Теорема Пифагора — формула, доказательство, задачи

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

a² + b² = c²,

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

• a = √c² − b²
• b = √c² − a²
• c = √a² + b²

Запоминаем

в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы.

 

Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:

• если c² < a² + b² , значит угол, обращенный к стороне c, является острым.
• если c² = a² + b² , значит угол, обращенный к стороне c, является прямым.
• если c² > a² +b² , значит угол, обращенный к стороне c, является тупым.

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a² + b² = c².

Пошаговое доказательство:

• Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
• Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:

∠ACB =∠CHA = 90º,

∠A — общий.

• Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

∠ACB =∠CHB = 90º,

∠B — общий.

• Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

• Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.

• Значит a² = c * HB, b² = c * AH.
• Сложим полученные равенства:

a² + b² = c * HB + c * AH

a² + b² = c * (HB + AH)

a² + b² = c * AB

a² + b² = c * c

a² + b² = c²

Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

• Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
• Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.

• Проведём отрезок A₁B₁.
• Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.

• В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁² = A₁C₁² + B₁C₁².
• Таким образом получится:

• Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

1. C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
2. A₁B₁ = AB по доказанному результату.

• Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
• Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

значит c² = a² + b² = 6² + 10² = 36 + 100 = 136

Ответ: 11,7.

Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?

Как решаем:

• Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

11² = 8² + 9²

121 ≠ 146

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

---

---

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до теоремы Пифагора — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

 

формула, доказательство и примеры решений

Содержание:

Формула теоремы Пифагора

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов (рис. 1):

Доказательство теоремы Пифагора

Пусть треугольник $A B C$ — прямоугольный треугольник с
прямым углом $C$ (рис.{2}$ было известно уже египтянам ещё около
2300 г. до н.э. По мнению ученого, строители строили тогда прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного
прямоугольного треугольника.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является
единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным
значением теоремы для геометрии.

Теорема Пифагора: формула, доказательство. Обратная теорема

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если   ∠A = 90°, то   a² + b² = c².

Доказательство:

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами  a,  b  и гипотенузой  c:

Достроим этот треугольник до квадрата со стороной  a + b:

Площадь данного квадрата  S  будет равна  (a + b)²:

S = (a + b)².

С другой стороны, площадь этого квадрата состоит из четырёх одинаковых треугольник, площадь каждого из которых равна половине произведения их катетов  (ab : 2),  и квадрата со стороной  c,  поэтому:

S = (a + b)²

или

S = 4 · (	ab	)  + c2 = 2ab + c2
	2

Таким образом:

(a + b)² = 2ab + c².

Так квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(a + b)² = a² + 2ab + b²,

то для того, чтобы наше равенство было верным  c²  должен быть равен  a² + b².  Таким образом,

(a + b)² = 2ab + c²,   где   c² = a² + b².

Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора

Обратная теорема Пифагора:

Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.

Если  a² + b² = c²,  то треугольник  ABC  — прямоугольный.

Доказательство:

Возьмём треугольник  ABC  со сторонами  a,  b  и  c,  у которого  c² = a² + b².  Докажем, что  ∠A = 90°:

Рассмотрим прямоугольный треугольник  A₁B₁C₁  с прямым углом  A₁,  у которого  A₁B₁ = a   и   A₁C₁ = b:

По теореме Пифагора:

B₁C₁² =  A₁B₁² +  A₁C₁².

Значит  B₁C₁² = a² + b².  Но  a² + b² = c²  по условию теоремы. Следовательно  B₁C₁² = c²,  откуда можно сделать вывод  B₁C₁ = c.

Треугольники  ABC  и  A₁B₁C₁  равны по трём сторонам, поэтому  ∠A = ∠A₁ = 90°,  то есть треугольник  ABC  является прямоугольным. Теорема доказана.

формула и доказательство / Блог / Справочник :: Бингоскул

Теорема Пифагора гласит:

 

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a² + b² = c²,

где

• a и b – катеты, образующие прямой угол.{2}

   

  Ч.т.д.

  Обратная теорема Пифагора:

  Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. То есть для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что

  a² + b² = c²,

  существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

  ---

   

  Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Доказана она ученым математиком и философом Пифагором.

   

  Значение теоремы в том, что с ее помощью можно доказать другие теоремы и решать задачи.

  ---

   

  Дополнительный материал: Теорема о сумме углов треугольника

  Смотри также: Основные формулы по математике

  Теорема Пифагора и её связь с тремя формулами

  Теорема Пифагора и её связь с тремя формулами. В одной из статей мы рассматривали взаимосвязь теоремы Пифагора и теоремы косинусов. Здесь хочу вам рассказать о нескольких формулах, в основе которых лежит теорема Пифагора. Вся прелесть в том, что понимая это, нет необходимости учить представленные ниже формулы. Не раз слышал — мол, как это возможно выучить столько формул в математике?

  Ещё раз подчеркну, что выучить необходимо только четверть всех формул или даже меньше. Остальные можно быстро вспомнить или восстановить в памяти, если вы поняли их смысл и понимаете логические связи этих формул с другими.  Итак, сама теорема Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник:

  ТЕОРЕМА! Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

  Для того, чтобы найти гипотенузу АВ, необходимо извлечь корень из правой и левой части, получим:

  То есть, гипотенуза равна корню квадратному из суммы квадратов катетов. В курсе математики решается очень много задач, где применяется теорема Пифагора и всем школьникам данные преобразования хорошо известны. Разумеется, необходимо быстро уметь выразить любой катет из формулы, но сейчас речь не о них. Теперь рассмотрим формулы:

  Длинна отрезка на координатной плоскости

  Формула для определения длины отрезка, когда известны координаты его концов:

  Как вы видите, длина отрезка — это не что иное, как длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике с катетами равными  х_В – х_А  и   у_В – у_А     

  Понимая смысл, вы без труда запишите формулу длины отрезка, какими бы буквами не были обозначены концы отрезка.

  Модуль вектора

  Модулем вектора называется его длина. Обозначается:

  Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца имеет вид:

  Как видим, длина вектора – это так же длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике, в данном случае с катетами равными  х_В – х_А   и   у_В – у_А.

   Радиус окружности, заданной на координатной плоскости.

  Пусть дана координатная плоскость и на ней построена окружность радиуса R. Центром окружности является точка А с координатами (х_А;у_А), точка В – это произвольная точка на окружности с координатами (х_В;у_В). Формула радиуса окружности имеет вид:

  То есть, радиус окружности также является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами равными х_В – х_А  и  у_В – у_А.

  Однозначно, учить формулы длины отрезка, длины вектора и радиуса окружности просто бессмысленно, их достаточно просто понимать. Конечно, многим представленная информация и данные факты хорошо известны, но всё же эта информация будет полезна.

  Как теорема Пифагора связана с основным тригонометрическим тождеством мы рассматривали в этой статье. На этом всё. Успехов вам! 

