X3 1 график: Mathway | Популярные задачи

alexxlab

2 — x – 1 и построение графика.

Решение.

  1. Функция определяется для любых значений аргумента х, поэтому ее область определения от —\pi до +\pi.
  2. Точки, в которых функция пересекается с координатными осями.

Ось Ох: при у = 0 нужно решить уравнение:

   

Преобразуем данное выражение, вынеся из двух первых слагаемых множитель х в квадрате, а из вторых двух слагаемых — минус:

   

Общий множитель выносим за скобки:

   

Решим полученное уравнение, разбив его на два более простых:
или

   

   

Получили две точки пересечения (—1; 0) и (1; 0).
Ось Оу:  при х = 0. Подставим это значение в уравнение функции:

   

  1. Определим четность функции:

   

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

  1. Степенные функции непериодичны.
  2. Вычислим промежутки возрастания или убывания, а также точки экстремумов:

   

Найдем критические точки:

   

   

   

   

Рассмотрим поведение производной функции на трех полученных промежутках:
От —\pi до—1:
— функция возрастающая
От —1 до 1/3:
— функция убывает
От 1/3 до +\pi:
— функция возрастает
Получаем в точке —1 — точку максимума, а в точке 1/3 — точку минимума.
Найдем координату у этих точек:

   

   

  1. Вычислим промежутки выпуклости или вогнутости и точку ее перегиба:

   

   

   

Рассмотрим знак 2-й производной на промежутках:
От —\pi до —1/3:
— функция выпукла вверх
От —1/3 до +\pi:
— функция выпукла вниз
Найдем координаты точки перегиба:

   

  1. Функция не имеет точек разрыва.
  2. Строим график функции.

Содержание

Построение и решение графиков Функций

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ — наглядно.
  • Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

  • х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Чтобы ребенок разобрался в теории и чувствовал себя увереннее на школьных контрольных, запишите его на современные уроки математики в онлайн-школу Skysmart.

Интерактивные задания, математические комиксы и карта прогресса в личном кабинете — математика еще никогда не была таким увлекательным приключением!

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Не обязательно делать чертеж на целый тетрадный лист, можно выбрать удобный для вас масштаб, который отразит суть задания.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

  • стационарные и критические точки;
  • точки экстремума;
  • нули функции;
  • точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

 

  1. Найти область определения функции.

  2. Найти область допустимых значений функции.

  3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.

  4. Проверить не является ли функция периодической.

  5. Найти нули функции.

  6. Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.

  7. Найти асимптоты графика функции.

  8. Найти производную функции.

  9. Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.

  10. На основании проведенного исследования построить график функции.

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Как решаем:

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Как решаем:

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

 

Как решаем:

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

 

  1. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

    Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

    Координата вершины

  2. Ветви вверх, следовательно, a > 0.

    Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

    Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

  3. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

    Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

    Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 4. Построить графики функций:

а) y = 3x — 1

б) y = -x + 2

в) y = 2x

г) y = -1

Как решаем:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а) y = 3x — 1

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

б) y = -x + 2

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

в) y = 2x

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

г) y = -1

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Как решаем:

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

а) y = x² + 1

б)

в) y = (x — 1)² + 2

г)

д)

Как решаем:

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вверх на 1:

y = x² + 1

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

y = √x

Сдвигаем график вправо на 1:

y = √x — 1

в) y = (x — 1)² + 2

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вправо на 1:

y = (x — 1)²

Сдвигаем график вверх на 2:

y = (x — 1)² + 2

г)

Преобразование в одно действие типа

y = cos(x)

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

В детской школе Skysmart учиники чертят графики на специальной онлайн-доске. Учитель видит, как размышляет ученик и может вовремя его направить в нужную сторону.

Запишитесь на бесплатный вводный урок математики и занимайтесь в современном формате и с поддержкой заботливых учителей.

линейная функция, квадратичная, кубическая и y=1/x

 

Степенной называется функция вида y=xn (читается как y равно х в степени n), где n – некоторое заданное число. Частными случаями степенных функций является функции вида y=x, y=x2, y=x3, y=1/x и многие другие. Расскажем подробнее о каждой из них.

Линейная функция y=x

1 (y=x)

График прямая линия, проходящая через точку (0;0) под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох.

График представлен ниже.

Основные свойства линейной функции:

  • Функция возрастающая и определена на всей числовой оси. 
  • Не имеет максимального и минимального значений. 

Квадратичная функция y=x

2

Графиком квадратичной функции является парабола. 

Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Основные свойства квадратичной функции:

  • 1.  При х =0, у=0, и у>0 при х0
  • 2. Минимальное значение  квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
  • 3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;+∞). 
  • 4. Противоположным значениям х соответствует одинаковые значения y. 

Кубическая функция y=x

3

Графиком кубической функции называется кубическая парабола.

Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.  

Основные свойства кубической функции:

  • 1. При х =0, у=0. у>0 при х>0 и y
  • 2. У кубической функции не существует не максимального ни минимального значения.
  • 3. Кубическая функция возрастает на всей числовой оси (-∞;+∞).
  • 4. Противоположным значениям х, соответствуют противоположные значения y.

Функция вида y=x

-1 (y=1/x)

Графиком функции y=1/x называется гипербола.

Общий вид гиперболы представлен на рисунке ниже.

Основные свойства функции y = 1/x:

  • 1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы. 
  • 2. Оси координат – асимптоты гиперболы.
  • 3. Прямая y=x ось симметрии гиперболы.
  • 4. Область определения функции все х, кроме х=0.
  • 5. y>0 при x>0; y
  • 6. Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).
  • 7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
  • 8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
  • 9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.
  • 10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Четные и нечетные функции: графики и свойства
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspОпределение корня n-ой степени: извлечение корня

Постройте график функции и найдите значение k

Постройте график функции y=|x-3|-|x+3| и найдите значение k, при которых прямая y=kx имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Решение:

Разберем как строить график с модулем.

y=|x-3|-|x+3|

Найдем точки при переходе которых знак модулей меняется.
Каждое выражения, которое под модулем приравниваем к 0. У нас их два x-3 и x+3.
x-3=0 и x+3=0
x=3 и x=-3

У нас числовая прямая разделится на три интервала (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). На каждом интервале нужно определить знак под модульных выражений.

1. Это сделать очень просто, рассмотрим первый интервал (-∞;-3). Возьмем с этого отрезка любое значение, например, -4 и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.
х=-4
x-3=-4-3=-7 и x+3=-4+3=-1

У обоих выражений знаки отрицательный, значит перед знаком модуля в уравнении ставим минус, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (-∞;-3).

y=—(x-3)-(—(x+3))=-х+3+х+3=6

На интервале (-∞;-3) получился график линейной функции (прямой) у=6

2. Рассмотрим второй интервал (-3;3). Найдем как будет выглядеть уравнение графика на этом отрезке. Возьмем любое число от -3 до 3, например, 0. Подставим вместо значения х значение 0.
х=0
x-3=0-3=-3 и x+3=0+3=3

У первого выражения x-3 знак отрицательный получился, а у второго выражения x+3 положительный. Следовательно, перед выражением x-3 запишем знак минус, а перед вторым выражением знак плюс.

y=—(x-3)-(+(x+3))=-х+3-х-3=-2x

На интервале (-3;3) получился график линейной функции (прямой) у=-2х

3.Рассмотрим третий интервал (3;+∞). Возьмем с этого отрезка любое значение, например 5, и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.

х=5
x-3=5-3=2 и x+3=5+3=8

У обоих выражений знаки получились положительными, значит перед знаком модуля в уравнении ставим плюс, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (3;+∞).

y=+(x-3)-(+(x+3))=х-3-х-3=-6

На интервале (3;+∞) получился график линейной функции (прямой) у=-6

4. Теперь подведем итог.Постоим график y=|x-3|-|x+3|.
На интервале (-∞;-3) строим график линейной функции (прямой) у=6.
На интервале (-3;3) строим график линейной функции (прямой) у=-2х.
Чтобы построить график у=-2х подберем несколько точек.
x=-3 y=-2*(-3)=6 получилась точка (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 получилась точка (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 получилась точка (3;-6)
На интервале (3;+∞) строим график линейной функции (прямой) у=-6.

5. Теперь проанализируем результат и ответим на вопрос задания найдем значение k, при которых прямая y=kx имеет с графиком y=|x-3|-|x+3| данной функции ровно одну общую точку.

Прямая y=kx при любом значении k всегда будет проходить через точку (0;0). Поэтому мы можем изменить только наклон данной прямой y=kx, а за наклон у нас отвечает коэффициент k.

Если k будет любое положительное число, то будет одно пересечение прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3|. Этот вариант нам подходит.

Если k будет принимать значение (-2;0), то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет три. Этот вариант нам не подходит.

Если k=-2, решений будет множество [-2;2], потому что прямая y=kx будет совпадать с графиком y=|x-3|-|x+3| на данном участке. Этот вариант нам не подходит.

Если k будет меньше -2, то прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.Этот вариант нам подходит.

Если k=0, то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| также будет одно.Этот вариант нам подходит.

