей вероятностью будут существовать в этом виде исследований, и обнаруженные различия должны быть подтверждены в последующих исследованиях).

Последующие исследования, проверяющие контрасты конкретных подгрупп, обнаруженные с помощью метода Шеффи, должны использовать метод Бонферрони, который больше подходит для исследований по проверке теории. Метод Бонферрони менее подвержен ошибкам типа I, чем метод Шеффи.

Метод Бонферрони (Данна)

Как и метод Тьюки, метод множественных сравнений Бонферрони представляет собой метод сравнения контрастов семейства , поэтому он не увеличивает альфа до такой степени, как другие типы анализа множественных сравнений (например, метод Ньюмана-Кеулса).Кроме того, как и метод Шеффи, метод Бонферрони может проверять сложные пары. Однако статистика Бонферрони не является инструментом для исследовательского анализа данных. Это требует от исследователя заранее указать все контрасты, которые необходимо протестировать. Исследователь должен иметь достаточную теорию об интересующих явлениях, чтобы знать, какие контрасты указать. В результате это лучший тест для подтверждения теории о результатах экспериментальной группы, чем исследовательские методы, такие как Шеффи.Поскольку Бонферрони ограничивает количество тестов теми, которые заранее указаны исследователем, это снижает проблему альфа-инфляции. Большим преимуществом метода Бонферрони является то, что он снижает вероятность ошибки типа I за счет ограничений на альфа-инфляцию. Однако он не может делать случайных открытий и, следовательно, предоставляет меньше информации о различиях между группами, потому что не все различия проверяются.

Метод Даннета

Метод Даннета полезен для тестирования планов контрольных групп.Это особенно мощная статистика, и поэтому она может обнаруживать относительно небольшие, но существенные различия между группами или комбинациями групп. Метод Даннета весьма полезен, когда исследователь хочет протестировать две или более экспериментальных группы против одной контрольной группы. Он сравнивает среднее значение каждой экспериментальной группы со средним значением контрольной группы. Другие методы проверяют каждую исследуемую группу по общему среднему значению по группе (то есть к общему среднему). Это различие в подходе к тестированию делает метод Даннета гораздо более вероятным для обнаружения значительного различия, поскольку общее среднее включает все средние значения группы и, таким образом, математически оно менее экстремально, чем средние значения отдельной группы.Более экстремальные групповые средние будут давать большие средние различия, чем тесты, сравнивающие одно групповое среднее с общим средним. Можно указать метод Бонферрони для тестирования только экспериментальных групп по сравнению с единственной контрольной группой, но, учитывая, что он сравнивает средние значения исследуемых групп с общим средним, он имеет меньшую мощность, чем метод Даннета.

Сводка

Существует множество апостериорных тестов , доступных для дальнейшего объяснения групповых различий, которые влияют на значимость в тесте ANOVA.У каждого теста есть определенные области применения, преимущества и недостатки (Таблица 1). Поэтому важно выбрать тест, который лучше всего соответствует данным, видам информации о групповых сравнениях и необходимой мощности анализа. Также важно выбрать тест, который соответствует исследовательской ситуации с точки зрения создания теории по сравнению с проверкой теории. Последствия плохого выбора тестов обычно связаны с ошибками 1-го типа, но могут также включать неспособность обнаружить важные различия между группами.Тесты для анализа множественных сравнений чрезвычайно важны, потому что, хотя ANOVA предоставляет много информации, он не дает подробной информации о различиях между конкретными исследовательскими группами и не может предоставить информацию о сложных сравнениях. Вторичный анализ с помощью этих апостериорных тестов может предоставить исследователю наиболее важные результаты исследования.

Возможный конфликт интересов

Не объявлено.

Таблица 1.Сравнение различных статистических данных анализа множественных сравнений.

.