  С уважением, Александр Крутицких.

  P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

  Теорема Пифагора, формула и доказательство

  ТЕОРЕМА

  
  В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

  Геометрическая формулировка теоремы Пифагора

  В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (рис. 1).

  Доказательство теоремы Пифагора

  Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле

     

  С другой стороны для вычисления площади произвольного треугольника справедлива формула: . В этой формуле – полупериметр , а – радиус вписанной окружности и для прямоугольника он равен . Далее приравнивая правые части обеих формул для площади треугольника, получим

     

     

     

     

     

     

  Что и требовалось доказать.

  Примеры решения задач

  ПРИМЕР 1

  
  

  
  

  
  

  Задание	Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найти гипотенузу.
  Решение	Обозначим катеты см и см, а гипотенузу – . По теореме Пифагора гипотенуза будет равна     Подставляя длины катетов, получим (см)
  Ответ	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см

  ПРИМЕР 2

  
  

  
  

  
  

  Задание	Диагональ прямоугольника равна 5 см, а одна из его сторон – 3 см. Найти вторую сторону прямоугольника.
  Решение	Сделаем рисунок (рис. 2). Обозначим см, см. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Запишем для него теорему Пифагора:     Выразим из последнего равенства неизвестную сторону :     Подставляя известные значения сторон, получим             (см)
  Ответ	Вторая сторона прямоугольника равна 4 см

  Теорема Пифагора.2\), то это тупоугольный треугольник, т. е. угол, обращенный к стороне c, является тупым углом.

 

 

Немного истории

Теорема Пифагора была одной из самых ранних теорем, известных древним цивилизациям. Эта знаменитая теорема названа в честь греческого математика и философа Пифагора. Пифагор основал математическую школу Пифагора в Кортоне, греческом морском порту на юге Италии. Ему приписывают много вкладов в математике, хотя некоторые из них, возможно, на самом деле были работой его студентов.

Теорема Пифагора является самым известным математическим вкладом Пифагора. Согласно легенде, Пифагор был так счастлив, когда открыл теорему, что предложил жертву волов. Позднее открытие, что квадратный корень из 2 является иррациональным и, следовательно, не может быть выражено как отношение двух целых чисел, сильно беспокоило Пифагор и его последователи. Они были набожны в своем убеждении, что любые две длины являются целыми кратными некоторой единичной длине. Многие были предприняты попытки подавить знание о том, что квадратный корень из 2 иррационален. Говорят даже, что человек, разглашавший тайну, утонул в море.

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Калькулятор теорем Пифагора

Этот калькулятор теорем Пифагора вычислит длину любой из недостающих сторон прямоугольного треугольника, если вам известны длины двух других его сторон. Это включает в себя расчет гипотенузы. Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, противоположная прямому углу, и самая длинная сторона. Эту сторону можно найти с помощью формулы гипотенузы, другого термина теоремы Пифагора, когда она решает гипотенузу. Напомним, что прямоугольный треугольник — это треугольник с углом в 90 градусов.Два других угла также должны составлять 90 градусов, так как сумма углов любого треугольника равна 180. Продолжайте читать, чтобы ответить «что такое теорема Пифагора и как она используется?»

Что такое теорема Пифагора?

Теорема Пифагора описывает, как три стороны прямоугольного треугольника связаны в евклидовой геометрии. В нем говорится, что сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Вы также можете думать об этой теореме как о формуле гипотенузы.Если стороны прямоугольного треугольника равны a и b , а гипотенуза равна c , формула будет

a² + b² = c²

Теорема была приписана древнегреческому философу и математику Пифагору, жившему в шестом веке до нашей эры. Хотя ранее она использовалась индейцами и вавилонянами, Пифагор (или его ученики) были первыми, кто доказал эту теорему. Следует отметить, что нет никаких конкретных доказательств того, что сам Пифагор работал над или доказал эту теорему.

Как использовать теорему Пифагора

1. Введите две длины, которые у вас есть в формуле. Например, предположим, что вы знаете a = 4 , b = 8 , и мы хотим найти длину гипотенузы c .
2. После ввода значений в формулу получаем 4² + 8² = c²
3. Возведите в квадрат каждый член, чтобы получить 16 + 64 = c²
4. Объедините похожие термины, чтобы получить 80 = c²
5. Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы получить c = 8.94 . Идите вперед и проверить его с нашей теоремой Пифагора калькулятор!

Обратите внимание, что если вы решаете для a или b , измените уравнение, чтобы изолировать желаемую переменную, прежде чем объединять аналогичные термины и извлекать квадратный корень

Калькулятор теорем Пифагора вычислит стороны так же, как мы показали выше. Мы включили метод, чтобы показать вам, как вы можете решить вашу проблему, если вы предпочитаете делать это вручную.

Что такое формула гипотенузы?

Формула гипотенузы просто берет теорему Пифагора и решает гипотенузу, c . Решая гипотенузу, мы просто извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения a² + b² = c² и решаем относительно c . При этом получаем c = √ (a² + b²) . Это просто расширение теоремы Пифагора и часто не связано с названием формула гипотенузы .

Другие соображения при работе с треугольниками

Обратите внимание, что стороны треугольника имеют определенный уклон или наклон.Мы можем использовать калькулятор уклона, чтобы определить уклон каждой стороны. В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, будут иметь уклон, произведение которых равно -1. Формула наклона, если вы хотите рассчитать вручную, —

.

(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Итак, если координаты (3,6) и (7,10) , наклон сегмента будет (10-6) / (7-3) = 1 . Если наклон другого сегмента, образующего угол, равен -1 , то линии будут перпендикулярными, поскольку 1 * -1 = -1 .Следовательно, треугольник — это прямоугольный треугольник.

Вы также можете вычислить недостающие длины сторон и углы прямоугольного треугольника с помощью калькулятора прямоугольного треугольника. Если углы, указанные в задаче, выражены в градусах, и вы хотите преобразовать их в радианы или радианы в градусы, воспользуйтесь нашим конвертером углов. Существует простой способ преобразовать градусы в радианы и радианы в градусы.

Если угол в радианах

1. Умножить на 180 / π

Если угол в градусах

1. Умножить на π / 180

Иногда вы можете столкнуться с проблемой, когда отсутствуют две или все три стороны.В таких случаях калькулятор теорем Пифагора не поможет — вы воспользуетесь тригонометрическими функциями, чтобы найти эти недостающие части. Это можно сделать вручную или с помощью нашего калькулятора треугольников.

Теорема Пифагора [видео] Формула, определение, примеры и доказательство

Теорема Пифагора — очень удобный способ найти длину любой одной стороны прямоугольного треугольника, если вы знаете длину двух других сторон.

