Таблица степеней, таблица степеней для чисел от 1 до 10, полная таблица степеней

Таблица степеней — перечень чисел от 1 до 10 возведенных в степень от
1 до 10. Таблица степеней редко применяется в учебе, но когда она нужна, без нее просто не обойтись. Ведь не сразу вспомнишь сколько будет
6 в 4-ой степени! Всятаблица степеней представлена ниже. На нашем сайте помимо таблицы степеней советуем посмотреть программы для
решения задач по
теории вероятности,
геометрии и математике! Также на сайте работает
форум, на котором Вы всегда можете
задать вопрос и на котором Вам всегда помогуть с решением задач. Пользуйтесь нашими сервисами на здоровье!

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1n	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2n	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3n	3	9	27	81	243	729	2187	6561	19683	59049
4n	4	16	64	256	1024	4096	16384	65536	262144	1048576
5n	5	25	125	625	3125	15625	78125	390625	1953125	9765625
6n	6	36	216	1296	7776	46656	279936	1679616	10077696	60466176
7n	7	49	343	2401	16807	117649	823543	5764801	40353607	282475249
8n	8	64	512	4096	32768	262144	2097152	16777216	134217728	1073741824
9n	9	81	729	6561	59049	531441	4782969	43046721	387420489	3486784401
10n	10	100	1000	10000	100000	1000000	10000000	100000000	1000000000	10000000000

---

Таблица степеней от 1 до 10

11=1 12=1 13=1 14=1 15=1 16=1 17=1 18=1 19=1 110=1	21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024	31=3 32=9 33=27 34=81 35=243 36=729 37=2187 38=6561 39=19683 310=59049	41=4 42=16 43=64 44=256 45=1024 46=4096 47=16384 48=65536 49=262144 410=1048576	51=5 52=25 53=125 54=625 55=3125 56=15625 57=78125 58=390625 59=1953125 510=9765625
61=6 62=36 63=216 64=1296 65=7776 66=46656 67=279936 68=1679616 69=10077696 610=60466176	71=7 72=49 73=343 74=2401 75=16807 76=117649 77=823543 78=5764801 79=40353607 710=282475249	81=8 82=64 83=512 84=4096 85=32768 86=262144 87=2097152 88=16777216 89=134217728 810=1073741824	91=9 92=81 93=729 94=6561 95=59049 96=531441 97=4782969 98=43046721 99=387420489 910=3486784401	101=10 102=100 103=1000 104=10000 105=100000 106=1000000 107=10000000 108=100000000 109=1000000000 1010=10000000000

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.x=3
log2(3)=x

90 в 10 степени

90 в 10 =34867844009999998976.00000

12 в степени 1/3

Сложная формула но в кратце ответ — 6

Слишком сложно?

Таблица степеней не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Отрицательная степень чисел и дробей

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение: 

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, aⁿ= a · a · a · a… · a

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2, то она решается довольно просто:

• 2³ = 2 · 2 · 2, где
• 2 — основание степени
• 3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и на калькуляторе. Их выбор велик, а доступность иногда на расстоянии одного клика в онлайн. Всё это безусловно можно использовать, но сейчас нам важно подробно разобрать принцип работы, чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике.

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Число	Вторая степень	Третья степень
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	729
10	100	1000

 

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук — ниже мы их рассмотрим.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, то основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

•  

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень возведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Степень с показателем 0

Любое целое a ≠ 0 в степени 0 равно 1.

Выражение 0 в степени 0 многие математики считают лишенным смысла, так график функции f (x, у) = xy прерывается в точке (0;0).

Степень с отрицательным показателем 

Число в минусовой степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем:

К примеру, 4 в минус 2 степени — это 1/4², 2 в минус 3 степени — это 1/2³, 3 в минус 1 степени — это 1/3, 10 в минус первой степени — это 1/10 (0,1).

Примеры

Степени с отрицательным показателям помогают компактно записывать крайне малые или постоянно уменьшающиеся величины. Например, одну миллиардную долю (0, 000 000 001) можно записать как 10 в минус 9 степени (10-9). В школьной программе такие величины редкость: чаще всего используют 10 в минус 1 степени или 2 в минус 1 степени.

Чтобы разобраться, как возводить число в отрицательную степень, вспомним правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

Деление степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Поэтому если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

a³ a⁶=a^{3 — 6} = a^-3

Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

Действия с отрицательными степенями

Умножение отрицательных степеней

При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

a^m · aⁿ = a^{m + n}

Примеры

Деление отрицательных степеней

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:

Примеры 

Возведение дроби в отрицательную степень

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

Возведение произведения в отрицательную степень

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель произведения отдельно:

У нас есть отличная статья на тему — формулы сокращенного умножения, тебе стоит повторить ее!

 

📝Таблица чисел от 1 до 25 в степени от 1 до 10

При решении разных математических упражнений часто приходится заниматься возведением числа степень, в основном от 1 до 10. И для того, что бы быстрее находить эти значения и нами создана таблицу степеней по алгебре, которую я опубликую на этой странице.

Также у нас вы можете посмотреть таблицы квадратов и кубов.

Для начала рассмотрим числа от 1 до 6. Результаты здесь ещё не очень большие все из них вы можете проверить на обычном калькуляторе.

