Точки м и к делят отрезок ав на три части: AM, MK и КВ. Найдите длину отрезка АВ, если AM = 3 см 5 мм, отрезок МК на 13 мм длиннее отрезка AM, а отрезок АК на 8 мм короче отрезка КВ.

Содержание

5 класс. Математика. Виленкин. Учебник. Ответы к стр. 37

Натуральные числа

Сложение и вычитание натуральных чисел
Сложение натуральных чисел и его свойства

Ответы к стр. 37

200. Какая из сумм – 18 + 24 или 18 + 35 – больше? Какая из сумм 18 + 24 или 21 + 35 – больше? Что происходит с суммой при увеличении слагаемых? А при их уменьшении?

18 + 24 = 42, 18 + 35 = 53, 42 < 53.
18 + 24 = 42, 21 + 35 = 56, 42 < 56.
При увеличении слагаемых сумма увеличивается, при уменьшении слагаемых сумма уменьшается.

201. Какая из сумм больше: 509 + 971 или 453 + 872? Ответьте, не выполняя вычислений.

Больше первая сумма, поскольку каждое слагаемое первой суммы больше соответствующего слагаемого второй суммы:  509 > 453, 971 > 872 ⇒ 509 + 971 > 453 + 872.

202. Не вычисляя, расположите суммы в порядке возрастания:
а) 78 + 65;    г) 37 + 42;
б) 78 + 42;    д) 144 + 83.
в) 144 + 65;

г) 37 + 42; б) 78 + 42; а) 78 + 65; в) 144 + 65; д) 144 + 83.

203. Докажите, что:
а) 5000 + 7000 < 5374 + 7980 < 6000 + 8000;
б) 17 000 < 6809 + 11 861 < 19 000.

а) Каждое из слагаемых в каждой следующей паре увеличивается, следовательно, каждая следующая сумма больше предыдущей: 5000 < 5374 < 6000, 7000 < 7980 < 8000 ⇒ 5000 + 7000 < 5374 + 7980 < 6000 + 8000;
б) 6809 + 11 861 = 18 670 ⇒ 17 000 < 18 670 < 19 000.

204. Ученик, складывая числа 9875 и 6371, получил ответ 97 246. Каким путём он может сразу обнаружить свою ошибку?

При сложении двух исходных чисел происходит переход в верхний разряд (десятки тысяч), но в этот разряд может перейти только единица, а не 9. Поскольку 9875 < 10 000 и 6371 < 7000, то 9875 + 6371 < 10 000 + 7000 или 9875 + 6371 < 17 000, следовательно, сумма двух исходных чисел не может быть больше 17 000 и не равна 97 246.

205. Точка В делит отрезок АК на две части. Отрезок АВ равен 27 мм, а отрезок ВК на 30 мм длиннее отрезка АВ. Найдите длину отрезка АК.

1) 27 + 30 = 57 (мм) – отрезок ВК
2) 27 + 57 = 84 (мм) – отрезок АК
О т в е т: длина отрезка АК 84 мм.

206. Точки М и К делят отрезок АВ на три части: AM, MK и КВ. Найдите длину отрезка АВ, если AM = 3 см 5 мм, отрезок МК на 13 мм длиннее отрезка AM, а отрезок АК на 8 мм короче отрезка КВ.

3 см 5 мм = 35 мм
1) 35 + 13 = 48 (мм) – отрезок МК
2) 35 + 48 = 83 (мм) – отрезок АК
3) 83 + 8 = 91 (мм) – отрезок КВ
4) 48 + 83 + 91 = 174 (мм) – отрезок АВ
О т в е т: длина отрезка АВ 174 мм.

207. Длина прямоугольного садового участка 86 м, а ширина 9 м. Найдите длину забора этого участка.

(86 + 9) • 2 = 190 (м) – длина забора
О т в е т: длина забора 190 м.

208. Одна из сторон прямоугольника 24 см, а другая в 3 раза больше. Найдите периметр прямоугольника.

1) 24 • 3 = 72 (см) – длина прямоугольника
2) (24 + 72) • 2 = 192 (см) – периметр прямоугольника
О т в е т: периметр прямоугольника 192 см.

209. В треугольнике DKC сторона DK меньше стороны КС на 6 см и больше стороны DC на 2 см. Найдите периметр треугольника DKC, если DC = 18 см.

1) 18 + 2 = 20 (см) – длина DK
2) 20 + 6 = 26 (см) – длина KC
3) 18 + 20 + 26 = 64 (см) – периметр ΔDKC
О т в е т: периметр ΔDKC = 64 см.

210. Начертите квадрат со стороной 3 см. Вычислите его периметр.

3 • 4 = 12 (см) – периметр квадрата
О т в е т: периметр квадрата 12 см.

211. В четырёхугольнике ABCD сторона AD на 4 см 6 мм больше стороны АВ, а АВ = ВС = CD = 13 см. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

13 см = 130 мм, 4 см 6 мм = 46 мм
1) 130 + 46 = 176 (мм) – длина AD
2) 130 + 130 + 130 + 176 = 566 (см) – периметр ◊ABCD
О т в е т: периметр ◊ABCD = 566 мм.

Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И

Математика. 5 класс

Понравилось? Оцени!

Математический портал. Высшая математика. Математический анализ.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Зная координаты точек $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и отношение $\lambda,$ в котором точка $M$ делит направленный отрезок $\overline{M_1M_2},$ найдем координаты точки $M.$

Пусть $O -$ начало координат. Обозначим $\overline{OM_1}=r_1,$ $\overline{OM_2}=r_2,$ $\overline{OM}=r.$ Так как, $$\overline{M_1M}=r-r_1, \overline{MM_2}=r_2-r,$$ то $r-r_1=\lambda(r_2-r),$ откуда (так как $\lambda\neq -1$) $$r=\frac{r_1+\lambda r_2}{1+\lambda}.$$ Полученная форма и дает решение задачи в векторной форме. Переходя в этой формуле к координатам, получим $$x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}, y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}, z=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda}.$$

Примеры.

2.57. Отрезок с концами в точках $A(3, -2)$ и $B(6, 4)$ разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.

Решение.

Пусть $C(x_C, y_C)$ и $D(x_D, y_D) -$ точки, которые делят отрезок $AB$ на три равные части. Тогда $$\lambda_1=\frac{AC}{CB}=\frac{1}{2};$$ $$x_C=\frac{x_A+\lambda_1x_B}{1+\lambda_1}=\frac{3+\frac{1}{2}\cdot 6}{1+\frac{1}{2}}=4;$$ 

$$y_C=\frac{y_A+\lambda_1y_B}{1+\lambda_1}=\frac{-2+\frac{1}{2}\cdot 4}{1+\frac{1}{2}}=0.$$ 

Далее находим координаты точки $D:$

$$\lambda_2=\frac{AD}{DB}=\frac{2}{1}=2;$$ $$x_D=\frac{x_A+\lambda_2x_B}{1+\lambda_2}=\frac{3+2\cdot 6}{1+2}=5;$$ 

$$y_D=\frac{y_A+\lambda_2y_B}{1+\lambda_2}=\frac{-2+2\cdot 4}{1+2}=2.$$ 

Ответ: $(4, 0)$ и $(5, 2).$

 

2.58.Определить координаты концов отрезка, который точками $C(2, 0, 2)$ и $D(5, -2, 0)$ разделен на три равные части.

Решение.

Пусть $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B) -$ концы заданного отрезка.

Выпишем формулы для нахождения координат точки $C$ и подставим известные координаты:

$$\lambda_1=\frac{AC}{CB}=\frac{1}{2};$$ $$x_C=\frac{x_A+\lambda_1x_B}{1+\lambda_1}\Rightarrow 2=\frac{x_A+\frac{1}{2}\cdot x_B}{1+\frac{1}{2}}=2\frac{x_A+\frac{1}{2}\cdot x_B}{3}\Rightarrow $$ $$\Rightarrow 3=x_A+\frac{1}{2}\cdot x_B;$$ 

$$y_C=\frac{y_A+\lambda_1y_B}{1+\lambda_1}\Rightarrow 0=\frac{y_A+\frac{1}{2}\cdot y_B}{1+\frac{1}{2}}\Rightarrow 0=y_A+\frac{1}{2}\cdot y_B;$$

$$z_C=\frac{z_A+\lambda_1z_B}{1+\lambda_1}\Rightarrow 2=\frac{z_A+\frac{1}{2}\cdot z_B}{1+\frac{1}{2}}=2\frac{z_A+\frac{1}{2}\cdot z_B}{3}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 3=z_A+\frac{1}{2}\cdot z_B.$$ 

Аналогичные равенства запишем для точки $D:$

$$\lambda_2=\frac{AD}{DB}=\frac{2}{1}=2;$$ $$x_D=\frac{x_A+\lambda_2x_B}{1+\lambda_2}\Rightarrow 5=\frac{x_A+2\cdot x_B}{1+2}=\frac{x_A+2\cdot x_B}{3}\Rightarrow $$ $$\Rightarrow 15=x_A+2\cdot x_B;$$ 

$$y_D=\frac{y_A+\lambda_2y_B}{1+\lambda_2}\Rightarrow -2=\frac{y_A+2\cdot y_B}{1+2}\Rightarrow -6=y_A+2\cdot y_B;$$

$$z_D=\frac{z_A+\lambda_2z_B}{1+\lambda_2}\Rightarrow 0=\frac{z_A+2\cdot z_B}{1+2}\Rightarrow 0=z_A+2\cdot z_B.$$

Далее запишем полученные уравнения относительно $x_A, x_B;$ $y_A, y_B$  и $z_A, z_B$ попарно в виде систем и решим их:

$$\left\{\begin{array}{lcl}x_A+\frac{1}{2}x_B=3\\x_A+2x_B=15\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x_A=3-0,5x_B\\3-0,5x_B+2x_B=15\end{array}\right.\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x_A=3-0,5\cdot8=-1\\x_B=\frac{12}{1,5}=8\end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{lcl}y_A+\frac{1}{2}y_B=0\\y_A+2y_B=-6\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}y_B=-2y_A\\y_A-4y_A=-6\end{array}\right.\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}y_B=-4\\y_A=2\end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{lcl}z_A+\frac{1}{2}z_B=3\\z_A+2z_B=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}-2z_B+0,5z_B=3\\z_A=-2z_B\end{array}\right.\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}z_B=-2\\z_A=4\end{array}\right.$$

Таким образом, получили координаты концов отрезка $A(-1, 2, 4)$ и $B(8, -4, -2).$ 

Ответ: $A(-1, 2, 4),$ $B(8, -4, -2).$ 

 

 

Урок 4. измерение отрезков — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 4

Измерение отрезков

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Измерительные инструменты.
  • Длина отрезка.
  • Ломаная.
  • Равные отрезки.
  • Середина отрезка.
  • Единица измерения.