Содержание

1. Что такое теорема Пифагора?
2. Формула теоремы Пифагора
3. Как пользоваться теоремой Пифагора

Теорема Пифагора с квадратными корнями

Задачи со словами по теореме Пифагора

Примеры теорем Пифагора

Пифагорейские тройки

Доказательство теоремы Пифагора

Что такое теорема Пифагора?

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольных треугольниках сумма квадратов двух катетов (a и b) равна квадрату гипотенузы (c).

История теорем Пифагора

Теорема Пифагора названа в честь греческого математика Пифагора и написана им. Пифагор произносится ( «пи-тхаг-э-рус», с коротким звуком «я» в его первом слоге; пи как в булавке), но теорема была описана во многих цивилизациях по всему миру. Теорема произносится как «пи-тхаг-у-ри-ун».

Теорема в геометрии — доказуемое утверждение. Теорема Пифагора была доказана очень давно.

Формула теоремы Пифагора

В любом прямоугольном треугольнике ABC самая длинная сторона — это гипотенуза, обычно обозначаемая буквой c и противоположная ∠C. Две ветви, a и b, противоположны ∠A и ∠B. ∠C — прямой угол, 90 °, а ∠A + ∠B = 90 ° (дополнительный).

Три стороны всегда поддерживают такое соотношение, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. По математике это выглядит так:

Как пользоваться теоремой Пифагора

Теорема Пифагора может использоваться, чтобы найти длину гипотенузы, если вам известны длины катетов a и b.

Решить относительно c

Предположим, у вас нога a = 5 сантиметров и b = 12 сантиметров:

Объяснение шагов теоремы Пифагора

Начнем с нашей формулы:

а2 + Ь2 = с2

Затем подставляем длину каждой ноги:

52 + 122 = c2

Умножаем каждое число на себя:

25 + 144 = c2

Затем прибавляем:

169 = c2

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей:

169 = c2

Итак, вы берете главный корень с обеих сторон и получаете:

13 = с

Решите относительно a или b

Вы можете знать длину гипотенузы и одного катета и по-прежнему пользоваться теоремой Пифагора.Предположим, вы знаете, что c = 40 футов, а короткая нога a = 24 фута.

Шаг за шагом

Наша формула:

а2 + Ь2 = с2

Сначала подключите то, что вы знаете:

242 + b2 = 402

Умножьте каждое число на само себя, затем добавьте:

576 + b2 = 1600

Затем вам нужно вычесть длину a2 с обеих сторон, чтобы выделить b2:

(576 — 576) + b2 = (1600 — 576)

С левой стороны остается только b2.

b2 = 1024

Теперь извлеките квадратный корень из обеих частей:

b2 = 1024

Возьмите главный корень с обеих сторон и получите:

б = 32

Проверяю ответ

Итак, наш прямоугольный треугольник имел катеты a = 24, b = 32 и гипотенузу c = 40. Если вы не верите своему ответу, вставьте все три числа обратно в теорему Пифагора:

242 + 322 = 402

Давайте проверим, складываются ли числа:

576 + 1024 = 1600

Все проверено; мы были правы! И наши числа были хорошими, целыми числами, что облегчало работу.

Теорема Пифагора с квадратными корнями

Вы можете использовать теорему Пифагора для решения относительно любой длины, если вам известны длины двух других сторон.

Предположим, вам нужна длина гипотенузы c. Тогда вам просто нужен квадратный корень из суммы a2 + b2, например:

с = a2 + b2

Если вам нужно найти короткую ногу a, измените формулу, чтобы она выглядела следующим образом:

а = с2 — в2

И если вам нужно найти более длинную ногу b, вы переписываете формулу, чтобы она выглядела так:

б = с2 — а2

Задачи со словами по теореме Пифагора

Выдвижная лестница пожарного опирается на здание, так что ее верхняя часть едва касается
желоба по краю крыши.Вы знаете, что длина лестницы составляет 41 фут, и она находится в 9 футах от стены здания. Насколько высоко здание?

Лестница — гипотенуза, 41 ‘, а отрезок a — короткий отрезок, 9’. Вставьте то, что вы знаете, в любую формулу, которую вы хотите использовать для решения длинной ноги b:

Начнем с нашей формулы:

а2 + Ь2 = с2

Сначала подключите то, что вы знаете:

92 + b2 = 412

Умножьте каждое число на само себя, затем добавьте:

81 + b2 = 1681

Затем вам нужно вычесть длину a2 с обеих сторон, чтобы выделить b2:

(81 — 81) + b2 = (1681 — 81)

С левой стороны остается только b2.

b2 = 1600

Теперь извлеките квадратный корень из обеих частей:

b2 = 1600

Возьмите главный корень с обеих сторон и получите:

б = 40

Давайте решим это по-другому!

Если вам нужно найти более длинный отрезок b, вы переписываете формулу, чтобы она выглядела так:

б = с2 — а2

б = 412 — 92

б = 1681 — 81

б = 1600

б = 40

Примеры теорем Пифагора

Найдите ответы на эти пять задач теоремы Пифагора:

Пример # 1

Найдите гипотенузу c прямоугольного треугольника с длиной короткого отрезка a = 6 и длиной длинного отрезка b = 8:

а2 + Ь2 = с2

62 + 82 = c2

36 + 64 = c2

100 = c2

100 = c2

10 = с

Пример # 2

Найдите короткий катет a для прямоугольного треугольника с длиной длинного катета b = 24 и длиной гипотенузы c = 25:

а2 + Ь2 = с2

а2 + 242 = 252

а2 + 576 = 625

a2 + (576 — 576) = (625 — 576)

а2 = 49

а2 = 49

а = 7

Пример # 3

Найдите длинный катет b прямоугольного треугольника с длиной короткого катета a = 65 и длиной гипотенузы c = 97:

а2 + Ь2 = с2

652 + b2 = 972

4,225 + b2 = 9,409

(4,225 — 4,225) + b2 = (9,409 — 4,225)

b2 = 5 184

b2 = 5 184

б = 72

Пример # 4

Найдите короткий катет a для прямоугольного треугольника с длиной длинного катета b = 60 и длиной гипотенузы c = 68:

а = с2 — в2

а = 682–602

а = (68 + 60) (68 — 60)

б = (128 × 8)

а = 10242

а = 32

Пример # 5

Найдите длинный катет b прямоугольного треугольника с длиной короткого катета a = 60 и длиной гипотенузы c = 100:

б = с2 — а2

б = 1002–602

б = (100 + 60) (100 — 60)

б = (160 × 40)

б = 6,4002

б = 80

Пифагорейская троица

Причина, по которой наши примеры задач закончились красивыми, аккуратными, целыми числами, заключается в том, что мы использовали тройки Пифагора или три целых числа, которые работают для выполнения теоремы Пифагора.

Наименьшая тройка Пифагора — 3, 4, 5 (прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 единицы и гипотенузой 5 единиц). Все числа, кратные , этой тройки будут , также будут тройками:

6, 8, 10

9, 12, 15

12, 16, 20

Список никогда не заканчивается, и включает в себя один из наших примеров: 24, 32, 40. Существуют и другие тройки Пифагора:

5, 12, 13 (мы использовали это в нашем примере!)

