Содержание
Отрезок. Длина и середина отрезка. Сравнение отрезков
Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, лежащими на этой прямой. Точки, определяющие границы отрезка, называются концами отрезка.
Отрезок обозначается двумя большими латинскими буквами, поставленными при его концах: отрезок AB или BA.
Длина отрезка
Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка. Любой отрезок имеет длину, бо́льшую нуля:
Измерение длины отрезка осуществляется путём сравнения данного отрезка с длиной единичного отрезка. Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу. Следовательно:
длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.
Чаще всего используются единичные отрезки равные 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м или 1 км. Измерить длину отрезка можно линейкой или любым другим прибором для измерения длины:
AB = 6 см.
Свойства длин отрезков:
- Основное свойство длины отрезка: если точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
- Длины равных отрезков равны.
- Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.
Равные отрезки
Равные отрезки — это отрезки, имеющие одинаковую длину. Если наложить равные отрезки друг на друга, то их концы совпадут.
Пример. Возьмём два отрезка CD и LM:
Если расположить отрезки параллельно друг над другом так, чтобы точка C была над точкой L, то станет видно, что точка D располагается над точкой М:
Значит длины отрезков равны, следовательно CD = LM.
Сравнение отрезков
Сравнить два отрезка — это значит определить, равны они, или один больше другого.
Сравнить два отрезка можно, отложив на прямой оба отрезка из одной точки в одну и туже сторону. Для этого можно воспользоваться циркулем.
Чтобы отложить на прямой отрезок равный данному, сначала помещают ножки циркуля так, чтобы острия их концов упирались в концы отрезка, а затем, не изменяя раствора циркуля, переносят его так, чтобы оба его конца находились на прямой.
При сравнении двух отрезков возможно получение одного из представленных результатов: отрезки будут равны, первый отрезок будет больше второго или первый отрезок будет меньше второго.
Пример. Если отложить на прямой от любой точки, например C, в одну сторону два отрезка CA и CB и точка A окажется между точками C и B, то отрезок CA меньше отрезка CB (или CB больше отрезка CA):
CA < CB или CB > CA.
Если точка B окажется между точками C и A, то отрезок CA больше отрезка CB (или CB меньше отрезка CA):
CA > CB или CB < CA.
Если точки A и B совпадут, то отрезки CA и CB равны:
CA = CB.
Если при наложении отрезков оба их конца совмещаются, значит отрезки равны.
При сравнении отрезков путём измерения их длин больше будет тот отрезок, у которого больше длина.
Пример. Сравнить длину отрезков AB и AC.
Так как отрезок AB имеет большую длину, чем отрезок AC, то
AB > AC.
Так как отрезки AB и AC имеют одинаковую длину, то
AB = AC.
Если при измерении отрезков их длины равны, то и отрезки равны.
Середина отрезка
Середина отрезка — это точка, делящая отрезок на две равные части.
Даю 80 баллов!1. Точка C делит отрезок AB на два отрезка.
Как ни удивительно, расстояние меж серединами АС и СВ, одинаково 19 см.
Пусть точка Т- середина АС, она делит отрезок АС на два одинаковых отрезка длиной 9 см каждый, точка Р- середина СВ, тоже разделяет отрезок на два одинаковых, по 10 каждый, тогда расстояние от точки Р до точки Т одинаково 9+10=19
2. Биссектриса АД разделяет угол ВАС напополам, по 40 равны и угол ВАД и угол ДАК
Так как АВДК, при секущей АД углы ВАД и АДК равны, как накрест лежащие при обозначенных прямых и секущей, значит, угол АДК=40, а угол АКД =180-40-40=100/град./
3.Раз треугольник равнобедренный, то ДМ не только биссектриса, но и медиана, но тогда периметр треугольника АВС =2*АД+2*АМ=
2*(АД+АМ)=22, а периметр треугольника АСМ =АД+АМ+ДМ=22/2+ДМ=
11+ДМ=16, откуда ДМ=5/см/
4.Означает, угол при основании х, а при верхушке 10х,
х+х+10х=180; 12х=180
х=180/12=15
Углы при основании по 15 град., а при верхушке 150 град.
5.Угол А равен 44=180-угол В- угол С, тогда сумма углов В и С одинакова 180-44=136, но угол Е равен 180 минус половины углов В и С , т.е. 180-(136/2)=180-68=112/град./
6.Медианы пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2/1. начиная от верхушки. Означает, АЕ=5+2.5=7.5
И т.к. дан равносторонний треугольник, то расстояние от В до АС- длина перпендикуляра ВД, т.к. медиана будет и вышиной. Тогда ВД=7.5/ см/
7.Нет. не существует. Если первая одинакова х, 2-ая 2х. 3-я х-1, то х+2х+х-1=47.
4х=48
х=12. Первая 12, вторая 24, 3-я 11, но сумма 12+11 меньше 24, не производится неравенство треугольника. Значит. такой треугольник нельзя построить.
8.Самый великий угол в этом треугольнике прямой. биссектриса делит его на два по 45 град., если в треугольнике, интеллигентном вышиной и катетом, найти острый угол, он будет равен 45-17=28, и теперь надобно отыскать 2-ой. отнять от 90-28=62град, получим угол искомого треугольника, тогда иной угол искомого треугольника равен 90-62=28 град., т.к. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.