• 1 и 2 в степени от 1 до 10
  

  11= 1 12= 1 13= 1 14= 1 15= 1 16= 1 17= 1 18= 1 19= 1 110= 1

  21= 2 22= 4 23= 8 24= 16 25= 32 26= 64 27= 128 28= 256 29= 512 210= 1 024

• 3 и 4 в степени от 1 до 10
  

  3 1 = 3 3 2 = 9 3 3 = 27 3 4 = 81 3 5 = 243 3 6 = 729 3 7 = 2 187 3 8 = 6 561 3 9 = 19 683 3 10 = 59 049

  4 1 = 4 4 2 = 16 4 3 = 64 4 4 = 256 4 5 = 1 024 4 6 = 4 096 4 7 = 16 384 4 8 = 65 536 4 9 = 262 144 4 10 = 1 048 576

• 5 и 6 в степени от 1 до 10
  

  5 1 = 5 5 2 = 25 5 3 = 125 5 4 = 625 5 5 = 3 125 5 6 = 15 625 5 7 = 78 125 5 8 = 390 625 5 9 = 1 953 125 5 10 = 9 765 625

  6 1 = 6 6 2 = 36 6 3 = 216 6 4 = 1 296 6 5 = 7 776 6 6 = 46 656 6 7 = 279 936 6 8 = 1 679 616 6 9 = 10 077 696 6 10 = 60 466 176

• 7 и 8 в степени от 1 до 10
  

  7 1 = 7 7 2 = 49 7 3 = 343 7 4 = 2 401 7 5 = 16 807 7 6 = 117 649 7 7 = 823 543 7 8 = 5 764 801 7 9 = 40 353 607 7 10 = 282 475 249

  8 1 = 8 8 2 = 64 8 3 = 512 8 4 = 4 096 8 5 = 32 768 8 6 = 262 144 8 7 = 2 097 152 8 8 = 16 777 216 8 9 = 134 217 728 8 10 = 1 073 741 824

• 9 и 10 в степени от 1 до 10
  

  9 1 = 9 9 2 = 81 9 3 = 729 9 4 = 6 561 9 5 = 59 049 9 6 = 531 441 9 7 = 4 782 969 9 8 = 43 046 721 9 9 = 387 420 489 9 10 = 3 486 784 401

  10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1 000 10 4 = 10 000 10 5 = 100 000 10 6 = 1 000 000 10 7 = 10 000 000 10 8 = 100 000 000 10 9 = 1 000 000 000 10 10 = 10 000 000 000

• 11 и 12 в степени от 1 до 10
  

  11 1 = 11 11 2 = 121 11 3 = 1 331 11 4 = 14 641 11 5 = 161 051 11 6 = 1 771 561 11 7 = 19 487 171 11 8 = 214 358 881 11 9 = 2 357 947 691 11 10 = 25 937 424 601

  12 1 = 12 12 2 = 144 12 3 = 1 728 12 4 = 20 736 12 5 = 248 832 12 6 = 2 985 984 12 7 = 35 831 808 12 8 = 429 981 696 12 9 = 5 159 780 352 12 10 = 61 917 364 224

• 13 и 14 в степени от 1 до 10
  

  13 1 = 13 13 2 = 169 13 3 = 2 197 13 4 = 28 561 13 5 = 371 293 13 6 = 4 826 809 13 7 = 62 748 517 13 8 = 815 730 721 13 9 = 10 604 499 373 13 10 = 137 858 491 849

  14 1 = 14 14 2 = 196 14 3 = 2 744 14 4 = 38 416 14 5 = 537 824 14 6 = 7 529 536 14 7 = 105 413 504 14 8 = 1 475 789 056 14 9 = 20 661 046 784 14 10 = 289 254 654 976

• 15 и 16 в степени от 1 до 10
  

  15 1 = 15 15 2 = 225 15 3 = 3 375 15 4 = 50 625 15 5 = 759 375 15 6 = 11 390 625 15 7 = 170 859 375 15 8 = 2 562 890 625 15 9 = 38 443 359 375 15 10 = 576 650 390 625

  16 1 = 16 16 2 = 256 16 3 = 4 096 16 4 = 65 536 16 5 = 1 048 576 16 6 = 16 777 216 16 7 = 268 435 456 16 8 = 4 294 967 296 16 9 = 68 719 476 736 16 10 = 1 099 511 627 776

• 17 и 18 в степени от 1 до 10
  

  17 1 = 17 17 2 = 289 17 3 = 4 913 17 4 = 83 521 17 5 = 1 419 857 17 6 = 24 137 569 17 7 = 410 338 673 17 8 = 6 975 757 441 17 9 = 118 587 876 497 17 10 = 2 015 993 900 449

  18 1 = 18 18 2 = 324 18 3 = 5 832 18 4 = 104 976 18 5 = 1 889 568 18 6 = 34 012 224 18 7 = 612 220 032 18 8 = 11 019 960 576 18 9 = 198 359 290 368 18 10 = 3 570 467 226 624

• 19 и 20 в степени от 1 до 10
  

  19 1 = 19 19 2 = 361 19 3 = 6 859 19 4 = 130 321 19 5 = 2 476 099 19 6 = 47 045 881 19 7 = 893 871 739 19 8 = 16 983 563 041 19 9 = 322 687 697 779 19 10 = 6 131 066 257 801

  20 1 = 20 20 2 = 400 20 3 = 8 000 20 4 = 160 000 20 5 = 3 200 000 20 6 = 64 000 000 20 7 = 1 280 000 000 20 8 = 25 600 000 000 20 9 = 512 000 000 000 20 10 = 10 240 000 000 000

• 21 и 22 в степени от 1 до 10
  

  21 1 = 21 21 2 = 441 21 3 = 9 261 21 4 = 194 481 21 5 = 4 084 101 21 6 = 85 766 121 21 7 = 1 801 088 541 21 8 = 37 822 859 361 21 9 = 794 280 046 581 21 10 = 16 679 880 978 201

  22 1 = 22 22 2 = 484 22 3 = 10 648 22 4 = 234 256 22 5 = 5 153 632 22 6 = 113 379 904 22 7 = 2 494 357 888 22 8 = 54 875 873 536 22 9 = 1 207 269 217 792 22 10 = 26 559 922 791 424

• 23 и 24 в степени от 1 до 10
  

  23 1 = 23 23 2 = 529 23 3 = 12 167 23 4 = 279 841 23 5 = 6 436 343 23 6 = 148 035 889 23 7 = 3 404 825 447 23 8 = 78 310 985 281 23 9 = 1 801 152 661 463 23 10 = 41 426 511 213 649

  24 1 = 24 24 2 = 576 24 3 = 13 824 24 4 = 331 776 24 5 = 7 962 624 24 6 = 191 102 976 24 7 = 4 586 471 424 24 8 = 110 075 314 176 24 9 = 2 641 807 540 224 24 10 = 63 403 380 965 376

• 25 в степени от 1 до 10
  

  25 1 = 25 25 2 = 625 25 3 = 15 625 25 4 = 390 625 25 5 = 9 765 625 25 6 = 244 140 625 25 7 = 6 103 515 625 25 8 = 152 587 890 625 25 9 = 3 814 697 265 625 25 10 = 95 367 431 640 625

Хочу напомнить:

Для того, что бы возвести число «a» в степень «b» надо «a» умножить само на себя «b» раз!