8, 15, 17

9, 40, 41

И этот список никогда не заканчивается!

Узнайте, как идентифицировать и классифицировать тройки Пифагора как примитивные или импримитивные (не примитивные), а также научитесь использовать теорему Пифагора для поиска троек Пифагора.

Доказательство теоремы Пифагора

Существуют тысячи доказательств этой теоремы, в том числе одно, сделанное президентом США Джеймсом Гарфилдом (до того, как он стал президентом). Одно доказательство легко сделать с миллиметровой бумагой, линейкой, карандашом и ножницами.

Постройте △ ABC с участками a и b слева и снизу и гипотенузой c справа вверху. Катет a противоположен A, катет b противоположен B, а гипотенуза c противоположна прямому углу C.

Пусть длина a = 3, b = 4 и гипотенуза c = 5.

Как доказать теорему Пифагора

Постройте квадрат, используя ногу a в качестве правой стороны квадрата. Это будет 9 квадратных единиц (а2). Постройте квадрат, используя ногу b в качестве верхней стороны его квадрата, так что это будет 16 квадратных единиц (b2). Вырежьте еще один квадрат 5 x 5 и совместите его с гипотенузой c, так что квадрат будет c2.

Подумайте: что такое 9 квадратных единиц + 16 квадратных единиц? Это 25 квадратных единиц, площадь c2.

площадь = а × а = а2

площадь = b × b = b2

площадь = c × c = c2

a2 + b2 = c2

Краткое содержание урока

Если вы работали аккуратно, теперь вы должны знать, что такое теорема Пифагора, узнавать ее, когда вы ее видите, и применять ее для решения задач в геометрии.Вы можете использовать его, чтобы найти длину любой одной стороны прямоугольного треугольника, если вы знаете длины двух других сторон. Мы также узнали, как доказать теорему Пифагора.

Следующий урок:

Обращение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора

---

Департамент математического образования
Дж. Уилсон, EMT 669

---

Теорема Пифагора

по
Стефани Дж.Моррис

---

Теорема Пифагора была одной из самых ранних теорем, известных древнему миру.
цивилизации. Эта знаменитая теорема названа в честь греческого математика.
и философ Пифагор. Пифагор основал пифагорейскую школу
Математика в Кортоне, греческом морском порту на юге Италии. Ему приписывают
со многими вкладами в математику, хотя некоторые из них, возможно, действительно
были работой его учеников.

Теорема Пифагора — самый известный математический вклад Пифагора.Согласно легенде, Пифагор был так счастлив, когда открыл теорему
что он принес в жертву волов. Позднее открытие, что квадрат
корень из 2 иррационален и, следовательно, не может быть выражен как отношение
два целых числа, сильно обеспокоившие Пифагора и его последователей. Они были набожными
в их убеждении, что любые две длины были целыми кратными некоторой единице
длина. Было предпринято много попыток подавить знание о том, что квадрат
корень 2 иррационален.Говорят даже, что человек, разгласивший секрет
утонул в море.

Теорема Пифагора — это утверждение о треугольниках, содержащих правую
угол. Теорема Пифагора утверждает, что:

«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе правой стороны.
треугольник равен сумме площадей квадратов на оставшихся
стороны »

Рисунок 1

Согласно теореме Пифагора, сумма площадей двух
красные квадраты, квадраты A и B, равны площади синего квадрата, квадрата
С.

Таким образом, теорема Пифагора, сформулированная алгебраически:

для прямоугольного треугольника со сторонами длиной a, b и c, где c —
длина гипотенузы.

Хотя Пифагору приписывают знаменитую теорему, вполне вероятно, что
вавилоняне знали результат для некоторых конкретных треугольников по крайней мере
на тысячелетие раньше, чем Пифагор. Неизвестно, как греки изначально
продемонстрировал доказательство теоремы Пифагора.Если методы Book
II Евклида Элементов , вполне вероятно, что это было
доказательство рассечения, аналогичное следующему:

«Большой квадрат со стороной a + b разделен на два меньших квадрата
стороны a и b соответственно, и два равных прямоугольника со сторонами a и b;
каждый из этих двух прямоугольников можно разделить на два равных прямоугольных треугольника
нарисовав диагональ c. Четыре треугольника можно расположить внутри другого.
квадрат стороны a + b, как показано на рисунках.

Площадь квадрата может отображаться двумя способами:

1. Как сумма площадей двух прямоугольников и квадратов:

2. Как сумма площадей квадрата и четырех треугольников:

Теперь, установив два выражения в правой части этих уравнений равными,
дает

Следовательно, квадрат на c равен сумме квадратов на a и b.(Burton 1991)

Есть и других доказательств теоремы Пифагора. Один пришел
из современной китайской цивилизации, найденной в древнейших сохранившихся китайских
текст, содержащий формальные математические теории, Классическая арифметика
Гномана и Круговых Пути Небес.

Доказательство теоремы Пифагора, основанное на фигуре из этого
книга была включена в книгу Виджаганита, (Корневые вычисления),
индуистский математик Бхаскара.Единственное объяснение Бхаскары своего доказательства
было просто «вот» .

Эти доказательства и геометрическое открытие теоремы Пифагора
привело к одной из самых ранних проблем теории чисел, известной как
Пифгорейская проблема.

Проблема Пифагора :

Найдите все прямоугольные треугольники, стороны которых имеют целую длину, таким образом найдя
все решения в натуральных числах уравнения Пифагора:

Три целых числа (x, y, z), которые удовлетворяют этому уравнению, называются пифагоровыми.
тройной.

Некоторые тройки Пифагора :

x y z

3 4 5

5 12 13

7 24 25

9 40 41

11 60 61

Формула, которая будет генерировать все тройки Пифагора, впервые появилась в
Книга X элементов Евклида :

где n и m — положительные целые числа противоположной четности и m> n.

В своей книге Arithmetica Диофант подтвердил, что он мог получить право
треугольников, используя эту формулу, хотя он пришел к ней под другим
цепочка рассуждений.

Теорема Пифагора может быть представлена ​​студентам в середине
школьные годы. Эта теорема становится все более важной во время высоких
школьные годы. Недостаточно просто сформулировать алгебраическую формулу для
Теорема Пифагора. Студентам необходимо видеть геометрические связи
также.Обучение и изучение теоремы Пифагора можно обогатить
и улучшены за счет использования точечной бумаги, геодордов, складывания бумаги и
компьютерная техника, а также многие другие учебные материалы. Через
использование манипуляторов и других образовательных ресурсов, пифагорейский
Теорема может значить для студентов гораздо больше, чем просто

и подставляя числа в формулу.