Тезаурус:

Середина отрезка – это точка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.

Две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными.

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Длина отрезка – это расстояние между концами этого отрезка.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

«Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром!» – однажды сказал средневековый философ Марсилио Фичино.

И в этом есть доля правды, ведь измерения – это одно из важных действий в геометрии.

Поэтому сегодня мы будем измерять данный отрезок с помощью линейки и выражать результат в выбранной единице измерения.

В жизни часто приходится измерять длины, будь то длина дороги или ширина комнаты. В геометрии мы будем измерять отрезки. На чём же основано измерение отрезков?

Основа любого измерения – это сравнение величин с другими, принятыми за единицу измерения этой величины.

То же самое и с измерением длины отрезка. Т.е. измерение отрезка – это сравнение длины отрезка с некоторым другим отрезком (масштабным), выбранным за единицу измерения.

Если взять за единицу измерения сантиметр, то, определяя длину отрезка, мы узнаём, сколько раз в заданном отрезке укладывается сантиметр.

Например, один сантиметр укладывается в отрезке АВ семь раз, следовательно, длина отрезкасемь сантиметров.

А В

АВ = 7см.

Если масштабный отрезок не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке, то единицу измерения делят ещё на части, обычно на десять. Далее, определяют, сколько такая часть укладывается в остатке.

Например, в отрезке АВ один сантиметр укладываетсятри раза, в остатке ровно 7 раз укладывается десятая часть сантиметра, а десятая часть сантиметра это миллиметр, т.е. длина отрезка АВ три сантиметра семь миллиметров или три целых семь десятых сантиметра.

АВ= 3см 7мм = 3,7см.

Но бывает, что и при меньшем масштабном отрезке есть остаток, тогда говорят, что длина отрезка приближенно равна определенному значению.

Для более точного измерения этого отрезка указанную часть единицы измерения (в данном случае миллиметр) можно разделить на 10 равных частей и продолжить процесс измерения, но обычно так не делают, оставляют приближенное значение длины отрезка.

Стоит отметить, что за единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок. Например, метр, милю. А выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т.е. выразить его длину некоторым положительным числом.

Два отрезка считаются равными, если единица измерения и её части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т.е. равные отрезки имеют равные длины.

Если один отрезок меньше другого, то единица измерения (или её часть) укладываются в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т.е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

Если на отрезке, например, AD , имеются точки, которые делят отрезок на несколько других отрезков, в нашем случае на три,то длину отрезка, в нашем случае AD,можно найти каксумму длин эти этих отрезков. Т.е. AD равно сумма длин отрезков AB, BC и CD.

АD = АВ + ВС + СD,

AВ = 4см,

ВС = 1,2 см,

CD = 1,3 см,

AD= 4 см + 1,2 см + 1,3 см = 6 см.

Таким образом, длина отрезка – это расстояние между концами этого отрезка.

Для измерения длины отрезкаиспользуют различные приборы: линейка, штангенциркуль, рулетка.

Итак, сегодня вы получили представлениео том, как измерять данный отрезок с помощью линейки и выражать результат в выбранной единице измерения.

Ломаная.

Возьмём несколько отрезков и соединим их между собой друг за другом под углом, не равным 180 градусам, полученная фигура называется ломаной. Она может выглядеть так.

Если начало и конец ломанной совпадут, то она считается замкнутой ломаной.

При этом у ломаной можно определить длину, т.к. она состоит из отрезков, длину которых можно измерить. Поэтому длина ломанойравна сумме длин отрезков, из которых она состоит.

При этом,длина незамкнутой ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

Тренировочные задания.

1. Какова длина отрезка АВ, если точка О делит отрезок АВ на две части, при этом АО = 5см, ОВ = 2,3 см?

Решение.

По условию задачи, точка О делит отрезок АВ на две части, следовательно, длина отрезка АВ = АО + ОВ = 5см + 2,3 см =7,3 см.

Ответ: 7,3 см.

2. На прямой а отмечены точки А, С, E, причём АС = 5 см, СE = 7 см. Чему может быть равна длина отрезка АE?

Решение:

Для решения задачи нужно нарисовать рисунок в соответствии с условием. Тогда:

АЕ = АС + СЕ = 5см + 7см = 12 см.

А если точки поменять местами, АЕ = СЕ – СА = 7см – 5см = 2см. Других вариантов быть не может, поэтому получается два ответа.

Ответ:12см или 2 см.

22. Применение подобия к решению задач

Задача 1. Разделить отрезок АВ на n равных частей.


1.Через любой конец отрезка (здесь через точку А) проводят произвольную прямую L.
2. На вспомогательной прямой L, начиная с точки А, откладывают n (здесь 5) равных отрезков.
3. Проводят прямую через точки В и 5.
4. Проводят через все точки 1,2,З,4 прямые, параллельные прямой В5.


5. По теореме Фалеса точки 11,22,33,44 делят отрезок АВ на 5 равных частей.

Задача 2. Разделить отрезок АВ на 2 части в отношении 1:3.

Делят отрезок на 1+3= 4 равные части, как в предыдущей задаче.

АО:ОВ = 1:3.

Задача 3. Построить треугольник АВС по углам при вершинах А и В и медиане m, проведенной из вершины С.

1.     Построим произвольный
отрезок А1В1.

2.     Из точки А1
построим угол  равный А. Из точки В1
построим угол  равный В.

∆А1В1С
~ ∆ АВС.

3.     Разделим А1В1
пополам. О1 – середина А1В1. На луче СО1
отложим отрезок СО=m.

4.     Через точку О проведем
прямую АВ, параллельную А1В1.

Задача 4. Построить треугольник АВС по заданному углу А и высоте, проведенной из вершины А, равной h, где АВ:АС=m:n, где m, n — данные отрезки.

1.      
Построим треугольник АВ1С1
по двум сторонам m и n
и углу А.

2.      
Построим высоту АН1 треугольника АВ1С1.

3.      
На луче АН1 отложим отрезок АН=h.

4.      Через точку H
проведем прямую, параллельную отрезку В1С1.

Домашнее задание

глава 3, параграф 4

Задания находятся в книге В.В. Казакова «Наглядная геометрия. Опорные конспекты. Контрольные вопросы. Задачи на готовых чертежах. 8 класс»

1 уровень

1. Упражнение 1 стр. 98,
2. Разделить отрезок АВ на 2 части в отношении 2:4.

2 уровень

1. Упражнение 2 стр. 98,
2. 

Разделить отрезок АВ на 3 части в отношении 1:2:5.

3 уровень

Упражнение 9 стр. 98,
упражнение 13 стр. 99.

4 уровень

Упражнение 10 стр. 98, 

упражнение 15 стр. 99, 

упражнение 19 стр. 99.

Сложение натуральных чисел — презентация онлайн

1
Усвоить понятие действия
«сложение» и его свойства;
закрепить умение складывать
многозначные числа.
2
Как нету на свете без ножек столов,
Как нету на свете без рожек козлов,
Котов без усов и без панцирей раков,
Так нет в арифметике
действий без знаков.
Тема знакомая, не правда ли? Ты знаешь, что
сложение – одно из арифметических действий,
причем не самое сложное.
При этом у слов сложный и сложение почемуто общий корень
Может мы не все знаем о сложении?
Конечно, не всё.
Например, с его помощью
можно найти
последующее число для
любого натурального
числа.
Интересно!
Ребята, подскажите, как это
можно сделать…
Сумма
Слагаемое
Слагаемое
Числа, которые складывают,
называют слагаемыми;
Число получившееся при сложении
этих чисел суммой.
5
Свойства сложения
5+4=9 и 4+5=9
9 + 0 = 9 и 0 + 9 = 9.
Переместительное свойство сложения.
Сумма чисел не изменится при перестановке
слагаемых.
От прибавления нуля число не меняется.
6
Свойства сложения
3 + (8 + 6)= 3 +14 =17
и
(3 + 8) + 6 = 11 + 6 =17
Сочетательное свойство сложения.
Чтобы прибавить к числу сумму двух
чисел, можно сначала прибавить первое
слагаемое, а потом к полученной сумме –
второе.
17.09.2011
www.konspekturoka.ru
7
А
С
В
АВ = АС + СВ.
Если точка С лежит на отрезке АВ, то
длина всего отрезка равна
сумме длин его частей.
8
В
А
АВ = 3 см,
ВС = 4 см,
СА = 5 см.
С
Сумму длин сторон треугольника
называют периметром этого
многоугольника.
Периметр треугольника АВС равен
3 + 4 +5 = 12(см).
9
Найдите суммы:
999 + 1; 10000
78099 + 1; 78100
999999 + 1.
10000000
10
Вычислите:
б) 635 + 308 + 1365 + 392 =
= (635 + 1365 )+(308 + 392) =
= 2000 + 700 =
= 2700.
17.09.2011
11
Вычислите:
в) 411 + 419 + 145 + 725 + 87 =
= ( 411 + 419 ) + ( 145 + 725 ) + 87 =
= 830 + 870 + 87 =
= 1700 + 87 =
= 1787.
12
Выполнить сложение:
17.09.2011
www.konspekturoka.ru
13
Начертите квадрат со стороной 3 см.
Вычислите его периметр.
В
А
С
D
Решение.
AB = BD = CD = AC = 3 см;
AB + BD + CD + AC = 3∙4=12 (см).
Ответ: 12 см.
14
Точки М и К делят отрезок АВ на три части: АМ, МК и КВ. Найдите
длину отрезка АВ, если АМ = 3 см 5 мм, отрезок МК на 13 мм длиннее
отрезка АМ, а отрезок АК на 8 мм короче отрезка КВ.
А
М
К
В
АВ = АМ + МК + КВ;
Ответ: 17см 4мм.
АМ = 3см 5мм;
МК = 3см 5мм + 13мм = 4см 8мм;
КВ = АК + 8мм;
АК = АМ + МК = 3см 5мм + 4см 8мм = 8см 3мм;
КВ = 8см 3мм + 8мм = 9см 1мм;
АВ = 3см 5мм + 4см 8мм + 9см 1мм = 17см 4мм.
15
Ответить на вопросы:
Как называют числа при сложении?
Назвать свойства сложения.
Как найти длину отрезка, если он
точкой разделен точкой на части?
Как найти периметр треугольника?
17.09.2011
www.konspekturoka.ru
16

Тест по теме «Отрезки, лучи, прямые»

Тест по теме «Отрезки, лучи, прямые».