Вот, например, в начале изучения компьютера мы рассматриваем двоичный код – то есть язык, на котором «разговаривает» компьютер. И там часто используются разные степени двойки, которые надо знать. От вы знаете, сколько будет два в восьмой?

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

3.1.2. Разложение выражений на множители

Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.1.

3.1.2.

Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. Вообще представление уравнения f (x) = g (x) в виде

F1 (x) · F2 (x) · … · Fn (x) = 0,

(5)

где выражения F_k (x), k = 1, …, n «проще» функций f (x) и g (x), представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители F_k (x) нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) (от английского слова «factor» – множитель).

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.

Пример 1

Разложить на множители многочлен x⁵ – 2x³ + x².

Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель x2. Вынесем его за скобку и получим ответ: x5 – 2x3 + x2 = x2(x3 – 2x + 1).

2. Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:

Пример 2

Разложить на множители многочлен (x – 2)⁴ – (3x + 1)⁴.

Разложим разность четвёртых степеней по формуле, приведённой выше:

3. Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.

Пример 3

Разложить на множители многочлен x⁴ + 4x² – 1.

Имеем

4. Группировка

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

5. Метод неопределённых коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения.

• Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
• Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
• Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Для доказательства второго утверждения вспомним, как выглядит график степенной функции с нечетной целой степенью (§ 2.2.5). Действительно, из его вида следует, что значение многочлена имеет разные знаки при x → +∞ и x → –∞. Многочлен степени n – непрерывная функция, значит, найдется хотя бы одна точка, в которой график этой функции пересечет ось Ox.

Пример 4

Разложить на множители многочлен 3x³ – x² – 3x + 1.

Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax2 + bx  + c такие, что справедливо равенство 3x3 – x2 – 3x + 1 = (x – p)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b – ap)x2 + (c – bp)x – pc. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырёх уравнений для определения четырёх неизвестных коэффициентов: Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1,  b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3x3 – x2 – 3x + 1 разлагается на множители: 3x3 – x2 – 3x + 1 = (x – 1)(3x2 + 2x – 1).

6. Теорема о корнях многочлена

Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях, доказанной в § 2.1.4. После того, как корень x = α угадан, многочлен P_n (x) представим в виде P_n (x) = (x – α) · P_n – 1 (x), где P_n – 1 (x) − многочлен степени на 1 меньше, чем P_n (x).

Пример 5

Разложить на множители многочлен x³ – 5x² – 2x + 16.

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. По следствию теоремы о рациональных корнях (см. § 2.1.4) если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16, то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±8, ±16. Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) · Q (x), где Q (x) − многочлен второй степени. Следовательно, исходный многочлен разлагается на множители, один из которых (x – 2).

7. Разложение относительно параметра

Суть этого метода легче всего понять на примере.

Пример 6

Разложить на множители многочлен x⁴ – 10x² – x + 20.

Преобразуем данный многочлен: x4 – 10x2 – x + 20 = x4 – 5 · 2x2 – x + 25 – 5 = 25 – 5(1 + 2x2) + x4 – x Рассмотрим теперь многочлен a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x, который при a = 5 совпадает с данным. Полученный многочлен является квадратным, его корни легко найти по теореме Виета: a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x = a2 – a(1 + 2x2) + x(x3 – 1) = a2 – a(1 + 2x2) + x(x – 1)(x2 + x + 1). Следовательно, a1 = x(x – 1), a2 = x2 + x + 1. Значит, исходный многочлен разлагается на множители a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x = (a – (x2 – x))(a – (x2 + x + 1)). Вернемся к многочлену, данному в условии задачи, подставив a = 5. Получим: x4 – 10x2 + x + 20 = (5 – x2 + x)(5 – x2 – x – 1) = (x2 – x – 5)(x2 + x – 4).



Внеклассный урок — Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени. Уравнение с одной переменной.

Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени

  

Уравнение – это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.

Корень уравнения (или решение уравнения) – это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

 

Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x – 15 = x + 15

Итак:
4х – х = 15 + 15
3х = 30
х = 30 : 3
х = 10

Результат: уравнение имеет один корень – число 10.

Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней. Например, уравнение (х-4)(х-5)(х-6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6.

Уравнение может вовсе не иметь корней. Например, уравнение х+2=х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.

 

Равносильность уравнений.

Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.

Пример1:

Уравнения х + 3 = 5 и 3х – 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х=2.

Пример 2:

Уравнения х⁴ + 2 = 1 и х² + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.

 

Целое уравнение с одной переменной

Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).

Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида.

Например:
y² + 3y – 6 = 0
(здесь P(x) представлен в виде многочлена y² + 3y – 6).

В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения.

В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).

 

Уравнение первой степени.

Уравнение первой степени можно привести к виду:

ax + b = 0,

где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Отсюда легко вывести значение x:

           b
x = – —
          a

Это значение x является корнем уравнения.

Уравнения первой степени имеют один корень.

 

Уравнение второй степени.

Уравнение второй степени можно привести к виду:

ax² + bx + c = 0,

где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:

— если D > 0, то уравнение имеет два корня;

— если D = 0, то уравнение имеет один корень;

— если D < 0, то уравнение корней не имеет.

Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).

 

Уравнение третьей степени.

Уравнение третьей степени можно привести к виду:

ax³ + bx² + cx + d = 0,

где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.

 

Уравнение четвертой степени.

Уравнение четвертой степени можно привести к виду:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e  = 0,

где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.

 

Обобщение:

1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;

2) уравнение n-й степени может иметь не более n корней.