Ниже приведены различные доказательства теоремы Пифагора, включая
один Евклида.Эти доказательства, наряду с манипуляциями и технологиями, могут
значительно улучшить понимание студентами теоремы Пифагора.

Ниже приводится итог доказательства Евклида, одного из самых известных
математики. Это доказательство можно найти в Книге I Евклида Элементов .

Предложение: В прямоугольных треугольниках квадрат на гипотенузе.
равна сумме квадратов на ногах.

Рисунок 2

Евклид начал с пифагорейской конфигурации, показанной выше на рисунке.
2.Затем он построил перпендикулярную линию от C до отрезка DJ на
квадрат на гипотенузе. Точки H и G являются пересечением
это перпендикуляр со сторонами квадрата на гипотенузе. Это ложь
по высоте до прямоугольного треугольника ABC. См. Рисунок 3.

Фиг.3

Затем Евклид показал, что площадь прямоугольника HBDG равна площади
квадрата на BC и что площадь прямоугольника HAJG равна площади
площади на AC.Он доказал эти равенства, используя понятие подобия.
Треугольники ABC, AHC и CHB подобны. Площадь прямоугольника HAJG равна (HA) (AJ)
и поскольку AJ = AB, площадь также (HA) (AB). Сходство треугольников
ABC и AHC означает

и, следовательно,

или, как требуется, площадь прямоугольника HAJG такая же, как у
площадь квадрата на стороне AC. Таким же образом треугольники ABC и CHG
похожий. Итак

и

Так как сумма площадей двух прямоугольников равна площади квадрата
на гипотенузе это завершает доказательство.

Евклид очень хотел как можно скорее включить этот результат в свою работу.
Однако, поскольку его работа над подобием не должна была быть до Книг V и VI,
ему необходимо было придумать другой способ доказать пифагорейский
Теорема. Таким образом, он использовал результат, что параллелограммы являются двойными треугольниками.
с таким же основанием и между одинаковыми параллелями. Нарисуйте CJ и BE.

Площадь прямоугольника AHGJ в два раза больше площади треугольника JAC, и
площадь квадрата ACLE — это двойной треугольник BAE.Два треугольника совпадают
пользователя SAS. Тот же результат аналогичным образом следует для другого прямоугольника.
и квадрат. (Кац, 1993)

Нажмите здесь для анимации GSP
чтобы проиллюстрировать это доказательство.

---

Следующие три доказательства являются более заметными доказательствами
Теорема Пифагора и была бы идеальной для школьников-математиков.
Фактически, это доказательства того, что учащиеся умеют конструировать сами.
в какой-то момент.

---

Первое доказательство начинается с прямоугольника, разделенного на три части.
треугольники, каждый из которых содержит прямой угол.Это доказательство можно увидеть
с помощью компьютерных технологий или чего-то столь же простого, как
Карточка 3х5 разрезана на прямоугольные треугольники.

Рисунок 4

Рисунок 5

Видно, что треугольники 2 (зеленый) и 1 (красный) полностью исчезнут.
перекрыть треугольник 3 (синим цветом). Теперь мы можем дать доказательство пифагорейского
Теорема с использованием тех же треугольников.

Доказательство:

I. Сравните треугольники 1 и 3.

Фиг.6

Углы E и D, соответственно, являются прямыми углами в этих треугольниках.
Сравнивая их сходство, получаем

и на Рисунке 6 BC = AD. Итак,

Путем перемножения получаем:

II. Сравните треугольники 2 и 3:

Фиг.7

Сравнивая сходство треугольников 2 и 3, получаем:

На рисунке 4 AB = CD.Путем замены,

Перекрестное умножение дает:

Наконец, сложив уравнения 1 и 2, мы получим:

Из треугольника 3,

AC = AE + EC

т.

Фиг.8

Мы доказали теорему Пифагора.

---

Следующее доказательство — еще одно доказательство теоремы Пифагора, которое начинается с
Прямоугольник.Он начинается с построения прямоугольника CADE с BA = DA. Следующий,
построим биссектрису угла Фиг.9

Далее, поскольку m m

По теореме подобия AA треугольник EBF подобен треугольнику CAB.

Теперь пусть k будет коэффициентом подобия между треугольниками EBF и CAB.

.

Рисунок 10

Таким образом, треугольник EBF имеет стороны с длинами ka, kb и kc.Поскольку FB =
FD, FD = kc. Кроме того, поскольку противоположные стороны прямоугольника совпадают,
b = ka + kc и c = a + kb. Решая для k, мы имеем

а также

Таким образом,

Путем перекрестного умножения,

Следовательно,

, и мы завершили доказательство.

---

Следующее доказательство теоремы Пифагора, которое будет представлено
тот, который начинается с прямоугольного треугольника. На следующем рисунке треугольник ABC
— прямоугольный треугольник.Его прямой угол равен C.

Рисунок 11

Затем нарисуйте CD перпендикулярно AB, как показано на следующем рисунке.

Фиг.12

Треугольник 1

Сравните треугольники 1 и 3 :

Треугольник 1 (зеленый) — это прямоугольный треугольник, с которого мы начали до построения.
CD. Треугольник 3 (красный) — один из двух треугольников, образованных конструкцией
CD.

Рисунок 13
Треугольник 1.Треугольник 3.

Сравнивая эти два треугольника, мы видим, что

Сравните треугольники 1 и 2 :

Треугольник 1 (зеленый) такой же, как указано выше. Треугольник 2 (синий) — другой
треугольник, образованный путем построения CD. Его прямой угол — это угол D.

Рисунок 14
Треугольник 1. Треугольник 2.

Сравнивая эти два треугольника, мы видим, что

Складывая уравнения 3 и 4, получаем:

Из рисунков 11 и 12 для CD имеем (p + q) = c.Путем подстановки
получаем

---

---

Следующее доказательство теоремы Пифагора, которое будет представлено, — это одно
в котором будет использоваться трапеция.

Фиг.15

По конструкции, которая была использована для формирования этой трапеции, все 6
треугольники, содержащиеся в этой трапеции, являются прямоугольными. Таким образом,

Площадь трапеции = сумма площадей 6 треугольников

И используя соответствующие формулы для площади, получаем:

Мы завершили доказательство теоремы Пифагора с использованием трапеции.

---

Следующее доказательство теоремы Пифагора, которое я представлю, — это доказательство, которое
можно научить и доказать с помощью головоломок. Эти головоломки можно составить
используя конфигурацию Пифагора, а затем разбивая ее на разные
формы.

Перед тем, как представить доказательство, важно изучить следующий рисунок.
поскольку это напрямую относится к доказательству.