Тест представлен в трех вариантах, содержащих 10 заданий, и рассчитан на 30 минут. Тесты могут быть использованы как для проверки знаний в классе, так и для домашней работы.

Вопросы тестов разделены по степени сложности. Более легкие оцениваются в один балл, сложные в два балла (отмечены звездочкой). За каждое правильно выполненное задание начисляются балла. За 11-13 баллов –«пятерка», 9-10 баллов-«четверка», 6-8 баллов – «тройка». Каждый учитель может по уровню математической подготовки класса скорректировать систему оценок. Для удобства проверки имеется таблица ответов.

Тест по теме «Отрезки, лучи, прямые».

7 класс

Вариант №1.

  1. Точка М является серединой отрезка АВ, а точка С середина отрезка КВ. Как расположены прямые АС и МК?

  1. Не имеют общих точек

  2. Совпадают

  3. Пересекаются

  4. Имеют две общие точки

  1. Точки А и В делят отрезок СК на три равные части. Определите длину отрезка СА, если отрезок СК равен 35 .

  1. 11,(6)

  2. 106,2

  3. 70,8

  4. 11

  1. Точка А лежит на лучах КР и РК и делит его в отношении КА:АР=2:3. Найдите расстояние от К до Р, если расстояние от К до А равно 5,6 см.

  1. 14 см

  2. 22,4 см

  3. 33,6 см

  4. 9 см

  1. Точка В середина отрезка АС, точка С середина отрезка ВР, а точка А середина отрезка КВ. Определите сколько процентов составляет длина отрезка АВ от длины отрезка КР.

  1. 75%

  2. 25%

  3. 50%

  4. 125%

  1. Точка В лежит на отрезке СК так, что СВ: ВК=0,6. Найдите длину отрезка СВ, если СК равен 64 дм.

  1. 27 дм

  2. 24 дм

  3. 40 дм

  4. 14,4 дм

  1. Точка С лежит на отрезке КР. Найдите длину отрезка КР, если КС: СР= 9:4 и КС-СР = 2, 5 см.

  1. 5, 625 см

  2. 4,5 см

  3. 6,5 см

  4. 2 см

  1. Общей частью отрезка РК и СВ является отрезок длины 5 см.

Найдите длину отрезка РВ, если РК =12 см, СВ= 9 см.

  1. 26 см

  2. 21 см

  3. 16 см

  4. 17 см

  1. * Длина отрезка РС равна 5 см, отрезка СК – 7 см, а отрезка КВ – 6 см. Найдите сумму длин всех изображенных на этом рисунке.

  1. 61 см

  2. 18 см

  3. 43см

  4. 36 см

  5. другой ответ

  1. * Найдите расстояние между серединами отрезков РК и КВ (Рис), если РС= 11 м, СК= 7 м, КВ= 12м.

  1. 30 м

  2. 21 м

  3. 24 м

  4. 15 м

  5. Другой ответ

  1. *Найдите расстояние между серединами отрезков РК и СВ (Рис), если РС= 11 м, СК= 7 м, КВ= 12м.

  1. 15 м

  2. 18,5 м

  3. 26,5 м

  4. 10 м

  5. Другой ответ

Вариант №2.

  1. На прямой АВ расположены точки С и К. Точка О не лежит на прямой АВ. Как расположены прямые ОС и ОК?

  1. Не имеют общих точек

  2. Совпадают

  3. Пересекаются

  4. Имеют две общие точки

  1. Точка О является серединой отрезка МС. Определите длину отрезка ОС, если отрезок МС равен 26 .

  1. 13, 3

  2. 13

  3. 13, (3)

  4. 8

  1. Точка К лежит на лучах ОР и РО и делит его в отношении ОК:ОР=2:7. Найдите расстояние от К до Р, если расстояние от О до Р равно 2,1 см.

  1. 1,9

  2. 1,5

  3. 7,35

  4. 2,7

  1. Точка Н середина отрезка ВС, точка К середина отрезка НС, а точка В середина отрезка АН. Определите сколько процентов составляет длина отрезка НК от длины отрезка АС.

  1. 16 %

  2. 33 %

  3. 66 %

  4. 16,5%

  1. Точка О лежит на отрезке СВ так, что СО: ОВ=0,7. Найдите длину отрезка СО, если СВ= 68дм.

  1. 47,6 дм

  2. 97 дм

  3. 40 дм

  4. 28 дм

  1. Точка С лежит на отрезке КР. Найдите длину отрезка КР, если КС: СР= 7:3 и КС-СР = 3, 6 см.

  1. 9 см

  2. 6,3 см

  3. 2,7 см

  4. 8,4 см

  1. Общей частью отрезка РК и СВ является отрезок длины 3 см.

Найдите длину отрезка РВ, если РК =14 см, СВ= 8 см.

  1. 19 см

  2. 25 см

  3. 22 см

  4. 17 см

  1. * Длина отрезка РС равна 2 см, отрезка СК – 4 см, а отрезка КВ – 5 см. Найдите сумму длин всех изображенных на этом рисунке.

  1. 11 см

  2. 37 см

  3. 20 см

  4. 17 см

  5. Другой ответ

  1. * Найдите расстояние между серединами отрезков РК и КВ (Рис), если РС= 13 м, СК= 5 м, КВ= 8м.

  1. 22 м

  2. 17 м

  3. 13 м

  4. 26 м

  5. Другой ответ

  1. *Найдите расстояние между серединами отрезков РК и СВ (Рис), если РС= 13 м, СК= 5 м, КВ= 8м.

  1. 13 м

  2. 15,5 м

  3. 8,(6) м

  4. 15 м

  5. Другой ответ

Вариант №3

  1. Точка О является серединой отрезка АВ, а точка А середина отрезка КМ. Как расположены прямые МО и КВ?

  1. Имеют две общие точки

  2. Не имеют общих точек

  3. Совпадают

  4. Пересекаются

  1. Точка Р –середина отрезка СТ. Определите длину отрезка СР, если отрезок СТ равен 17 .

  1. 8

  2. 8,(8)

  3. 8

  4. 8

  1. Точка С лежит на лучах НМ и МН и делит его в отношении НМ:СМ=5:3. Найдите расстояние от Н до С, если расстояние от Н до М равно 4,8 см.

  1. 2,88 см

  2. 8 см

  3. 1,8 см

  4. 3 см

  1. Точка О –середина отрезка ВС, точка М- середина отрезка ОС, а точка С – середина отрезка КМ. Сколько процентов составляет длина отрезка ВК от длины отрезка ВС?

  1. 28 %

  2. 25%

  3. 75%

  4. 125%

  1. Точка Р лежит на отрезке АВ так, что АР:РВ=0, 9.Найдите длину отрезка АР, если АВ равен 95 дм.

  1. 40,5 дм

  2. 45 дм

  3. 105 дм

  4. 50 дм

  1. Точка С лежит на отрезке КР. Найдите длину отрезка КР, если КС: СР= 8:2 и КС-СР = 2, 4 см.

  1. 4 см

  2. 3,2 см

  3. 0,8 см

  4. 8 см

  1. Общей частью отрезка РК и СВ является отрезок длины 4 см.

Найдите длину отрезка РВ, если РК =7 см, СВ= 6 см.

  1. 9 см

  2. 13 см

  3. 10 см

  4. 11 см

  1. * Длина отрезка РС равна 1 см, отрезка СК – 3 см, а отрезка КВ – 5 см. Найдите сумму длин всех изображенных на этом рисунке.

  1. 13 см

  2. 14 см

  3. 21см

  4. 30 см

  5. Другой ответ

  1. * Найдите расстояние между серединами отрезков РК и КВ (Рис), если РС= 11 м, СК= 7 м, КВ= 12м.

  1. 24 м

  2. 12 м

  3. 20 м

  4. 16 м

  5. Другой ответ

  1. * Найдите расстояние между серединами отрезков РК и КВ (Рис), если РС= 11 м, СК= 7 м, КВ= 12м.

  1. 12 м

  2. 18,5 м

  3. 10 м

  4. 7,5 м

  5. Другой ответ

Таблица ответов

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

I вариант

c

d

a

b

b

c

c

a

d

b

II вариант

c

b

b

a

d

a

a

b

c

b

III вариант

d

c

a

d

b

a

a

d

b

b

§ 57. Деление отрезка на равные части . Живой учебник геометрии

Мы умеем с помощью циркуля и линейки делить отрезок только на 2, на 4, на 8 и т. д. число равных частей (§ 21). Укажем теперь способ делить отрезок на любое число равных частей.

Пусть потребуется отрезок АВ (черт. 156) разделить на 5 равных частей. Проведем от одного конца этого отрезка, например, от В, под произвольным углом прямую ВС. На этой прямой отложи от конца В пять раз какой-нибудь отрезок; получим точки 1, 2, 3, 4, 5. Последнюю точку 5 соединим с концом А данного отрезка и ч через точ-ки1, 2, 3, 4 проведем прямые, параллельные прямой A5. Можно указать, что эти прямые разделят отрезок АB на 5 равных частей в точках I, II, III, IV.

Для доказательства проведем через точки I, II, III,IV прямые, параллельные ВC (черт. 157). Получим треугольники В1I, ICII, IIDIII, IIIЕIV, IV, у которых В—I, I–II, II–III, III–IV, IV—A равны между собою (потому что каждая из них, кроме 1–1, равна противоположной стороне параллелограмма, а В-1, В-2, 2–3, 3–4, 4–5 равны друг другу). Из равенства же указанных треугольников (СУС) вытекает равенство отрезков B-I, 1-11, II–III, III–IV, IV–V.




Применения

Н о н и у с. Ш т а н г е н ц и р к у л ь

Умея делить прямолинейные отрезки на любое число частей, можно изготовить приспособление, полезное для точных измерений – так называемый «нониус».