 

Пример 1: Решим уравнение

x³ – 8x² – x + 8 = 0.

Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней.
Найдем их и тем самым решим уравнение.
Разложим левую часть уравнения на множители:

x²(x – 8) – (x – 8) = 0.

Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:

x²(x – 8) – 1(x – 8) = 0.

Теперь сгруппируем многочлены x² и –1, являющиеся множителями многочлена x–8.
Получим две группы многочленов: (x² –1) и (x – 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:

(x – 8)(x² – 1) = 0.

Здесь выражение x² – 1 можно представить в виде x² – 1².
А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x² – 1² = (x – 1)(x + 1).
Подставим в наше уравнение это выражение и получим:

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0.

Дальше все просто. При x – 8 = 0 всё уравнение тоже равно нулю.
И так – в случае и с двумя остальными выражениями x – 1 и x + 1. Таким образом:

x – 8 = 0

x – 1 = 0

x + 1 = 0

Осталось найти корни нашего уравнения:

x₁ = 0 + 8 = 8

x₂ = 0 + 1 = 1

x₃ = 0 – 1 = –1.

Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и –1.

 

Пример 2: Решим уравнение

(x² – 5x + 4)(x² – 5x +6) = 120.

Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом – методом введения новой переменной.
В нашем уравнении дважды встречается выражение x² – 5x.
Мы можем обозначить его переменной y. То есть представим, что x² – 5x = y.

Тогда наше уравнение обретает более простой вид:

(y + 4)(y + 6) = 120.

Раскроем скобки:

y² + 4y + 6y + 24 = 120

y² + 10y + 24 = 120

Приравняем уравнение к нулю:

y² + 10y + 24 – 120 = 0

y² + 10y – 96 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y² + 10y – 96 = 0 имеет два корня:

y₁ = -16

y₂ = 6

Буквой y мы заменили выражение x² – 5x. А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:

1) Сначала применяем значение y₁ = –16:

x² – 5x = –16

Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:

x² – 5x + 16 = 0

Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.

2) Теперь применяем значение y₂ = 6:

x² – 5x = 6

x² – 5x – 6 = 0

Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:

x₁ = –1

x₂ = 6.

Уравнение решено. Оно имеет два корня: –1 и 6.

 

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x² (такие уравнения называют биквадратными).

Действия со степенями и корнями

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели
складываются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели
степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

3. При возведении степени в степень показатели
степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

.

Например, .

5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

.

Например, .

Пример 1. Найти значение выражения

.

Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени
с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания.
Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей),

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание
остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются,
а основание остаётся прежним).

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени
с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах
математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и
производной функции, заданной неявно.

Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) .

Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти значение выражения

.

Пример 3. Найти значение выражения

.

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных
чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей:
,
где
(правило извлечения корня из произведения).

2. Если ,
то
(правило извлечения корня из дроби).

3. Если ,
то
(правило извлечения корня из корня).

4. Если ,
то
(правило возведения корня в степень).

5. Если ,
то ,
где ,
т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и
то же число.

6. Если ,
то ,
т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение
корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке
(т. е. справа налево). Например:

(правило умножения корней),

(правило деления корней),

.

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При
.

9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим
некоторые типичные случаи.

а) ,
так как .

Например, .

б)

Например,

в)

и т. д.

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Возведение в степень | Кодкамп

Квадратный корень: math.sqrt () и cmath.sqrt

math модуль содержит math.sqrt() -функции , который может вычислить квадратный корень из любого числа (которые могут быть преобразованы в float ) , и результат всегда будет float :

import math

math.sqrt(9)                # 3.0
math.sqrt(11.11)            # 3.3331666624997918
math.sqrt(Decimal('6.25'))  # 2.5

 

math.sqrt() функция вызывает ValueError , если результат будет complex :

math.sqrt(-10)              
 

ValueError: ошибка математического домена

math.sqrt(x) быстрее , чем math.pow(x, 0.5) или x ** 0.5 , но точность результатов является то же самое. cmath модуль очень похож на math модуля, за исключением того , что можно вычислить комплексные числа , и все его результаты в виде + би исключением. Он может также использовать .sqrt() :

import cmath

cmath.sqrt(4)  # 2+0j
cmath.sqrt(-4) # 2j

 

Что с j ? j является эквивалентом квадратного корня из -1. Все числа можно записать в виде a + bi или в этом случае a + bj. реальная часть числа , как 2 в 2+0j . Так как она не имеет мнимую часть, b равно 0. b представляет собой часть мнимой части числа , как 2 — в 2j . Поскольку нет никакой реальной части в этом, 2j также можно записать в виде 0 + 2j .

Экспонирование с использованием встроенных функций: ** и pow ()

Возведение может быть использован с помощью встроенного pow -функции или ** оператора:

2 ** 3    # 8
pow(2, 3) # 8

Для большинства (все в Python 2.x) арифметических операций тип результата будет типом более широкого операнда. Это не верно для ** ; следующие случаи являются исключениями из этого правила:

Основание: int , показатель: int < 0 :

2 ** -3
# Out: 0.125 (result is a float) 

Это также верно для Python 3.x.

Перед Python 2.2.0, это поднял ValueError .