Онлайн урок: Отрезок. Длина отрезка по предмету Математика 5 класс
Каждый отрезок имеет определенную длину, значение которой является числом.
Длина в геометрии — это величина, которая характеризует протяженность.
Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка.
Так как каждый отрезок имеет длину, отрезки можно измерять и сравнивать.
Существует несколько способов сравнения отрезков.
1. Приблизительный способ сравнения.
Данный способ сравнения применяют только в том случае, когда длины отрезков явно отличаются.
Пример: Даны два отрезка АВ и ЕР
Очевидно, что отрезок АВ длиннее отрезка ЕР, значит, АВ > ЕР
2. Совмещение отрезков — более точный способ сравнения отрезков.
Метод заключается в следующем: совмещаются два отрезка друг с другом так, чтобы совпали их концы с одной стороны.
По расположению других концов относительно друг друга можно оценить какой из отрезков длиннее, а какой короче.
Если при наложении отрезков друг на друга длины отрезков совпадут, то отрезки равны (отрезки в этом случае будут равными фигурами).
Если при наложении отрезков друг на друга один из отрезков будет составлять часть второго, то первый отрезок является короче второго (т.е. длина первого меньше длины второго).
Пример: Даны два отрезка АВ и ОЕ
Сравним данные отрезки методом совмещения отрезков.
Совместим левый конец А отрезка АВ и левый конец О отрезка ОЕ.
Можно заметить, что отрезок ОЕ составляет часть отрезка АВ.
Значит, отрезок ОЕ короче отрезка АВ.
Данный метод удобен, если есть возможность перемещать отрезки, совмещать один с другим.
3. Сравнение отрезков с помощью измерителя.
Если нет возможности перемещать сравниваемые отрезки, то можно использовать промежуточный измеритель.
В математике для этих целей используют специальный чертежный инструмент, который называется циркулем.
Чтобы сравнить отрезки с помощью циркуля, необходимо совместить концы отрезка с ножками циркуля.
Не меняя раствор циркуля, приложить его ко второму отрезку и сравнить.
- Если ножки циркуля совпадают с концами сравниваемого отрезка, то отрезки считаются равными.
- Если отрезок выходит за пределы расставленных ножек циркуля, то он больше исходного отрезка.
- Если же отрезок находится между концами измерителя, то сравниваемый отрезок меньше исходного.
Если нет возможности сравнить отрезки наложением и нет циркуля под рукой, то в качестве измерителя можно использовать нитку.
В таком случае нужно нитку приложить к исходному отрезку, на нитке по отрезку сделать замер, затем нитку приложить ко второму отрезку, оценить расположение замера на нитке по отношению к исследуемому отрезку, сделать вывод.
Пример:
Пусть даны три отрезка СD, АЕ, BG
Сравним эти отрезки с помощью циркуля.
Соединим ножки циркуля с концами С и D отрезка СD.
Приложим циркуль с заданным раствором к отрезку АЕ.
Концы измерителя совпали с точками отрезка АЕ, значит, отрезки CD и AE равны: (CD = AE).
Приложим циркуль с заданным раствором к отрезку BG.
Отрезок выходит за концы измерителя, т.е. является частью отрезка BG, следовательно, отрезок BG длиннее отрезка СD: (BG > СD).
Все рассмотренные способы сравнения длины отрезков проводят без определения значения длины сравниваемых отрезков.
4. Существует еще один способ сравнения длины отрезков путем измерения их длинны.
Для этого необходимо сначала измерить длину каждого отрезка, далее сравнить полученные значения их длины и сделать вывод.
Большим будет являться тот отрезок, длина которого больше.
Соответственно, если длины измеряемых отрезков равны, то и отрезки равны.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Закрыть
Ломаная линия
Если последовательно соединить отрезки так, чтобы конец одного отрезка являлся началом следующего (при этом соседние отрезки не лежат на одной прямой), то образуется геометрическая фигура, которая называется ломаной линией.
Отрезки, из которых состоит ломаная линия, называют звеньями.
Концы отрезков называют вершинами ломаной.
Самые крайние вершины ломаной называют концами ломаной
Обозначение ломаной линии составляют из названий вершин этой ломаной, называя их по порядку.
Длиной ломаной называется сумма длин всех ее звеньев.
Рассмотрим пример:
На рисунке изображена ломаная линия АBCDE.
Вершины ломаной АBCDE: А, B, C, D, Е.
Звенья ломаной АBCDE: AB, BC, CD, DE.
A и E — концы ломаной.
Найдем длину ломаной АВСDE:
АВСDE = AB+ BC+ CD+ DE = 2 см + 3 см + 4 см + 5 см = 14 см
Ломаная, концы которой совмещаются, называется замкнутой.
Многоугольником называется фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекаются.
Отрезки (звенья) ломаной линии называют сторонами многоугольника.
Общие точки двух отрезков (сторон) многоугольника называют его вершинами.
Каждая пара сторон многоугольника, сходящиеся в одной точке, образуют углы многоугольника.
Количество сторон и количество углов в многоугольнике совпадают.
Вершины, стороны и углы многоугольника обозначаются аналогично ломаной линии.
Многоугольник принято обозначать и называть по его вершинам, начиная с любой вершины и называя их последовательно, в любом порядке.
Рассмотрим пример:
На рисунке изображен многоугольник АBCDEF.
Вершины многоугольника АBCDEF: А, B, C, D, Е, F.