Фиг.16

В этой пифагорейской конфигурации квадрат на гипотенузе был
разделен на 4 прямоугольных треугольника и 1 квадрат MNPQ в центре.С
МН = АН — АМ = а — б. Каждая сторона квадрата MNPQ имеет длину a — b. Этот
дает следующее:

Площадь квадрата на гипотенузе = Сумма площадей четырех треугольников.
и Площадь квадрата MNPQ

Как упоминалось выше, это доказательство теоремы Пифагора может быть
исследованы и доказаны с помощью головоломок, составленных из пифагорейской конфигурации.
Студенты могут составить эти пазлы, а затем использовать кусочки квадратов на
катеты прямоугольного треугольника покрывают квадрат гипотенузы.Этот
может быть отличной связью, потому что это «практическое» занятие.
Затем учащиеся могут использовать головоломку, чтобы доказать теорему Пифагора на своих
собственный.

Фиг.17

Чтобы создать эту головоломку, дважды скопируйте квадрат на BC, один раз поместив его под
квадрат на AC и один раз справа от квадрата на AC, как показано на рисунке
17.

Доказательство с использованием рисунка 17:

Треугольник CDE конгруэнтен треугольнику ACB по участку-участку.

В треугольнике ACB m

В треугольнике CDE m

Треугольник EGH конгруэнтен треугольнику ACB по участку-участку. M

(Примечание: детали 4 и 7, а также части 5 и 6 не разделены.)

Посчитав площадь каждой части, можно показать, что

Площадь 1:

Площадь 2:

Площадь 3:

Зона 6 (и Зона 5):

Зона 7 (и Зона 4):

Сложив все эти области вместе, мы получим следующий результат:

и

Таким образом, мы доказали теорему Пифагора для головоломки.

---

Представленные здесь доказательства — это лишь некоторые из многих доказательств
Теорема Пифагора. Теорема Пифагора — очень важное понятие
чтобы студенты учились и понимали. Невозможно переоценить, что
Студенты должны понимать геометрические концепции, лежащие в основе теоремы, как
а также его алгебраическое представление. Этого можно добиться с помощью
использование технологий, манипуляторов и доказательств. Студенты, которым преподают
Теорема Пифагора, использующая эти методы, увидит связи и, таким образом,
получить большую пользу.

---

Библиография

Beamer, Джеймс Э. Использование головоломок для обучения теореме Пифагора:
Учитель математики. Май 1989 г .; NCTM: Рестон, Вирджиния.

Бертон, Дэвид М. История математики Бертона: Введение (Третий
выпуск) . 1991; Уильям С. Браун Издатели: Dubuque, IA.

деЛемос, Джейми. Теорема Пифагора: Учитель математики. Январь
1995; NCTM: Рестон, Вирджиния.

Хоэн, Ларри. Новое доказательство теоремы Пифагора: Математика
Учитель. Февраль 1995 г .; NCTM: Рестон, Вирджиния.

Кац, Виктор Дж. История математики. 1993; Харпер Коллинз:
Нью Йорк, Нью Йорк.

Луфкин, Дан. . Невероятная карта три на пять! : Математика
Учитель. Февраль 1996: Рестон, Вирджиния.

---

Вернуться к Стефани Моррис
ЕМТ 669 стр.

---

В этом уравнении есть еще кое-что: NPR

Скрытые гармонии: жизнь и времена теоремы Пифагора
Роберт и Эллен Каплан
Твердый переплет, 304 страницы
Bloomsbury Press
Цена по прейскуранту: 25 долларов

Чем глубже установлен Золотой век, тем романтичнее он сияет.Около четырех тысяч лет назад, между реками Тигр и Евфрат, древние аккадцы, а затем и древние вавилоняне развили образ жизни, наполненный гордостью и коммерцией. Они делали вещи с числами и формами изящества и замысловатости, от которых у вас захватывает дух. Эти люди были современниками ваших прапрапрадедов… [их около 150] великих дедушек и бабушек; они были на две трети ростом и жили вдвое меньше нас; у нас была сотая часть наших удобств и никаких гарантий.У них не было ни Твиттера, ни стоматологов, ни Биг-Маков, но их чувство юмора ставило их совсем близко от нас.

Отец: «Куда ты пошел?»

Сын: «Нигде».

Отец: «Тогда почему ты опоздал?»

Этот отрывок диалога был расшифрован с древней клинописной таблички, поразительно маленькой и с изрезанными аккуратными птичьими следами клиньев, которые читаются им так же легко, как наши письма нам.

Предки этих людей вели свои счета с помощью глиняных жетонов на протяжении четырех тысяч предшествующих лет, но по мере развития храмовой бюрократии возрастающая сложность жизни и бухгалтерского учета, которая ее фиксировала, привели к появлению символов для эти жетоны и знаки для 1, 10 и 60, которые они повторяли, чтобы получить другие числа.Мы снова узнаем в них себя: абстракция от вещей к именам и имен к числам — вот способ, которым мы отмечаем нашу территорию.

Органическое взаимодействие между математикой и администрацией продолжалось на протяжении большей части третьего тысячелетия до нашей эры, развившись в систему целых чисел и дробей, основанную на 60 (60 имеет достаточно делителей целых чисел, чтобы упростить вычисления, чем в нашей системе с основанием 10). Затем, кажется, произошло что-то важное около 2600 года, когда появился класс писцов.Для них — возможно, в периоды затишья, когда товары не привозили — письменность расширилась от инвентаризации до записи эпосов, гимнов и пословиц, а математика — от практического к драгоценному. Мы ставим перед молодыми математиками трудные для доказательства теоремы; они заставляли своих восходящих писцов выполнять ужасно длинные вычисления, так же слабо связанные с реальностью, как и искусственно созданные стихи, которые чиновники китайского языка должны были писать в древнем Китае. Все снова изменилось около 2300 года, с вторжением аккадоязычной династии.Шумерский язык превратился только в административный язык (сыграв облагораживающую роль, которую когда-то играла для нас латынь), и возникли новые виды математических проблем, сосредоточенных на области. В мгновение ока с нашей точки зрения — двести лет для них — эта династия пала, и неошумерское государство заняло ее место в 2112 году. Эта 60-базовая система счисления теперь начала работать на спинах людей. и мозги писцов. Наши юристы отбивают время у клиента каждые пятнадцать минут, но эти писцы, выступающие теперь в роли надзирателей, должны были отслеживать своих сотрудников в течение дня с десятиминутными квотами.

Это государство, в свою очередь, рухнуло — вероятно, под собственной административной тяжестью — в течение столетия, и началась четырехсотлетняя слава древневавилонского периода, воплощением которого стал знаменитый законодатель Хаммурапи. Это было время высокой культуры писцов, идеалов, которые мы признаем гуманистическими, и расчетов, баланс ума и кропотливой скуки которых мы поражаем.

Хеттский набег около 1600 года, затем подавляющее вторжение воинов касситов, внезапно обрушило завесу толщиной в тысячу лет, скрыв почти все следы этого хоббитоподобного народа, чью культуру игры в стеклянные бусы и оживленную бюрократию мы видим далеко вниз по неправильному концу телескопа.Наша история превращается в историю.