Для примера рассмотрим следующий простейший нониус. Полоску (масштаб, черт. 158) длиною в 9 см разделим на 10 равных частей; по 0,9 см каждая; получим полоску CD(нониус). Пусть теперь требуется измерить длину небольшого предмета М. Прикладываем его к полоскам АВ и CD, как показывает черт. 159, и замечаем, какие деления обеих полосок совпадают. Предположим, что совпали 6-е деления. Это показывает, что длина предмета равна разнице между 6-ю делениями масштаба ПАВ и 6-ю делениями нониуса. Но 6 делений полоски АВ = 6 см, а 6 делений нониуса = 6 0,9 = 5,4 см. Следовательно, длина предмета равна 6 – 5,4 = 0,6 см. Вообще, длина измеряемого предмета равна стольким десятым долям деления масштаба, сколько единиц в совпадающих делениях масштаба и нониуса.

Если бы мы для изготовления нониуса взяли не 9 сантиметров, а 9 миллиметров, и разделили их общую длину на 10 равных частей, то разность между одним делением масштаба и одним делением нониуса равнялась бы 0,01 см. Следовательно, помощью такого нониуса мы могли бы измерять мелкие предметы с точностью до 0,1 миллиметра.

Нониус обычно применяется в форме так наз. «штангенциркуля», употребляемого для точного измерения мелких предметов. Иногда нониусом снабжается и «микрометр» – инструмент для точного измерения толщины.

Сходным образом может быть устроен нониус для точного измерения дуг. Если 9 градусных делений разделить на 10 частей, то так устроенный нониус позволит измерять дуги с точностью до 0,1 градуса, т. е. до 6.

64. На черт. 160 показано, как можно воспользоваться метром, чтобы разделить ширину доски на равные части. На чем этот способ основан?

Р е ш е н и е. Мы имеем в этом случае ряд параллельных прямых, проведенных через равноудаленные друг от друга точки одной стороны угла; они должны отсечь от другой стороны угла (т. е. от края доски) равные отрезки.

65. Середины сторон прямоугольника с диагональю 10 см последовательно соединены прямыми линиями. Найти обвод образовавшегося четырехугольника.

Р е ш е н и е. Каждая сторона этого четырехугольника равна половине диагонали (как линия, соединяющая середину двух сторон треугольника), т. е. 5 см. Значит обвод четырехугольника = 20 см.















Видеоурок: Разбиение отрезка линии на координатной плоскости

Стенограмма видеозаписи

В этом видео мы узнаем, как
найти координаты точки, которая разделяет отрезок прямой на координатной плоскости
в заданном соотношении с использованием формулы сечения. Начнем с обзора некоторых
важная терминология, во-первых, отрезки линий.

Отрезок является частью отрезка
это ограничено двумя разными конечными точками.Например, здесь у нас есть строка
сегмент 𝐴𝐵. Мы даже можем рассмотреть отрезок линии
на координатной плоскости. Если у нас есть координаты 𝐴
и 𝐵, мы можем даже найти середину этого отрезка прямой, используя среднюю точку
формула. Однако в этом видео мы хотим
сделать еще один шаг вперед, чем просто разделить отрезок линии на две части. И посмотрим, как найти
точка, которая делит отрезок линии на заданное соотношение.

Посмотрим, как это будет выглядеть
нравиться. Здесь у нас есть отрезок,
и нам даны координаты этих двух точек. Допустим, нам нужно найти
координаты этой точки 𝑃, которая делит отрезок в соотношении 𝑚 к
𝑛. Есть ли способ найти
координаты точки 𝑃? Что ж, для этого нам понадобится
начните с построения двух прямоугольных треугольников. В этих прямоугольных треугольниках один из
у них будет гипотенуза, а у другого будет гипотенуза
𝑛.Обратите внимание, что эти два треугольника будут
быть подобными, поскольку соответствующие углы треугольника совпадают. В подобных треугольниках соотношение
соответствующие стороны будут равны.

Чтобы найти расстояние от до,
это будет более 𝑚 плюс 𝑛, умноженное на длину 𝐴𝐵. Мы можем использовать это, чтобы найти-и
𝑦-значения точки 𝑃. Итак, давайте начнем с того, как мы будем
найти-значение. 𝑥 невероятно похож на 𝑥 sub one, то есть
-значение в нашем 𝐴-балле, плюс 𝑚 над 𝑚 плюс, умноженное на 𝑥 до двух
вычесть 𝑥 к югу от единицы.Эта вторая часть этого уравнения
представляет наше расстояние 𝑃 от точки 𝐴 в терминах 𝑥-значений. Чтобы упростить это, теперь мы
нужно убедиться, что наше значение единицы также на дробь превышает плюс
𝑛. Если мы умножим 𝑥 sub на 𝑚
плюс 𝑛 ​​в числителе и знаменателе, мы получим равно 𝑚 плюс раз
𝑥 sub one over 𝑚 plus 𝑛 plus 𝑚 умножить на 𝑥 sub two вычесть 𝑥 sub one over
𝑚 плюс 𝑛.

Затем мы можем расширить оба набора
круглые скобки, и мы замечаем, что у нас есть sub one вычесть sub one. Остается равно
𝑚𝑥 суб два плюс 𝑛𝑥 суб один над 𝑚 плюс 𝑛. Тогда мы могли бы точно выполнить
тот же процесс, чтобы найти значение 𝑦. На этот раз мы бы поменяли второстепенным
и 𝑥 sub two значения для 𝑦 sub one и 𝑦 sub two соответственно. Тогда мы бы обнаружили, что 𝑦 равно
к 𝑚𝑦 суб два плюс 𝑛𝑦 суб один над 𝑚 плюс 𝑛.Итак, мы нашли значение 𝑥
и-значение точки 𝑃, которая разделяет наш отрезок. Давай напишем это лучше, чтобы
что мы можем это записать.

Если 𝐴 с координатами 𝑥 под единицей,
𝑦 sub one и 𝐵 с координатами 𝑥 sub two, 𝑦 sub two и точка 𝑃 делит линию
отрезок 𝐴𝐵 такой, что к 𝑃𝐵 равно отношению 𝑚 к 𝑛, то 𝑃 имеет
координаты. 𝑃 равно 𝑚𝑥 до двух плюс 𝑛𝑥
sub one over 𝑚 plus 𝑛, 𝑚𝑦 sub two plus 𝑛𝑦 sub one over 𝑚 plus 𝑛.Теперь мы можем видеть, как наши 𝑥- и
𝑦-значения объединяются, чтобы создать эту координату 𝑃. Эта формула выглядит довольно
сложно, но когда мы применяем это на практике, это действительно не так уж и сложно. Это не самая простая формула
помните, но, просматривая это видео, мы будем писать его в каждом вопросе. И, надеюсь, к концу
мы узнаем немного больше. Давайте посмотрим на наш первый
вопрос.

Если координаты 𝐴 и 𝐵 равны
пять, пять и отрицательная единица, отрицательная четверка соответственно, найти координаты
точка 𝐶, которая делит вектор 𝐴𝐵 внутри на отношение два к одному.

Было бы разумно начать
вопрос, как это, построив наши две координаты. Мы могли бы создать набросок
этот график или используйте сетку. Итак, у нас есть сетка. Точка 𝐴 находится в координате
пять, пять и 𝐵 — один отрицательный, четвертый — отрицательный.Как нам сказали, существует вектор
𝐴𝐵, мы можем объединить наши две точки. Затем нас просят найти
координаты точки 𝐶, которая делит наш вектор 𝐴𝐵 внутри в соотношении два
к одному. Это означает, что нам нужно будет использовать
формула сечения. Для точки 𝐴 с координатами 𝑥
sub one, 𝑦 sub one и точка 𝐵 с координатами 𝑥 sub two, 𝑦 sub two, точка
𝑃, который делит отрезок в соотношении 𝑚 к 𝑛, имеет координаты 𝑃 равно
до 𝑚 раз 𝑥 до двух плюс 𝑛 ​​раз 𝑥 до одного над 𝑚 плюс 𝑛, 𝑚 раз 𝑦 до двух
плюс 𝑛 ​​раз 𝑦 к югу от 𝑚 плюс 𝑛.

Ключевая информация, которая
нам нужны для формулы сечения две координаты 𝐴 и и
соотношение. Поскольку направление важно,
мы идем от 𝐴 к 𝐵, затем второстепенное значение, 𝑦 второстепенное значение должны соответствовать пункту
𝐴. Порядок наших значений отношения
𝑚 и 𝑛 также важны, поэтому 𝑚 будет два, а 𝑛 будет один. Затем мы можем вставить эти значения в
формулу и упростить.Для-значения точки мы
если два умножить на отрицательный, то два плюс пять даст нам три,
и два плюс один в знаменателе, естественно, превращаются в три. Для-значения у нас есть два
умножить на отрицательные четыре, что дает отрицательные восемь, плюс один умножить на пять, что
пять, дает нам отрицательное значение трех в числителе. И наш знаменатель тоже будет
три. Упрощение этих двух дробей
тогда три на три равняются единице, а отрицательные три на три — отрицательные.

Итак, теперь мы знаем точку 𝐶, которая
делит этот вектор 𝐴𝐵 в соотношении два: один — координатный, отрицательный
один. Действительно хорошая проверка ответа
если мы нарисовали график на сетке, чтобы проверить, действительно ли координата
лежать на линии, и это так. Здесь мы видим точку с
координирует один, отрицательный. Мы также можем видеть этот отрезок
𝐴𝐵 делится в соотношении два к одному.Поэтому мы проверили
координируйте один, отрицательный ответ.

Давайте посмотрим на другой
вопрос.

Координаты 𝐴 и 𝐵 и
равны один, девять и девять, девять соответственно. Определите координаты
точки, которые делят отрезок 𝐴𝐵 на четыре равные части.

Давайте начнем этот вопрос с
представляя этот отрезок прямой, соединяющий 𝐴 и 𝐵. Мы можем считать эту строку разделенной
на четыре части.И если бы мы хотели сначала найти это
точки, мы могли бы подумать, как бы разделить этот отрезок линии 𝐴𝐵 в соотношении единица к
три. Вторую точку можно найти
разделив его в соотношении два к двум или даже найдя среднюю точку. Мы смогли найти координаты
третью точку, разделив отрезок 𝐴𝐵 в соотношении три к одному. Мы действительно могли бы сделать эти три
части работы, используя формулу раздела.Это говорит нам, что для любых двух
точки 𝐴 и 𝐵 с координатами 𝑥 sub one, 𝑦 sub one и 𝑥 sub two, 𝑦 sub two,
соответственно, точка 𝑃, которая делит отрезок в отношении 𝑚 к 𝑛, имеет
координаты 𝑃 равны 𝑚𝑥 к югу два плюс 𝑛𝑥 к югу один над 𝑚 плюс 𝑛, 𝑚𝑦 к югу два
плюс 𝑛𝑦 меньше плюс 𝑛.