Стороны многоугольника АBCDEF: AB, BC, CD, DE, EF, FA.
Любые многоугольники можно сравнить: два многоугольника называются равными, если они совпадают при наложении.
Зная длину каждой стороны многоугольника, можно найти периметр этого многоугольника.
Периметр многоугольника — это сумма длин всех сторон.
Периметр многоугольника принято обозначать заглавной латинской буквой Р
Найдем периметр многоугольника АBCDEF (изображенного на рисунке):
РАВСDEF = AB+ BC+ CD+ DE+ EF+ FA = 2 см + 3 см + 2 см + 2 см + 3 см + 2 см = 14 см.
Существует огромное множество различных видов многоугольников.
Обычно многоугольники различают по числу сторон и углов.
Например: пятиугольник имеет 5 углов и 5 сторон, шестиугольник — 6 углов и 6 сторон.
Многоугольник с наименьшим числом вершин, сторон и углов называют треугольником.
Треугольник — плоская геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.
Треугольник часто обозначают символом «Δ» и тремя заглавными латинскими буквами, которые обозначают его вершины.
Рассмотрим пример:
На рисунке изображен треугольник АBC (Δ АBC).
А, В, С — вершины треугольника АBC.
Отрезки AB, BC, АC— стороны треугольника АBC.
Периметр треугольника- это сумма длин трех его сторон.
Найдем периметр треугольника АBC (изображенного на рисунке):
РАВС = AB+ BC+ АС = 4 см + 6 см + 3 см = 13 см.
Видео с вопросом: Нахождение координат точки, разделяющей отрезок линии на заданное соотношение
Стенограмма видеозаписи
Если координаты 𝐴 и 𝐵 равны пяти, пяти и отрицательной единице, отрицательной четверке, соответственно, найдите координаты точки 𝐶, которая делит ternally внутри в соотношении два к одному.
Итак, давайте просто вообразим ситуацию здесь. У нас есть две точки, 𝐴 и 𝐵, взаимное расположение которых выглядит примерно так.Мы ищем координаты точки 𝐶, которая делит 𝐴𝐵 внутри в соотношении два к одному. Итак, 𝐶 — это точка где-то на длине 𝐴𝐵. А длина отрезка 𝐴𝐶 вдвое больше длины отрезка.
Другими словами, 𝐶 составляет две трети длины 𝐴𝐵. Как если бы 𝐴𝐵 делится на три равные части, то две из них находятся с одной стороны от 𝐶, а одна — с другой.
Чтобы ответить на этот вопрос, я собираюсь подумать о том, как мы переходим от 𝐴 к 𝐵 с точки зрения изменения координат.Прежде всего, я рассмотрю горизонтальное изменение. В точке координата равна пяти. А у — отрицательный. Итак, это замена отрицательной шестерки. Перемещаем шесть единиц влево.
Теперь давайте рассмотрим вертикальное изменение. В точке координата равна пяти. А в это отрицательная четверка. Итак, это замена отрицательной девятки. Перемещаемся на девять единиц вниз. Давайте тогда подумаем об этом соотношении, которое состоит из трех равных частей. Каждое горизонтальное и вертикальное перемещение будет составлять одну треть от общего горизонтального и вертикального перемещения.
Разделив минус шесть на три, мы получим два минус. И разделив минус девять на три, мы получим минус три. Таким образом, каждая часть этого отношения находится на две единицы слева и на три единицы ниже. Помните, что 𝐶 делит эту строку в соотношении два к одному. Итак, чтобы перейти от 𝐴 к 𝐶, мы фактически перемещаем две части отношения. Следовательно, нам нужно переместить четыре единицы влево и шесть единиц вниз.
Чтобы найти координаты, мы можем применить это преобразование к координатам.Если мы перемещаем четыре единицы влево, нам нужно вычесть четыре из 𝑥-координаты. Итак, у нас есть пять минус четыре. И если мы перемещаемся на шесть единиц вниз, нам нужно вычесть шесть из координаты. Итак, у нас пять минус шесть. Это дает координаты 𝐶, которые равны единице, отрицательной.
% PDF-1.4
%
296 0 объект
>
эндобдж
xref
296 217
0000000016 00000 н.
0000006027 00000 н.
0000006112 00000 п.
0000006350 00000 н.
0000008141 00000 п.
0000008188 00000 н.
0000008235 00000 н.
0000008282 00000 н.
0000008329 00000 н.
0000008375 00000 н.
0000008421 00000 н.
0000008468 00000 н.
0000008516 00000 н.
0000008563 00000 н.
0000008611 00000 п.
0000008648 00000 н.
0000008701 00000 н.
0000009055 00000 н.
0000009391 00000 п.
0000009469 00000 н.
0000009545 00000 н.
0000009622 00000 н.
0000009697 00000 п.
0000009994 00000 н.
0000013654 00000 п.
0000014077 00000 п.
0000014493 00000 п.
0000015400 00000 п.
0000015599 00000 п.
0000015983 00000 п.
0000016277 00000 п.
0000018826 00000 п.
0000018990 00000 п.
0000019262 00000 п.
0000019628 00000 п.
0000020365 00000 н.
0000020804 00000 п.
0000021043 00000 п.
0000021579 00000 п.
0000022302 00000 п.
0000022350 00000 п.
0000022397 00000 п.
0000022455 00000 п.
0000022503 00000 п.
0000022550 00000 п.