Оба обманчивы. Этот рассказ, созданный так, чтобы казаться цельным, на самом деле склеен из очень большого количества такого малого — что касается математики, горы глиняных табличек, записывающих не более чем школьные упражнения или учительские рыси. Контекст общества в целом и сообщества писцов внутри него — всего лишь догадки, попытки рациональной реконструкции сбиты с толку искажениями исторического ракурса: события, разнесенные на огромные отрезки времени и пространства, схлопываются до аперта, и все берется. стоять за все.Вывод, например, о том, что бандитский режим закрыл интеллектуальные занятия на тысячелетие, может быть искажен экономикой раскопок: при нехватке финансирования, кто будет раскапывать школьные комнаты, несмотря на их, возможно, ценные свидетельства эволюции мысли, когда есть дворцы ждете выхода?

Мы не только сидим в дальнем конце игры, некоторые называют китайским шепотом, а другие — телефоном, но и у тех, кто перед нами, есть свои планы и личности, которые нужно продвигать, в то время как они предаются своеобразной практике позволения своей вежливости рассматриваться как не более чем шпон.Возможно, они были бы менее оскорбительными и, следовательно, более информативными, если бы они представляли собой более обширное сообщество (склоки, кажется, порождаются в тесном окружении), или у них были бы доказательства, а не домыслы, и логика, основанная на принципах «только если» ‘если только’. Как бы то ни было, гудение точильных ножей может послужить цели подлого веселья, но может отвлекать. Из недавней научной работы:

Претенциозная и полемическая попытка Робсона в HM 28 (2001) найти альтернативное объяснение таблицы на Плимптоне 322 настолько сбивает с толку и вводит в заблуждение, что ее следует полностью игнорировать, за исключением улучшенного чтения слова I-il-lu-ú во второй строке заголовка над первой сохранившейся колонкой и датировки текста… См. Вердикт Muroi, HSJ 12 (2003), примечание 4: «Читатель должен внимательно прочитать эту статью, написанную в ненаучном стиле, потому что есть некоторые неточные описания вавилонской математики и несколько ошибок на Рисунке 1, Таблицах. , и транслитерации «. Более короткую и менее полемическую, но все же бессмысленную версию той же истории можно найти в Robson, AMM 109 (2002)

Странно, что археологию до сих пор считают одной из гуманитарных дисциплин.

Наша цель на данном этапе — увидеть, какие следы или предшественники теоремы Пифагора мы можем найти в Месопотамии; и если они есть, то мигрировали ли они потом как-то в Египет или даже прямо в Грецию.Мы понимаем, что неоднозначность свидетельств и необходимость разбираться с научными корнями к ним сделают нашу повествовательную гиперсовременную: одну из тех драм «создай сам», созданных не только участниками, но и ее авторами и читателями как хорошо. Тем не менее, некий Гвидо или, коллегиально, Гвидос, действительно предложил стадии этого понимания, а затем и его доказательства; и сужение до местного жилища, если не имени, несомненно, менее серьезная задача, чем их задача.

Из Скрытые гармонии: Жизни и времена теоремы Пифагора Роберта и Эллен Каплан.Авторские права 2011 г. Роберт и Эллен Каплан. Выдержка с разрешения Bloomsbury Press.

Калькулятор теорем Пифагора

Для решения уравнения Пифагора укажите любые 2 значения ниже: a ² + b ² = c ² .

Связанный калькулятор треугольника | Калькулятор прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора, также известная как теорема Пифагора, является фундаментальным соотношением между тремя сторонами прямоугольного треугольника.Для прямоугольного треугольника, в котором один из углов равен 90 °, теорема Пифагора утверждает, что площадь квадрата, образованного самой длинной стороной прямоугольного треугольника (гипотенуза), равна сумме площадей квадратов, образованных двумя другими сторонами прямоугольного треугольника:

Другими словами, учитывая, что самая длинная сторона c = гипотенуза, а a и b = другие стороны треугольника:

а ² + б ² = с ²

Это известно как уравнение Пифагора, названное в честь древнегреческого мыслителя Пифагора.Это соотношение полезно, потому что, если известны две стороны прямоугольного треугольника, теорема Пифагора может использоваться для определения длины третьей стороны. Ссылаясь на приведенную выше диаграмму, если

a = 3 и b = 4

длину c можно определить как:

c = √a ² + b ² = √3 ² +4 ² = √25 = 5

Отсюда следует, что длину a и b также можно определить, если известны длины двух других сторон, используя следующие соотношения:

a = √c ² — b ²

b = √c ² — a ²

Закон косинусов — это обобщение теоремы Пифагора, которое можно использовать для определения длины любой стороны треугольника, если известны длины и углы двух других сторон треугольника.Если угол между другими сторонами является прямым, закон косинусов сводится к уравнению Пифагора.

Существует множество доказательств теоремы Пифагора, возможно, даже самое большое количество из любой математической теоремы.

Алгебраическое доказательство:

На рисунке выше показаны две ориентации копий прямоугольных треугольников, используемых для образования большего и меньшего квадрата, обозначенных i и ii, которые изображают два алгебраических доказательства теоремы Пифагора.

В первом, i, четыре копии одного и того же треугольника расположены вокруг квадрата со сторонами c. Это приводит к формированию большего квадрата со сторонами длиной b + a и площадью (b + a) ² . Сумма площади этих четырех треугольников и меньшего квадрата должна равняться площади большего квадрата, так что:

(b + a) 2 = c 2 + 4

= c 2 + 2ab

, что дает:

+ b ²

c 2 =	(b + a) 2 — 2ab
=	b 2 + 2ab + a 2 — 2ab
a

, которое является уравнением Пифагора.

Во второй ориентации, показанной на рисунке ii, четыре копии одного и того же треугольника расположены так, что они образуют замкнутый квадрат со сторонами длиной b — a и площадью (b — a) ² . Четыре треугольника площадью

также образуют квадрат большего размера со сторонами длиной c. Тогда площадь большего квадрата должна равняться сумме площадей четырех треугольников и меньшего квадрата, так что:

	(b — a) 2 + 2ab
=	b 2 — 2ab + a 2 + 2ab
=	a 910 2

Так как у большего квадрата есть стороны c и площадь c ² , приведенное выше можно переписать как:

c ² = a ² + b ²

, что снова является уравнением Пифагора.

Существует множество других доказательств, начиная от алгебраических и геометрических до доказательств с использованием дифференциалов, но приведенные выше являются двумя простейшими версиями.

Теорема Пифагора и ее обратное

На рисунке 1 CD — это высота до гипотенузы AB.

Рис. 1 Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, чтобы помочь в выводе теоремы Пифагора .

Из свойства сложения уравнений в алгебре , мы получаем следующее уравнение.

Если вычесть c с правой стороны,

Но x + y = c (Постулат сложения сегментов) ,

Этот результат известен как теорема Пифагора .

Теорема 65 (теорема Пифагора): В любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (катет ² + катет ² = гипотенуза ² ).На рисунке 2 показаны части прямоугольного треугольника.

Рисунок 2 Части прямоугольного треугольника.

Пример 1: На рисунке 3 найдите x , длину гипотенузы.

Рис. 3 Использование теоремы Пифагора для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника.

Пример 2: Используйте рисунок 4, чтобы найти x .

Рис. 4 Использование теоремы Пифагора для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника.

Любые три натуральных числа a, b, c , которые делают предложение a ² + b ² = c ² , называются пифагоровой тройкой. Следовательно, 3-4-5 называется пифагоровой тройкой. Некоторые другие значения для a , b и c , которые будут работать, — это 5-12-13 и 8-15-17. Любое кратное одной из этих троек также будет работать. Например, использование 3-4-5: 6-8-10, 9-12-15 и 15-20-25 также являются троек Пифагора.

Пример 3: Используйте рисунок 5, чтобы найти x .

Рис. 5 Использование теоремы Пифагора для нахождения катета прямоугольного треугольника.

Если вы поймете, что числа x , 24, 26 являются кратными 5-12-13 тройке Пифагора, ответ для x будет быстро найден. Поскольку 24 = 2 (12) и 26 = 2 (13), тогда x = 2 (5) или x = 10. Вы также можете найти x , используя теорему Пифагора .

Пример 4: Используйте рисунок 6, чтобы найти x .

Рисунок 6 Использование теоремы Пифагора для нахождения неизвестных частей прямоугольного треугольника.

Вычтите x ² + 12 x + 36 с обеих сторон.

Но x — это длина, поэтому она не может быть отрицательной. Следовательно, x = 9.

Обратное (обратное) теореме Пифагора также верно.

Теорема 66: Если треугольник имеет стороны длиной a, b, и c , где c — самая длинная длина, а c ² = a ² + b ² , то треугольник представляет собой прямоугольный треугольник с гипотенузой c .

Пример 5: Определите, могут ли следующие наборы длин быть сторонами прямоугольного треугольника: (a) 6-5-4, (b), (c) 3 / 4-1-5 / 4.

(a) Поскольку 6 — самая длинная длина, выполните следующую проверку.

Итак, 4-5-6 не являются сторонами прямоугольного треугольника.

(b) Поскольку 5 — самая длинная длина, выполните следующую проверку.

Таковы стороны прямоугольного треугольника, а 5 — длина гипотенузы.

(c) Поскольку 5/4 — самая длинная длина, выполните следующую проверку.

Итак, 3 / 4-1-5 / 4 — стороны прямоугольного треугольника, а 5/4 — длина гипотенузы.

Теорема Пифагора с примерами

Теорема Пифагора — это способ соотнести длины катетов прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы, которая является стороной, противоположной прямому углу.Несмотря на то, что он написан в этих терминах, его можно использовать для поиска любой стороны, если вам известны длины двух других сторон. В этом уроке мы рассмотрим несколько различных типов примеров применения этой теоремы.

Содержание

1. Примеры использования теоремы Пифагора
2. Решение прикладных задач (текстовых задач)
3. Решение алгебраических задач
4. Сводка

реклама

Применение теоремы Пифагора (примеры)

В приведенных ниже примерах мы увидим, как применить это правило, чтобы найти любую сторону прямоугольного треугольника.Как и в приведенной ниже формуле, пусть a и b будут длинами катетов, а c — длиной гипотенузы. Однако помните, что вы можете использовать любые переменные для представления этих длин.

В каждом примере обращайте пристальное внимание на предоставленную информацию и на то, что мы пытаемся найти. Это поможет вам определить правильные значения для использования в различных частях формулы.

Пример

Найдите значение \ (x \).

Решение

Сторона, противоположная прямому углу, — это сторона с меткой \ (x \).2 \)

Следовательно, можно написать:

\ (\ begin {align} x & = \ sqrt {100} \\ & = \ bbox [граница: сплошной черный 1 пиксель; отступ: 2 пикселя] {10} \ end {align} \)

Возможно, вы помните, что в таком уравнении \ (x \) также может быть –10, поскольку –10 в квадрате также равно 100. Но длина любой стороны треугольника никогда не может быть отрицательной, и поэтому мы рассматриваем только положительный квадратный корень.

В других ситуациях вы будете пытаться найти длину одного из катетов прямоугольного треугольника.2 = 80 \)

Следовательно:

\ (\ begin {align} y & = \ sqrt {80} \\ & = \ sqrt {16 \ times 5} \\ & = \ bbox [граница: 1 пиксель сплошной черный; отступ: 2 пикселя] {4 \ sqrt {5 }} \ end {align} \)

В этом последнем примере мы оставили ответ в точной форме, а не в десятичном приближении. Это обычное дело, если вы не работаете над прикладной проблемой.

Приложения (проблемы с текстом) с теоремой Пифагора

Существует множество различных типов реальных проблем, которые можно решить с помощью теоремы Пифагора.Самый простой способ убедиться, что вы должны применять эту теорему, — это нарисовать картину любой описанной ситуации.

Пример

Два туриста покидают хижину одновременно: один направляется на юг, а другой — на запад. Через час турист, идущий на юг, преодолел 2,8 мили, а пешеход, идущий на запад, — 3,1 мили. Какое в данный момент самое короткое расстояние между двумя туристами?

Решение

Сначала нарисуйте изображение предоставленной информации.2 \)

Теперь воспользуйтесь калькулятором, чтобы извлечь квадратный корень. Вероятно, вам придется округлить свой ответ.

\ (\ begin {align} x & = \ sqrt {17,45} \\ & \ приблизительно 4,18 \ text {миль} \ end {align} \)

Как видите, вам решать, что прямой угол является частью ситуации, заданной в слове «проблема». Если это не так, то вы не можете использовать теорему Пифагора.

Задачи в стиле алгебры с теоремой Пифагора

Есть еще одна проблема, с которой вы можете столкнуться, когда вы используете теорему Пифагора для написания некоторого типа алгебраических выражений. 2 \)

Когда в задаче написано «значение \ (y \)», это означает, что вы должны решить для \ (y \).2} \)

Наконец, это упрощает выражение, которое мы ищем:

\ (y = \ bbox [граница: сплошной черный 1 пиксель; отступ: 2 пикселя] {x \ sqrt {3x}} \)

объявление

Сводка

Теорема Пифагора позволяет вам найти длину любой из трех сторон прямоугольного треугольника. Это одна из тех вещей, которые вам следует запомнить, поскольку она встречается во всех областях математики, и, следовательно, вы, вероятно, пройдете множество различных математических курсов.Не забывайте избегать распространенной ошибки, заключающейся в том, чтобы путать ноги в формуле с гипотенузой, и всегда рисовать картинку, если она не указана.

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

.