В этом вопросе нам нужно подать заявку
формулу сечения три раза, чтобы найти эти три разные координаты с их
разные соотношения.На самом деле есть простой способ, если мы
Рассмотрим эти две координаты один, девять и девять, девять. Мы можем построить их, как показано, и даже
создайте отрезок линии 𝐴𝐵. Поскольку это горизонтальная линия, это
немного легче рассчитать расстояние 𝐴𝐵. Это будет восемь единиц в длину. Затем мы можем разделить эту длину на
четыре равные части, так что мы получим координаты три, девять; пять, девять; а также
семь, девять. Это будет наш ответ на
координаты, которые делят отрезок 𝐴𝐵 на четыре равные части.Мы могли бы сделать это в том же
способом, используя формулу раздела, но это заняло бы намного больше времени.

Давайте посмотрим на другой
вопрос.

Если 𝐶 является элементом 𝐴𝐵 и
вектор 𝐴𝐵 трижды равен вектору, тогда 𝐶 делит вектор на соотношение
пустой. Вариант (А) два к одному, вариант (Б)
один к двум, вариант (C) один к трем, вариант (D) три к одному.

Информации достаточно много
в этом вопросе.Но начнем с того, что
у нас есть этот отрезок 𝐴𝐵, который мы можем смоделировать следующим образом. Нам говорят, что 𝐶 является элементом
𝐴𝐵, значит, где-то на этой линии будет точка 𝐶. Если вектор 𝐴𝐵 равен трем
умножить на вектор 𝐶𝐵, то это означает, что три из этих длин 𝐶𝐵 составят
длина 𝐴𝐵. Мы могли бы разделить нашу длину 𝐴𝐵
на три части, но вопрос в том, 𝐶 здесь или здесь? Если мы рассмотрим, находится ли 𝐶 на этом
нижняя точка, то длина 𝐶𝐵 будет выглядеть так.Но если бы мы умножили 𝐶𝐵 на
три, мы не получим длину 𝐴𝐵. Тогда мы можем сказать, что 𝐶 должно быть
здесь, ближе к 𝐵, так как эта длина 𝐶𝐵 подошла бы. Три лота 𝐶𝐵 дадут нам
𝐴𝐵.

Теперь нам нужно проработать
вопрос о том, как 𝐶 делит этот вектор 𝐵𝐴. Тогда мы можем сказать, является ли одной единицей
length long, то 𝐴𝐶 будет эквивалентно двум из этих длин. Итак, запишем это соотношение как два к
один или один к двум? Что ж, направление здесь очень
важный.Нам дан вектор 𝐵𝐴, поэтому
это означает, что мы перейдем с 𝐵 на 𝐴. Поэтому мы можем дать наш ответ
что это соотношение один к двум, которое указано в варианте (B). Обратите внимание, что если бы нам дали
вектор 𝐴𝐵, тогда это было бы отношение два к одному. Но здесь, поскольку 𝐶 делит
вектор 𝐵𝐴, то это отношение один к двум.

Теперь посмотрим на один финал
вопрос.

Автобус едет из города по адресу
координаты 10, отрицательные 10, до города при отрицательных координатах восемь, восемь.Его первая остановка -,
на полпути между городами. Его вторая остановка -,
две трети пути от 𝐴 до 𝐵. Каковы координаты 𝐶 и
𝐷?

В этом проблемном вопросе у нас есть
автобус, следующий из from в. Он останавливается на полпути, что на
точке 𝐶, а затем снова останавливается в точке 𝐷, которая находится в двух третях пути от
𝐴 до 𝐵. Мы могли бы начать это с
моделирование наших координат на графике.Итак, здесь мы имеем 𝐴 на 10, отрицательное
10 и 𝐵 при минусе восемь, восемь. Мы могли бы даже присоединиться к ним с
линия. На полпути на этом автобусе
Путешествие находится в точке 𝐶. Если бы мы использовали для этого миллиметровую бумагу
и у нас был хороший целочисленный результат, мы могли бы прочитать координату точки
𝐶 прямо из графика. Но давайте посмотрим, сможем ли мы решить эту проблему
используя формулу, чтобы найти середину отрезка. Эта формула говорит нам о двух
точки 𝑥 sub one, 𝑦 sub one и 𝑥 sub two, 𝑦 sub two, средняя точка линии
их можно найти по координате sub one plus 𝑥 sub two over two, 𝑦
к югу один плюс 𝑦 к югу два больше двух.

Точку 𝐴 можно обозначить
sub one, 𝑦 sub one значения и точка 𝐵 с sub two и 𝑦 sub two
значения, а затем мы подставляем их в формулу. Это дает нам, что-значение
наша средняя точка будет 10 плюс минус восемь над двумя, а значение будет
минус 10 плюс восемь больше двух. Тогда среднюю точку можно записать как
два на два, отрицательные два на два, что, конечно же, одно, отрицательное.Таким образом, мы нашли наш первый
отвечать. Координата, которая является
средняя точка равна единице, отрицательная.

Давайте освободим место и посмотрим,
мы можем найти координаты 𝐷. Нам дано, что 𝐷 составляет две трети
пути от 𝐴 до 𝐵. Мы могли бы разделить нашу строку на три
равные части, и мы знаем, что 𝐷 — это две из этих трех частей. Хотя у нас есть формула средней точки
чтобы найти значение на полпути, у нас нет формулы, чтобы найти значение
две трети пути по линии.Однако мы можем помнить, что
есть формула сечения, которая позволяет разделить отрезок линии на заданные
соотношение. Это говорит нам о том, что для двух точек
𝐴 с координатами 𝑥 суб-один, 𝑦 суб-один и 𝐵 с координатами 𝑥 суб-два, 𝑦
к югу от двух, точка 𝑃, которая делит отрезок в соотношении 𝑚 к 𝑛, имеет
координаты 𝑃 равны 𝑚𝑥 к югу два плюс 𝑛 ​​𝑥 к югу один над 𝑚 плюс 𝑛, 𝑚𝑦 к югу
два плюс 𝑛𝑦 суб один над over плюс 𝑛.

Чтобы найти координаты
наша точка 𝐷, которая делит этот отрезок прямой 𝐴𝐵, нам нужно знать соотношение. Поскольку нам сказали, что 𝐷
две трети пути от 𝐴 до 𝐵 мы разбиваем 𝐴𝐵 на три части. От 𝐴 до 𝐷, это два из
эти три части, и от 𝐷 до 𝐵, это оставшаяся часть. Таким образом, точка 𝐷 разделяет линию
отрезок 𝐴 к 𝐵 в соотношении два к одному. Чтобы использовать эту формулу раздела, мы
нужны буквы от 𝑚 до 𝑛, что является соотношением два к одному, и нам нужны наши два
координаты 𝐴 и 𝐵.

Таким образом, мы можем использовать наши ценности
в формулу, чтобы получить, что 𝑥-значение координаты вдвое отрицательно
восемь плюс один умножить на 10 больше двух плюс один. И значение этой координаты
это два раза восемь плюс один, умноженное на минус 10, два плюс один. Упрощение этих значений дает нам
что координаты 𝐷 отрицательны шесть три, шесть три, что упрощает
отрицательный два, два. Поэтому мы можем дать нашим двум
ответы 𝐶 в координатах единица, отрицательная и 𝐷 в координатах
отрицательный два, два.

Теперь мы можем резюмировать то, что у нас
узнал в этом видео. Сначала мы увидели раздел
формула, которая говорит нам, что для точки 𝐴 с координатами 𝑥 sub one, 𝑦 sub one
и точка 𝐵 с координатами 𝑥 к югу два, 𝑦 к югу два, точка 𝑃, которая делит
отрезок line в отношении 𝑚 к 𝑛 имеет следующие координаты. Значение равно 𝑚 раз 𝑥 к югу от двух.
плюс 𝑛 ​​раз 𝑥 суб-один больше 𝑚 плюс 𝑛, а значение равно 𝑚 раз 𝑦 суб-два
плюс 𝑛 ​​раз 𝑦 к югу от 𝑚 плюс 𝑛.

Мы также увидели, что когда мы
разбивая или разделив линию на две равные части, тогда мы можем использовать формулу
чтобы найти середину отрезка. Середина стыка линии
две координаты sub one, 𝑦 sub one и 𝑥 sub two, 𝑦 sub two имеют
координаты 𝑥 суб-один плюс 𝑥 суб-два над двумя, 𝑦 суб-один плюс 𝑦 суб-два над
два. Наконец, полезный совет: это очень
полезно рисовать графики и наносить любые указанные нам точки.Это поможет нам мыслить логически
через проблемы и полезно, когда мы находим отношения в строке
сегмент.

Видео-вопрос: определение координат точек, разделяющих отрезок прямой на три равные части

Стенограмма видеозаписи

Учитывая точку 𝐴 отрицательные пять, девять и точку 𝐵 семь, отрицательные три, какие точки 𝐶 и 𝐷 делят отрезок прямой 𝐴𝐵 на три части равной длины?

Итак, первое, что мы сделали, это нарисовали эскиз для нашего отрезка линии 𝐴𝐵.И мы сделали это, построив точку 𝐴 минус пять, девять и точку семь, минус три. Итак, мы просто смоделировали ситуацию с помощью горизонтальной линии. Итак, у нас есть отрезок 𝐴𝐵. Затем у нас есть две точки, которые делят его на три равные части. Итак, у нас есть треть длины, треть длины и треть длины. Таким образом, из этой диаграммы мы можем видеть, что точка 𝐶 будет на треть пути вдоль линии. А точка 𝐷 будет составлять две трети длины линии.