Ответ: при k принадлежащей интервалу (-∞;-2)U[0;+∞) прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Как построить график функции в Microsoft Excel?

Знаю что в Excel можно построить разные диаграммы, а можно ли в нем строить графики функций?

В Microsoft Excel можно строить даже графики математических функций, конечно это не так просто как построить те же  графики в специализированной программе MathCAD. ). То же самое можно реализовать с помощью функции «=B3*B3*B3».

Однако забивать формулу в каждой строке очень неудобно. Создатели Microsoft Excel всё это предусмотрели. Для того, чтобы наша формула появилась в каждой ячейке необходимо «растянуть» её. Растягивание ячеек с формулами и числами — фирменная фишка экзеля (очень полезная).

Щёлкните на ячейке с формулой. В правом нижнем углу ячейки есть маленький квадратик (он отмечен красным цветом на рисунке ниже). Вам нужно навести курсор мышки на него (при этом курсор мышки поменяется), нажать праву кнопку и «растянуть» формулу вниз на столько ячеек, сколько вам нужно.

3. Перейдём непосредственно к построению графика.

 Меню «Вставка» → «Диаграмма»:

4. Выбираем любую из точечных диаграмм. Нажимаем «Далее». Следует заметить, что нам необходима именно точечная диаграмма, т.к. другие виды диаграмм не позволяют нам задать и функцию, и аргумент в явном виде (в виде ссылки на группу ячеек).

5. В появившемся окне нажимаем вкладку «Ряд». Добавляем ряд нажатием кнопки «Добавить».

В появившемся окне надо задать откуда будут взяты числа (а точнее результаты вычислений) для графика. Чтобы выбрать ячейки, нужно щёлкнуть поочередно по кнопкам, обведённым красным овалом на рисунке ниже.

После этого нужно выделить те ячейки, откуда будут взяты значения для x и y.

6. Вот что получилось. Последний шаг — нажимаем «готово» :

Вот таким достаточно простым способом можно строить графики в Microsoft Excel. Стоит заметить, что при любом изменении набора аргументов функции или самой функции график мгновенно перестроится заново

По материалам: how-tos.ru

Как построить график функции в Excel

Чтобы правильно построить линейный график функций в Excel необходимо выбрать точечную диаграмму с прямыми отрезками и маркерами. Естественно это не единственный, но весьма быстрый и удобный способ.

Для разного рода данных нужно использовать разные типы графиков. Убедимся в этом, разобрав практический пример с построением математического графика функций в Excel.

Построение графиков функций в Excel

Начнем из анализа и создания графика функций в Excel. Мы убедимся в том, что линейный график в Excel существенно отличается от графика линейной функции, который преподают в школе.

Линейная функция x=y имеет следующие значения: x1=0, x2=1, x3=7. Заполните таблицу этими значениями как показано на рисунке:

Выделите диапазон A1:B4 и выберите инструмент: «Вставка»-«Диаграммы»-«График»-«График с маркерами».

В результате у нас созданы 2 линии на графике, которые наложены одна сверх другой. Так же мы видим, что линии сломаны, а значит, они не соответствуют презентации школьному графику линейной функции. Излом линий, получается, по причине того, что на оси X у нас после значений: 0, 1 сразу идет значение 7 (упущены 2,3,4,5,6).

Вывод один: данный способ графического построения данных нам не подходит. А значит щелкните по нему левой кнопкой мышки (чтобы сделать его активным) и нажмите клавишу DELETE на клавиатуре, чтобы удалить его.



Как построить график линейной функции в Excel

Чтобы создать правильный график функций в Excel выберите подходящий график.

Выделите диапазон A1:B4 и выберите инструмент: «Вставка»-«Диаграммы»-«Точечная»-«Точечная с прямыми отрезками и маркерами».

Как видно на рисунке данный график содержит одинаковое количество значений на осях X и Y. По умолчанию в шаблоне данного графика цена делений оси X равна 2. При необходимости ее можно изменить. Для этого:

  • наведите курсор мышки на любое значение оси X чтобы появилась всплывающая подсказка «Горизонтальная ось (значений)» и сделайте двойной щёлочек левой кнопкой мышки;
  • в появившемся окне «Формат оси» выберите пункт опции: «Параметры оси»-«цена основных делений»-«фиксированное» и установите значение 1 вместо 2.
  • нажмите на кнопку «Закрыть».

Теперь у нас отображается одинаковое количество значений по всем осям.

Очень важно понимать разницу в предназначениях графиков Excel. В данном примере мы видим, что далеко не все графики подходят для презентации математических функций.

Примечание. В принципе первый способ можно было-бы оптимизировать под отображение линейной функции, если таблицу заполнить всеми значениями 0-7. Но это не всегда работающее решение, особенно в том случае если вместо значений будут формулы изменяющие данные. Одним словом если нужно забить гвоздь лучше взять молоток, чем микроскоп. Несмотря на то, что теоретически гвозди можно забивать и микроскопом.

Не существует универсальных графиков и диаграмм, которыми можно отобразить любой отчет. Для каждого типа отчета наиболее подходящее то или иное графическое представление данных. Выбор зависит от того что и как мы хотим презентовать. На следующих примерах вы убедитесь, что выбор имеет большое значение. Существует даже целая наука «Инфографика», которая учит лаконично презентовать информацию с максимальным использованием графики вместо текста, насколько это только возможно.

Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3

Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3 — Квадратные уравнения

2008 Rasmus ehf и Jhann sak

Уравнения III

Урок
3
Пересечение
точек графиков

Как приступить к поиску точек, в которых два графика
y = f (x) и y = g (x) пересекаются?

Мы уже знаем, где найти график
f (x) пересекает ось x. Здесь y = 0. Мы вычисляем его, решая
уравнение f (x) = 0.
Когда графики y = f (x) и y =
g (x) пересекаются, оба графа имеют
точно такие же значения x и y. Итак, мы можем найти точку или точки
пересечения путем решения уравнения f (x)
= g (x). Решение этого уравнения даст нам значение (я) x
точка (и) пересечения. Затем мы можем найти значение y, поместив значение для
x, который мы нашли в одном из исходных уравнений.То есть путем расчета
либо f (x), либо g (x).

Пример 1

Рассчитать точку
пересечение двух прямых f (x) = 2x — 1 и g (x) = x + 1. Сначала
давайте посмотрим на график двух функций. Мы видим смысл
пересечение есть (2, 3).

Рассчитываем точку пересечения по
решение уравнения f (x) = g (x). То есть:

2х — 1 = х + 1

2x — х = 1 + 1

х = 2

Координата Y теперь может быть найдена
вычисление f (2):

f (2) = 2 × 2 — 1 =
3

Точка пересечения (2,
3) .

Пример показывает, что мы можем найти точку
пересечения двумя способами.
Либо графически, нарисовав два графика в одной системе координат, либо
алгебраически, решив уравнение, подобное тому, которое приведено в приведенном выше примере.

Решить уравнение графически легко с помощью
графический калькулятор или компьютерная программа, например Excel.
Некоторые уравнения нельзя решить алгебраически, но мы можем найти решения, которые
исправляем до любого количества значащих цифр, используя компьютеры и
калькуляторы.

Пример 2

Решите уравнение x 2 — 2x — 3 = 2x — 3 сначала графически, а затем алгебраически.

Рисуем графики f (x) = x 2 —
2x — 3 и g (x) = 2x — 3, составив таблицу значений и построив график
точки. Как из графика, так и из таблицы значений видно, что
графики пересекаются при x = 0 и x = 4 .

Решает алгебраически:

x 2 — 2x — 3 = 2x — 3

x 2 — 4x = 0

х (х — 4) = 0

Даем решения x = 0 и x = 4 .

Пример 3

Решите уравнение x 2 — 1 = 2x — 3

Сначала переместите все термины
перейдите к левой части уравнения и упростите.

Это дает x 2 — 2x + 2 = 0

Воспользуемся квадратной формулой с a = 1, b =
−2 и c = 2.

Число под знаком квадратного корня:
отрицательный, что означает, что это уравнение не имеет решения.
Чтобы понять, почему это так, мы рисуем графики левой части оригинала.
уравнение

f (x) = x 2 — 1 и правая часть g (x) = 2x — 3.

Мы видим, что парабола
f (x) и прямая g (x) не пересекаются.Легко видеть, что мы
не может вычислить точку пересечения просто потому, что такой точки нет.

Пример 4

Решите уравнение x 3 — 3x + 2 = x 2 —
2x + 1

Как и в предыдущем примере, мы перемещаем все
слагаемые в левую часть уравнения.

х 3 — 3x + 2 = x 2 — 2x + 1

x 3 — x 2 — x + 1 = 0

(x 3 — x 2 ) — (x — 1) = 0

x 2 (x — 1) — (x — 1) = 0

(х — 1) (х 2 —
1) = 0

(х — 1) (х — 1) (х
+ 1) = 0

Расчеты показывают, что их всего два
решений, x = 1 и x = −1, но кубическое уравнение может иметь три
решения.График показывает нам, что происходит.