Основание: int < 0 или float < 0 , показатель: float != int

(-2) ** (0.5)  # also (-2.) ** (0.5)# Out: 0.125 (result is a float) 
Out: (8.659560562354934e-17+1.4142135623730951j) (result is complex)

operator модуль содержит две функции, которые эквивалентны ** -оператора:

import operator
operator.pow(4, 2)      # 16
operator.__pow__(4, 3)  # 64

 

или можно напрямую вызвать __pow__ метод:

val1, val2 = 4, 2
val1.__pow__(val2)      # 16
val2.__rpow__(val1)     # 16
# in-place power operation isn't supported by immutable classes like int, float, complex:
# val1.__ipow__(val2)    

Экспонирование с использованием математического модуля: math.pow()

math модуль содержит другой math.pow() функцию. Разница в встроено pow() -функции или ** оператора является то , что результат всегда float :

import math
math.pow(2, 2)    # 4.0
math.pow(-2., 2)  # 4.0

 

Что исключает вычисления со сложными входами:

math.pow(2, 2+0j) 
 

Ошибка типа: невозможно преобразовать сложное в плавающее

и вычисления, которые привели бы к сложным результатам:

math.pow(-2, 0.5)
 

ValueError: ошибка математического домена

Экспоненциальная функция: math.exp () и cmath.exp ()

Как math и cmath модуль содержит число Эйлера: е и использовать его с встроено pow() -функции или ** -оператором работает в основном как math.exp() :

import math

math.------------ 

Магические методы и возведение в степень: построение, математика и математика

Предположим, у вас есть класс, который хранит чисто целочисленные значения:

class Integer(object):
    def __init__(self, value):
        self.value = int(value) # Cast to an integer

    def __repr__(self):
        return '{cls}({val})'.format(cls=self.__class__.__name__,
                                     val=self.value)

    def __pow__(self, other, modulo=None):
        if modulo is None:
            print('Using __pow__')
            return self.__class__(self.value ** other)
        else:
            print('Using __pow__ with modulo')
            return self.__class__(pow(self.value, other, modulo))

    def __float__(self):
        print('Using __float__')
        return float(self.value)

    def __complex__(self):
        print('Using __complex__')
        return complex(self.value, 0)

 

Использование встроенной pow функции или ** оператор всегда вызывает __pow__ :

Integer(2) ** 2                 # Integer(4)
# Prints: Using __pow__
Integer(2) ** 2.5               # Integer(5)
# Prints: Using __pow__
pow(Integer(2), 0.5)            # Integer(1)
# Prints: Using __pow__  
operator.pow(Integer(2), 3)     # Integer(8)
# Prints: Using __pow__
operator.__pow__(Integer(3), 3) # Integer(27)
# Prints: Using __pow__

 

Второй аргумент __pow__() метод может подаваться только с помощью builtin- pow() или путем непосредственного вызова метода:

pow(Integer(2), 3, 4)           # Integer(0)
# Prints: Using __pow__ with modulo
Integer(2).__pow__(3, 4)        # Integer(0) 
# Prints: Using __pow__ with modulo  

 

В то время как math -функции всегда преобразовать его в float и использовать флоат-вычисления:

import math

math.pow(Integer(2), 0.5) # 1.4142135623730951
# Prints: Using __float__

 

cmath -функции попытаться преобразовать его в complex , но может также Откат к float , если нет явного преобразования в complex :

import cmath

cmath.exp(Integer(2))     # (7.38905609893065+0j)
# Prints: Using __complex__

del Integer.__complex__   # Deleting __complex__ method - instances cannot be cast to complex

cmath.exp(Integer(2))     # (7.38905609893065+0j)
# Prints: Using __float__ 

Ни math , ни cmath будет работать , если также __float__() -метод отсутствует:

del Integer.__float__  # Deleting __complex__ method

math.sqrt(Integer(2))  # also cmath.exp(Integer(2))
 

Ошибка типа: требуется плавающее число

Модульное возведение в степень: pow() с 3 аргументами

Обеспечение pow() с аргументами 3 pow(a, b, c) оценивает модульного возведения в степень а б мод C:

pow(3, 4, 17)   # 13

# equivalent unoptimized expression:
3 ** 4 % 17     # 13

# steps:
3 ** 4          # 81
81 % 17         # 13

 

Для встроенных типов использование модульного возведения в степень возможно только в том случае, если:

• Первый аргумент является int
• Второй аргумент является int >= 0
• Третий аргумент является int != 0

Эти ограничения также присутствуют в Python 3.x

Например, можно использовать 3-аргумент форму pow определить модульную обратную функцию:

def modular_inverse(x, p):
    """Find a such as  a·x ≡ 1 (mod p), assuming p is prime."""
    return pow(x, p-2, p)

[modular_inverse(x, 13) for x in range(1,13)]
# Out: [1, 7, 9, 10, 8, 11, 2, 5, 3, 4, 6, 12]

 

Корни: n-корень с дробными показателями

В то время как math.sqrt функция предусмотрена для конкретного случая квадратных корней, это часто бывает удобно использовать оператор возведения в степень ( ** ) с дробными показателями для выполнения п-корневые операции, как кубические корни.

Обратное возведение в степень является возведением в степень по взаимности экспоненты. Таким образом, если вы можете кубизировать число, указав его в показателе степени 3, вы можете найти корень куба в числе, указав его в показателе 1/3.

>>> x = 3
>>> y = x ** 3
>>> y
27
>>> z = y ** (1.0 / 3)
>>> z
3.0
>>> z == x
True 

Вычисление больших целочисленных корней

Несмотря на то, что Python изначально поддерживает большие целые числа, получение n-го корня очень больших чисел может привести к сбою в Python.

 x = 2 ** 100
cube = x ** 3
root = cube ** (1.0 / 3)

 

OverflowError: long int слишком велико для преобразования в float

При работе с такими большими целыми числами вам нужно будет использовать пользовательскую функцию для вычисления n-го корня числа.

def nth_root(x, n):
    # Start with some reasonable bounds around the nth root.
    upper_bound = 1
    while upper_bound ** n <= x:
        upper_bound *= 2
    lower_bound = upper_bound // 2
    # Keep searching for a better result as long as the bounds make sense.
    while lower_bound < upper_bound:
        mid = (lower_bound + upper_bound) // 2
        mid_nth = mid ** n
        if lower_bound < mid and mid_nth < x:
            lower_bound = mid
        elif upper_bound > mid and mid_nth > x:
            upper_bound = mid
        else:
            # Found perfect nth root.
            return mid
    return mid + 1

x = 2 ** 100
cube = x ** 3
root = nth_root(cube, 3)
x == root
# True

Exponent Calculator — возведен в калькулятор степеней

Exponent Calculator или электронный калькулятор используется для решения экспоненциальных форм выражений. Он также известен как «поднятый на счетчик мощности».

Свойства калькулятора показателей:

Этот калькулятор решает оснований с и отрицательных показателей и положительных показателей . Он также предоставляет пошаговый метод с точным ответом.

Что такое показатель степени?

Показатель степени — это небольшое число, расположенное в верхнем правом положении экспоненциального выражения (основание показателя степени), которое указывает степень возведения основания выражения.

Показатель числа показывает, сколько раз число должно использоваться при умножении. Показатели не обязательно должны быть числами или константами; они могут быть переменными.

Часто это положительные целые числа, но они могут быть отрицательными, дробными, иррациональными или комплексными числами.Оно записывается в виде небольшого числа справа и над основным числом.

Типы:

Существует два основных типа показателей степени.

Положительный показатель показывает, сколько раз нужно умножить число само на себя. Воспользуйтесь нашим калькулятором экспоненты для решения ваших вопросов.

Отрицательный показатель степени показывает, в какой части основания находится решение. Чтобы упростить экспоненты со степенью в виде дробей , используйте наш калькулятор экспоненты .

Пример :

Вычислите экспоненту 3 в степени 4 ( 3 в степени 4 ).

Это означает = 3 ⁴

Решение:

3 * 3 * 3 * 3 = 81

4 в 3-й степени = 81

Следовательно, показатель степени равен 81

2 в повышении Калькулятор мощности .

Пример :

Какое значение имеет экспонента для 2 повышение до степени 9 (2 в 9 степени)

Это означает = 2 ⁹

Решение:

2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 512

2 в 9-й степени = 512

Следовательно, показатель степени равен 512 .

Пример :

Как вычислить степень 5,6,7 в степени 4?

Это означает = 5 ⁴ , 6 ⁴ , 7 ⁴

Решение:

5 * 5 * 5 * 5 = 625

6 * 6 * 6 * 6 = 1296

7 * 7 * 7 * 7 = 2401

Следовательно, экспоненты равны 625, 1296, 2401.

Как вычислить n-ю степень числа?

Энная степень основания, скажем «у», означает, что у умножается на себя в энный раз.Если нам нужно найти пятую степень y, это будет y * y * y * y * y.

Некоторые другие решения для и n-й калькулятор мощности приведены в следующей таблице.

1,2

47

мощность 3

9 0155 32768

3 в степени 3

12155 от 3 до 14

0,1 в степени 3	0,00100
0,5 в степени 3	0,12500
0,5 в степени 4	0,06250
2,07360
1.02 в 10-й степени	1.21899
1,03 в 10-й степени	1,34392
1,2 в 5-й степени	2.48832
1,4 в 10-й степени
до степени 5	1,27628
1,05 до 10 степени	1,62889
1,06 до 10 степени	1,79085
2 до 3 степени	2
8
8
2 в степени 4	16
2 в степени 6	64
2 в степени 7	128
2 в 9 степени	512
2 в десятой степени	1024
2 в 15 степени
2 в степени 10	1024
2 в степени 28	268435456
3 в степени 2	9
27
От 3 до 4 степени	81
От 3 до 8 степени	6561
От 3 до 9 степени	19683
3 степени, равной 81	3 4
4 степени 3	64
4 степени 4	256
4 степени из 7	16384
7 в степени 3	343
12 во 2-й степени	144
2.5 в степени 3	15,625
12 в степени 3	1728
10 степени 3	1000
24 во второй степени (24 2 )	57

Правила экспоненты:

Изучение правил экспоненты вместе с правилами журнала может сделать математику действительно простой для понимания. Есть 7 правил экспоненты.

• Ноль Свойство экспоненты:

Это означает, что если степень основания равна нулю, то значение решения будет равно 1.

Пример: Упростить 5 ⁰ .

В этом вопросе степень основания равна нулю, тогда в соответствии с нулевым свойством экспоненты ответ ненулевого основания равен 1. Следовательно,

5 ⁰ = 1

• Отрицательное свойство экспоненты:

Это означает, что когда степень основания является отрицательным числом, то после умножения нам нужно будет найти обратную величину ответа.

Пример: Упростить 13 ^-2 .

Сначала сделаем силу положительной, взяв обратную.

1/3 ^-2 = 3 ²

3 ² = 9

• Свойство продукта экспоненты:

Когда два экспоненциальных выражения с одинаковым ненулевым основанием и разными степенями умножаются, тогда их силы складываются на одной базе.

Пример : Решить (2 ⁶ ) (2 ² ).

Как видно, базы такие же, поэтому силы нужно добавлять.Теперь

(2 ⁶ ) (2 ² ) = 2 ⁶ +2

2 ⁸ = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

= 256

• Факторное свойство показателя степени:

Оно противоположно свойству произведения показателя степени. Когда требуется разделить две одинаковые базы с разными показателями, их силы вычитаются.

Пример: Simplify 3 ⁷ /3 ²

3 ⁷ /3 ² = 3 ^7-2

35 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3

= 243

• Степень свойства:

Когда выражение экспоненты дополнительно имеет мощность, сначала вам нужно умножить степени, а затем решить выражение.

Пример: Решить: (x ² ) ³ .

Учитывая силу степенного свойства показателей, умножим степени.

(x ² ) ³ = x ^{2 * 3}

= x ⁶

• Мощность свойства продукта:

Когда продукт баз повышается до некоторой степени, основания будет обладать властью отдельно.

Пример: Упростить (4 * 5) ²

4 ² * 5 ² = 16 * 25

= 400

• Мощность частного свойства:

Это то же самое, что мощность свойства продукта.Степень принадлежит как числителю, так и знаменателю отдельно.

Пример: Решить (2/3) ²

(2/3) ² = 2 ² /3 ²

2 ² /3 ² = 4 / 9

Степени и показатели (предалгебра, Откройте дроби и множители) — Mathplanet

Мы знаем, как вычислить выражение 5 x 5. {4} [/ latex].{55} [/ латекс]

В следующем видео вы увидите больше примеров использования правила мощности для упрощения выражений с показателями степени.