Теперь у нас есть два разных способа решить эту проблему. Первый способ, которым мы воспользуемся, — это взглянуть на координатную сетку. Итак, во-первых, если мы посчитаем, на сколько единиц он упал с 𝐴 до 𝐵, то есть в направлении, мы увидим, что это 12. И если мы сделаем то же самое в направлении, мы увидим, сколько единиц вдоль от 𝐴 до 𝐵 равно 12. Что ж, если мы начнем с рассмотрения точки 𝐶, то мы знаем, что точка 𝐶 составляет треть расстояния вдоль линии от 𝐴 до 𝐵. Таким образом, мы можем найти треть пути от 𝐴 до 𝐵, что будет на четыре квадрата вниз, потому что треть от 12 равна четырем.И то же самое по оси, потому что это будет четыре единицы, потому что это треть от 12, что, опять же, равно четырем.

Итак, теперь мы можем пойти на четыре вниз от 𝐴 и на четыре вниз от. А затем мы выясняем, где это встречается. Что ж, точка, где они встречаются, — это точка 𝐶, которая имеет отрицательные координаты один, пять. Что ж, теперь, если мы посмотрим на точку what, мы увидим точку, которая составляет две трети от 𝐴 до 𝐵. Итак, я снова отмечу это на диаграмме, чтобы у нас было две трети.Итак, восемь единиц вниз и восемь единиц пересекаются. Итак, они встречаются в точке, которую мы назовем 𝐷, которая является точкой три, один. Итак, теперь отлично! Мы обнаружили две точки 𝐶 и 𝐷, которые делят отрезок 𝐴𝐵 на три части равной длины.

Итак, мы сказали, что можем использовать несколько методов. Итак, мы рассмотрим другой метод. В этом методе мы фактически формализуем процесс с помощью формулы. Итак, формула, которая у нас есть, заключается в том, что если мы хотим найти точку, 𝑦 на отрезке прямой, то она равна 𝑥 sub one плюс one, умноженному на sub two минус 𝑥 sub one.И это для координаты. И для-координаты у нас есть суб-один плюс 𝑘, умноженный на суб-два минус min суб-один. И здесь 𝑥 sub one, 𝑦 sub one и 𝑥 sub two, 𝑦 sub two — координаты двух точек линейного сегмента, и в данном случае это будут 𝐴 и 𝐵. А 𝑘 — это доля или доля расстояния или длины этого отрезка линии до точки, которую вы ищете.

Хорошо, теперь давайте подставим наши значения в нашу формулу. Итак, первое, что мы сделали, это пометили полученные координаты.Итак, у нас есть под-один, 𝑦 под-один и 𝑥 под-два, 𝑦 под-два. Итак, теперь мы посмотрим на точку 𝐶, которая составляет треть пути по нашей линии. Итак, когда мы сделаем это для координаты 𝑥, мы получим отрицательные пять плюс треть, умноженные на семь минус отрицательные пять. Тогда для координаты у нас будет девять плюс треть, умноженная на минус три минус девять.

И, как мы уже говорили, это просто формализация того, что мы сделали с предыдущим методом, потому что в скобках слева мы только что получили изменение 𝑥-координат.Это означает, что нам нужна треть пути к этому изменению. И в правой части скобок у нас есть изменение в 𝑦-координатах, поэтому нам нужна треть пути от этого изменения. Итак, когда мы вычисляем эти значения, у нас будут отрицательные пять плюс четыре, девять минус четыре, что даст нам отрицательные координаты один, пять, что соответствует тому, что мы получили с помощью первого метода.

Итак, перейдем к делу point. Что ж, для точки 𝐷 все будет точно так же, за исключением того, что на этот раз у нас две трети — это наша 𝑘, потому что это две трети пути вдоль отрезка линии 𝐴𝐵.Итак, мы получили отрицательные пять плюс две трети, умноженные на семь минус отрицательные пять для 𝑥-координаты и девять плюс две трети, умноженные на отрицательные три минус девять для 𝑦-координаты, которые при вычислении дадут нам координаты три, один. , что аналогично первому способу.

Итак, мы нашли точки 𝐶 и 𝐷, которые делят отрезок прямой 𝐴𝐵 на три равные части, и они отрицательны: единица, пять и три, единица, соответственно.

Координатная геометрия Внутреннее деление | Решенные примеры | Геометрия

Мы уже встречались с концепцией внутреннего деления линейного сегмента в более ранних классах.Рассмотрим отрезок AB:

Предположим, вам нужно найти точку C на AB, которая делит AB в соотношении 2: 1. Это означает, что \ ({\ rm {AC: CB = 2: 1}} \), как показано на следующем рисунке:

Как нам найти C? Прежде чем мы продолжим, обратите внимание, что между следующими двумя утверждениями существует огромная разница в и :

Разница в том, что в первом случае отношение AC к BC составляет 2: 1, а во втором случае отношение BC к AC составляет 2: 1.Таким образом, расположение C в обоих случаях будет совершенно другим.

Теперь вернемся к проблеме того, как определить местонахождение C. Мы воспользуемся основной теоремой пропорциональности. Через A проведите любой луч AX и обрежьте на нем 3 равных отрезка с помощью циркуля, как показано:

Теперь соедините R с B и через Q нарисуйте \ ({\ rm {QZ || RB}} \). Точка пересечения QZ с AB — это точка C:

.

Почему это работает? Поскольку \ ({\ rm {QC || RB}} \), мы имеем (используя BPT):

AC: CB = AQ: QR

Но \ ({\ rm {AQ: QR}} \), очевидно, 2: 1, потому что мы отсекли равные интервалы на AX.Таким образом,

AC: CB = 2: 1

Теперь давайте вернемся к этой проблеме внутреннего деления с точки зрения координат. Предположим, вам даны координаты двух точек A и B на плоскости. Как найти координаты точки C, которая делит AB внутри в заданном соотношении? Обратите внимание, что мы хотим найти координаты C, то есть нам нужен алгебраический ответ в терминах координат A и B.

Предположим, что координаты A и B:

\ [\ begin {array} {l} A \ Equiv \ left ({{x_1}, \; {y_1}} \ right) \\ B \ Equiv \ left ({{x_2}, \; {y_2}} \ right) \ end {array} \]

Мы хотим найти точку C, которая делит AB внутри в соотношении m : n .Пусть C — точка

\ [C \ Equiv \ left ({h, \; k} \ right) \]

Рассмотрим следующий рисунок:

Наша задача — найти координаты C через координаты A и B и параметры m и n . Завершим прямоугольный треугольник APB и AQC, как показано ниже:

Обратите внимание, что AQ и AP параллельны оси x , в то время как BP и CQ параллельны оси y , и поэтому:

\ [\ begin {array} {l} P \ Equiv \ left ({{x_2}, \; {y_1}} \ right) \\ Q \ Equiv \ left ({h, \; {y_1}} \ right ) \ end {array} \]

Теперь мы делаем следующие наблюдения:

\ [\ begin {align} & AP = {x_2} — {x_1}, \; BP = {y_2} — {y_1} \\ & AQ = h — {x_1}, \; CQ = k — {y_1} \ end {align} \]

Так как \ (\ Delta AQC {\ rm {}} \ sim {\ rm {}} \ Delta APB \), мы имеем:

\ [\ frac {{AQ}} {{AP}} = \ frac {{CQ}} {{BP}} = \ frac {{AC}} {{AB}} \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \ ;… ({\ rm {1}}) \]

А теперь самое важное. У нас уже есть выражения для членов первых двух соотношений выше, но как насчет третьего отношения? Какое значение имеет \ ({\ rm {AC: AB}} \)? Поскольку C делит AB внутри в соотношении m : n , мы имеем:

\ [\ begin {align} & \ frac {{AC}} {{CB}} = \ frac {m} {n} \\ & \ Rightarrow \ frac {{AC}} {{AB}} = \ frac {m} {{m + n}} \ end {align} \]

Убедитесь, что вы понимаете, как это получается. Используя это значение для \ ({\ rm {AC: AB}} \) в (1), мы имеем:

\ [\ begin {align} & \ frac {{AQ}} {{AP}} = \ frac {{CQ}} {{BP}} = \ frac {m} {{m + n}} \\ \ Стрелка вправо и \ frac {{h — {x_1}}} {{{x_2} — {x_1}}} = \ frac {{k — {y_1}}} {{{y_2} — {y_1}}} = \ frac {m} {{m + n}} \\ \ Rightarrow & \ left \ {\ begin {gather} \ frac {{h — {x_1}}} {{{x_2} — {x_1}}} = \ frac { m} {{m + n}} \\\ frac {{k — {y_1}}} {{{y_2} — {y_1}}} = \ frac {m} {{m + n}} \ end {собрано } \верно.\\ \ Rightarrow & \ left \ {\ begin {gather} h — {x_1} = \ left ({\ frac {m} {{m + n}}} \ right) \ left ({{x_2} — {x_1 }} \ right) \\ k — {y_1} = \ left ({\ frac {m} {{m + n}}} \ right) \ left ({{y_2} — {y_1}} \ right) \ end {собрано} \ right. \\ \ Rightarrow & \ left \ {\ begin {gather} h = {x_1} + \ left ({\ frac {m} {{m + n}}} \ right) \ left ({ {x_2} — {x_1}} \ right) \\ k = {y_1} + \ left ({\ frac {m} {{m + n}}} \ right) \ left ({{y_2} — {y_1} } \ right) \ end {собран} \ right. \\ \ Rightarrow & \ left \ {\ begin {gather} h = \ frac {{m {x_1} + n {x_1} + m {x_2} — m {x_1 }}} {{m + n}} \\ k = \ frac {{m {y_1} + n {y_1} + m {y_2} — m {y_1}}} {{m + n}} \ end {собрано } \верно.\ end {align} \]

\ (\ Rightarrow \) \ (\ fbox {$ \ displaystyle {{h \, \, \, = \ frac {{m {x_2} + n {x_1}}}} {{m + n}}, \; k = \ frac {{m {y_2} + n {y_1}}} {{m + n}}}} $} \)

Это называется формулой сечения , и она дает нам координаты C в терминах координат A и B, а также параметры m и n . Применим эту формулу к некоторым примерам.

Пример-1: Рассмотрим следующие два момента:

\ [A = \ left ({- 1, \; 2} \ right), \; B = \ left ({2, \; — 3} \ right) \]

Найдите точку, которая делит AB внутри в соотношении:

Решение: Пусть

\ [C = \ left ({{x_C}, \; {y_C}} \ right), \; D = \ left ({{x_D}, \; {y_D}} \ right) \]

— это точки, которые делят AB внутри в соотношении 1: 3 и 3: 1 соответственно.Теперь воспользуемся формулой сечения.