Графики f (x) =
x 2 — 2x + 1 и g (x)
= x 3 — 3x + 2 пересекаются
только в двух местах, где x = −1 и x = 1, которые были решениями
уравнение.

Пример 5

Решите уравнение x 2 = x

Легко видеть, что x = 0 и x = 1 являются
решения уравнения, но есть ли еще решения? Это не очень
вероятно, но давайте посмотрим на графики.

Назовите левую часть f (x) = x 2 и правую часть g (x) = x.
Помните, что g (x) не может принимать отрицательные значения x, поэтому не может быть никаких
отрицательные точки пересечения.

На графике видно, что точек всего две
пересечения и, следовательно, только два решения уравнения. х = 0 и х =
1.
Вот как решить уравнение расчетом:

x 2 = x

x 4 = x

х 4 — х = 0

x (x 3 — 1) = 0

 Квадрат
обе стороны уравнения, чтобы избавиться от квадратного корня .

Это дает решение x = 0 и x = 1 .

Пример 6

Решите уравнение ln x = x 2 — 1

Это уравнение не так-то просто решить. Если мы
помните определение логарифма, мы видим, что x = 1 делает обе стороны
уравнение равно 0 и, следовательно, является одним решением уравнения. Мы рисуем
графики, чтобы увидеть, есть ли другие решения.

График показывает нам, что есть два
решения. Одно решение — ровно x
= 1, поскольку e 0 = 1.

Обратите внимание, что мы выбираем значения x так, чтобы значения y
становятся все ближе и ближе друг к другу в таблице значений. Таким образом мы
можем выбрать значение x, чтобы получить желаемую точность.

Пример 7

EXCEL

Если мы воспользуемся графическим калькулятором, то найдем
решение уравнения ln x = x 2 — 1 намного проще.

Рисуем графики обеих сторон
уравнение и используйте Zoom (сдвиг F2), а затем Trace (сдвиг F1), чтобы найти
точка пересечения.

Еще проще использовать G-Solve (F5) и
затем функция пересечения ISCT (F5). Это дает нам первую точку зрения
пересечение. Затем нажимаем стрелку вправо, и калькулятор переходит к
вторая точка пересечения. 2-ln (B2)

Теперь выберите Инструменты
а затем «Поиск цели» в строке меню.В
на экране появляется следующее:

Пишем D2,
1 и B2 в промежутках, как показано. Мы просим Excel сделать значение ячейки D2 равным
к значению 1, изменив значение в B2.

Когда
нажимаем ОК, появляется следующая информация.

Это говорит нам о том, что
аппроксимация x ≈ 0,45, которую мы нашли графически в примере 6, довольно
хорошо, решение x ≈ 0.4500289, найденный с помощью EXCEL, не намного лучше.

Попробуйте пройти тест 3 по уравнениям III.

Не забудьте использовать контрольный список для
следите за своей работой.

Графические уравнения с программой «Пошаговое решение математических задач»

Язык математики особенно эффективен для представления отношений
между двумя или более переменными. В качестве примера рассмотрим пройденное расстояние
через определенный промежуток времени автомобилем, движущимся с постоянной скоростью 40 миль в час. Мы можем представить эту взаимосвязь как

  1. 1. Словесное предложение:
    Пройденное расстояние в милях равно сороккратному количеству пройденных часов.
  2. 2. Уравнение:
    d = 40r.
  3. 3. Таблица значений.
  4. 4. График, показывающий зависимость между временем и расстоянием.

Мы уже использовали словесные предложения и уравнения для описания таких отношений;
В этой главе мы будем иметь дело с табличным и графическим представлениями.

7.1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

ЗАКАЗАННЫЕ ПАРЫ

Уравнение d = 40f объединяет расстояние d для каждого момента времени t. Например,

если t = 1, то d = 40
, если t = 2, то d = 80
, если t = 3, то d = 120

и так далее.

Пара чисел 1 и 40, рассматриваемая вместе, называется решением
уравнение d = 40r, потому что, когда мы подставляем 1 вместо t и 40 вместо d в уравнении,
мы получаем верное утверждение. Если мы согласны ссылаться на парные номера в указанном
порядок, в котором первое число относится ко времени, а второе число относится к
расстояния, мы можем сократить приведенные выше решения как (1, 40), (2, 80), (3, 120) и
скоро. Мы называем такие пары чисел упорядоченными парами и ссылаемся на первую и
вторые числа в парах как компоненты. В соответствии с этим соглашением решения
Уравнение d — 40t — это упорядоченные пары (t, d), компоненты которых удовлетворяют уравнению.
Некоторые упорядоченные пары для t, равного 0, 1, 2, 3, 4 и 5, равны

(0,0), (1,40), (2,80), (3,120), (4,160) и (5,200)

Такие пары иногда отображаются в одной из следующих табличных форм.

В любом конкретном уравнении, включающем две переменные, когда мы присваиваем значение одной
переменных определяется значение другой переменной и, следовательно,
зависит от первого.Удобно говорить о переменной, связанной с
первый компонент упорядоченной пары как независимая переменная и переменная
связанный со вторым компонентом упорядоченной пары в качестве зависимой переменной. Если переменные x и y используются в уравнении, подразумевается, что заменить —
элементы для x являются первыми компонентами и, следовательно, x — независимая переменная и
замены y являются вторыми компонентами и, следовательно, y является зависимой переменной.
Например, мы можем получить пары для уравнения

, подставив конкретное значение одной переменной в уравнение (1) и решив для
другая переменная.

Пример 1

Найдите недостающий компонент, чтобы заказанная пара была решением для

2x + y = 4

а. (0 ,?)

г. (1 ,?)

г. (2 ,?)

Решение

если x = 0, то 2 (0) + y = 4
y = 4

если x = 1, то 2 (1) + y = 4
y = 2

если x = 2, то 2 (2) + y = 4
y = 0

Теперь три пары могут отображаться как три упорядоченные пары

(0,4), (1,2) и (2,0)

или в табличной форме

ЯВНО ВЫРАЖАЮЩИЙ ПЕРЕМЕННУЮ

Мы можем добавить -2x к обоим членам 2x + y = 4, чтобы получить

-2x + 2x + y = -2x + 4
y = -2x + 4

В уравнении (2), где y есть само по себе, мы говорим, что y явно выражается через
из х.Часто бывает проще получить решения, если сначала выразить уравнения в такой форме
потому что зависимая переменная явно выражается через независимые
Переменная.

Например, в уравнении (2) выше

, если x = 0, то y = -2 (0) + 4 = 4
, если x = 1, то y = -2 (1) + 4 = 2
, если x = 2, то y = -2 (2) + 4 = 0

Мы получаем те же пары, что и с помощью уравнения (1)

(0,4), (1,2) и (2,0)

Мы получили уравнение (2) добавлением одинаковой величины -2x к каждому члену
уравнения (1), таким образом получая y само по себе.В общем, мы можем написать эквивалент
уравнения с двумя переменными, используя свойства, которые мы ввели в главе 3,
где мы решали уравнения первой степени с одной переменной.

Уравнения эквивалентны, если:

  1. Одно и то же количество прибавляется к равным количествам или вычитается из них.
  2. Равные количества умножаются или делятся на одинаковое ненулевое количество.

Пример 2

Решите 2y — 3x = 4 явно для y через x и получите решения для x = 0,
х = 1 и х = 2.

Решение
Во-первых, добавив 3x к каждому члену, мы получим

2y — 3x + 3x = 4 + 3x
2y = 4 + 3x (продолжение)

Теперь, разделив каждый член на 2, получим

В этой форме мы получаем значения y для заданных значений x следующим образом:

В этом случае три решения: (0, 2), (1, 7/2) и (2, 5).

ОБОЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ

Иногда мы используем специальные обозначения для наименования второго компонента упорядоченного
пара, которая связана с указанным первым компонентом.Символ f (x), который часто
используется для обозначения алгебраического выражения в переменной x, также может использоваться для обозначения
значение выражения для конкретных значений x. Например, если

f (x) = -2x + 4

, где f (x) играет ту же роль, что и y в уравнении (2) на странице 285, тогда f (1)
представляет значение выражения -2x + 4, когда x заменяется на 1

f (l) = -2 (1) + 4 = 2

Аналогично

f (0) = -2 (0) + 4 = 4

и

f (2) = -2 (2) + 4 = 0

Символ f (x) обычно называют обозначением функции.

Пример 3

Если f (x) = -3x + 2, найти f (-2) и f (2).

Решение

Замените x на -2, чтобы получить
f (-2) = -3 (-2) + 2 = 8

Замените x на 2, чтобы получить
f (2) = -3 (2) + 2 = -4

7.

2 ГРАФИКИ ЗАКАЗАННЫХ ПАР

В разделе 1.1 мы видели, что каждое число соответствует точке на линии. Simi-
Как правило, каждая упорядоченная пара чисел (x, y) соответствует точке на плоскости. К
граф упорядоченной пары чисел, мы начинаем с построения пары перпендикулярных
числовые линии, называемые осями.Горизонтальная ось называется осью x, вертикальная ось
называется осью Y, а точка их пересечения называется началом координат. Эти топоры
разделите плоскость на четыре квадранта, как показано на рисунке 7.1.