Будьте внимательны, чтобы различать использование правила продукта и правила мощности. При использовании правила произведения разные термины с одинаковыми основаниями возводятся в степень. В этом случае вы добавляете экспоненты. При использовании правила мощности член в экспоненциальной записи возводится в степень. В этом случае вы умножаете экспоненты.{70} [/ латекс]

Что такое (x + 4) во второй степени

2 ответа от опытных преподавателей

От:

Кальвин Л.
ответил • 14.06.19

Инженер-электрик и опытный преподаватель STEM

(x + 4) ² = (x + 4) (x + 4)

= x ² + 4x + 4x +16 = x ² + 8x + 16

Филип П.ответил • 14.06.19

Доступный, опытный и терпеливый репетитор по алгебре

(X + 4) ² = (x + 4) (x + 4) = x · x + x · 4 + 4 · x + 4 · 4 = x ² + 8x + 16

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ быстро.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и познакомьтесь онлайн.Никаких пакетов или подписок, платите только за необходимое время.

---

¢
€
£
¥
‰
µ
·
•
§
¶
SS
‹
›
«
»
< >
≤
≥
—
—
¯
‾
¤
¦
¨
¡
¿
ˆ
˜
°
—
±
÷
⁄
×
ƒ
∫
∑
∞
√
∼
≅
≈
≠
≡
∈
∉
∋
∏
∧
∨
¬
∩
∪
∂
∀
∃
∅
∇
*
∝
∠
´
¸
ª
º
†
‡
А
Á
Â
Ã
Ä
Å
Æ
Ç
È
É
Ê
Ë
Я
Я
Я
Я
Ð
Ñ
Ò
Ó
Ô
Õ
Ö
Ø
Œ
Š
Ù
Ú
Û
Ü
Ý
Ÿ
Þ
à
á
â
ã
ä
å
æ
ç
è
é
ê
ë
я
я
я
я
ð
ñ
ò
ó
ô
х
ö
ø
œ
š
ù
ú
û
ü
ý
þ
ÿ
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ρ
ς
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
ℵ
ϖ
ℜ
ϒ
℘
ℑ
←
↑
→
↓
↔
↵
⇐
⇑
⇒
⇓
⇔
∴
⊂
⊃
⊄
⊆
⊇
⊕
⊗
⊥
⋅
⌈
⌉
⌊
⌋
〈
〉
◊

Использование экспонентов в Python | Python Central

Опубликовано: 21 вторник, ^, марта 2017 г.

К настоящему времени вы, вероятно, знаете, как умножать и делить числа в Python.Умножение в Python довольно просто и легко сделать. Но как насчет использования экспонент? Как, например, возвести число во вторую степень? Если вы не уверены, вы, вероятно, найдете ответ довольно простым. Чтобы возвести одно число в степень другого числа, необходимо использовать оператор «**». Если при умножении двух чисел используется только один символ *, оператор возведения одного числа в степень другого использует два: **.

Давайте посмотрим на примере. Чтобы найти 4 в квадрате (4 в степени двойки — это еще один способ сказать это), ваш код будет выглядеть так:

 4 ** 2 

Легко, правда?

Чтобы распечатать результаты приведенного выше уравнения, не забудьте использовать команду печати.:

 печать (4 ** 2) 

Результатом кода будет:

 16 

Приведенный ниже фрагмент кода покажет вам, как мы будем использовать экспоненты в реальном контексте. Во фрагменте мы возводим два в степень числа 0-5 с помощью анонимной функции (лямбда) и выводим результаты.

 квадратов = 5

результат = список (карта (лямбда x: 2 ** x, диапазон (условия)))

для i в диапазоне (квадраты):
 print ("2 в степени", i, "is", result [i]) 

Таким образом, результат приведенного выше фрагмента будет:

  2 в степени 0 равно 1
2 в степени 1 равно 2
2 в степени 2 равно 4
2 в степени 3 равно 8
2 в степени 4 равняется 16
2 в степени 5 равно 32  

Чтобы использовать фрагмент для себя и получить другие результаты, измените значение переменной squares (это даст более или менее результат, в зависимости от того, насколько велико или мало выбранное вами число), или измените значение 2 на другое. номер.Если вы ищете способ понять, как правильно обрабатывать показатели в Python, этот фрагмент кода — отличный вариант для изучения этого навыка.

Разница между степенью и экспонентой

Степени и экспоненты — это инструменты для переписывания задач на длинное умножение в математике, особенно в алгебре.

Алгебра — один из ключевых разделов математики, который в основном занимается теорией чисел. Его также называют изучением математических символов.Вы могли заметить надстрочный индекс в математических связях, тот, который помещен вверху справа от числа. Это называется экспонентой, а все выражение — возведением в степень.

В операции используются два числа, записанные как x ^a , где «x» — это базовое число, а «a» — показатель степени. Показатель степени — это в основном надстрочный индекс, используемый для упрощения более крупных математических задач. Все выражение называется «степенью» и записывается как «x в степени a», где «a» — положительное целое число.

Что такое сила в математике?

Степень — математическое выражение, используемое для точного представления того, сколько раз число должно использоваться при умножении. Проще говоря, это выражение, описывающее многократное умножение одного и того же числа. Выражение можно записать как «возведение числа в степень». Рассмотрим следующий пример: 3 x 3 x 3 x 3 = 81. Это также можно записать как 3 ⁴ = 81. Это экспоненциальная запись, которая просто означает, что число «3» умножается на само себя четыре раза, чтобы получаем 27, или мы можем сказать, что «3 в степени 4» или «3 в степени 4 ^th » равно 27.Число «3» — это базовое число, а «4» — это степень или показатель степени.

Что такое экспонента?

Exponent часто используется как синоним мощности, но в другом контексте. В то время как степень представляет собой все выражение, показатель степени — это надстрочный индекс, расположенный выше справа от основного числа. Это положительное или отрицательное число, которое представляет степень возведения основного числа, означающую, что оно указывает, сколько раз число должно использоваться при умножении.В 5 ³ = 5 x 5 x 5 = 125 базовое число «5» используется трижды при умножении, что означает, что мы умножаем 5 три раза на себя. Экспоненты часто обозначаются степенями или индексами. Двумя наиболее часто используемыми экспонентами в геометрии являются квадрат и куб. Например, « ² » — это «квадрат», а « ³ » — «куб». Если показатель степени равен 1, то результатом является базовое число, а если показатель степени равен 0, то результат всегда равен 1. Например, 2 ¹ = 2 и 2 ⁰ = 1.

Разница между степенью и экспонентой

Определение степени и экспоненты

В математических соотношениях степень означает, сколько раз число умножается само на себя, что означает число, которое вы получаете, возводя число в степень, тогда как экспонента — это количество раз, когда число используется при умножении. Экспоненты часто называют степенями или индексами. Проще говоря, степень — это выражение, которое представляет собой повторное умножение одного и того же числа, тогда как показатель степени относится к количеству, которое представляет степень, до которой число возводится.Оба термина часто используются как синонимы в математических операциях.

Представление степени и экспоненты

Гипотетически термины степень и экспонента являются синонимами, но в математике они используются в разных контекстах. Это число помещается над или после другого числа, чтобы обозначить степень, до которой последнее должно быть возведено. Скажем, когда мы пишем «a ^b » — «a» — это основание, «b» — это показатель степени, и все это представляет «a в степени b». Здесь фраза «в степени b» означает, что «b» — это степень, которая часто используется как синоним степени.Скорее, «b» обозначает силу, которую вы имеете в виду в отношении. По сути, степень используется для обозначения двух вещей: основного числа и экспоненты.

Пример степени и экспоненты

Выражение 5 x 5 x 5 можно записать короче как 5 ³ с использованием экспонент.

5 x 5 x 5 = 5 ³

Выражение представляет собой многократное умножение одного и того же числа, называемое степенью. Здесь цифра «5» представляет собой основание, а цифра «3» представляет показатель степени, а все выражение говорит «5 в степени 3» или «5 в третьей степени», что означает, что 5 умножается само на себя три раза.

Аналогично 2 ⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 16

Выражение можно назвать «2 в степени 5» или «2 в степени 5 ». Показатели позволяют легко писать и использовать коэффициент умножения в математике.

Степень и экспонента: сравнительная таблица

Сводная информация о мощности и экспоненте

Степень и экспонента — очень важные математические инструменты, используемые для представления повторяющихся умножений. Показатель — это не что иное, как число или переменная, которая представляет, сколько раз базовое число умножается само на себя.В математическом выражении 2 ⁴ 2 — это базовое число с показателем степени 4, означающее, что 4 — это верхний индекс 2, а форма называется экспоненциальной формой. Степень является синонимом экспоненты, но используется в другом контексте. Степень относится ко всему выражению записи экспоненты в начало числа. В 2 ³ 2 — основание, 3 — показатель степени, а выражение говорит 2 в степени 3 или 2 в третьей степени.

Сагар Хиллар — плодовитый автор контента / статей / блогов, работающий старшим разработчиком / писателем контента в известной фирме по обслуживанию клиентов, базирующейся в Индии.У него есть желание исследовать разноплановые темы и разрабатывать высококачественный контент, чтобы его можно было лучше всего читать. Благодаря его страсти к писательству, он имеет более 7 лет профессионального опыта в написании и редактировании услуг на самых разных печатных и электронных платформах.

Вне своей профессиональной жизни Сагар любит общаться с людьми из разных культур и происхождения. Можно сказать, что он любопытен по натуре. Он считает, что каждый — это опыт обучения, и это приносит определенное волнение, своего рода любопытство, чтобы продолжать работать.Поначалу это может показаться глупым, но через некоторое время это расслабляет и облегчает начало разговора с совершенно незнакомыми людьми — вот что он сказал ».

Последние сообщения Сагара Хиллара (посмотреть все)

: Если вам понравилась эта статья или наш сайт. Пожалуйста, расскажите об этом. Поделитесь им с друзьями / семьей.

Cite
APA 7
Khillar, S. (2018, 1 мая). Разница между степенью и экспонентой. Разница между похожими терминами и объектами.http://www.differencebetween.net/science/mat Mathematics-statistics/difference-between-power-and-exponent/.

MLA 8
Хиллар, Сагар. «Разница между властью и экспонентой». Разница между похожими терминами и объектами, 1 мая 2018 г., http://www.differencebetween.net/science/mat Mathematics-statistics/difference-between-power-and-exponent/.

Калькулятор дробей

Калькулятор выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражениями с дробями, объединенными с целыми числами, десятичными знаками и смешанными числами.Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Решайте задачи с двумя, тремя или более дробями и числами в одном выражении.

Правила для выражений с дробями:

Дроби — используйте косую черту «/» между числителем и знаменателем, т. Е. Для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, не забудьте оставить один пробел между целой и дробной частью.
Косая черта разделяет числитель (число над дробной чертой) и знаменатель (число ниже).

Смешанные числа (смешанные дроби или смешанные числа) записываются как ненулевое целое число, разделенное одним пробелом и дробью, то есть 1 2/3 (с тем же знаком). Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта является одновременно знаком для дробной линии и деления, мы рекомендуем использовать двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, то есть 1/2: 3 .

Десятичные числа (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически переводятся в дроби — i.е. 1,45 .

Двоеточие : и косая черта / являются символом деления. Может использоваться для деления смешанных чисел 1 2/3: 4 3/8 или может использоваться для записи сложных дробей, например, 1/2: 1/3 . 1/2
• сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
• деление целого и дробного числа: 5 ÷ 1/2
• комплексные дроби: 5/8: 2 2/3
• десятичное в дробное: 0.625
• Дробь в десятичную: 1/4
• Дробь в проценты: 1/8%
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​
• квадратный корень дроби: sqrt (1/16)
• уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
• выражение в скобках: 1 / 3 * (1/2 — 3 3/8)
• составная дробь: 3/4 от 5/7
• кратная дробь: 2/3 от 3/5
• разделите, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2 / 3

Калькулятор следует известным правилам порядка операций .Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
BEDMAS — Скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
BODMAS — Скобки, порядок, деление, умножение, сложение, вычитание.