Координаты C

\ [\ begin {align} & {x_C} = \ frac {{\ underbrace {1 \ times 2} _ {m {x_2}} + \ underbrace {3 \ times — 1} _ {n {x_1}}}} } {{\ underbrace {1 \ times 3} _ {m + n}}} \; = \ frac {{2 — 3}} {4} = — \ frac {1} {4} \\ & {y_C} = \ frac {{\ underbrace {1 \ times — 3} _ {m {y_2}} + \ underbrace {3 \ times 2} _ {n {y_1}}}} {{\ underbrace {1 \ times 3} _ {m + n}}} = \ frac {{- 3 + 6}} {4} = \ frac {3} {4} \\ & \ Rightarrow \; \; \; \; C = \ left ({{x_C}, \; {y_C}} \ right) = \ left ({- \ frac { 1} {4}, \; \ frac {3} {4}} \ right) \ end {align} \]

Координаты D

\ [\ begin {align} & {x_D} = \ frac {{\ underbrace {3 \ times 2} _ {m {x_2}} + \ underbrace {1 \ times — 1} _ {n {x_1}}}} } {{\ underbrace {3 \ times 1} _ {m + n}}} = \ frac {{6 — 1}} {4} = \ frac {5} {4} \\ & {y_D} \, = \ frac {{\ underbrace {3 \ times — 3} _ {m {y_2}} + \ underbrace {1 \ times 2} _ {n {y_1}}}} {{\ underbrace {3 + 1} _ {m + n}}} \; = \ frac {{- 9 + 2}} {4} = — \ frac {7} {4} \\ & \ Rightarrow \; \; \; \; D = \ left ({{x_D}, \; { y_D}} \ right) = \ left ({\ frac {5} {4}, \; — \ frac {7} {4}} \ right) \ end {align} \]

Эти две точки нанесены на AB на рисунке ниже:

Формула средней точки

— ChiliMath

Прежде чем мы на самом деле углубимся и узнаем, как применять или использовать формулу средней точки для решения проблем, давайте сделаем паузу на мгновение и получим ее практическое понимание.Подумайте о средней точке как о «середине» или средней точке отрезка линии. Эта так называемая центральная точка делит отрезок прямой на две равные или совпадающие части.

ПРИМЕЧАНИЕ : Средняя точка линейного сегмента AC, обозначенного символом \ overline {AC}, расположена в точке B. Это означает, что линейный сегмент AB, записанный как \ overline {AB}, и линейный сегмент BC, записанный также как \ overline {BC}, имеют одинаковую меру. Следовательно, \ overline {AB} = \ overline {BC}.


В двух словах, формула для нахождения середины двух заданных точек выглядит следующим образом.

Формула середины

Средняя точка M линейного сегмента с конечными точками A ( x 1 , y 1 ) и B ( x 2 , y 2 ) рассчитывается следующим образом:

Наблюдения:

a) Координата x средней точки — это среднее значение x для данных точек.

b) Координата Y средней точки — это среднее значение y из данных точек.


Примеры использования формулы средней точки

Давайте рассмотрим пять (5) различных примеров, чтобы увидеть формулу средней точки в действии!

Пример 1: Найдите среднюю точку линейного сегмента, соединенного конечными точками (–3, 3) и (5, 3) .

Когда вы наносите точки на ось xy и соединяете их линейкой, сегмент линии, очевидно, горизонтален, потому что координаты y точек равны.При этом легко аппроксимировать или угадать среднюю точку даже без формулы средней точки. Вы можете сделать это, посчитав одинаковое количество единиц с обеих сторон конечных точек, пока они не достигнут центра.

Однако давайте разберемся с этим, используя формулу, чтобы найти среднюю точку.

Пусть (–3, 3) будет первой точкой, поэтому x 1 = –3 и y 1 = 3. Таким же образом, если (5,3) — вторая точка, тогда x 2 = 5 и y 2 = 3.Подставьте эти значения в формулу и упростите, чтобы получить среднюю точку.

Вот точки, нанесенные на декартовую плоскость, вместе с вычисленным значением средней точки.


Пример 2: Найдите центральную точку линейного сегмента, соединенного конечными точками (1, 5) и (1, –1) , используя формулу средней точки.

Этот конкретный отрезок линии явно вертикальный, потому что две точки имеют одинаковые координаты x. Более того, нанесение точек на ось xy подтверждает случай.Как и в нашем предыдущем примере, среднюю точку этого вертикального линейного сегмента можно легко аппроксимировать, подсчитав одинаковое количество единиц с обеих сторон от конечных точек.

В любом случае, давайте решим это по формуле.

Вот как это выглядит на графике.


Пример 3: Найдите среднюю точку линейного сегмента, соединенного конечными точками (–4, 5) и (2, –3) .

Обратите внимание, что когда вы строите линейный сегмент, созданный заданными конечными точками, полученный линейный сегмент не является ни горизонтальным, ни вертикальным, в отличие от двух последних примеров.Вместо этого вы получите сегмент диагональной линии. На этот раз сложнее угадать или приблизить среднюю точку. Однако при использовании формулы это не должно быть проблемой.

Мы можем положить ( x 1 , y 1 ) = (- 4, 5) и ( x 2 , y 2 ) = (2, −3).

Теперь замените и оцените значения в формуле средней точки.

Вот график.


Пример 4: Найдите недостающее значение h в точках (5, 7) и (1, h ) , если его средняя точка находится в (3, –2) .

Поскольку на самом деле нам дается средняя точка, начните с установки формулы, равной числовому значению средней точки. Вот так…

Положим ( x 1 , y 1 ) = (5, 7) и ( x 2 , y 2 ) = (1, h ). Затем подставьте эти значения в формулу.

Если вы заметили, две точки равны, если совпадают их соответствующие координаты. То есть значения x равны, и значения y также равны.

Обратите внимание, оба значения x равны 3. Отлично!

Но мы хотим сделать то же самое с координатами y , установив их равными друг другу. Таким образом, мы создали простое уравнение, которое можно решить для недостающего значения h .


Пример 5: Найдите центр окружности, диаметр которой имеет конечные точки (–1, –5) и (5, –1) .

Если задуматься, центр круга — это просто середина диаметра.Эта проблема просто сводится к решению средней точки отрезка прямой с конечными точками (- 1, — 5) и (5, -1).

Я уверен, что вы уже умеете это делать. Небольшое предостережение: будьте очень осторожны при сложении или вычитании чисел с одинаковыми или разными знаками. Именно здесь случаются глупые ошибки, потому что студенты склонны «расслабляться» при выполнении основных арифметических операций. Так что не надо.

Вот график круга, показывающий его диаметр и центр.


Практика с рабочими листами


Возможно, вас заинтересует:

Формула расстояния

Формула раздела — Объяснение формул и решаемые примеры

Площадь поперечного сечения трубы

Площадь поперечного сечения трубы в области круга наблюдается, если смотреть на трубу с любого конца.{2} \]

(где радиус соответствует радиусу окружности, наблюдаемой с одного конца трубы).

Формула сечения в координатной геометрии

Линейный сегмент можно разделить на две части, поместив точку на линии между двумя крайними точками линейного сегмента или, возможно, где-нибудь снаружи. В координатной геометрии формулы сечения могут использоваться для нахождения связи между координатами точки, которая разделяет линейный сегмент на две части, и соотношением, в котором линейный сегмент делится.Если нам предоставлены координаты точки, которая разделяет линейный сегмент, мы можем использовать формулу сечения в математике, чтобы определить соотношение, в котором линейный сегмент делится на точку.

В качестве альтернативы мы можем вычислить координату точки, которая делит отрезок линии в определенном соотношении. Формулу сечения можно использовать для определения центра, эксцентрика и центра тяжести треугольника. Даже в физике его иногда используют для определения центра масс (ЦМ) жесткой системы частиц.

Формула раздела подразделяется на два типа:

  1. Формула раздела для внутреннего деления.

  2. Формула сечения для внешнего деления.

Формула внутреннего сечения

Этот тип формулы сечения используется, когда точка делит линейный сегмент внутри, то есть точка находится между двумя крайними точками линейного сегмента.

Пусть AB будет отрезком прямой, где A (x 1 , y 1 ) и B (x 2 , y 2 ).

Пусть P (x, y) будет точкой, которая внутренне делит сегмент линии в соотношении m: n.

Формула внутреннего деления по разделам,

(изображение будет загружено в ближайшее время)

\ [P (x, y) = P (\ frac {mx_ {2} + nx_ {1}} {m + n}, \ frac {my_ {2} + ny_ {1}} {m + n}) \]

\ [x = (\ frac {mx_ {2} + nx_ {1}} {m + n}) \]

\ [y = (\ frac {my_ {2} + ny_ {1}} {m + n}) \]

Следовательно, мы получаем координаты как P (x, y), которые делят прямую на m: соотношение n.

Иногда m: n принимается равным k: 1.В таком случае формула имеет следующий вид:

\ [P (x, y) = P (\ frac {kx_ {2} + x_ {1}} {k + 1}, \ frac {ky_ {2} + y_ {1}} {k + 1}) \]

\ [x = (\ frac {kx_ {2} + x_ {1}} {k + 1}) \]

\ [y = (\ frac {ky_ {2} + y_ {1}} {k + 1}) \]

Формула внешнего сечения

Этот тип формулы сечения используется, когда точка делит линейный сегмент снаружи, то есть точка лежит за пределами две крайние точки отрезка прямой.

Пусть AB будет отрезком прямой, где A (x 1 , y 1 ) и B (x 2 , y 2 ).

Пусть P (x, y) будет точкой, которая внешне делит отрезок линии в соотношении m: n.

(изображение скоро будет загружено)

\ [P (x, y) = P (\ frac {mx_ {2} — nx_ {1}} {m — n}, \ frac {my_ {2} — ny_) {1}} {m — n}) \]

\ [x = (\ frac {m_ {2} — nx_ {1}} {m — n}) \]

\ [y = (\ frac { my_ {2} — ny_ {1}} {m — n}) \]

Формула сечения действительна не только в двух измерениях, но также и для координатной геометрии в трех измерениях.

Пусть AB будет отрезком прямой с A (x 1 , y 1 , z 1 ) и B (x 2 , y 2 , z 2 ).

Пусть P (x, y, z) будет точкой, которая внутренне делит сегмент линии в соотношении m: n.