Теперь мы можем присвоить упорядоченную пару чисел точке на плоскости, указав
на перпендикулярное расстояние точки от каждой из осей. Если первый
составляющая положительная, точка лежит правее вертикальной оси; если отрицательный, это
лежит слева.Если второй компонент положительный, точка находится выше
Горизонтальная ось; если отрицательный, он находится внизу.

Пример 1

График (3, 2), (-3, 2), (-3, -2) и (3, -2) в прямоугольной системе координат.

Решение
График (3, 2) находится на 3 единицы правее
ось y и на 2 единицы выше оси x;
график (-3,2) лежит на 3 единицы слева от
ось y и на 2 единицы выше оси x;
график (-3, -2) лежит на 3 единицы слева от
ось y и на 2 единицы ниже оси x;
график (3, -2) лежит на 3 единицы правее
ось y и на 2 единицы ниже оси x.

Расстояние y, на котором точка расположена от оси x, называется ординатой.
точки, а расстояние x, на котором точка расположена от оси y, называется
абсцисса точки. Абсцисса и ордината вместе называются прямоугольником.
Гулярные или декартовы координаты точки (см. рисунок 7.2).

7.3 ИЗОБРАЖЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО УРОВНЯ

В разделе 7.1 мы видели, что решение уравнения с двумя переменными является упорядоченным
пара.В разделе 7.2 мы видели, что компонентами упорядоченной пары являются
координаты точки на плоскости. Таким образом, чтобы построить уравнение с двумя переменными, мы
Изобразите набор упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения. Например, мы
может найти некоторые решения уравнения первой степени

у = х + 2

, положив x равным 0, -3, -2 и 3. Затем

для x = 0, y = 0 + 2 = 2
для x = 0, y = -3 + 2 = -1
для x = -2, y = -2 + 2-0
для x = 3, y = 3 + 2 = 5

и получаем решения

(0,2), (-3, -1), (-2,0) и (3,5)

, который может отображаться в табличной форме, как показано ниже.

Если мы изобразим точки, определенные этими
упорядоченные пары и проведите прямую через
их, мы получаем график всех решений
y = x + 2, как показано на рисунке 7.3. Это,
каждое решение y = x + 2 лежит на прямой,
и каждая точка на линии — это решение
у = х + 2.

Графики уравнений первой степени в двух
переменные всегда прямые; следовательно,
такие уравнения также называются линейными
уравнения.

В приведенном выше примере значения, которые мы использовали для
x были выбраны случайным образом; мы могли бы использовать
любые значения x, чтобы найти решения уравнения. Графики любых других упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения, также будут
быть на линии, показанной на рисунке 7.3. Фактически каждое линейное уравнение с двумя переменными
имеет бесконечное количество решений, график которых лежит на прямой. Однако мы только
нужно найти два решения, потому что для определения
прямая линия. Третий балл можно получить как проверку.

Чтобы построить уравнение первой степени:

  1. Постройте набор прямоугольных осей, показывающих масштаб и переменную, представляющую
    отправляется каждой осью.
  2. Найдите две упорядоченные пары, которые являются решениями уравнения для построения графика
    присвоение любого удобного значения одной переменной и определение соответствующего
    значение другой переменной.
  3. Изобразите эти упорядоченные пары.
  4. Проведите прямую линию через точки.
  5. Проверьте, построив график третьей упорядоченной пары, которая является решением уравнения и
    убедитесь, что он лежит на линии.

Пример 1

Изобразите уравнение y = 2x — 6.

Решение
Сначала мы выбираем любые два значения x, чтобы найти соответствующие значения y.
Мы будем использовать 1 и 4 для x.
Если x = 1, y = 2 (1) — 6 = -4
, если x = 4, y = 2 (4) — 6 = 2
Таким образом, два решения уравнения:
(1, -4) и (4, 2).
Затем мы строим график этих упорядоченных пар и проводим прямую линию через точки, как показано
на рисунке. Мы используем стрелки, чтобы показать, что
линия тянется бесконечно далеко в обоих направлениях.
Любая третья упорядоченная пара, удовлетворяющая
Уравнение можно использовать в качестве проверки:
, если x = 5, y = 2 (5) -6 = 4
Затем отметим, что график (5, 4) также лежит на линии
. Чтобы найти решения уравнения, как мы уже отмечали, часто проще всего сначала решить
явно для y через x.

Пример 2

График x + 2y = 4.

Решение
Сначала решаем y через x, чтобы получить

Теперь мы выбираем любые два значения x, чтобы найти соответствующие значения y. Мы будем использовать
2 и 0 для x.

Таким образом, двумя решениями уравнения являются (2, 1) и (0, 2).

Затем мы графически отображаем эти упорядоченные пары и
проведите через точки прямую, как
показано на рисунке.

Любая третья упорядоченная пара, удовлетворяющая
уравнение можно использовать как проверку:

Заметим, что график (-2, 3) также
лежит на линии.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнение y = 2 можно записать как

0x + y = 2

и может рассматриваться как линейное уравнение в двух
переменные, у которых коэффициент при x равен 0. Некоторые
решения 0x + y = 2 равны

(1,2), (-1,2) и (4,2)

Фактически, любая упорядоченная пара вида (x, 2) является
решение (1). Графическое изображение решений
дает горизонтальную линию, как показано на рисунке
7.4.

Точно так же уравнение, такое как x = -3, может
быть записано как

х + 0у = -3

и может рассматриваться как линейное уравнение в двух
переменные, у которых коэффициент при y равен 0.

Некоторые решения x + 0y = -3 являются
(-3, 5), (-3, 1) и (-3, -2). Фактически любой
упорядоченная пара вида (-3, y) является решением
из (2). Графическое изображение решений дает вертикальную
линия, как показано на рисунке 7.5.

Пример 3

График

а. у = 3
б. х = 2

Решение
а. Мы можем записать y = 3 как Ox + y = 3.
Некоторые решения: (1, 3), (2,3) и (5, 3).

б. Мы можем записать x = 2 как x + Oy = 2.
Некоторые решения: (2, 4), (2, 1) и (2, -2).

7.4 МЕТОД ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКА

В Разделе 7.3 мы присвоили значения x в уравнениях с двумя переменными, чтобы найти
соответствующие значения y. Решения уравнения с двумя переменными, равные
как правило, легче всего найти те, в которых первый или второй компонент
0. Например, если мы заменим 0 на x в уравнении

3x + 4y = 12

у нас есть

3 (0) + 4y = 12
y = 3

Таким образом, решением уравнения (1) является (0, 3). Мы также можем найти упорядоченные пары, которые
решения уравнений с двумя переменными путем присвоения значений y и определения
соответствующие значения x. В частности, если мы подставим 0 вместо y в уравнение (1), мы
получить

3x + 4 (0) = 12
x = 4

и второе решение уравнения (4, 0). Теперь мы можем использовать упорядоченные пары
(0, 3) и (4, 0) для построения графика уравнения (1). График представлен на рисунке 7.6. Уведомление
что линия пересекает ось x в точке 4 и ось y в точке 3. По этой причине число
4 называется пересечением по оси x графа, а число 3 — точкой пересечения по оси y.

Этот метод построения графика линейного уравнения называется пересечением.
метод построения графиков. Обратите внимание, что когда мы используем этот метод построения графиков линейного
уравнение, нет никакого преимущества в том, чтобы сначала явно выразить y через x.

Пример 1

График 2x — y = 6 методом пересечения.

Решение
Мы находим точку пересечения с x, подставляя 0 вместо y в уравнение, чтобы получить

2x — (0) = 6
2x = 6
x = 3

Теперь мы находим точку пересечения по оси Y, подставляя
для x в уравнении, чтобы получить

2 (0) — y = 6
-y = 6
y = -6

Упорядоченные пары (3, 0) и (0, -6) являются решениями 2x — y = 6. Графическое изображение этих
точек и соединяя их прямой линией, получаем график 2x — y = 6.
Если график пересекает оси в или около начала координат, метод перехвата не работает.
удовлетворительно. Затем мы должны построить график упорядоченной пары, которая является решением уравнения
и чей график не является началом координат или не слишком близок к началу координат.

Пример 2

График y = 3x.

Решение
Мы можем заменить 0 на x и найти
y = 3 (0) = 0
Аналогичным образом, заменив 0 на y, мы получим
0 = 3.x, x = 0
Таким образом, 0 является и точкой пересечения по оси x, и точкой пересечения по оси y.

Так как одной точки недостаточно, чтобы получить = 3x, мы прибегаем к методам, описанным в
Раздел 7.3. Выбирая любое другое значение для x, скажем 2, мы получаем

у = 3 (2) = 6

Таким образом, (0, 0) и (2, 6) являются решениями
уравнение. График y = 3x показан на
верно.

7,5 НАКЛОН ЛИНИИ

ФОРМУЛА НАКЛОНА

В этом разделе мы изучим важное свойство линии. Мы назначим
число к линии, которую мы называем уклоном, что даст нам меру «крутизны»
или «направление» линии.