0000022597 00000 п.
0000022644 00000 п.
0000022691 00000 п.
0000022738 00000 п.
0000022785 00000 п.
0000022832 00000 п.
0000022879 00000 п.
0000022926 00000 п.
0000022972 00000 п.
0000023019 00000 п.
0000023066 00000 п.
0000023113 00000 п.
0000025680 00000 п.
0000027781 00000 п.
0000029761 00000 п.
0000032058 00000 п.
0000034324 00000 п.
0000034402 00000 п.
0000034673 00000 п.
0000035069 00000 п.
0000035458 00000 п.
0000040290 00000 п.
0000040549 00000 п.
0000040975 00000 п.
0000041458 00000 п.
0000047844 00000 п.
0000048169 00000 н.
0000048529 00000 н.
0000048893 00000 п.
0000049345 00000 п.
0000049728 00000 п.
0000050148 00000 п.
0000050398 00000 п.
0000050826 00000 п.
0000051568 00000 п.
0000052266 00000 п.
0000052684 00000 п.
0000054806 00000 п.
0000055068 00000 п.
0000055487 00000 п.
0000055866 00000 п.
0000055917 00000 п.
0000056209 00000 п.
0000059660 00000 п.
0000062039 00000 п.
0000064731 00000 н.
0000067639 00000 п.
0000073587 00000 п.
0000074542 00000 п.
0000075997 00000 п.
0000082120 00000 н.
0000085093 00000 п.
0000095390 00000 п.
0000106947 00000 н.
0000110370 00000 п.
0000111719 00000 н.
0000112164 00000 н.
0000112413 00000 н.
0000112969 00000 н.
0000113091 00000 н.
0000113183 00000 н.
0000113381 00000 н.
0000113603 00000 н.
0000113807 00000 н.
0000113993 00000 н.
0000114197 00000 н.
0000114380 00000 н.
0000114557 00000 н.
0000114667 00000 н.
0000114777 00000 н.
0000114835 00000 н.
0000115018 00000 н.
0000115198 00000 п.
0000115372 00000 н.
0000115561 00000 н.
0000115750 00000 н.
0000115805 00000 н.
0000115863 00000 н.
0000116009 00000 н.
0000116588 00000 н.
0000116743 00000 н.
0000117235 00000 н.
0000117348 00000 н.
0000118976 00000 н.
0000119234 00000 н.
0000119548 00000 н.
0000120576 00000 н.
0000120908 00000 н.
0000121057 00000 н.
0000122085 00000 н.
0000126272 00000 н.
0000126503 00000 н.
0000126733 00000 н.
0000126984 00000 н.
0000127220 00000 н.
0000127431 00000 н.
0000127643 00000 н.
0000127835 00000 н.
0000128026 00000 н.
0000128198 00000 н.
0000128408 00000 н.
0000129520 00000 н.
0000129732 00000 н.
0000129944 00000 н.
0000130155 00000 н.
0000130365 00000 н.
0000130537 00000 н.
0000130787 00000 н.
0000130974 00000 п.
0000131148 00000 н.
0000131325 00000 н.
0000131498 00000 н.
0000132014 00000 н.
0000132191 00000 н.
0000132347 00000 н.
0000132538 00000 н.
0000132713 00000 н.
0000132886 00000 н.
0000133042 00000 н.
0000133221 00000 н.
0000133393 00000 н.
0000133567 00000 н.
0000133723 00000 п.
0000136255 00000 н.
0000136446 00000 н.
0000136758 00000 н.
0000136951 00000 п.
0000137127 00000 н.
0000137320 00000 н.
0000137586 00000 н.
0000137762 00000 н.
0000137948 00000 н.
0000138205 00000 н.
0000138413 00000 н.
0000140710 00000 н.
0000140909 00000 н.
0000141083 00000 н.
0000141227 00000 н.
0000141449 00000 н.
0000141622 00000 н.
0000141865 00000 н.
0000142040 00000 н.
0000142220 00000 н.
0000142429 00000 н.
0000142609 00000 н.
0000144675 00000 н.
0000144849 00000 н.
0000145036 00000 н. + * XqW
bQ ‘.aR.], ‘@ Mf% Leu9_’}.
Формула раздела — Внутреннее и внешнее деление | Координатная геометрия
Предположим, что точка делит линейный сегмент на две части, которые могут быть равными или нет, с помощью формулы сечения мы можем найти эту точку, если заданы координаты линейного сегмента, и мы также можем найти соотношение, в котором точка делит данный отрезок линии, если заданы координаты этой точки.
Когда точка C делит отрезок AB в соотношении m: n, мы используем формулу сечения, чтобы найти координаты этой точки.Формула сечения имеет 2 вида. Эти типы зависят от точки C, которая может находиться между точками или вне отрезка линии.
Два типа:
- Формула внутреннего сечения
- Формула внешнего сечения
Формула внутреннего сечения
Когда точка делит линейный сегмент в соотношении m: n внутри точки C, тогда эта точка находится между координаты отрезка линии, то мы можем использовать эту формулу. Его еще называют внутренним отделом.
Если координаты A и B равны (x1, y1) и (x2, y2) соответственно, то формула внутреннего сечения задается как:
Вывод формулы
Пусть A (x1, y1) и B (x2, y2) — конечные точки данного отрезка AB, а C (x, y) — точка, которая делит AB в соотношении m: n.
Тогда AC / CB = m / n
Мы хотим найти координаты (x, y) точки C.
Теперь нарисуйте перпендикуляры A, C, B параллельно координате Y, соединяющейся в точке P , Q и R по оси X.
Если посмотреть на диаграмму выше,
AM = PQ = OQ — OP = (x — x1)
CN = QR = OR — OQ = (x2 — x)
CM = CQ — MQ = (y — y1)
BN = BR — NR = (y2 — y)
Ясно, что мы можем видеть, что ∆AMC и ∆CNB подобны и, следовательно, их стороны пропорциональны правилу сравнения AA.
AC / CB = AM / CN = CM / BN
Теперь подставляем значения в указанное выше соотношение
=> m / n = [x — x1 / x2 -x] = [y — y1 / y2 — y]
=> m / n = [x — x1 / x2 -x] и m / n = [y — y1 / y2 — y]
Решая первое условие,
=> m (x2 — x) = n (x — x1)
=> (m + n) x = (mx2 + nx1)
=> x = (mx2 + nx1) / (m + n)
Решая 1-е условие,
= > m (y2 — y) = n (y — y1)
=> (m + n) y = (my2 + ny1)
=> y = (my2 + ny1) / (m + n)
Следовательно, координаты C (x, y) равны
{(m × x 2 + n × x 1 ) / (m + n), (m × y 2 + n × y 1 ) / (m + n)}
Формула внешнего сечения
Когда точка, разделяющая линейный сегмент, делится снаружи в соотношении m: n, находится за пределами линейного сегмента i.е, когда мы продолжим линию, она совпадает с точкой, тогда мы можем использовать эту формулу. Его также называют внешним делением.
Если координаты A и B равны (x1, y1) и (x2, y2) соответственно, то формула внешнего сечения задается как
Вывод формулы
Для получения внутреннего сечения мы взяли линию отрезок и точка C (x, y) внутри линии, но в случае формулы внешнего сечения мы должны взять эту точку C (x, y) за пределы отрезка линии.
Пусть A (x1, y1) и B (x2, y2) будут конечными точками данного отрезка AB, а C (x, y) будет точкой, которая делит AB во внешнем отношении m: n.
Мы хотим найти координаты (x, y) точки C. Для этого нарисуйте перпендикуляры A, B, C, параллельные координате Y, соединяющиеся в точках P, Q и R на оси X.
Если посмотреть на диаграмму выше,
AM = PR = OR — OP = (x — x1)
BN = QR = OR — OQ = (x — x2)
аналогично,
CM = RC — MR = (y — y1)
CN = CR — NR = (y — y2)
Ясно, что мы можем видеть, что треугольник AMC и треугольник BNC подобны и, следовательно, их стороны пропорциональны правилу сравнения AA
AC / BC = AM / BN = CM / CN
Теперь подставляем значения в приведенном выше соотношении
=> m / n = [x — x1 / x — x2] = [y — y1 / y — y2]
= > m / n = [x — x1 / x — x2] и m / n = [y — y1 / y — y2]
Решая 1-е условие,
=> m (x — x2) = n (x — x1)
=> (m — n) x = (mx2 — nx1)
=> x = (mx2 — nx1) / (m — n)
Решая 2-е условие,
=> m (y — y2) = n (y — y1)
=> (m — n) y = (my2 — ny1)
=> y = (my2 — ny1) / (m — n)
Следовательно, ординаты C (x, y) равны
{(m × x 2 — n × x 1 ) / (m — n), (m × y 2 — n × y 1 ) / (m — n)}
Задачи по формуле сечения
Задача 1: Найдите координаты точки C (x, y), где она делит отрезок линии, соединяющий (4, — 1) и (4, 3), в соотношении 3: 1 внутри ?
Решение:
Заданные координаты: A (4, -3) и B (8, 5)
Пусть C (x, y) будет точкой, которая делит отрезок линии в соотношении 3. : 1 я.em: n = 3: 1
Теперь, используя формулу C (x, y) = {(m × x2 + n × x1) / (m + n), (m × y2 + n × y1) / (m + n)} , поскольку C делит внутри.
=> C (x, y) = {(3 * 4 + 1 * 4) / (3 + 1), (3 * 3 + 1 * (- 1)) / (3 + 1)}
= > C (x, y) = {16/4, 8/4}
=> C (x, y) = {4, 2}
Следовательно, координаты равны (4, 2).
Задача 2: Если точка P (k, 7) делит отрезок прямой, соединяющий A (8, 9) и B (1, 2) в соотношении m: n, то найдите значения m и n.
Решение:
Не упоминается, что точка разделяет линейный сегмент внутри или снаружи. Итак, в то время мы будем рассматривать внутреннюю секцию по умолчанию.
Заданные координаты: A (8, 9) и B (1, 2)
Пусть заданная точка P (k, 7) делит отрезок прямой в соотношении m: 1
Теперь используем сечение формула, находящая только координату x,
=> k = (m × x2 + n × x1) / (m + n)
=> k = (m × 1 + 1 × 8) / (m +1)
=> k = (m + 8) / (m + 1)
=> км + k = m + 8 …….(1)
Снова используя формулу сечения для координаты y.
=> 7 = (m × y2 + n × y1) / (m + n)
=> 7 = (m × 2 + 1 × 9) / (m + 1)
=> 7 = (2m + 9) / (m +1)
=> 7m + 7 = 2m +9
=> 5m = 2
=> m = 5/2
Таким образом, требуемое соотношение составляет 5: 2
Следовательно, значение m равно 5, а значение n равно 2
Задача 3: A (4, 5) и B (7, -1) — две заданные точки, а точка C делит линейный сегмент AB снаружи в соотношение 4: 3.Найдите координаты C.
Решение:
Заданные координаты: A (4, 5) и B (7, -1)
Пусть C (x, y) будет точкой, которая разделяет линию сегмент снаружи в соотношении 4: 3, т.е. m: n = 4: 3
Теперь используя формулу C (x, y) = {(m × x2 — n × x1) / (m — n), (m × y2 — n × y1) / (m — n)} , поскольку C делит внутри.
значение x = (mx2 — nx1) / (m — n)
=> (4 * 7-3 * 4) / (4-3)
=> 16
значение y = (my2 — ny1) / (m — n)
=> (4 * (-1) — 3 * 5) / (4 — 3)
=> -19
Следовательно, координаты (16, -19).
Задача 4: Линия 2x + y − 4 = 0 делит отрезок прямой, соединяющий точки A (2, −2) и B (3,7). Найдите отношение отрезка линии, в котором линия делится?
Решение:
Заданы координаты A (2, -2) и B (3, 7).
Линия с уравнением 2x + y — 4 = 0 делит отрезок прямой в точке C (x, y)
Предположим, данная линия разрезает отрезок прямой в соотношении 1: n.
По формуле сечения,
=> x = (m * x2 + n * x1) / (m + n)
=> x = (3 + 2n) / (1 + n) ………..1
Аналогично
=> y = (m * y2 + n * y1) / (m + n)
=> y = (7 — 2n) / (1 + n) ……… .2
Теперь подставляем уравнения 1 и 2 в данное уравнение прямой.
=> 2x + y — 4 = 0
=> 2 [(3 + 2n) / (1 + n)] + [(7 — 2n) / (1 + n)] — 4 = 0
= > 6 + 4n + 7 — 2n — 4 (1 + n) = 0
=> 13 + 2n — 4 — 4n = 0
=> 9 — 2n = 0
=> n = 2/9
Следовательно, соотношение, при котором линия делится, составляет 9: 2.Мы также можем найти значения x и y, подставив значение n в уравнения 1 и 2.
Задача 5: A (2, 7) и B (–4, –8) являются координатами отрезок AB. Есть две точки, которые делят сегмент пополам. Найдите их координаты.
Решение:
Две точки пересекали отрезок прямой, что означает, что отрезок делится на 3 равные части.
AS = ST = TB ………… 1
=> AS / SB
=> AS / ST + TB
=> AS / (AS + AS) из уравнения 1
=> AS / 2 AS
=> 1/2
Итак, S делит отрезок AB в соотношении 1: 2
Теперь применяя формулу сечения, чтобы найти координаты точки S
=> x1 = (1 × (-4) + 2 × 2) / (1 + 2)
=> x1 = (-4 + 4) / 3
=> x1 = 0
Аналогично для координаты y
=> y1 = (1 × ( -8) + 2 × 7) / (1 + 2)
=> y1 = (14-8) / 3
=> y1 = 2
Также.
=> AT / TB
=> (AS + ST) / TB
=> 2 ТБ / ТБ из уравнения 1
=> 2/1
Итак, T делит отрезок AB в соотношении 2: 1
Теперь применив формулу сечения, чтобы найти координаты точки T
=> x2 = (2 × (-4) + 1 × 2) / (2 + 1)
=> x2 = (-8 + 2) / 3
=> x2 = -2
Аналогично, для координаты y
=> y2 = (2 × (-8) + 1 × 7) / (2 + 1)
=> y2 = ( -16 + 7) / 3
=> y2 = -3
Таким образом, координаты:
S (x1, y1) = (0, 2)
T (x2, y2) = (-2, -3)
Документ без названия
Документ без названия
Цели урока 2:
1.Узнайте, как использовать символы для линий, сегментов, лучей и расстояний.
2. Нахождение расстояний.
3. Постулат сложения сегментов
************************************************ ************************************************* ************************************************ *********
точки могут лежать между собой на одной линии. На следующей диаграмме точка B находится между точкой A и точкой C. Кроме того, точка B находится на линии.
Сегмент — это линия, имеющая две конечные точки и содержащая все точки между двумя конечными точками.На диаграмме выше показан сегмент с конечными точками A и C.
Луч — это линия с одной конечной точкой.
Ray AC обозначается и состоит из сегмента и всех других точек, таких как B. Конечная точка — A, которая является точкой, названной первой.
Противоположные лучи — лучи, расходящиеся в противоположных направлениях. На следующей диаграмме и — противоположные лучи.
Постулат Правителя:
1.Точки на линии могут быть связаны с действительными числами таким образом, что любые две точки могут иметь координаты 0 и 1.
2. Если система координат выбрана таким образом, расстояние между любыми двумя точками равно абсолютному значению разницы их координат.
Из приведенной выше диаграммы точка A соединена с -2, точка B соединена с 1. Чтобы найти расстояние между двумя точками или длину этого сегмента, возьмите абсолютное значение их координат.Расстояние между заметками не может быть отрицательным, поэтому используется абсолютное значение.
Чтобы найти длину отрезка, возьмите абсолютную разницу координат точки A и точки C.
Постулат добавления сегмента:
Если B находится между A и C, то AB + BC = AC.
В геометрии два объекта одинакового размера и формы называются конгруэнтными .
Конгруэнтные сегменты — это сегменты одинаковой длины.Если бы мы хотели показать этот сегмент и были бы совпадающими, мы бы обозначили его как
.
.
Средняя точка сегмента — это точка, которая делит сегмент на два конгруэнтных сегмента. На диаграмме ниже B будет средней точкой, а.
Биссектриса сегмента — это линия, сегмент, луч или плоскость, пересекающая сегмент в его средней точке.
************************************************ ************************************************ ************************************************ ******
Упражнения студентов:
ВОЗВРАТ НА ГЛАВНУЮ СТРАНИЦУ УРОКА
ВОЗВРАТ НА EMAT 6690 СТРАНИЦА
Деление линейного сегмента на заданное соотношение
Деление линейного сегмента на заданное соотношение
Дан отрезок AB, мы хотим разделить его в соотношении m: n, где m и n — положительные целые числа.Чтобы помочь вам понять это, возьмем m = 3 и n = 2.
Шаги построения:
1. Нарисуйте любой луч AX, образуя острый угол с AB.
2. Найдите 5 (= m + n) точек A 1 , A 2 , A 3 , A 4 и A 5 на AX так, чтобы AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5 .
3. Присоединяйтесь к BA 5 .
4. Через точку A 3 (m = 3) проведите линию, параллельную A 5 B (сделав угол равным ∠AA 5 B) в точке A 3 , пересекающей AB в точке точку C (см. рисунок). Тогда AC: CB = 3: 2.
Давайте посмотрим, как этот метод дает нам требуемое деление.
Поскольку A 3 C параллельна A 5 B, следовательно,
\ (\ frac {A {{A} _ {3}}} {{{A} _ {3}} {{A} _ {5}}} = \ frac {AC} {CB} \ text {} \ left (\ text {По основной теореме пропорциональности} \ right) \)
\ (\ frac {A {{A} _ {3} }} {{{A} _ {3}} {{A} _ {5}}} = \ frac {3} {2} \ text {(По конструкции)} \)
\ (\ text {} \ frac {AC} {CB} = \ frac {3} {2} \ text {} \)
Это показывает, что C делит AB в соотношении 3: 2.
Альтернативный метод
Этапы построения:
1. Нарисуйте любой луч AX, образующий острый угол с AB.
2. Нарисуйте луч BY, параллельный AX, сделав ∠ABY равным ∠BAX.
3. Найдите точки A 1 , A 2 , A 3 (m = 3) на AX и B 1 , B 2 (n = 2) на BY так, чтобы AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = BB 1 = B 1 B 2 .
4. Присоединение A 3 B 2 .
Пусть он пересекает AB в точке C (см. Рисунок)
Тогда AC: CB = 3: 2
Почему этот метод работает? Покажи нам.
Здесь DAA 3 C похож на DAB 2 C. (Почему?)
\ (\ text {Then} \ frac {A {{A} _ {3}}} {B {{B} _ { 2}}} = \ frac {AC} {BC} \)
\ (\ frac {A {{A} _ {3}}} {B {{B} _ {2}}} = \ frac {3} {2} \ text {(По построению)} \)
\ (\ text {} \ frac {AC} {BC} = \ frac {3} {2} \)
Фактически, приведенные выше методы работают для разделения отрезок линии в любом соотношении.
Теперь мы воспользуемся идеей приведенной выше конструкции для построения треугольника, подобного данному треугольнику, стороны которого находятся в заданном соотношении с соответствующими сторонами данного треугольника.
Середина сегмента линии
Середина сегмента линии
Точка на полпути между конечными точками отрезка называется средней точкой . Средняя точка делит отрезок линии на два равных отрезка.
По определению, средняя точка линейного сегмента — это точка на этом линейном сегменте, которая делит сегмент на два конгруэнтных сегмента.
В координатной геометрии есть несколько способов определения средней точки линейного сегмента.
Метод 1:
Если сегменты линии вертикальные или горизонтальные, вы можете найти среднюю точку, просто разделив длину сегмента на 2 и отсчитав это значение от любой из конечных точек.
Найдите средние точки \ (\ overline {AB} \) и \ (\ overline {CD} \).
AB равно 8 (по счету). Средняя точка — 4 единицы от каждой конечной точки. На графике это точка (1,4).
CD равно 3 (по подсчетам). Средняя точка составляет 1,5 единицы от любой конечной точки. На графике эта точка равна (2,1,5)
.
Метод 2:
Если линейные сегменты расположены по диагонали, необходимо подумать над решением. Когда вы находите координаты средней точки сегмента, вы фактически находите среднее (среднее значение) x-координат и среднее (среднее) y-координаты.
Эту концепцию нахождения среднего значения координат можно записать в виде формулы:
ПРИМЕЧАНИЕ: Формула средней точки работает для всех сегментов линии: вертикальных, горизонтальных или диагональных.
Рассмотрим эту «сложную» задачу о средней точке:
M — это средняя точка \ (\ overline {CD} \). Даны координаты M (-1,1) и C (1, -3). Найдите координаты точки D.
Сначала визуализируйте ситуацию. Это даст вам представление о том, где примерно будет находиться точка D. Когда вы найдете свой ответ, убедитесь, что он соответствует вашей визуализации того, где должна быть расположена точка.
Другие методы решения:
Вербализация алгебраического решения:
Некоторым ученикам нравится решать эти «сложные» задачи, просто исследуя координаты и задавая себе следующие вопросы:
«Координата x моей средней точки равна -1.Чего -1 половина? (Ответ -2)
Что мне добавить к координате x моей конечной точки +1, чтобы получить -2? (Ответ -3)
Этот ответ должен быть координатой x другой конечной точки ».
Эти студенты просто озвучивают алгебраическое решение.
(Они используют тот же процесс для координаты y.)
Использование концепции наклона и совпадающих треугольников:
Отрезок линии — это часть прямой линии, уклон которой (подъем / спуск) остается неизменным независимо от того, где он измеряется.Некоторым ученикам нравится смотреть на значения нарастания и пробега координат x и y и использовать эти значения для поиска отсутствующей конечной точки.
Найдите уклон между точками C и M. Этот уклон имеет подъем на 2 единицы влево и подъем на 4 единицы вверх. Повторяя этот наклон от точки M (переместите 2 единицы влево и 4 единицы вверх), вы придете к другой конечной точке.
Используя этот наклонный подход, вы создаете два конгруэнтных прямоугольных треугольника, стороны которых имеют одинаковую длину. Следовательно, их гипотенузы также имеют одинаковую длину и DM = MC, что делает M серединой \ (\ overline {CD} \).
Параллельные сегменты и пропорции сегментов
Параллельные сегменты и пропорции сегментов
Предположим, у вас есть сегмент AB. Вы говорили о разделении сегмента на две равные части (используя среднюю точку). Вы также можете разбить сегмент на трети, четверти или любую другую, какую хотите.
Предположим, у вас есть два сегмента, AB и RS, как показано на рисунке 14.3. Эти сегменты могут иметь одинаковую длину или разную длину. Вы можете разбить каждый сегмент на множество частей.Один из конкретных способов разделения сегментов — это пропорциональное разделение. Когда два сегмента, AB и RS, делятся пропорционально, это означает, что вы нашли две точки, C на AB и T на RS, так что
Рисунок 14.3 AB и RS делятся пропорционально, так что AC / RT = CB / TS
Теперь вы готовы доказать следующую теорему:
- Теорема 14.2 : Если прямая параллельна одной стороне треугольника и пересекает две другие стороны, то он делит эти стороны пропорционально.
- Пример 1 : Напишите формальное доказательство теоремы 14.2.
- Решение : Эта теорема проиллюстрирована на рис. 14.4.
Рисунок 14.4 ? ABC имеет? DE? ? BC, где? DE пересекает AB в D и AC в E.
- Дано: На рисунке 14.4? ABC имеет? DE? ? BC, где? DE пересекает AB в точке D и AC в точке E.
- Доказательство: AD / DB = AE / EC .
- Доказательство: Чтобы показать, что D и E делят сегменты AB и AC пропорционально, вам нужно будет показать, что? ADE ~? ABC, а затем использовать CSSTAP.Чтобы показать, что? ADE ~? ABC, вы воспользуетесь теоремой подобия AA. Чтобы определить совпадения углов, вы воспользуетесь нашим постулатом о соответствующих углах и параллельных прямых.
| Заявления | Причины | |
|---|---|---|
| 1. | ? ABC имеет? DE? ? BC, с? DE, пересекающим AB в D и AC в E | Дано |
| 2. | ? DE? ? BC, разрезанный поперечным AB | Определение поперечного |
| 3. | ? ADE и? ABC — соответствующие углы | Определение соответствующих углов |
| 4. | ? ADE ~ =? ABC | Постулат 10.1 |
| 5. | ? DAE ~? ABC | |
| 6. | ? ADE ~? ABC | AA Теорема подобия |
| 7. | AB / AD = AC / AE | |
| 8. | AB — AD / AD = AC — AE / AE | Свойство 3 пропорциональности |
| 9. | BD / AD = 90/ EC8 | Постулат сложения сегментов |
| 10. | AD / BD = AE / EC | Свойство 2 пропорциональности |
Вы также можете использовать два одинаковых треугольника, чтобы параллельно.Например, предположим, что? ADE ~? ABC на рисунке 14.5. Вы можете доказать, что DE? ? ДО Н.Э.
- Пример 2 : Если? ADE ~? ABC, как показано на рисунке 14.5, докажите, что DE? ? ДО Н.Э.
Рисунок 14.5 ? ADE ~? ABC.
- Решение : Ваш план игры довольно прост. Поскольку? ADE ~? ABC, вы знаете, что? ADE ~ =? ABC. Поскольку? ADE и? ABC — совпадающие соответствующие углы, вы знаете, что? DE? ? ? BC по теореме 10.7.
| Заявления | Причины | |
|---|---|---|
| 1. | ? ADE ~? ABC | Дано |
| 2. | ? ADE ~ =? ABC | Определение ~ |
| 3. | ? DE и? BC — две линии, разрезанные поперечным? AB | Определение поперечного |
| 4. | ? ADE и? ABC — соответствующие углы | Определение соответствующих углов |
| 5. | DE? ? BC | Теорема 10.7 |
Выдержка из The Complete Idiot’s Guide to Geometry 2004 Дениз Сечей, Ph.D .. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.
Чтобы заказать эту книгу непосредственно у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476.