\ [P (x, y, z) = P (\ frac {mx_ {2} + nx_ {1}} {m + n}, \ frac {my_ {2} + ny_ {1}} {m + n}, \ frac {mz_ {2} + nz_ {1}} {m + n}) \]

\ [x = (\ frac {mx_ {2} + nx_ {1}} {m + n}) \]

\ [y = (\ frac {my_ {2} + ny_ {1}} {m + n}) \]

\ [z = (\ frac {mz_ {2} + nz_ {1}}) {m + n}) \]

Особый случай: формула средней точки

Когда точка P (x, y) делит отрезок прямой на две половины, мы можем сказать, что P (x, y) — это середина прямой. сегмент.Используя формулу сечения и средней точки:

м: n = 1: 1, поскольку линия разделена на равные части, мы имеем.

\ [P (x, y) = P (\ frac {mx_ {2} + nx_ {1}} {m + n}, \ frac {my_ {2} + ny_ {1}} {m + n}) ) \]

\ [P (x, y) = P (\ frac {(1) x_ {2} + (1) x_ {1}} {1 + 1}, \ frac {(1) y_ {2) } + (1) y_ {1}} {1 + 1}) \]

\ [P (x, y) = P (\ frac {x_ {2} + x_ {1}} {2}, \ frac {y_ {2} + y_ {1}} {2}) \]

∴ \ [x = (\ frac {x_ {2} + x_ {1}} {2}), y = (\ frac {y_ {2} + y_ {1}} {2}) \]

Решенные примеры

Q1.Найдите координаты точки M, которая разделяет отрезки PQ в соотношении 2: 3. Отрезок PQ соединяет точки P (2,1) и Q (-3,6). Лежит ли точка M на прямой 5y — x = 15?

Soln. Дано,

P (2, 1), Q (-3, 6),

Пусть координата x M равна x, а координата y равна y: M (x, y)

m: n = 2: 3

По формуле сечения,

\ [M (x, y) = M (\ frac {mx_ {2} + nx_ {1}} {m + n}, \ frac {my_ {2} + ny_ {1}) } {m + n}) \]

\ [M (x, y) = M (\ frac {2 (-3) + 3 (2)} {2 + 3}, \ frac {2 (6) + 3 (1)} {2 + 3}) \]

\ [M (x, y) = M (\ frac {-6 + 6} {5}, \ frac {15} {5}) \]

M (x, y) = M (0, 3)

x = 0, y = 3

Следовательно, точка M равна (0,3).

Подставляем значения x и y в 5y — x = 15,

5 (3) — (0) — 15 = 0

Следовательно, точка M лежит на прямой 5y — x = 15.

Q2. Найдите середину отрезка AB, который соединяет точки A (4,8) и (2,4).

Soln. Дано,

A (4, 8), B (2, 4)

Пусть координата x средней точки будет x, а координата y y: P (x, y).

m: n = 1: 1

Используя формулу сечения и средней точки,

\ [P (x, y) = P (\ frac {mx_ {2} + nx_ {1}} {m + n }, \ frac {my_ {2} + ny_ {1}} {m + n}) \]

\ [P (x, y) = P (\ frac {(1) x_ {2} + (1) x_ {1}} {1 + 1}, \ frac {(1) y_ {2} + (1) y_ {1}} {1 + 1}) \]

\ [P (x, y) = P (\ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}, \ frac {y_ {2} + y_ {1}} {2}) \]

\ [P (x, y) = P ( \ frac {4 + 2} {2}, \ frac {8 + 4} {2}) \]

P (x, y) = P (3, 6)

∴ x = 3, y = 6

Следовательно, середина AB — это P (3,6).

% PDF-1.4
%
327 0 объект
>
эндобдж

xref
327 70
0000000016 00000 н.
0000002645 00000 н.
0000002730 00000 н.
0000002968 00000 н.
0000003393 00000 н.
0000003666 00000 н.
0000004081 00000 п.
0000004548 00000 н.
0000010954 00000 п.
0000011296 00000 п.
0000011556 00000 п.
0000011897 00000 п.
0000012313 00000 п.
0000012740 00000 п.
0000016172 00000 п.
0000016466 00000 п.
0000016541 00000 п.
0000016618 00000 п.
0000016694 00000 п.
0000016772 00000 п.
0000017509 00000 п.
0000017940 00000 п.
0000017993 00000 п.
0000018030 00000 п.
0000018265 00000 п.
0000018999 00000 п.
0000019047 00000 п.
0000019467 00000 п.
0000020471 00000 п.
0000020857 00000 п.
0000021354 00000 п.
0000021432 00000 п.
0000022413 00000 п.
0000023479 00000 п.
0000023900 00000 п.
0000024196 00000 п.
0000025211 00000 п.
0000025572 00000 п.
0000028703 00000 п.
0000029450 00000 п.
0000029683 00000 п.
0000029743 00000 п.
0000030142 00000 п.
0000031249 00000 п.
0000031300 00000 п.
0000032190 00000 п.
0000032452 00000 п.
0000032825 00000 п.
0000033170 00000 п.
0000033656 00000 п.
0000036720 00000 п.
0000041401 00000 п.
0000042589 00000 п.
0000045802 00000 п. n.NAV6QvT? / 8_MmӨpscXW O} 3C # Doi!) VQ6Vf1 wyh & q`uR5DRӌM = 蛸 & 1 p

Калькулятор средней точки

Калькулятор средней точки берет две координаты в декартовой системе координат и находит точку прямо между ними. Этот момент часто бывает полезен в геометрии. В дополнение к этому калькулятору мы написали статью ниже, в которой обсуждается, как найти среднюю точку и что такое формула средней точки.

Как найти середину

  1. Обозначьте координаты (x₁, y₁) и (x₂, y₂) .
  2. Введите значения в формулу.
  3. Сложите значения в скобках и разделите каждый результат на 2.
  4. Новые значения образуют новые координаты средней точки.
  5. Проверьте свои результаты с помощью калькулятора средней точки.

Предположим, у нас есть отрезок прямой, и мы хотим разрезать его на две равные части. Для этого нам нужно знать центр. Мы можем добиться этого, найдя середину. Вы можете измерить с помощью линейки или просто использовать формулу, включающую координаты каждой конечной точки сегмента.Средняя точка — это просто среднее значение каждой координаты сечения, образующее новую координатную точку. Мы проиллюстрируем это ниже.

Формула средней точки

Если у нас есть координаты (x₁, y₁) и (x₂, y₂) , то середина этих координат определяется как (x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2 . Это формирует новую координату, которую вы можете назвать (x₃, y₃) . Калькулятор средней точки решит эту проблему мгновенно, если вы введете координаты. При вычислении вручную следуйте приведенным выше инструкциям.

Для небольших чисел легко вычислить среднюю точку вручную, но для больших и десятичных значений калькулятор является самым простым и удобным способом вычисления средней точки.

Как найти среднюю точку часто требуется в геометрии, так и расстояние между двумя точками. Расстояние между двумя точками на горизонтальной или вертикальной линии легко вычислить, но процесс усложняется, если точки не выровнены как таковые. Это часто бывает при работе со сторонами треугольника.Поэтому калькулятор расстояний — удобный инструмент для этого.

В некоторых геометрических случаях мы хотим вписать треугольник в другой треугольник, где вершины вписанного треугольника лежат в середине исходного треугольника. Калькулятор средней точки чрезвычайно полезен в таких случаях.

Как найти середину треугольника?

Чтобы найти середину треугольника, технически известную как его центроид , выполните следующие действия:

  1. Найдите середину сторон треугольника.Если вы знаете, как это сделать, перейдите к шагу 5 .
  2. Измерьте расстояние между двумя конечными точками и разделите результат на 2. Это расстояние от обоих концов является средней точкой этой линии.
  3. Либо сложите две координаты x конечных точек и разделите на 2. Сделайте то же самое для координат y. В результате вы получите координаты средней точки.
  4. Нарисуйте линию между средней точкой и ее противоположным углом.
  5. Повторите это действие по крайней мере для одной другой пары средней точки и угла или для обеих для наивысшей степени точности .
  6. Место пересечения всех линий — это центр тяжести треугольника.

Какая середина круга?

Чтобы найти середину или центр круга, следуйте этим инструкциям:

  1. Найдите две точки на окружности, которые полностью противоположны друг другу , то есть они разделены диаметром окружности.
  2. Если вы знаете их координаты, сложите две координаты x и разделите результат на 2.Это координата x центра.
  3. Сделайте то же самое с координатами 2 y, что даст вам координату y.
  4. Объедините эти два значения, чтобы получить координаты центроида .
  5. Если вы не знаете координаты, измерьте расстояние между двумя точками вдвое.
  6. Эта половина расстояния между одной конечной точкой и другой является средней точкой.

Как найти середину квадрата?

Чтобы найти середину или центроида квадрата, следуйте этому простому руководству:

  1. Если у вас есть координаты двух противоположных углов квадрата, сложите 2 x координаты и разделите результат на 2.
  2. Проделайте то же самое с координатами y.
  3. Используйте эти два вычисленных числа, чтобы найти центр квадрата, так как они являются его координатами x и y соответственно.
  4. В качестве альтернативы, проведите линию от одного угла до противоположного угла , а другую — для оставшейся пары.
  5. Место пересечения этих двух точек — центр тяжести квадрата.

Вы округляете средние точки?

Как правило, не округляют средние точки . определенно не подходит для непрерывных данных , поскольку эта точка является реальной точкой в ​​наборе данных.Для дискретных данных вы обычно не используете , вместо этого отмечая, что средняя точка — это значение обоих значений по обе стороны от вычисления средней точки.

Какая средняя точка 0 и 5?

2,5 . Чтобы найти середину любого диапазона, сложите два числа и разделите на 2. В этом случае 0 + 5 = 5, 5/2 = 2,5.

Как найти середину трапеции?

Вы можете найти среднюю точку или центроид трапеции одним из двух способов:

  1. Проведите линию от одного угла трапеции к противоположному углу.
  2. Сделайте то же самое с оставшейся парой углов.
  3. На пересечении этих двух линий находится центр тяжести .
  4. Идеально сбалансируйте трапецию по ее центру!

Альтернативно:

  1. Возьмите координаты двух противоположных сторон.
  2. Сложите координаты x этих точек вместе и разделите на 2. Это координата x средней точки .
  3. Повторите эти действия для координат 2 y, получив координату y средней точки .

Какая средняя точка 30 и 60?

45 .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.