Часто бывает удобно использовать специальные обозначения для различения прямоугольников.
Гулярные координаты двух разных точек. Мы можем обозначить одну пару координат
на (x 1 , y 1 (читается «x sub one, y sub one»), связанный с точкой P 1 , и второй
пара координат по (x 2 , y 2 ), связанная со второй точкой P 2 , как показано на рисунке
7.7. Обратите внимание на рис. 7.7, что при переходе от P 1 к P 2 вертикальное изменение (или
расстояние по вертикали) между двумя точками составляет y 2 — y 1 , а изменение по горизонтали (или
расстояние по горизонтали) составляет x 2 — x 1 .

Отношение вертикального изменения к горизонтальному называется крутизной
линия, содержащая точки P 1 и P 2 . Это соотношение обычно обозначают m. Таким образом,

Пример 1

Найдите наклон прямой, содержащей два
точки с координатами (-4, 2) и (3, 5) как
показано на рисунке справа.

Решение
Обозначим (3, 5) как (x 2 , y 2 ) и (-4, 2)
как (x 1 , y 1 ). Подставляя в уравнение (1)
дает

Обратите внимание, что мы получим тот же результат, если подставим -4 и 2 вместо x 2 и y 2 и 3 и
5 для x 1 и y 1

Линии с различным уклоном показаны на Рисунке 7.8 ниже. Наклоны линий, которые
вверх вправо положительны (рисунок 7.8а) и наклоны спускающихся вниз
справа отрицательны (рис. 7.8b). Обратите внимание (рис. 7.8c), что, поскольку все
точки на горизонтальной линии имеют одинаковое значение y, y 2 — y 1 равно нулю для любых двух
точек, а наклон линии просто

Также обратите внимание (рисунок 7. 8c), что, поскольку все точки на вертикали имеют одинаковое значение x,
x 2 — x 1 равняется нулю для любых двух точек. Однако

не определено, поэтому вертикальная линия не имеет наклона.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ЛИНИИ

Рассмотрим линии, показанные на рисунке 7.9. Линия l 1 имеет наклон m 1 = 3, а линия l 2 имеет
уклон м 2 = 3. В данном случае

Эти линии никогда не пересекаются и называются параллельными линиями. Теперь рассмотрим линии
показано на рисунке 7.10. Линия l 1 имеет наклон m 1 = 1/2, а линия l 2 имеет наклон m 2 = -2.
В данном случае

Эти линии пересекаются, образуя прямой угол, и называются перпендикулярными линиями.

В общем, если две линии имеют уклон и м2:

    а. Линии параллельны, если они имеют одинаковый наклон, т. Е.
    если m 1 = m 2 .
    г. Линии перпендикулярны, если произведение их уклонов
    равно -1, то есть если m 1 * m 2 = -1.

7.6 УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

ОПОРНО-СКЛОННАЯ ФОРМА

В разделе 7.5 мы нашли наклон прямой по формуле

Допустим, мы знаем, что линия проходит через точку (2, 3) и имеет наклон 2.Если мы обозначим любую другую точку на прямой как P (x, y) (см. Рис. 7.1а), наклоном
формула

Таким образом, уравнение (1) — это уравнение прямой, проходящей через точку (2, 3), и
имеет уклон 2.

В общем, допустим, мы знаем, что линия проходит через точку P 1 (x 1 , y 1 и имеет
уклон м. Если мы обозначим любую другую точку на прямой как P (x, y) (см. Рис. 7.11 b), то через
формула наклона

Уравнение (2) называется формой точечного уклона для линейного уравнения.В уравнении (2),
m, x 1 и y 1 известны, а x и y — переменные, которые представляют координаты
любая точка на линии. Таким образом, всякий раз, когда мы знаем наклон линии и точки на
линии, мы можем найти уравнение линии, используя уравнение (2).

Пример 1

Линия имеет наклон -2 и проходит через точку (2, 4). Найдите уравнение прямой.

Решение
Замените -2 вместо m и (2, 4) вместо (x 1 , y 1 ) в уравнении (2)

Таким образом, прямая с наклоном -2, проходящая через точку (2, 4), имеет уравнение
у = -2х + 8.Мы могли бы также записать уравнение в эквивалентной форме y + 2x = 8,
2x + y = 8 или 2x + y — 8 = 0.

ФОРМА НАКЛОНА

Теперь рассмотрим уравнение прямой с наклоном m и точкой пересечения оси y b, как показано на
Рисунок 7.12. Подставив 0 вместо x 1 и b вместо y 1 в форме точечного наклона линейного
уравнение, имеем

y — b = m (x — 0)
y — b = mx

или

y = mx + b

Уравнение (3) называется формой пересечения наклона
для линейного уравнения. Наклон и пересечение по оси Y
можно получить непосредственно из уравнения в
эта форма.

Пример 2 Если линия имеет уравнение

, то наклон линии должен быть -2, а точка пересечения оси Y — 8. Аналогично,
график

г = -3x + 4

имеет наклон -3 и точку пересечения по оси Y 4; и график

имеет наклон 1/4 и точку пересечения по оси Y -2.

Если уравнение не записано в форме x = mx + b и мы хотим знать наклон
и / или точку пересечения с y, мы переписываем уравнение, решая относительно y через x.

Пример 3

Найдите наклон и точку пересечения оси Y для 2x — 3y = 6.

Решение
Сначала мы решаем y в терминах x, добавляя -2x к каждому члену.

2x — 3y — 2x = 6 — 2x
— 3y = 6 — 2x

Теперь, разделив каждого члена на -3, мы получим

Сравнивая это уравнение с формой y = mx + b, отметим, что наклон m (величина
коэффициент при x) равен 2/3, а точка пересечения оси y равна -2.

7.7 ПРЯМОЕ ИЗМЕНЕНИЕ

Частный случай уравнения первой степени с двумя переменными дается формулой

y = kx (k — постоянная)

Такая связь называется прямой вариацией.Мы говорим, что переменная y изменяется
прямо как x.

Пример 1

Мы знаем, что давление P в жидкости изменяется прямо пропорционально глубине d ниже
поверхность жидкости. Мы можем обозначить эту взаимосвязь в символах как

P =

кД

В прямом варианте, если мы знаем набор условий для двух переменных, и если
мы также знаем другое значение для одной из переменных, мы можем найти значение
вторая переменная для этого нового набора условий.

В приведенном выше примере мы можем решить для константы k, чтобы получить

Поскольку отношение P / d постоянно для каждого набора условий, мы можем использовать соотношение
для решения задач, связанных с прямым изменением.

Пример 2

Если давление P напрямую зависит от глубины d и P = 40, когда d = 10, найдите P, когда
d = 15.

Решение
Поскольку отношение P / d постоянно, мы можем подставить значения для P и d и получить
пропорция

Таким образом, P = 60 при d = 15.

7,8 НЕРАВЕНСТВА В ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

В разделах 7.3 и 7.4 мы построили уравнения с двумя переменными. В этом разделе мы
построит график неравенств по двум переменным. Например, рассмотрим неравенство

у ≤ -x + 6

Решения — это упорядоченные пары чисел, которые «удовлетворяют» неравенству.Это,
(a, b) является решением неравенства, если неравенство является истинным утверждением после того, как мы
заменим a на x и b на y.

Пример 1

Определите, является ли данная упорядоченная пара решением y = -x + 6.

а. (1, 1)
б. (2, 5)

Решение
Упорядоченная пара (1, 1) является решением, потому что, когда 1 заменяется на x, а 1
подставляем вместо y, получаем

(1) = — (1) + 6, или 1 = 5

, что является верным заявлением. С другой стороны, (2, 5) не является решением, потому что когда
2 заменяется на x и 5 заменяется на y, мы получаем

(5) = — (2) + 6, или 5 = 4

, что является ложным заявлением.

Чтобы построить график неравенства y = -x + 6, сначала построим график уравнения y = -x + 6
показано на рисунке 7.13. Обратите внимание, что (3, 3), (3, 2), (3, 1), (3, 0) и т. Д., Связанные
с точками, находящимися на линии или под ней, являются решениями неравенства
y = -x + 6, тогда как (3,4), (3, 5) и (3,6), связанные с точками над
линии не являются решениями неравенства. Фактически, все упорядоченные пары, связанные с
точки на линии или ниже являются решениями y = — x + 6. Таким образом, каждая точка на или
под линией находится на графике.Мы представляем это, закрашивая область под
линия (см. рисунок 7.14).

В общем случае для построения графика неравенства первой степени с двумя переменными вида
Ax + By = C или Ax + By = C, сначала строим график уравнения Ax + By = C и
затем определите, какая полуплоскость (область выше или ниже линии) содержит
решения. Затем закрашиваем эту полуплоскость. Мы всегда можем определить, какая половина
плоскость заштриховать, выбрав точку (не на линии уравнения Ax + By = C)
и тестирование, чтобы увидеть, является ли упорядоченная пара, связанная с точкой, решением
учитывая неравенство. Если да, то закрашиваем полуплоскость, содержащую контрольную точку; иначе,
заштриховываем вторую полуплоскость. Часто (0, 0) — удобная контрольная точка.

Пример 2

График 2x + 3y = 6

Решение
Сначала построим линию 2x + 3y = 6 (см. График a). Используя начало координат как контрольную точку,
мы определяем, является ли (0, 0) решением 2x + 3y ≥ 6. Поскольку утверждение

2 (0) + 3 (0) = 6

ложно, (0, 0) не является решением и мы закрашиваем полуплоскость, которая не содержит
начало координат (см. график b).

Когда линия Ax + By = C проходит через начало координат, (0, 0) не является допустимым тестом
точка, так как она находится на линии.

Пример 3

График y = 2x.

Решение
Начнем с построения линии y = 2x (см. График a). Поскольку линия проходит через
начало координат, мы должны выбрать другую точку не на линии в качестве нашей тестовой точки. Мы будем
используйте (0, 1). Поскольку выписка

(1) = 2 (0)

верно, (0, 1) — решение, и мы закрашиваем полуплоскость, содержащую (0, 1) (см.
график б).

Если символ неравенства — ‘, точки на графике Ax + By = C
не являются решениями неравенства. Затем мы используем пунктирную линию для графика
Ax + By = C.

РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ

  1. Решение уравнения с двумя переменными — это упорядоченная пара чисел. в
    упорядоченная пара (x, y), x называется первым компонентом, а y называется вторым
    составная часть. Для уравнения с двумя переменными переменная, связанная с первой
    компонент решения называется независимой переменной, а переменная
    связанный со вторым компонентом, называется зависимой переменной.Обозначение функции f (x) используется для обозначения алгебраического выражения в x. Когда х в
    символ f (x) заменяется определенным значением, символ представляет значение
    выражения для этого значения x.

  2. Пересечение двух перпендикулярных осей в системе координат называется
    происхождение системы, и каждая из четырех областей, на которые делится плоскость
    называется квадрантом. Компоненты упорядоченной пары (x, y), связанной с
    точки на плоскости называются координатами точки; x называется абсциссой
    точки, а y называется ординатой точки.

  3. График уравнения первой степени с двумя переменными представляет собой прямую линию. То есть каждый
    упорядоченная пара, которая является решением уравнения, имеет график, лежащий на линии, и
    каждая точка в строке связана с упорядоченной парой, которая является решением
    уравнение.

    Графики любых двух решений уравнения с двумя переменными могут быть использованы для
    получить график уравнения. Однако два решения уравнения в двух
    переменные, которые обычно легче всего найти, — это те, в которых либо первая, либо
    второй компонент равен 0.Координата x точки, в которой линия пересекает ось x.
    называется пересечением по оси x линии, а координата y точки, в которой линия
    пересекает ось ординат и называется пересечением линии. Использование точек пересечения для построения графика
    уравнение называется методом построения графика с пересечением.

  4. Наклон линии, содержащей точки P 1 (x 1 , y 1 ) и P 2 (x 2 , y 2 ), определяется как

    Две прямые параллельны, если они имеют одинаковый наклон (m 1 = m 2 ).

    Две прямые перпендикулярны, если произведение их уклонов равно — l (m 1 * m 2 = -1).

  5. Форма точки-наклона прямой с наклоном m, проходящей через точку (x 1 , y 1 )
    это

    y — y 1 — m (x — x 1 )

    Форма пересечения наклона линии с уклоном m и пересечением по оси y равна

    y = mx + b

  6. Взаимосвязь, определяемая уравнением вида

    y = kx (k постоянная)

    называется прямой вариацией.

  7. Решением неравенства с двумя переменными является упорядоченная пара чисел, которая,
    при подстановке в неравенство делает неравенство истинным утверждением. В
    График линейного неравенства от двух переменных представляет собой полуплоскость.
    Символы, представленные в этой главе, появляются на внутренней стороне передней обложки.

Инверсия функции — объяснение и примеры

Что такое обратная функция?

В математике обратная функция — это функция, отменяющая действие другой функции.

Например, , сложение и умножение являются инверсией вычитания и деления соответственно.

Обратную функцию можно рассматривать как отображение исходной функции по линии y = x. Проще говоря, обратная функция получается заменой (x, y) исходной функции на (y, x).

Мы используем символ f — 1 для обозначения обратной функции. Например, если f (x) и g (x) противоположны друг другу, то мы можем символически представить это утверждение как:

g (x) = f — 1 (x) или f (x) = g −1 (x)

Одно замечание относительно обратной функции заключается в том, что обратная функция не совпадает с обратной, т.е.е., f — 1 (x) ≠ 1 / f (x). В этой статье мы обсудим, как найти обратную функцию.

Поскольку не все функции имеют инверсию, поэтому важно проверить, есть ли у функции инверсия, прежде чем приступать к определению инверсии.

Мы проверяем, есть ли у функции инверсия, чтобы не тратить время на поиск чего-то, чего не существует.

Индивидуальные функции

Итак, как мы докажем, что данная функция имеет обратную? Функции, у которых есть обратные, называются взаимно однозначными функциями.

Функция называется взаимно однозначной, если для каждого числа y в диапазоне f существует ровно одно число x в области определения f такое, что f (x) = y.

Другими словами, домен и диапазон однозначной функции имеют следующие отношения:

  • Область f −1 = Диапазон f.
  • Диапазон f −1 = Область f.

Например, чтобы проверить, является ли функция f (x) = 3x + 5 взаимно однозначной, заданной функцией f (a) = 3a + 5 и f (b) = 3b + 5.

⟹ 3a + 5 = 3b + 5

⟹ 3a = 3b

⟹ a = b.

Следовательно, f (x) является взаимно однозначной функцией, потому что a = b.

Рассмотрим другой случай, когда функция f задается формулой f = {(7, 3), (8, –5), (–2, 11), (–6, 4)}. Эта функция взаимно однозначна, потому что ни одно из ее значений y не встречается более одного раза.

А как насчет этой другой функции h = {(–3, 8), (–11, –9), (5, 4), (6, –9)}? Функция h не является взаимно однозначной, потому что значение y, равное –9, встречается более одного раза.

Вы также можете графически проверить взаимно однозначную функцию, проведя вертикальную и горизонтальную линии через график функции. Функция взаимно однозначна, если и горизонтальная, и вертикальная линии проходят через график один раз.

Как найти обратную функцию?

Найти инверсию функции — несложный процесс, хотя нам действительно нужно быть осторожными с парой шагов. В этой статье мы будем предполагать, что все функции, с которыми мы будем иметь дело, относятся друг к другу.

Вот процедура нахождения обратной функции f (x):

  • Заменить обозначение функции f (x) на y.
  • Поменять местами x на y и наоборот.
  • Начиная с шага 2, решите уравнение относительно y. Будьте осторожны с этим шагом.
  • Наконец, измените y на f −1 (x). Это обратная функция.
  • Вы можете проверить свой ответ, проверив, верны ли следующие два утверждения:

⟹ (f ∘ f −1 ) (x) = x

⟹ (f −1 ∘ f) (x) = x

Давайте поработаем пару примеров.

Пример 1

Дана функция f (x) = 3x — 2, найти обратную ей.

Решение

f (x) = 3x — 2

Заменить f (x) на y.

⟹ у = 3х — 2

Поменять местами x на y

⟹ x = 3y — 2

Решить для y

x + 2 = 3 года

Разделим на 3, чтобы получить;

1/3 (x + 2) = y

х / 3 + 2/3 = у

Наконец, заменим y на f −1 (x).

f −1 (x) = x / 3 + 2/3

Проверить (f ∘ f −1 ) (x) = x

(f ∘ f −1 ) (x) = f [f −1 (x)]

= f (x / 3 + 2/3)

⟹ 3 (х / 3 + 2/3) — 2

⟹ х + 2 — 2

= х

Следовательно, f −1 (x) = x / 3 + 2/3 — правильный ответ.

Пример 2

Для данного f (x) = 2x + 3 найти f −1 (x).

Решение

f (x) = y = 2x + 3

2x + 3 = y

Поменять местами x и y

⟹2y + 3 = x

Теперь решите для y

⟹2y = х — 3

⟹ y = x / 2 — 3/2

Наконец, заменим y на f −1 (x)

⟹ f −1 (x) = (x– 3) / 2

Пример 3

Задайте функцию f (x) = log 10 (x), найдите f −1 (x).

Решение

f (x) = log₁₀ (x)

Заменен f (x) на y

⟹ y = журнал 10 (x) ⟹ 10 y = x

Теперь поменяйте местами x на y, чтобы получить;

⟹ y = 10 x

Наконец, заменим y на f −1 (x).

f -1 (x) = 10 x

Следовательно, обратное значение f (x) = log 10 (x) равно f -1 (x) = 10 x

Пример 4

Найдите обратную функцию следующей функции g (x) = (x + 4) / (2x -5)

Решение

г (x) = (x + 4) / (2x -5) ⟹ y = (x + 4) / (2x -5)

Обмен y с x и наоборот

y = (x + 4) / (2x -5) ⟹ x = (y + 4) / (2y -5)

⟹ х (2у − 5) = у + 4

⟹ 2xy — 5x = y + 4

⟹ 2xy — y = 4 + 5x

⟹ (2x — 1) y = 4 + 5x

Разделите обе части уравнения на (2x — 1).

⟹ у = (4 + 5x) / (2x — 1)

Заменить y на g — 1 (x)

= г — 1 (x) = (4 + 5x) / (2x — 1)

Проба:

(г г -1 ) (x) = г [г -1 (x)]

= г [(4 + 5x) / (2x — 1)]

= [(4 + 5x) / (2x — 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x — 1) — 5]

Умножьте числитель и знаменатель на (2x — 1).

⟹ (2x — 1) [(4 + 5x) / (2x — 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x — 1) — 5] (2x — 1).

⟹ [4 + 5x + 4 (2x — 1)] / [2 (4 + 5x) — 5 (2x — 1)]

⟹ [4 + 5x + 8x − 4] / [8 + 10x — 10x + 5]

⟹13x / 13 = x
Следовательно, g — 1 (x) = (4 + 5x) / (2x — 1)

Пример 5

Определите значение, обратное следующей функции f (x) = 2x — 5

Решение

Заменить f (x) на y.

f (x) = 2x — 5⟹ y = 2x — 5

Переключите x и y, чтобы получить;

⟹ x = 2y — 5

Изолировать переменную y.

2у = х + 5

⟹ у = х / 2 + 5/2

Измените y обратно на f –1 (x).

⟹ f –1 (x) = (x + 5) / 2

Пример 6

Найти обратную функцию к функции h (x) = (x — 2) 3 .

Решение

Измените h (x) на y, чтобы получить;

h (x) = (x — 2) 3 ⟹ y = (x — 2) 3

Поменять местами x и y

⟹ х = (у — 2) 3

Изолятор ул.

y 3 = x + 2 3

Найдите кубический корень из обеих частей уравнения.

3 √y 3 = 3 √x 3 + 3 √2 3

y = 3 √ (2 3 ) + 2

Заменить y на h — 1 (x)

ч — 1 (x) = 3 √ (2 3 ) + 2

Пример 7

Найдите значение, обратное h (x) = (4x + 3) / (2x + 5)

Решение

Заменить h (x) на y.

h (x) = (4x + 3) / (2x + 5) ⟹ y = (4x + 3) / (2x + 5)

Поменять местами x и y.

⟹ х = (4у + 3) / (2у + 5).

Решите относительно y в приведенном выше уравнении следующим образом:

⟹ х = (4у + 3) / (2у + 5)

Умножить обе стороны на (2y + 5)

⟹ х (2y + 5) = 4y + 3

Распределить x

⟹ 2xy + 5x = 4y + 3

Изолятор ул.

⟹ 2xy — 4y = 3 — 5x

⟹ y (2x — 4) = 3-5x

Разделим на 2x — 4, чтобы получить;

⟹ y = (3-5x) / (2x — 4)

Наконец, замените y на h — 1 (x).

⟹ ч — 1 (x) = (3 — 5x) / (2x — 4)

Практические вопросы

Найдите обратное из следующих функций:

  1. г (x) = (2x — 5) / 3.
  2. h (x) = –3x + 11.
  3. г (x) = — (x + 2) 2 — 1.
  4. г (х) = (5/6) х — 3/4
  5. f (x) = 3 x — 2.
  6. h (x) = x 2 + 1.
  7. г (x) = 2 (x — 3) 2 -5
  8. f (x) = x 2 / (x 2 + 1)
  9. h (x) = √x — 3.
  10. f (x) = (x — 2) 5 + 3
  11. f (x) = 2 x 3 — 1
  12. f (x) = x 2 — 4 x + 5
  13. г (x) = 5 √ (2x + 11)
  14. h (x) = 4x / (5 — x)

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

% PDF-1.4
%
186 0 объект
>
эндобдж

xref
186 83
0000000016 00000 н.
0000002880 00000 н.
0000002965 00000 н.
0000003203 00000 н.
0000003649 00000 п.
0000003884 00000 н.
0000006923 00000 н.
0000007291 00000 п.
0000007690 00000 н.
0000007932 00000 н.
0000011505 00000 п.
0000011863 00000 п.
0000012251 00000 п.
0000012511 00000 п.
0000012857 00000 п.
0000013098 00000 п.
0000018053 00000 п.
0000018417 00000 п.
0000018830 00000 п.
0000019157 00000 п.
0000025390 00000 н.
0000025839 00000 п.
0000026267 00000 п.
0000026561 00000 п.
0000026667 00000 п.
0000027153 00000 п.
0000027396 00000 п.
0000027716 00000 п.
0000028414 00000 п.
0000029068 00000 н.
0000029452 00000 п.
0000030458 00000 п.
0000030892 00000 п.
0000031099 00000 п.
0000031147 00000 п.
0000031800 00000 п.
0000031837 00000 п.
0000032491 00000 п.
0000032544 00000 п.
0000032622 00000 п.
0000032698 00000 п.
0000032776 00000 п.
0000032853 00000 п.
0000034423 00000 п.
0000034504 00000 п.
0000035487 00000 п.
0000035730 00000 п.
0000036052 00000 п.
0000036587 00000 п.
0000037296 00000 п.
0000038086 00000 п.
0000039392 00000 п.
0000039813 00000 п.
0000040084 00000 п.
0000040502 00000 п.
0000040798 00000 п.
0000040873 00000 п.
0000042138 00000 п.
0000042189 00000 п.
0000043546 00000 п.
0000043925 00000 п.
0000044187 00000 п.
0000044983 00000 п.
0000045530 00000 п.
0000048215 00000 п.
0000051122 00000 п.
0000052350 00000 п.
0000055042 00000 п.
0000055997 00000 п.
0000059019 00000 п.
0000069315 00000 п.
0000081204 00000 п.
0000081783 00000 п.
0000088328 00000 п.
00000

00000 н.
0000092699 00000 н.
0000110297 00000 н.
0000112029 00000 н.
0000113233 00000 н.
0000130831 00000 н.
0000132593 00000 н.
0000133668 00000 н.
0000001956 00000 н.
трейлер
] / Назад 644557 >>
startxref
0
%% EOF

268 0 объект
> поток
hb«a«X Ȁ

Определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной из ее графика

Некоторые функции демонстрируют симметрию, поэтому на исходном графике появляются отражения.{3} \\ [/ latex] или [latex] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} \\ [/ latex] были отражены над обеими осями , результатом будет исходный график.

Рис. 12. (a) Функция кубического инструментария (b) Горизонтальное отражение функции кубического инструментария (c) Горизонтальные и вертикальные отражения воспроизводят исходную кубическую функцию.

Мы говорим, что эти графы симметричны относительно начала координат. Функция с графиком, симметричным относительно начала координат, называется нечетной функцией . {x} \\ [/ latex] не является ни четным, ни нечетным. Кроме того, единственная функция, которая является как четной, так и нечетной, — это постоянная функция [latex] f \ left (x \ right) = 0 \\ [/ latex].

Общее примечание: четные и нечетные функции

Функция называется четной функцией, если для каждого входа [latex] x \\ [/ latex]

[латекс] f \ left (x \ right) = f \ left (-x \ right) \\ [/ латекс]

График четной функции симметричен относительно оси [latex] y \ text {-} \\ [/ latex].

Функция называется нечетной функцией, если для каждого входа [latex] x \\ [/ latex]

[латекс] f \ left (x \ right) = — f \ left (-x \ right) \\ [/ латекс]

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Практическое руководство. Имея формулу для функции, определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них.


  1. Определите, удовлетворяет ли функция [latex] f \ left (x \ right) = f \ left (-x \ right) \\ [/ latex]. Если да, то даже.
  2. Определите, удовлетворяет ли функция [latex] f \ left (x \ right) = — f \ left (-x \ right) \\ [/ latex].{2} +7 \\ [/ latex] четное, нечетное или ни одно?

    Решение

    Эскиз кривой

    В процессе построения кривой выполняются следующие шаги:

    \ (1. \) Домен

    Найдите область определения функции и определите точки разрыва (если есть).

    \ (2. \) Перехватывает

    Определите точки пересечения \ (x- \) и \ (y — \) функции, если это возможно. Чтобы найти точку пересечения \ (x — \), мы устанавливаем \ (y = 0 \) и решаем уравнение для \ (x.\) Аналогично, мы устанавливаем \ (x = 0 \), чтобы найти точку пересечения \ (y — \). Найдите интервалы, в которых функция имеет постоянный знак \ (\ left ({f \ left (x \ right) \ gt 0} \ right. \) И \ (\ left. {F \ left (x \ right) \ lt 0} \ right). \)

    \ (3. \) Симметрия

    Определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной, и проверьте периодичность функции. Если \ (f \ left ({- x} \ right) = f \ left (x \ right) \) для всех \ (x \) в области, то \ (f \ left (x \ right) \) является четный и симметричный относительно оси \ (y — \).\ prime \ left (x \ right) \) и найдите критические точки функции. (Помните, что критические точки — это точки, в которых первая производная равна нулю или не существует.) Определите интервалы, в которых функция увеличивается и уменьшается с помощью теста первой производной.

    \ (6. \) Локальный максимум и минимум

    Используйте первый или второй производный тест, чтобы классифицировать критические точки как локальный максимум или локальный минимум. Вычислите значения \ (y — \) локальных экстремальных точек.

    \ (7.2} — 6x + 2 = 0, \; \;} \ Rightarrow

    {D = 36 — 4 \ cdot 3 \ cdot 2 = 12, \; \;} \ Rightarrow
    {{x_ {1,2}} = \ frac {{6 \ pm \ sqrt {12}}} {6}} = {1 \ pm \ sqrt 3 \ приблизительно 0,42; \; 1,58. 2}} \ right]}
    + {2 — \ frac {{2 \ sqrt 3}} {3}}
    = {\ cancel {1} ​​- \ sqrt 3 + \ cancel {1}}
    — {\ frac {{\ sqrt 3}} {9} — \ cancel {3}}
    + {2 \ sqrt 3 — \ cancel {1} ​​+ \ cancel {2}}
    — {\ frac {{2 \ sqrt 3}} {3}}
    = {\ frac {{9 \ sqrt 3 — \ sqrt 3 — 6 \ sqrt 3}} {9}}
    = {\ frac {{2 \ sqrt 3}} {9} \ приблизительно 0,38;}
    \]

    Аналогично находим, что

    \ [
    {y \ left ({1 + \ frac {{\ sqrt 3}} {3}} \ right)}
    = — {\ frac {{2 \ sqrt 3}} {9} \ приблизительно -0 , 38.}
    \]

    Таким образом, функция имеет локальный максимум в точке

    \ [\ left ({1 — \ frac {{\ sqrt 3}} {3}, \ frac {{2 \ sqrt 3}} {9}} \ right) \ приблизительно \ left ({0,42; \ ; 0,38} \ вправо). \]

    Соответственно, локальный минимум достигнут в точке

    \ [\ left ({1 + \ frac {{\ sqrt 3}} {3}, — \ frac {{2 \ sqrt 3}} {9}} \ right) \ приблизительно \ left ({1,58; \; — 0,38} \ вправо) \]

    Интервалы увеличения / уменьшения следуют из рисунка \ (1a. \)

    Рассмотрим вторую производную:

    \ [
    {y ^ {\ prime \ prime} \ left (x \ right) = {\ left ({3 {x ^ 2} — 6x + 2} \ right) ^ \ prime}}
    = {6x — 6;}
    \]

    \ [
    {y ^ {\ prime \ prime} \ left (x \ right) = 0, \; \;} \ Rightarrow
    {6x — 6 = 0, \; \;} \ Rightarrow
    {x = 1 . 2}}
    = {\ left ({x + 2} \ right) \ left ({2x — \ cancel {2} + x + \ cancel {2}} \ right)}
    = {3x \ left ({x + 2} \ вправо).}
    \]

    Стационарные точки

    \ [
    {y ‘\ left (x \ right) = 0, \; \;} \ Rightarrow
    {3x \ left ({x + 2} \ right) = 0, \; \;} \ Rightarrow
    { {x_1} = 0, \; {x_2} = — 2.}
    \]

    Производная меняет знак, как показано на рисунке \ (3a. \). Следовательно, \ (x = -2 \) — точка максимума, а \ (x = 0 \) — точка минимума. В этих экстремальных точках функция имеет следующие значения:

    \ [
    {y \ left ({- 2} \ right) = — 4,} \; \; \; \ kern-0.3}}} = 0, \; \;} \ Rightarrow
    {{x_1} = — \ sqrt 3, \; {x_2} = \ sqrt 3.}
    \]

    При прохождении через эти точки вторая производная меняет знак. Следовательно, обе точки являются точками перегиба. Функция строго выпуклая вниз в интервалах \ (\ left ({- \ infty, — \ sqrt 3} \ right) \) и \ (\ left ({\ sqrt 3, + \ infty} \ right) \) и соответственно, строго выпукло вверх в интервале \ (\ left ({- \ sqrt 3, \ sqrt 3} \ right). 3».

    Пошаговое решение:

    Шаг 1: 

     
     Попытка учесть разность кубов: 
     
     1,1 Факторинг: x  3 -1 
     
     Теория: Разница двух идеальных кубов, a  3  — b  3  можно разложить на 
     (ab) • (a  2  + ab + b  2 ) 
     
     Доказательство: (ab) • (a  2  + ab + b  2 ) = 
     a  3  + a  2  b + ab  2  -ba  2  -b  2  ab  3  = 
     a  3  + (a  2  b-ba  2 ) + ( ab  2  -b  2  a) -b  3  = 
     a  3  + 0 + 0-b  3  = 
     a  3  -b  3  
     
     Проверить: 1 — куб из 1 
     Чек: x  3  — куб x  1  
     
     Факторизация: 
     (x — 1) • (x  2  + x + 1) 
     
     
     Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена 
     
     1.2 Факторинг x  2  + x + 1 
     
     Первый член, x  2 , его коэффициент равен 1.  
     Средний член, + x, его коэффициент равен 1. 
     Последний член, «константа», равен +1 
     
     Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • 1 = 1 
     
     Шаг-2: Найдите два множителя 1, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен 1. 
     
     3 
      
       -1   +  -1   =  -2   
     
        1   +   1   =   2  
      
     Наблюдение: Два таких фактора не могут быть найдены !! 
     Вывод: трехчлен не может быть разложен на множители 
     
     Уравнение в конце шага 1: 
     
     (x - 1) • (x  2  + x + 1) = 0
 
     Шаг 2: 
     Теория — Корни продукта: 
     2.1 Произведение нескольких членов равно нулю.
     Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы один из членов должен быть равен нулю.
     Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно
     Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в произведении.
     Любое решение term = 0 также решает product = 0.
     
     Решение уравнения с одной переменной: 
     2.2 Решите: x-1 = 0
     Добавьте 1 к обеим сторонам уравнения: 
     x = 1
     
     Парабола, поиск вершины: 
     2.3 Найдите вершину y = x  2  + x + 1
     Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).
     Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы.То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.
     Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
     Для любой параболы Ax  2  + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A).В нашем случае координата x равна -0,5000
     Подставив в формулу параболы -0,5000 для x, мы можем вычислить координату y: 
     y = 1,0 * -0,50 * -0,50 + 1,0 * -0,50 + 1,0 
     или y = 0,750
     Парабола, графическая вершина и пересечения по оси X: 
     Корневой график для: y = x  2  + x + 1 
     Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {- 0,50} 
     Вершина в точке {x, y} = {-0,50, 0,75} 
     Функция не имеет действительных корней
     Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат 
     2.4 Решение x  2  + x + 1 = 0, завершив Квадрат.
     Вычтем 1 из обеих частей уравнения: 
     x  2  + x = -1
     Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 1, разделите его на два, получив 1/2 и, наконец, возведите в квадрат. это дает 1/4
     Добавьте 1/4 к обеим сторонам уравнения: 
     В правой части мы имеем: 
     -1 + 1/4 или, (-1/1) + (1/4) 
     общий знаменатель двух дробей равен 4. Сложение (-4/4) + (1/4) дает -3/4 
     Таким образом, сложив обе части, мы в итоге получаем: 
     x  2  + x + (1/4) = — 3/4
     При сложении 1/4 левая часть завершилась в виде полного квадрата: 
     x  2  + x + (1/4) = 
     (x + (1/2)) • (x + (1/2) ) = 
     (x + (1/2))  2  
     Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Так как 
     x  2  + x + (1/4) = -3/4 и 
     x  2  + x + (1/4) = (x + (1/2))  2  
     то по закону транзитивности, 
     (x + (1/2))  2  = -3/4
     Мы будем называть это уравнение уравнением. # 2.4.1
     Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
     Обратите внимание, что квадратный корень из 
     (x + (1/2))  2  равен 
     (x + (1/2))  2/2  = 
     (x + (1/2))  1  = 
     x + (1/2)
     Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению. # 2.4.1 получаем: 
     x + (1/2) = √ -3/4
     Вычтем 1/2 с обеих сторон, чтобы получить: 
     x = -1/2 + √ -3/4 
     В математике, i называется мнимой единицей. Это удовлетворяет i  2  = -1. Оба i и -i являются квадратными корнями из -1
     Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное 
     x  2  + x + 1 = 0 
     имеет два решения: 
     x = -1 / 2 + √ 3/4 • i 
     или 
     x = -1/2 — √ 3/4 • i
     Обратите внимание, что √ 3/4 можно записать как 
     √ 3 / √ 4, что равно √ 3/2
     Решите квадратное уравнение через квадратную формулу 
     2.5 Решение x  2  + x + 1 = 0 по квадратичной формуле.
     Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax  2  + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как: 
       
     — B ± √ B  2  -4AC 
     x = ———————— 
     2A
     В нашем случае A = 1 
     B = 1 
     C = 1
     Соответственно, B  2  — 4AC = 
     1 — 4 = 
     -3
     Применение формулы корней квадратного уравнения:
     -1 ± √ -3 
     x = ————— 
     2
     В наборе действительных чисел отрицательные числа не имеют квадратных корней.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *