Функции y=x2 и y=x3 и их графики

Вопросы
занятия:

· 
рассмотреть функцию y
= x²,
её
свойства и график;

· 
рассмотреть функцию y
= х³, её свойства и график.

Материал
урока

На
одном из предыдущих уроков мы с вами познакомились с линейной функцией, которую
можно задать формулой вида:

Также
вспомним, что графиком линейной функции является прямая.

На
этом уроке мы рассмотрим  функции:

А
точнее, мы научимся строить графики этих функций и выясним некоторые их
свойства.

Начнём
с того, что выразим формулой зависимость площади квадрата от длины его стороны.

Таким
образом, зависимость площади квадрата от его стороны является примером функции.

Давайте
построим график этой функции.

Составим
таблицу значений x,
y.

Далее
полученные точки изобразим на координатной плоскости и проведём через них
плавную линию.

Обратите
внимание, что этот график неограниченно продолжается вверх справа и слева от
оси игрек.

Теперь
выясним некоторые свойства функции y
= x².

Из
последнего свойства графика следует, что точки графика, имеющие противоположные
абсциссы, симметричны относительно оси игрек.

Теперь
давайте выразим формулой зависимость объёма куба от длины его ребра.

 Если
мы будем менять длину ребра, то и его объём будет меняться.

Зависимость
объёма куба от длины его ребра является примером функции.

Построим
график этой функции. Для этого придадим несколько значений аргументу икс и
вычислим соответствующие значения функции.

Изобразим
точки с полученными координатами на координатной плоскости и проведём через них
плавную линию.

Обратите
внимание, что этот график можно неограниченно продолжать справа от оси игрек
вверх и слева от оси игрек вниз.

Поговорим
о свойствах функции игрек равняется икс в кубе.

Следовательно,
точки графика, которые имеют противоположные абсциссы, расположены симметрично
относительно начала координат.

В
повседневной жизни представление о параболе дают нам, например, траектории
прыжков животных, радуга. Тросы висячего моста напоминают нам параболы.

Также
параболу часто можно встретить в архитектуре.

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

В 2021 году казахстанские школьники будут сдавать по-новому Единое национальное тестирование. Помимо того, что главный школьный экзамен будет проходить электронно, выпускникам предоставят возможность испытать свою удачу дважды. Корреспондент zakon.kz побеседовал с вице-министром образования и науки Мирасом Дауленовым и узнал, к чему готовиться будущим абитуриентам.

— О переводе ЕНТ на электронный формат говорилось не раз. И вот, с 2021 года тестирование начнут проводить по-новому. Мирас Мухтарович, расскажите, как это будет?

— По содержанию все остается по-прежнему, но меняется формат. Если раньше школьник садился за парту и ему выдавали бумажный вариант книжки и лист ответа, то теперь тест будут сдавать за компьютером в электронном формате. У каждого выпускника будет свое место, огороженное оргстеклом.

Зарегистрироваться можно будет электронно на сайте Национального центра тестирования. Но, удобство в том, что школьник сам сможет выбрать дату, время и место сдачи тестирования.

Кроме того, в этом году ЕНТ для претендующих на грант будет длиться три месяца, и в течение 100 дней сдать его можно будет два раза.

— Расскажите поподробнее?

— В марте пройдет тестирование для желающих поступить на платной основе, а для претендующих на грант мы ввели новые правила. Школьник, чтобы поступить на грант, по желанию может сдать ЕНТ два раза в апреле, мае или в июне, а наилучший результат отправить на конкурс. Но есть ограничение — два раза в один день сдавать тест нельзя. К примеру, если ты сдал ЕНТ в апреле, то потом повторно можно пересдать его через несколько дней или в мае, июне. Мы рекомендуем все-таки брать небольшой перерыв, чтобы еще лучше подготовиться. Но в любом случае это выбор школьника.

— Система оценивания останется прежней?

— Количество предметов остается прежним — три обязательных предмета и два на выбор. Если в бумажном формате закрашенный вариант ответа уже нельзя было исправить, то в электронном формате школьник сможет вернуться к вопросу и поменять ответ, но до того, как завершил тест.

Самое главное — результаты теста можно будет получить сразу же после нажатия кнопки «завершить тестирование». Раньше уходило очень много времени на проверку ответов, дети и родители переживали, ждали вечера, чтобы узнать результат. Сейчас мы все автоматизировали и набранное количество баллов будет выведено на экран сразу же после завершения тестирования.
Максимальное количество баллов остается прежним — 140.

— А апелляция?

— Если сдающий не будет согласен с какими-то вопросами, посчитает их некорректными, то он сразу же на месте сможет подать заявку на апелляцию. Не нужно будет ждать следующего дня, идти в центр тестирования, вуз или школу, все это будет электронно.

— С учетом того, что школьникам не придется вручную закрашивать листы ответов, будет ли изменено время сдачи тестирования?

— Мы решили оставить прежнее время — 240 минут. Но теперь, как вы отметили, школьникам не нужно будет тратить час на то, чтобы правильно закрасить лист ответов, они спокойно смогут использовать это время на решение задач.

— Не секрет, что в некоторых селах и отдаленных населенных пунктах не хватает компьютеров. Как сельские школьники будут сдавать ЕНТ по новому формату?

— Задача в том, чтобы правильно выбрать время и дату тестирования. Центры тестирования есть во всех регионах, в Нур-Султане, Алматы и Шымкенте их несколько. Школьники, проживающие в отдаленных населенных пунктах, как и раньше смогут приехать в город, где есть эти центры, и сдать тестирование.

— На сколько процентов будет обновлена база вопросов?

— База вопросов ежегодно обновляется как минимум на 30%. В этом году мы добавили контекстные задания, то что школьники всегда просили. Мы уделили большое внимание истории Казахстана и всемирной истории — исключили практически все даты. Для нас главное не зазубривание дат, а понимание значения исторических событий. Но по каждому предмету будут контекстные вопросы.

— По вашему мнению система справится с возможными хакерскими атаками, взломами?

— Информационная безопасность — это первостепенный и приоритетный вопрос. Центральный аппарат всей системы находится в Нур-Султане. Связь с региональными центрами сдачи ЕНТ проводится по закрытому VPN-каналу. Коды правильных ответов только в Национальном центре тестирования.

Кроме того, дополнительно через ГТС КНБ (Государственная техническая служба) все тесты проходят проверку на предмет возможного вмешательства. Здесь все не просто, это специальные защищенные каналы связи.

— А что с санитарными требованиями? Нужно ли будет школьникам сдавать ПЦР-тест перед ЕНТ?

— ПЦР-тест сдавать не нужно будет. Требование по маскам будет. При необходимости Центр национального тестирования будет выдавать маски школьникам во время сдачи ЕНТ. И, конечно же, будем измерять температуру. Социальная дистанция будет соблюдаться в каждой аудитории.

— Сколько человек будет сидеть в одной аудитории?

— Участники ЕНТ не за семь дней будут сдавать тестирование, как это было раньше, а в течение трех месяцев. Поэтому по заполняемости аудитории вопросов не будет.

— Будут ли ужесточены требования по дисциплине, запрещенным предметам?

— Мы уделяем большое внимание академической честности. На входе в центры тестирования, как и в предыдущие годы, будут стоять металлоискатели. Перечень запрещенных предметов остается прежним — телефоны, шпаргалки и прочее. Но, помимо фронтальной камеры, которая будет транслировать происходящее в аудитории, над каждым столом будет установлена еще одна камера. Она же будет использоваться в качестве идентификации школьника — как Face ID. Сел, зарегистрировался и приступил к заданиям. Мы применеям систему прокторинга.

Понятно, что каждое движение абитуриента нам будет видно. Если во время сдачи ЕНТ обнаружим, что сдающий использовал телефон или шпаргалку, то тестирование автоматически будет прекращено, система отключится.

— А наблюдатели будут присутствовать во время сдачи тестирования?

— Когда в бумажном формате проводили ЕНТ, мы привлекали очень много дежурных. В одной аудитории было по 3-4 человека. При электронной сдаче такого не будет, максимум один наблюдатель, потому что все будет видно по камерам.

— По вашим наблюдениям школьники стали меньше использовать запрещенные предметы, к примеру, пользоваться телефонами?

— Практика показывает, что школьники стали ответственнее относиться к ЕНТ. Если в 2019 году на 120 тыс. школьников мы изъяли 120 тыс. запрещенных предметов, по сути у каждого сдающего был телефон. То в прошлом году мы на 120 тыс. школьников обнаружили всего 2,5 тыс. телефонов, и у всех были аннулированы результаты.

Напомню, что в 2020 году мы также начали использовать систему искусственного интеллекта. Это анализ видеозаписей, который проводится после тестирования. Так, в прошлом году 100 абитуриентов лишились грантов за то, что во время сдачи ЕНТ использовали запрещенные предметы.

— Сколько средств выделено на проведение ЕНТ в этом году?

Если раньше на ЕНТ требовалось 1,5 млрд тенге из-за распечатки книжек и листов ответов, то сейчас расходы значительно сокращены за счет перехода на электронный формат. Они будут, но несущественные.

— Все-таки почему именно в 2021 году было принято решение проводить ЕНТ в электронном формате. Это как-то связано с пандемией?

— Это не связано с пандемией. Просто нужно переходить на качественно новый уровень. Мы апробировали данный формат на педагогах школ, вы знаете, что они сдают квалификационный тест, на магистрантах, так почему бы не использовать этот же формат при сдаче ЕНТ. Тем более, что это удобно, и для школьников теперь будет много плюсов.

Степенные функции y=xn и y=x1/n, n∈Z. Свойства, графики. Квадратичная функция. Свойства степеней. Свойства арифметических корней. Формулы сокращенного умножения. Примеры значения степенных функций.

Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики

Понятие обратной функции

Допустим, что у нас есть некая функция y=f(x), которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения x∈a; b; область ее значений y∈c; d, а на интервале c; d при этом у нас будет определена функция x=g(y) с областью значений a; b. Вторая функция также будет непрерывной и строго монотонной. По отношению к y=f(x) она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции x=g(y) тогда, когда y=f(x) на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.

Две этих функции, f и g, будут взаимно обратными.

Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?

Это нужно нам для решения уравнений y=f(x), которые записываются как раз с помощью этих выражений.

Нахождение взаимно обратных функций

Допустим, нам нужно найти решение уравнения cos(x)=13. Его решениями будут все точки: x=±arсcos13+2π·k, k∈Z 

Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.

Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.

Пример 1

Условие: какая функция будет обратной для y=3x+2?

Решение

Область определений и область значений функции, заданной в условии, – это множество всех действительных чисел. Попробуем решить данное уравнение через x, то есть выразив  x через y.

Мы получим x=13y-23. Это и есть нужная нам обратная функция, но y здесь будет аргументом, а x — функцией. Переставим их, чтобы получить более привычную форму записи:

y=13x-23 

Ответ: функция y=13x-23 будет обратной для y=3x+2.

Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:

Мы видим симметричность обоих графиков относительно y=x. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.

Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.

Пример 2

Условие: определите, какая функция будет обратной для y=2x.

Решение

Для заданной функции областью определения являются все действительные числа. Область значений лежит в интервале 0; +∞. Теперь нам нужно выразить x через y, то есть решить указанное уравнение через x. Мы получаем x=log2y. Переставим переменные и получим y=log2x.

В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.

Ответ: y=log2x.

На графике обе функции будут выглядеть так:

Основные свойства взаимно обратных функций

В этом пункте мы перечислим основные свойства функций y=f(x) и x=g(y), являющихся взаимно обратными.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Определение 1

1. Первое свойство мы уже вывели ранее: y=f(g(y)) и x=g(f(x)).
2. Второе свойство вытекает из первого: область определения y=f(x) будет совпадать с областью значений обратной функции x=g(y), и наоборот.
3. Графики функций, являющихся обратными, будут симметричными относительно y=x.
4. Если y=f(x) является возрастающей, то и x=g(y) будет возрастать, а если y=f(x) убывает, то убывает и x=g(y).

Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции y=f(x)=ax и x=g(y)=logay. Согласно первому свойству, y=f(g(y))=alogay. Данное равенство будет верным только в случае положительных значений y, а для отрицательных логарифм не определен, поэтому не спешите записывать, что alogay=y. Обязательно проверьте и добавьте, что это верно только при положительном y.

А вот равенство x=f(g(x))=logaax=x будет верным при любых действительных значениях x.

Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с  тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями.  Так, arcsinsin7π3≠7π3, потому что область значений арксинуса -π2; π2 и 7π3 в нее не входит. Верной будет запись

arcsinsin7π3=arcsinsin2π+π3==по формулепривидения=arcsinsinπ3=π3

А вот sinarcsin13=13 – верное равенство, т.е. sin(arcsin x)=x при x∈-1; 1 и arcsin(sin x)=x при x∈-π2; π2. Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!

Графики взаимно обратных функций

• Основные взаимно обратные функции: степенные

Если у нас есть степенная функция y=xa, то при x>0 степенная функция x=y1a также будет обратной ей. Заменим буквы и получим соответственно y=xa и x=y1a.

На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):

• Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические

Возьмем a,которое будет положительным числом, не равным 1.

Графики для функций с a>1 и a<1 будут выглядеть так:

• Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические

Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):

График главной ветви косинуса и арккосинуса выглядит так:

График главной ветви арктангенса и тангенса:

График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:

Если же вам требуется построить обратные ветви, отличные от главных, то обратную тригонометрическую функцию при этом мы сдвигаем вдоль оси Oy на нужное число периодов. Так, если требуется обратная функция для ветви тангенса на π2; 3π2, то мы можем сдвинуть ее на величину π вдоль оси абсцисс. График будет представлять собой ветвь арктангенса, которая сдвинута на π вдоль оси ординат.

Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.

Степенная функция. Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия.

Тема 1.4 Функции, их свойства и графики

Тема.4 Функции, их свойства и графики Автор: Переверзьева Н.С. Преподаватель математики Лицей 6 Цели урока: Ознакомиться с понятием «функция», закрепить его на примерах Усвоить новые термины Узнать методы

Подробнее

Тема 9 «Функция. Свойства функций»

Тема 9 «Функция. Свойства функций» Пусть X некоторое непустое множество действительных чисел. И пусть указан закон f, по которому каждому числу х ϵ X ставится в соответствие единственное число y ϵ Y, обозначаемое

Подробнее

Функция y = cos x. Ее свойства и график

Функция y = cos x Ее свойства и график 1 Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y = cos x; Свойства функции y = cos x; Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и

Подробнее

Квадратичная функция

Квадратичная функция Функция вида y=ax +bx+c, где а 0, называется квадратичной. Значения х, при которых функция принимает значение, равное 0, называют нулями функции. Если b=c=0, то функция принимает вид

Подробнее

1) y=-x 2 +7x-14 2) y=x 2-7x+14 3) y=x 2 +7x+14 4) y=-x 2-7x-14

5.1: Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру. ФОРМУЛЫ Графики 1) y=-x 2 +7x-14 2)

Подробнее

ТЕСТ Запишите координаты точек на координатной прямой, показанной на рисунке.

wwwaleeiivanovcom ДЗ Функции ТЕСТ 0 Запишите координаты точек на координатной прямой, показанной на рисунке ) G(-), C(-), K(-), A(4), J(0), M() ) G(-5), C(-6), K(-), A(9), J(0), M(5) ) G(-9), C(-5), K(-4),

Подробнее

Критерии оценки заданий 18

Задание 18 Критерии оценки заданий 18 Содержание критерия Балл ы Обоснованно получен правильный ответ. 4 С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом

Подробнее

Математическая индустрия моды

Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» прикладные вопросы математики Математическая индустрия

Подробнее

Глава 11 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Глава ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Т-0 Исследование функции по графику Т-0 Соответствие между графиком рациональной функции и формулой Т-0 Построение графика по свойствам Т-04 Параллельный перенос графика Т-05 Симметричное

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Понятие функции. Основные свойства функций Математический анализ (лекция 2) 28 / 64 Понятие функции. Основные свойства функций Если каждому элементу (значению) x множества X поставлен

Подробнее

Урок на тему: Построение графиков.

Урок на тему: Построение графиков. Ребята, мы с вами строили уже не мало графиков функций, например параболы, гиперболы, тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали? Мы выбирали

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

присутствие функций арксинуса вида arcsin f x

Практическая работа Полное исследование функции и построение графика Цель: закрепить навыки исследования функций и построения графиков Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические

Подробнее

= 1 е) f(9) = 27; f(1) = 3

Глава 8 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Алгоритмы А- Задание стандартных функций А- Понятие функции. График функции А-3 Каноническая запись зависимостей А- Задание стандартных функций. К стандартным функциям отнесем

Подробнее

Определение 1. Функция y = ax + bx + c, где a, b, c — действительные числа, причем a 0, называется квадратичной. 1) Область определения. ( f ) R.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК Определение. Функция, где,, — действительные числа, причем 0, называется квадратичной. Область определения. ( f R, так как выражение определено для любых. Область значений.

Подробнее

Математический анализ

Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства Неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ…10 Основные свойства функций…11 Четность и нечетность…11 Периодичность…12 Нули функции…12 Монотонность (возрастание, убывание)…13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Задание 18. Задачи с параметром

Линейное уравнение a x = b имеет: единственное решение, при a 0; бесконечное множество решений, при a = 0, b = 0; не имеет решений, при a = 0, b 0. Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет: два различных

Подробнее

3. Производная функции

. Производная функции Актуальность темы Понятие производной одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки

Подробнее

Элементы высшей математики

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

1 Степень с целым показателем

Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так

Подробнее

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y=f(x) и касательную в точке P 0 (x 0 ; f(x 0 )). Найдем угловой коэффициент касательной к графику в этой точке. Угол наклона касательной Р 0

Подробнее

Алгоритм решения квадратных неравенств

Алгоритм решения квадратных неравенств 1) Привести неравенство к стандартному виду : 2) Решить квадратное уравнение (т.е. найти точки пересечения параболы с осью Ох):,, если D > 0, то (две точки пересечения

Подробнее

Чтение графиков функций

Материалы для выполнения внеаудиторной (домашней самостоятельной работы) нацеленные на устранение пробелов знаний и умений по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»

Подробнее

11.1. Функции Базовый уровень.

111 Функции Базовый уровень Оглавление 11101 Системы координат 1110 Понятие функции 7 1110 Область определения функции 10 11104 Область (множество) значений функции 1 11105 Возрастание и убывание функции

Подробнее

г. Классная работа.

5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

Пусть задано числовое множество D

Пусть задано числовое множество D R. Если каждому числу x D поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция: y = f (x), x D. Множество D, называется

Подробнее

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен Справочный материал Квадратным трехчленом называют выражение a + b + c, где abc,, и a 0. График квадратного трехчлена парабола. Прямая b = ее ось симметрии. Точка ( в; в)

Подробнее

ПРОМЕЖУТКИ ВОЗРАСТАНИЯ

1) На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f (x). На оси абсцисс отмечены девять точек:. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f (x) отрицательна. В ответе

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ

М- 8 класс Рабочая тетрадь 8 глава стр. 1 Глава 8 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-801 Установление вида зависимостей в физических формулах и законах Т-80 Выражение одной переменной через другие Т-803 Вычисление

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

Формулы сокращенного умножения

Класс 7.3, 7.5 Учебник: Алгебра (Макарычев Н.В.) Тема модуля «Формулы сокращенного умножения. Функции» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Формулы сокращенного умножения ТЕМА Знать

Подробнее

Как найти область определения функции

После этого экскурса в важную составную матанализа многие согласятся, что найти
область определения функции не очень сложно. Ненамного сложнее, чем Московскую область на карте.

Во-первых, нужно различать виды функций (корень, дробь, синус и др.). Во-вторых,
решать уравнения и неравенства с учетом вида функции (например, на что нельзя делить, какое выражение
не может быть под знаком корня и тому подобное). Согласитесь, не так уж много и не так сложно.

Итак, чтобы находить области определения распространённых функций, порешаем
уравнения и неравенства с одной переменной. А в конце урока обобщим понятие на уровне теории. Пока же —
краткое определение. Область определения функции y=f(x)
— это множество значений X, для которых существуют значения Y.

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
посмотреть ответы.

Приступаем к практике. На рисунке изображён график функции .
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на нуль делить нельзя. Поэтому, приравнивая знаменатель
нулю, получаем значение, не входящее в область определения функции: 1. То есть, область определения заданной функции —
это все значения «икса» от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности. Это хорошо
видно на графике. Приведённый здесь пример функции относится к виду дробей. На уроке разберём решения
всех распространённых видов функций.

Пример 0. Как найти область
определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять)
()? Нужно всего лишь
решить неравенство

x — 5 ≥ 0,

так как для того, чтобы мы получили действительное значение игрека, подкоренное
выражение должно быть больше или равно нулю. Получаем решение: область определения функции — все значения икса
больше или равно пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти включительно до плюс бесконечности).

На чертеже сверху — фрагмент числовой оси. На ней область опредения рассмотренной функции
заштрихована, при этом в «плюсовом» направлении штриховка продолжается бесконечно вместе с самой осью.

Постоянная (константа) определена при любых действительных
значениях x, следовательно, данная функция определена на всём
множестве R действительных чисел. Это можно записать и так:
областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[.

Пример 1. Найти область определения функции
y = 2.

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого
определения имеется в виду естественная область определения. Выражение
f(x) = 2 определено при любых действительных
значениях x, следовательно, данная функция определена на всём
множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус
бесконечности до плюс бесконечности.

В случае, когда функция задана формулой и n — натуральное число:

Пример 2. Найти область определения функции
.

Решение. Как следует из
определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть,
если — 1 ≤ x ≤ 1.
Следовательно, область определения данной функции — [- 1; 1].

Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху — это область определения
данной функции.

Область определения степенной функции с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a — положительное, то областью определения функции является множество
всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[;

если a — отрицательное, то областью определения функции является
множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[,
то есть вся числовая прямая за исключением нуля.

На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка,
соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).

Пример 3. Найти область определения функции
.

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором
слагаемом можно представить в виде единицы — так же целого числа.
Следовательно, область определения данной функции — вся числовая прямая, то есть
]- ∞; + ∞[.

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если
— положительное, то областью определения функции является множество [0; + ∞[;

если
— отрицательное, то областью определения функции является множество ]0; + ∞[.

Пример 4. Найти область определения функции
.

Решение. Оба слагаемых в выражении функции — степенные функции с положительными
дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции —
множество [0; + ∞[.

На чертеже сверху заштрихована часть числовой прямой от нуля (включительно) и больше,
причём штриховка продолжается вместе с самой прямой до плюс бесконечности.

Пример 5. Найти область определения функции
.

Решение. Дробный показатель степени данной степенной функции — отрицательный.
Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля::

.

Дикриминант получился отрицательный. Следовательно сопряжённое неравенству
квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что квадратный трёхчлен ни при каких значениях
«икса» не равен нулю. Таким образом, область определения данной функции — вся числовая ось, или,
что то же самое — множество R действительных чисел, или,
что то же самое — ]- ∞; + ∞[.

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой ,
областью определения функции является вся числовая прямая, то есть
]- ∞; + ∞[.

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция
определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество
]0; + ∞[.

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Область определения функции y = cos(x) —
так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) —
множество R действительных чисел, кроме чисел
.

Область определения функции y = ctg(x) —
множество R действительных чисел, кроме чисел
.

Пример 8. Найти область определения функции
.

Решение. Внешняя функция — десятичный логарифм и на область её определения
распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент
должен быть положительным. Аргумент здесь — синус «икса». Поворачивая воображаемый циркуль по
окружности, видим, что условие sin x > 0
нарушается при «иксе» равным нулю, «пи», два, умноженном на «пи» и вообще равным произведению числа «пи»
и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k — целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x) —
множество [-1; 1].

Область определения функции y = arccos(x) —
так же множество [-1; 1].

Область определения функции y = arctg(x) —
множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) —
так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции
.

Решение. Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок
[- 4; 4].

Пример 10. Найти область определения функции
.

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок
[0; 1].

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе
дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел,
кроме таких x, при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции
.

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции — множество
]- ∞; — 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[.

Пример 12. Найти область определения функции
.

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции —
]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 13. Найти область определения функции
.

Решение. Область определения первого слагаемого — данной функции — множество
R действительных чисел, второго слагаемого — все
действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять
условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции — все
x, кроме -2 и 2.

Пример 14. Найти область определения функции
.

Решение. Решим уравнение:

Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных
числах. Таким образом, получаем область определения данной функции — вся числовая прямая или, что
то же самое — множество R действительных чисел или,
что то же самое — ]- ∞; + ∞[.

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо «икса», знаменатель никогда не
будет равен нулю.

Пример 15. Найти область определения функции
.

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции —
]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 16. Найти область определения функции
.

Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под
корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:

График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой
направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках
1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения
квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена
на отрезке [1; 2].

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Если функция задана формулой вида y = kx + b,
то область определения функции — множество
R действительных чисел.

А теперь обобщим решения рассмотренных примеров. Каждой точке графика функции соответствуют:

• определённое значение «икса» — аргумента функции;
• определённое значение «игрека» — самой функции.

Верны следующие факты.

• От аргумента — «икса» — вычисляется «игрек» — значения функции.
• Область определения функции — это множества всех значений «икса», для которых существует, то есть может
  быть вычислен «игрек» — значение функции. Иначе говоря, множество значений аргумента, на котором
  «функция работает».

Весь раздел «Исследование функций»

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Выпуклые вверх функции

      Определение 1. Функцию   y = f (x)   называют выпуклой вверх на интервале   (a, b),  если для любых двух точек таких, что   x₁ x₂ ,   график функции   y = f (x)   расположен выше отрезка, соединяющего точки   A₁ = (x₁;  f (x₁))   и   A₂ = (x₂;  f (x₂)) .

      Функция, график которой изображен на рисунке 1, выпукла вверх на интервале   (a, b) .

Рис.1

      Пример 1. Примером функции, выпуклой вверх на , является функция   y = – x²   (рис. 2).

Рис.2

Выпуклые вниз функции

      Определение 2. Функцию   y = f (x)   называют выпуклой вниз на интервале   (a, b),   если для любых двух точек таких, что   x₁ x₂ ,   график функции   y = f (x)   расположен ниже отрезка, соединяющего точки   A₁ = (x₁;  f (x₁))   и   A₂ = (x₂;  f (x₂)) .

      Функция, график которой изображен на рисунке 3, выпукла вниз на интервале   (a, b) .

Рис.3

      Пример 2. Примером функции, выпуклой вниз на , является функция   y = x²   (рис. 4).

Рис.4

Вторая производная функции

      Определение 3. Если у функции   y = f (x)   существует производная в некоторой точке   x₀ ,   то эту производную часто называют первой производной или производной первого порядка функции   y = f (x)   в точке   x₀ .

      Пусть у функции   y = f (x)   существует производная во всех точках . Тогда, вычисляя в каждой точке производную   f ‘ (x),   мы получим функцию   y = f ‘ (x).   Если у функции   y = f ‘ (x)   существует производная в некоторой точке   x₀   интервала   (a, b),   то эту производную называют второй производной или производной второго порядка функции   y = f (x)   в точке   x₀ .

      Для производной второго порядка   y = f (x)   используются обозначения:

      Например,

      Точно так же, как это было сделано при определении второй производной функции   f (x),   можно определить и производные более высоких порядков: третью производную, четвертую производную и т.д. (конечно же, при условии, что они существуют).

Достаточные условия выпуклости вверх и выпуклости вниз функции

      При исследовании направления выпуклости функции (выпуклость вверх или выпуклость вниз) важную роль играет вторая производная этой функции.

      Утверждение 1. Если функция   f (x)   имеет на интервале   (a, b)   вторую производную, причем для всех выполнено условие

f » (x) > 0 ,

то функция   f (x)   выпукла вниз на интервале   (a, b).

      Утверждение 2. Если функция   f (x)   имеет на интервале   (a, b)   вторую производную, причем для всех выполнено условие

f » (x) < 0 ,

то функция   f (x)   выпукла вверх на интервале   (a, b).

      Доказательства утверждений 1 и 2 выходят за рамки школьного курса математики и здесь не приводятся.

      Пример 3. Функция   y = ln x   на интервале удовлетворяет условию

      В силу утверждения 2 отсюда следует, что функция   y = ln x   выпукла вверх (рис. 5) на всей своей области определения .

Рис.5

      Пример 4. Функция   y = e ^x   на интервале удовлетворяет условию

и, в силу утверждения 1, функция   y = e ^x   выпукла вниз (рис. 6) на всей своей области определения .

Рис.6

Точки перегиба

      Определение 4. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x₀ .   Говорят, что при переходе через точку   x₀   функция   f (x)   меняет направление выпуклости, если на одном из интервалов

(a, x₀)   и   (x₀,  b)

функция выпукла вверх, а на другом – выпукла вниз.

      Определение 5. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x₀ , а у графика функции   в точке   (x₀;  f (x₀))   существует касательная. Если функция   f (x)   при переходе через точку   x₀   меняет направление выпуклости, то точку   x₀   называют точкой перегиба функции   f (x) .

      Замечание 1 . Если   x₀   – точка перегиба функции   y = f (x),   то график функции   y = f (x)   при переходе через точку   x₀   переходит с одной стороны от касательной в точке   (x₀;  f (x₀))   на другую сторону от касательной, то есть «перегибается» через касательную.

      Пример 5. Рассмотрим функцию   y = x³,   график которой изображен на рисунке 7.

Рис.7

      Поскольку

y (0) = 0,   y’ (0) = 0,

то прямая   y = 0   (ось абсцисс   Ox )   является касательной к графику функции   y = x³   в точке   (0; 0).

      Кроме того,

      Поэтому   y» > 0   при   x > 0   и   y» < 0   при   x < 0 .   Таким образом, функция   y = x³   выпукла вверх при   x < 0   и выпукла вниз при   x > 0 ,   и точка   x = 0   является точкой перегиба графика функции   y = x³.   График функции   y = x³   при переходе через точку   x = 0   переходит из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость, то есть «перегибается» через касательную   y = 0 .

Необходимые условия для существования точки перегиба

      Утверждение 3. Если точка   x₀   является точкой перегиба графика функции   f (x),   то в точке   x₀   либо вторая производная   f » (x) = 0 ,   либо   f » (x)   не существует.

      Замечание 2. Условия существования точки перегиба, сформулированные в утверждении 3, являются необходимыми, но не являются достаточными.

      Действительно, рассмотрим функцию   y = x⁴,   график которой изображен на рисунке 8.

Рис.8

      Вычисляя вторую производную этой функции

замечаем, что   y » (0) = 0 ,   однако точка   x = 0   не является точкой перегиба графика функции   y = x⁴,   так как функция   y = x⁴   выпукла вниз, как при   x < 0 ,   так и при   x > 0 .

Достаточные условия для существования точки перегиба

      Утверждение 4. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x₀ , имеет первую производную в каждой точке интервала   (a, b)   и имеет вторую производную в каждой точке интервала   (a, b)   за исключением, быть может, самой точки   x₀ .

      Если для точек выполнено условие:

f » (x) > 0   при   x < x₀   и   f » (x) < 0   при   x > x₀ ,

либо выполнено условие:

f » (x) < 0   при   x < x₀   и   f » (x) > 0   при   x > x₀ ,

то точка   x₀   является точкой перегиба графика функции   f (x).

      Другими словами, точка   x₀   является точкой перегиба графика функции   f (x),   если при переходе через точку   x₀   вторая производная функции меняет свой знак.

      Пример 6. Найти интервалы, на которых функция

y (x) = x⁴ – 6x³ + 12x²

выпукла вверх, а также интервалы, на которых эта функция выпукла вниз. Определить точки перегиба.

      Решение. Вычислим вторую производную функции:

y’ (x) = 4x³ – 18x² + 24x ,

y» (x) = 12x² – 36x + 24 = 12(x² – 3x + 2) = 12(x – 1) (x – 2) .

y» (x) = 12x² – 36x + 24 =
= 12(x² – 3x + 2) =
= 12(x – 1) (x – 2) .

      Отсюда вытекает, что вторая производная существует во всех точках и обращается в нуль в точках   x = 1   и   x = 2 . Воспользуемся методом интервалов и изобразим на рисунке 9 диаграмму знаков второй производной   y» (x)

Рис.9

      При переходе через точку   x = 1   вторая производная функции   y» (x)   меняет знак с   «+»   на   «–» . Следовательно,   x = 1   – точка перегиба графика функции.

      При переходе через точку   x = 2   вторая производная функции   y» (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно,   x = 2   также является точкой перегиба графика функции.

      При и при вторая производная функции   y» (x) > 0,   следовательно, функция   y (x)   выпукла вниз на этих интервалах.

      При вторая производная функции   y» (x) < 0,   следовательно, функция   y (x)   выпукла вверх на интервале   (1, 2) .

    &nbsp ;На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Конечное поведение функций мощности

Результаты обучения

• Определите степенную функцию.
• Опишите конечное поведение степенной функции с учетом ее уравнения или графика.

Три птицы на скале на фоне восходящего солнца. Функции, обсуждаемые в этом модуле, можно использовать для моделирования популяций различных животных, включая птиц. (Источник: Джейсон Бэй, Flickr)

Предположим, что на небольшом острове процветает определенный вид птиц.{3} + 97t + 800 [/ latex], где [latex] P \ left (t \ right) [/ latex] представляет популяцию птиц на острове t лет после 2009 года. Мы можем использовать эту модель для оценки максимальная популяция птиц и когда это произойдет. Мы также можем использовать эту модель, чтобы предсказать, когда популяция птиц исчезнет с острова.

Определение функций питания

Чтобы лучше понять проблему с птицами, нам нужно понять конкретный тип функции. Степенная функция — это функция с одним членом, который является произведением действительного числа, коэффициента , и переменной, возведенной в степень фиксированного действительного числа.{x} [/ latex] степенная функция?

Нет. {2}} \ hfill & \ text {Функция обратного квадрата} \ hfill \\ f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} \ hfill & \ text {Функция квадратного корня} \ hfill \\ f \ left (x \ right) = \ sqrt [3] {x} \ hfill & \ text {Функция корня куба} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Все перечисленные функции являются функциями мощности.{10} [/ latex], которые являются степенными функциями с четными целочисленными степенями. Обратите внимание, что эти графики имеют похожую форму, очень похожую на квадратичную функцию. Однако по мере увеличения мощности графики несколько сглаживаются вблизи начала координат и становятся круче при удалении от начала координат.

Чтобы описать поведение, когда числа становятся все больше и больше, мы используем идею бесконечности. Мы используем символ [latex] \ infty [/ latex] для положительной бесконечности и [latex] — \ infty [/ latex] для отрицательной бесконечности.Когда мы говорим, что « x приближается к бесконечности», что можно символически записать как [latex] x \ to \ infty [/ latex], мы описываем поведение; мы говорим, что x неограниченно увеличиваются.

В функциях мощности с равномерным питанием, когда входной сигнал неограниченно увеличивается или уменьшается, выходные значения становятся очень большими положительными числами. Точно так же мы могли бы описать это поведение, сказав, что, когда [latex] x [/ latex] приближается к положительной или отрицательной бесконечности, значения [latex] f \ left (x \ right) [/ latex] неограниченно увеличиваются.{n} \ text {,} n \ text {odd,} [/ latex] симметричны относительно начала координат.

Для этих нечетных степенных функций, когда x приближается к отрицательной бесконечности, [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] неограниченно уменьшается. Когда x приближается к положительной бесконечности, [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] неограниченно увеличивается. В символической форме пишем

[латекс] \ begin {array} {c} \ text {as} x \ to — \ infty, f \ left (x \ right) \ to — \ infty \\ \ text {as} x \ to \ infty, f \ left (x \ right) \ to \ infty \ end {array} [/ latex]

Поведение графика функции, когда входные значения становятся очень маленькими ([latex] x \ to — \ infty [/ latex]) и становятся очень большими ([latex] x \ to \ infty [/ latex]): называемое конечным поведением функции. {n} [/ latex], где [latex] n [/ latex] — неотрицательное целое число, определите конец поведения.{8} [/ латекс].

Показать решение

Коэффициент равен 1 (положительный), а показатель степени степенной функции равен 8 (четное число). Когда x (вход) приближается к бесконечности, [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] (выход) неограниченно увеличивается. Мы пишем как [latex] x \ to \ infty, f \ left (x \ right) \ to \ infty [/ latex]. Когда x приближается к отрицательной бесконечности, вывод неограниченно увеличивается. В символической форме, как [латекс] x \ to — \ infty, f \ left (x \ right) \ to \ infty [/ latex]. Мы можем графически представить функцию.{4} [/ латекс].

Показать решение

Когда x приближается к положительной или отрицательной бесконечности, [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] неограниченно уменьшается: as [latex] x \ to \ pm \ infty, f \ left (x \ right) \ to — \ infty [/ latex] из-за отрицательного коэффициента.

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить страницуПодробнее

Свойства показателей (алгебра 1, экспоненты и экспоненциальные функции) — Mathplanet

В предыдущих главах мы рассказали о полномочиях.{30}} $$

Power Function — Свойства, графики и приложения

Когда-нибудь работали с функцией, содержащей один термин? Скорее всего, вы работали с степенной функцией. Этот тип функции настолько разнообразен, что если вы изучаете функции, мы на 100% уверены, что вы уже встречались с типом степенной функции, даже не зная, что это так.

Почему бы нам не начать с определения степенных функций?

Степенная функция — это функция, состоящая из одного члена, которая содержит переменную в своем основании и константу в качестве экспоненты.

Это означает, что существует множество родительских функций, которые также являются степенными функциями. В этой статье мы узнаем:

• Что такое силовые функции.
• Особые свойства, которые может проявлять степенная функция.
• Применяйте эти свойства при построении графиков и идентификации степенных функций.

Обязательно имейте под рукой блокнот, так как здесь подробно обсуждаются функции питания. Мы даже научимся применять степенные функции в задачах со словом.

Почему бы нам не начать с его определения и некоторых примеров степенных функций?

Что такое степенная функция?

Прежде чем мы углубимся в важные свойства степенной функции, мы должны понять фундаментальное определение степенных функций. Вот общая форма степенных функций:

Давайте разберем эту общую форму и найдем примеры степенных функций, использующих это определение.

Обязательно ознакомьтесь с этой формой, поскольку мы будем использовать ее неоднократно на протяжении всей статьи.

Определение и примеры степенных функций

Как показано в предыдущем разделе, степенные функции представляют собой функции в форме f (x) = kx ^a или y = kx ^a , где k — ненулевой коэффициент, а — — действительное число.

Вот несколько примеров степенных функций:

• y = -5x ²
• y = 2 √x
• f (x) = 3 / x ²
• g (x) = 2x ³

Обратите внимание, что каждая функция содержит только один термин для каждого примера — важный идентификатор степенных функций.Показатели степенных функций также должны быть действительными числами, поэтому давайте проверим каждый показатель из примеров, чтобы подтвердить это.

• Функция y = -5x ² и g (x) = 2x ³ — это функции с целыми числами в качестве экспонентов, поэтому они являются степенными функциями.
• Функция квадратного корня y = 2 √x может быть переписана как y = 2x ^1/2 , поэтому ее показатель степени является действительным числом, поэтому это также степенная функция.
• Мы применяем тот же процесс с f (x) = 3 / x ² и получаем f (x) = 3x ^-2 , что подтверждает, что это степенная функция, поскольку -2 — действительное число.

Ниже приведены лишь некоторые родительские функции, и давайте посмотрим, почему все они также считаются степенными функциями.

Поскольку эти родительские функции содержат по одному члену и действительные числа для их показателей, все они являются степенными функциями.

Как построить график степенных функций?

При построении графиков степенных функций мы должны иметь в виду эти два важных свойства степенных функций: их симметрию и поведение конца .

Вот краткое руководство по построению графиков функций мощности, чтобы показать вам, почему эти две функции могут помочь вам сэкономить время:

• Определите, является ли функция мощности нечетной или четной.
• Применяйте преобразования всякий раз, когда можете.
• Найдите точки, которые помогут построить график половины степенной функции.
• Применяет свойство симметрии данной степенной функции.
• Еще раз проверьте их конечное поведение.

Почему бы нам не обновить свои знания о нечетных и четных функциях и не посмотреть, как они влияют на график степенной функции?

Симметрия четных степенных функций и поведение конца

Степенные функции либо четные, либо нечетные, поэтому они также либо симметричны относительно оси y и начала координат . Мы также можем, , предсказать конечное поведение степенных функций на основе их коэффициента и мощности .

Давайте посмотрим на график этих четных степенных функций: y = 2x ² и y = -4x ⁴ . Чтобы построить график каждой функции, нарисуйте несколько точек справа и отразите эту кривую по оси ординат.

Для обоих графиков, поскольку показатели четные, функции также четные, и, следовательно, их графики симметричны по оси y.

Давайте начнем с четных степенных функций, где коэффициент положительный, например y = 2x ² .

• Поскольку коэффициент 2 положительный, график открывается вверх на .
• Мы видим, что когда x <0, функция убывает, а когда x> 0, функция убывает.
• Следовательно, и левая, и правая стороны кривой будут расти (↑) .

Теперь давайте рассмотрим четных степенных функций с отрицательным коэффициентом , например y = -4x ⁴ .

• Поскольку коэффициент -4 отрицательный, график открывается вниз на .
• Здесь мы можем видеть, что когда x <0, функция увеличивается, а когда x> 0, функция убывает.
• Это означает, что для с обеих сторон мы ожидаем, что кривая пойдет вниз (↓).

Симметрия и конечное поведение функций нечетной мощности

Как насчет функций нечетной мощности? Давайте продолжим и рассмотрим эти две функции: y = 3x ³ и y = -x ⁵ .

Чтобы построить график этих двух функций, мы можем нанести некоторые значения либо на левую, либо на правую сторону координатной плоскости.Отразите график над началом координат.

Из определения нечетных функций мы видим, что обе степенные функции симметричны относительно начала координат .

Вот некоторые вещи, которые мы можем наблюдать на основе графика y = 3x ³ , где коэффициент положительный :

• Мы можем видеть, что когда x <0, функция увеличивается, и когда x> 0 функция увеличивается .
• Следовательно, левая сторона опускается (↓) , а правая сторона поднимается (↑) .

Теперь рассмотрим поведение нечетных функций при отрицательном коэффициенте .

• Мы видим, что когда x <0 и x> 0, функция уменьшается
• Следовательно, левая сторона поднимается (↑) , а правая сторона опускается (↓) .

Понимание эффекта экспоненты, a

Мы подробно обсудили влияние на график степенной функции на основе ее четности и значения k.Теперь давайте попробуем увидеть разницу, когда a — это дробь, а когда a — целое число.

Случай 1. Когда a = 0 и a = 1 , мы ожидаем, что график сведется к постоянной функции и линейной функции соответственно.

Графики y = 2 и y = 2x подтверждают это. Такое же поведение применяется ко всем значениям k.

Доменом для этого случая будут все действительные числа или в интервальной нотации, то есть (-∞, ∞).

Случай 2: Когда a <0 .Давайте посмотрим на графики y = x ^-1 и y = x ^-2 :

Когда a отрицательно, а степенная функция возвращает рациональное выражение, мы видим, что графики подходят, но никогда не равно 0 . Это означает, что областью значений этих степенных функций будет любое действительное число, кроме 0, , поэтому доменом будет (-∞, 0) U (0, ∞) .

Два графика также вогнуты вверх с обеих сторон .

Случай 3: Когда 1 .Давайте рассмотрим графики y = x ^1/2 и y = x ^1/3 :

Когда a — дробная часть, а степенная функция возвращает радикальное выражение. Мы можем видеть, что домен будет зависеть от того, четный или нечетный знаменатель:

• Если знаменатель четный, только положительные значения x будут частью домена или [0, ∞).
• Если знаменатель нечетный, все его области могут быть действительными числами или (-∞, ∞).

Два графика также вогнуты вниз с обеих сторон .

Случай 4. Когда a> 1 , давайте рассмотрим графики y = x ⁵ и y = x ⁶ .

Когда показатель степени положительный, мы ожидаем, что графики будут вогнутыми вверх . Доменом для этого типа степенной функции будут все действительные числа или обозначения интервала , (-∞, ∞) .

Как найти степенную функцию?

Иногда нам дают график степенной функции или несколько точек, проходящих через его график.Мы все еще можем найти выражение, представляющее степенную функцию, используя две точки.

• Подставьте эти две точки в общую форму степенных функций: y = kx ^a .
• Найдите способ сохранить k или a в одном из уравнений.
• Определите значения для k и a и подставьте их обратно в общую форму степенных функций.

Допустим, мы хотим найти степенную функцию, проходящую через (2, 16) и (3, 54). Подставьте эти значения в общий вид:

Давайте приравняем оба выражения в правой части и получим:

16/2 ^a = 54 / 3 ^a

8/2 ^a = 27/3 ^a

2 ³ /2 ^a = 3 ³ /3 ^a

2 ^{3 — a} = 3 ^{3 — a}

Это уравнение будет истинным, только если обе стороны равны 1.Это означает, что 3 — a должно быть равно 0. Следовательно, a = 3.

Подставим это обратно в любое из выражений k:

k = 16/2 ³

= 16/8

= 2

Теперь, когда у нас есть a = 3 и k = 2, мы можем записать выражение степенной функции: y = 2x ³ .

Что, если мы хотим найти выражение степенной функции на основе ее графика? Просто обратите внимание на две точки, через которые проходит график функции, а затем примените тот же процесс.

Прежде чем мы попробуем задать еще несколько вопросов, касающихся степенных функций, почему бы нам не подытожить все, что мы знаем о степенных функциях?

Сводка формул степенной функции и их свойств

Вот несколько полезных напоминаний при работе с степенными функциями и их приложениями:

• При определении того, является ли функция степенной функцией, убедитесь, что выражение является единственным член , k — это константа , а a — это действительное число .
• Графики степенных функций будут зависеть от значений k и a.
• Применяйте свойства четных и нечетных функций, когда это применимо.
• При нахождении выражения для степенной функции всегда используйте общую форму: y = kx ^a .
• Используйте приведенную ниже таблицу, чтобы спрогнозировать конечное поведение степенных функций.

Убедитесь, что понимаете концепцию силовых функций и ознакомьтесь с различное конечное поведение.Когда будете готовы, давайте попробуем решить некоторые задачи!

Пример 1

Какие из следующих функций считаются степенными?

а. f (x) = -2x ² · 3x
б. g (x) = 2√x + 5

c. h (x) = 0,5x ^π
d. m (x) = — (x + 1) ²
д. n (x) = 1 / x ³

Решение

Проверьте каждую из заданных функций и по возможности упростите выражения.

а. Функцию все еще можно упростить до f (x) = -6x ³ . Мы можем видеть, что он содержит только один член и имеет действительное число для его коэффициента и показателя степени, поэтому f (x) является степенной функцией .

Следующие два элемента (b и d) содержат более одного члена и не могут быть упрощены, поэтому функции g (x) и m (x) не считаются степенными функциями .

г. Мы всегда возвращаемся к фундаментальному определению степенных функций: они содержат один член, а коэффициент и показатели являются действительными.И 0,5, и π являются действительными числами, поэтому h (x) также является степенной функцией .

e. Поскольку 1 / x ³ = 1 · x ^-3 , мы можем видеть путем осмотра, что он удовлетворяет условиям степенных функций, поэтому n (x) также является степенной функцией .

Следовательно, функции в a, c и e являются степенными функциями .

Пример 2

Заполните пропуски всегда , иногда и никогда , чтобы следующие утверждения были верными.

а. Кубические функции — это ______________ степенные функции.
г. Постоянные функции — это _____________ степенные функции.
г. У степенных функций ___________ будут отрицательные показатели.

Решение

Давайте продолжим и проверим каждое утверждение:

a. Некоторые примеры кубических функций: 2x ³ и x ³ — x ² + x — 1. Мы видим, что первый пример является степенной функцией, а второй — нет. Это означает, что кубические функции могут быть , иногда степенными функциями.

г. Общий вид постоянных функций — y = c, где c — любая ненулевая константа. Из общей формы видно, что независимо от значения c, постоянные функции всегда будут иметь один член с действительными числами для их коэффициента и экспоненты. Следовательно, постоянные функции будут всегда степенными функциями.

г. Пока функция содержит один член и экспоненту действительного числа, она будет считаться степенной функцией. Это означает, что степенная функция может иметь положительные и отрицательные показатели.Таким образом, они могут иметь , иногда отрицательные показатели.

Пример 3

Определите конечное поведение следующих степенных функций:

a. f (x) = x ³

б. g (x) = -4x ⁴

c. h (x) = (-3x) ³

Решение

При прогнозировании конечного поведения степенной функции проверьте знак коэффициента и значение показателя степени. Используйте таблицу, которую мы предоставили, чтобы помочь вам в прогнозировании конечного поведения.

а. Функция f (x) = x ³ имеет коэффициент 1 и положительный показатель степени 3. Поскольку степень нечетная, ожидается, что функция будет увеличиваться во всей области определения.

Это означает, что левая сторона кривой идет вниз, а правая — вверх: (↓ ↑).

г. Для второй функции g (x) = -4x ⁴ , имеет отрицательный коэффициент и четный положительный показатель степени. Это означает, что график должен открываться вниз.Функция также будет увеличиваться, когда x <0, и уменьшаться, когда x> 0.

Это означает, что ожидается, что левая и правая стороны кривой будут идти вниз: (↓↓).

г. Давайте сначала упростим выражение для h (x): h (x) = -27x ³ . Мы видим, что h (x) имеет отрицательный коэффициент и нечетный показатель. Когда это происходит, функция уменьшается во всей области.

Кривая графика идет вверх с левой стороны и спускается с правой стороны: (↑ ↓).

Пример 4

Покажите, что произведение двух степенных функций всегда будет также возвращать степенную функцию.

Решение

Пусть две степенные функции будут f (x) = mx ^p и g (x) = nx ^q , где m и n — действительные числовые коэффициенты. Показатели p и q также являются действительными числами.

Умножение двух функций приведет к:

f (x) · g (x) = (mx ^p ) · (nx ^q )

= mn x ^{p + q}

Пусть mn = k и p + q = a, следовательно, имеем f (x) · g (x) = kx ^a .

Поскольку mn и p + q — действительные числа, k и a также будут действительными числами. Продукт по-прежнему возвращает степенную функцию, поэтому мы только что подтвердили, что произведение двух степенных функций также будет степенной функцией.

Пример 5

Изобразите степенную функцию f (x) = -3x ⁵ и ответьте на следующие вопросы.

а. Каков домен и диапазон функции?

г. Если график сдвинуть на 6 единиц вверх, будет ли полученная функция по-прежнему степенной?

Решение

Поскольку f (x) — нечетная функция, мы ожидаем, что график будет симметричным относительно начала координат.

Мы можем нанести эти точки на половину кривой и отразить ее по началу координат.

а. Поскольку показатель степени положительный и нечетный, область и диапазон f (x) будут все действительными числами или (-∞, ∞) . Это также можно подтвердить, просмотрев график.

г. Когда мы переводим f (x) на 6 единиц, мы добавляем 6 к выражению. Следовательно, выражение новой функции теперь будет -3x ⁵ + 6. Это выражение будет содержать два члена, и, таким образом, новая функция больше не будет степенной функцией .

Пример 6

Используйте показанный ниже график, чтобы найти выражение для h (x).

Решение

Поскольку график h (x) проходит через (-1, -2), (1, -2) и (1/2, -8), мы можем использовать любое из этих три точки в общем виде степенной функции: y = kx ^a .

Обратите внимание на график? Кривые приближаются, но никогда не могут быть равны 0, поэтому мы ожидаем, что показатель степени будет дробным.

Давайте сначала подставим (1, -2) в общий вид степенной функции. (Это будет лучший вариант, поскольку k1 ^a уменьшится до k .)

-2 = k (1) ^a

-2 = k

Примените тот же процесс для (1/2, -8), но на этот раз также будем использовать k = -2.

-8 = (-2) (- 1/2) ^a

4 = (-1/2) ^a

(-1/2) ^-2 = (-1/2) ^a

Чтобы это было правдой, a должно быть равно -2.Следовательно, имеем h (x) = -2x ^-2 .

Пример 7

Степенная функция g (x) проходит через точки (4, -6) и (9, -9).

а. Каково выражение для g (x)?

г. Постройте график функции g (x).

г. Найдите его домен и диапазон, затем опишите его конечное поведение.

Решение

Давайте подставим каждую пару значений в общую форму степенных функций: y = kx ^a и упростим полученное уравнение.

Теперь, когда у нас есть k на обе правые части уравнений приравняем выражения в левой части. Решите относительно a из полученного уравнения.

-6/4 ^a = -9/9 ^a

-2/4 ^a = -3/9 ^a

-2 ¹ /2 ^2a = -3 ¹ /3 ^2a

-2 ^1-2a = -3 ^1-2a

Это уравнение будет верно только тогда, когда обе стороны равны 1, поэтому показатели степени должны быть равны 0

1 — 2a = 0

1 = 2a

a = ½

Подставьте значение a в одно из выражений для k.

k = -6/4 ^a

= -6 / 4 ^1/2

= -6 / 2

= -3

Подставьте эти два значения обратно в общую форму степенных функций, чтобы найти выражение для g (x).

г (x) = kx ^a

= -3x ^1/2

= -3√x

a. Следовательно, мы имеем g (x) = -3√x .

Давайте используем две заданные точки для соединения кривой. Вспомните форму родительской функции функции извлечения квадратного корня, чтобы знать, чего ожидать от графика g (x).

г.

Мы можем найти домен и диапазон g (x), проверив график. Поскольку g (x) имеет рациональную экспоненту с четным знаменателем, мы ожидаем, что для x будут только положительные значения. График также может это подтвердить.

Поскольку график g (x) никогда не выходит за отрицательную ось y, мы ожидаем, что его диапазон будет состоять только из отрицательных чисел.

г. Следовательно, область для g (x) равна [0, ∞) , а диапазон — (-∞, 0] . График показывает, что она непрерывно уменьшается, а кривая последовательно идет вниз на .

Пример 8

Площадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса r. Площадь круга с радиусом 10 единиц составляет 314 единиц ^2, и круга с радиусом 20 единиц составляет 1256 единиц ² .

а. Найдите степенную функцию A (r), представляющую площадь круга через r. Что представляет собой коэффициент при A (r)?

г. Без учета ограничений на r, будет ли A (r) четным или нечетным?

г.Каково конечное поведение A (r)?

г. Если мы примем во внимание тот факт, что r представляет радиус круга, изменится ли домен?

Решение

Поскольку площадь прямо пропорциональна r ² , мы можем выразить A (r) как kr ² , где k — ненулевая константа.

Давайте используем любую из двух заданных пар значений, чтобы найти k.

A (r) = kr ²

314 = k (10) ²

314 = 100k

k = 3.14

а. Подставим обратно k в выражение, и мы получим A (r) = 3,14r ² . Напомним, что 3,14 — это приблизительное значение π, , поэтому коэффициент A (r) представляет π .

г. Поскольку A (r) — квадратичное выражение; это четная функция .

г. Коэффициент при A (r) положительный, а его показатель четный, поэтому мы ожидаем, что график будет уменьшаться, когда x <0, и увеличиваться, когда x> 0. Следовательно, ожидается, что оба конца кривой будут двигаться. вверх .

г. Первоначально, поскольку A (r) представляет собой квадратичное выражение, мы ожидаем, что оно будет иметь область (-∞, ∞). Но с учетом того факта, что измерения должны быть больше 0, домен теперь становится (0, ∞).

Практические вопросы

1. Какие из следующих функций считаются степенными?

а. f (x) = -3x ² · 2x + 2x · x
б. g (x) = 12√x

c. h (x) = πx ^√3
г.m (x) = x ² — 3x + 4

e. n (x) = 1 / 2x

2. Заполните пробелы всегда , иногда и никогда сделайте следующие утверждения верными.

а. Взаимные функции — это ______________ степенные функции.
г. Радикальные функции — это _____________ степенные функции.
г. Степенные функции будут ___________ иметь область (-∞, ∞).

3. Определите конечное поведение следующих степенных функций:

a.f (x) = -2x ⁵

б. g (x) = 3x ⁶

c. h (x) = (-2x) ⁴

4. Верно или неверно? Сумма двух степенных функций также всегда будет возвращать степенную функцию. Обосновать ответ.

5. Степенная функция g (x) проходит через точки (1,4) и (2, 2).

а. Каково выражение для g (x)?
г. Постройте график функции g (x).
г. Найдите его домен и диапазон, затем опишите его конечное поведение.

6. Изобразите степенную функцию y = 2x ⁴ и ответьте на следующие вопросы.

а. Каков домен и диапазон функции?
г. Если график сдвинуть на 2 единицы вверх, будет ли полученная функция по-прежнему степенной?

7. Объем конуса прямо пропорционален кубу его радиуса r. Объем конуса с радиусом 10 единиц равен 100π / 3 единиц ^3, и круга с радиусом 20 единиц составляет 400π / 3 единиц ³ .

а. Найдите степенную функцию V (r), представляющую объем конуса через r.
г. Без учета ограничений на r, будет ли V (r) четным или нечетным?
г. Каково конечное поведение V (r)?
г. Если мы примем во внимание тот факт, что r представляет радиус круга, изменится ли домен?

8. Мощность P (в ваттах), производимая гидроэлектростанцией, прямо пропорциональна квадрату скорости воды v (в милях в час). Если падающая вода со скоростью 24 мили в час генерирует 144 Вт мощности, сколько энергии вырабатывается при скорости воды 12 и 36 миль в час?

а. Используйте эти значения для построения графика P (v).
г. Каково выражение для P (v)?
г. Определите конечное поведение P (v).

Изображения / математические рисунки создаются с помощью GeoGebra.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

7. Дифференцирующие возможности функции

М. Борна

Функция функции

Если y является функцией u , а u является
функция x , тогда мы говорим

« y является функцией функции u «.

Пример 1

Рассмотрим функцию

y = (5 x + 7) ¹² .

Если мы допустим u = 5 x + 7 (самое внутреннее выражение), то мы могли бы записать нашу исходную функцию как

y = u ¹²

Мы записали y как функцию от u , и, в свою очередь, u является функцией от x .

Это жизненно важная концепция дифференциации, поскольку многие из функций, с которыми мы встречаемся с этого момента, будут функциями функций, и нам необходимо распознать их, чтобы правильно их различать.

Правило цепочки

Чтобы найти производную функции от функции, нам нужно использовать правило цепочки:

`(dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx)`

Это означает, что нам нужно

1. Распознать `u` (всегда выбирайте самое внутреннее выражение, обычно часть внутри скобок или под знаком квадратного корня).4` у нас есть
   мощность функции.

   Ответ

   Если мы положим u = 2 x ³ — 1, то y =
   у ⁴ .

   Итак, теперь

   • y записывается как степень u ; и
   • u является функцией x [ u = f ( x )
     ]. (n-1) (du) / (dx`

     , где u = 2 x ³ — 1 и n =
     4.2) `

     Поиграйте с этим примером задачи на странице интерактивного апплета «Дифференциация».

     логарифмов

     логарифмов

     ---

     Логарифм
     — показатель степени. Логарифм — это показатель степени, который указывает, в какой степени
     для получения заданного числа необходимо поднять базу.

     г
     = b ^x
     экспоненциальная форма

     х
     = log _b y логарифмический
     форма

     x — логарифм y по основанию b

     log _b y — степень, в которую мы должны возвести b, чтобы получить y

     Мы выражаем x через y

     Примеры

     x = бревно _b y

     x = журнал 2 8

     Это означает логарифм 8 по основанию 2.Это экспонента, до которой нужно возвести 2, чтобы получить 8. Мы знаем, что 2 (2) (2) = 8. Следовательно, x = 3.

     x = журнал 6 36

     Это означает логарифм 36 по основанию 6. Это показатель степени, до которого нужно возвести 6, чтобы получить 36. Мы знаем, что 6 (6) = 36. Следовательно, x = 2.

     x = журнал 10 10,000

     Это означает логарифм 10000 с основанием 10.Это — показатель степени, до которого нужно поднять 10, чтобы получить 10 000. Мы знаем что 10 (10) (10) (10) = 10,000. Следовательно, x = 4.

     журнал b b = 1

     Логарифм любого числа по тому же основанию равен 1.

     x = журнал 11 11

     Это означает логарифм 11 по основанию 11. Это показатель степени. на которое нужно поднять 11, чтобы получить 11.Мы знаем, что 1 (1) = 11. Следовательно, x = 1.

     журнал b 1 = 0

     Логарифм 1 всегда равен 0.

     Любое число может служить базой.

     Общий
     (Бриггсиан) логарифмы Основание 10.

     логарифмов
     к базе 10 широко используются. Таким образом, обычно опускают нижний индекс.Если база не указана, значит, база равна 10.

     журнал ₁₀
     y = журнал y

     Натуральный
     (Наперианские) логарифмы Основание — e.

     Помнить
     e — иррациональное число, где e = 2,71828 … Символ «ln»
     относится к натуральным логарифмам.

     журнал e x = ln x

     ln x — показатель степени, до которого необходимо возвести e, чтобы получить x.

     
     
     Почему мы хотим использовать логарифмы? Для упрощения расчетов во многих случаях.

     Правила логарифмов

     Правило продукта

     Правило частного

     Правило силы

     Это правило полезно, потому что оно позволяет нам решать уравнения где переменная — показатель степени.

     Экспоненциальные и логарифмические функции являются обратными функциями

     Рассмотрим следующие таблицы и связанные с ними графики:

     x	f (x) = e x	x	f (x) = ln x
     0	1	1	0
     1	2.7	2,7	1
     2	7,39	7,39	2
     3	20	20	3

     [индекс]

     ---

     Yahoo Answers закрылся | Справка Yahoo

     Yahoo Answers прекратил работу с 4 мая 2021 года.Yahoo Answers когда-то был ключевой частью продуктов и услуг Yahoo, но с годами его популярность снизилась по мере изменения потребностей наших участников. Мы решили переместить наши ресурсы с Yahoo Answers, чтобы сосредоточиться на продуктах, которые лучше обслуживают наших участников и выполняют обещание Yahoo по предоставлению высококачественного надежного контента.

     С 4 мая 2021 года вы больше не можете получить доступ к сайту, но вы все равно можете запросить загрузку ваших данных Yahoo Answers до 30 июня 2021 года. Чтобы помочь вам с этим переходом, мы составили список вопросов, которые могут возникают во время этого процесса.

     Повлияет ли это на мою учетную запись Yahoo или другие службы Yahoo?

     Нет, эти изменения относятся к Yahoo Answers. Они не повлияют на вашу учетную запись Yahoo или другие службы Yahoo.

     Куда мне обратиться, если у меня возникнут вопросы в будущем?

     Yahoo Search можно использовать для поиска ответов и информации в Интернете. Наша страница Yahoo COVID предоставляет информацию и ресурсы о пандемии коронавируса.

     Могу ли я загрузить свой контент Yahoo Answers?

     Какой контент мне доступен?

     При загрузке данных Yahoo Answers будет возвращен весь пользовательский контент, включая ваши вопросы, ответы и изображения. Вы не сможете загружать контент, вопросы или ответы других пользователей.

     Нужно ли мне скачивать мой контент?

     Нет, загрузка содержимого не обязательна. Однако, если вы решите загрузить свой контент, вы должны сделать это до 30 июня 2021 года.

     Когда я получу контент Yahoo Answers?

     Наша команда работает как можно быстрее, чтобы сделать данные доступными, но загрузка вашего контента может занять до 30 дней.

     Я загрузил свой контент Yahoo Answers, как мне его просмотреть?

     Ваш контент будет отформатирован в JSON (объектная нотация JavaScript), и его будет сложно просмотреть с первого взгляда. У нас есть ресурсы по просмотру и управлению данными вашей учетной записи, которые помогут вам понять, как загружаются ваши данные.

     Как я могу поделиться своими комментариями / отзывами об этом изменении?

     Присылайте любые комментарии или отзывы относительно этого решения по адресу [email protected]. Спасибо, что нашли время поделиться с нами своими мыслями.

     Серия Тейлора для синуса или синуса

     Ряды Тейлора — отличные приближения сложных функций с использованием полиномов. Это делается путем замены фактической функции многочленами, которые имеют те же производные, что и исходная функция.По мере увеличения числа производных, общих для многочлена с конкретной функцией, увеличивается и точность представления. Здесь я рассмотрю очень популярное использование ряда Тейлора: приближение синуса или синуса. Таким образом можно аппроксимировать все функции регулярного исчисления вокруг точки x = 0. Для синуса мы можем получить довольно точное представление фактической функции, используя многочлен в 7-й степени x для диапазона от -π / 2 до π / 2. Изображение функции покрывает всю картину синуса, поэтому, перемещая и / или отражая значения, кратные π, мы можем вычислить синус для любого значения.

     Ряд Тейлора для синуса выглядит так: Y = X — X ³ /3! + Х ⁵ /5! — … + (-1) ^{(n + 1)} * X ^{(2 * n-1)} / (2n-1)!
     Где n — любое натуральное число. Чем выше вы поднимаетесь, тем точнее становится представление, как мы увидим на следующих диаграммах.

     Y = X
     Здесь мы видим синусоидальную функцию черным цветом, а линию Y = X красным. Эта линия представляет собой ряд Тейлора для синуса с коэффициентом 1, потому что наклон sin (x) при x = 0 равен 1, и, следовательно, его производная также равна 1 в той же точке.Это приближение на самом деле не так уж и плохо для значений, где x очень близко к 0, а точность вторична по отношению к способности быстро вычислять (подумайте об экзаменах по физике).

     Y = X — X ³ /3!
     На этом изображении у нас есть ряд Тейлора, показанный в степени 3. Обратите внимание, что нет степеней ряда Тейлора для четных чисел для синуса. График показывает, что точность приближения уже превышает π / 4.

     Y = X — X ³ /3! + Х ⁵ /5!
     В пятой степени ряд Тейлора для синуса имеет точность до π / 2.

     Y = X — X ³ /3! + Х ⁵ /5! — ^{х 7} /7!
     Седьмая степень ряда Тейлора для синуса считается достаточно точной, чтобы вычислить любое значение синуса. Изображенный здесь график не показывает разницы между функциями для всего диапазона от -π / 2 до π / 2.

     Y = X — X ³ /3! + Х ⁵ /5! — ^{х 7} /7! + X ⁹ /9!
     Для точного вычисления синуса, очень близкого к π / 2, девятая степень ряда Тейлора иногда предпочтительнее седьмой.

     Y = X — X ³ /3! + Х ⁵ /5! — ^{х 7} /7! + X ⁹ /9! — X ¹¹ /11!
     11 ^{-я степень} ряда Тейлора точна даже за пределами π. Это избавляет от работы тех, кто предпочитает производные функции зеркалированию!

     Y = X — X ³ /3! + Х ⁵ /5! — ^{х 7} /7! + X ⁹ /9! — X ¹¹ /11! + X ¹³ /13!
     Мощность 13 ^-я не имеет реальных преимуществ перед мощностью 11 ^-й и не имеет большого значения.

     Y = X — X ³ /3! + Х ⁵ /5! — ^{х 7} /7! + X ⁹ /9! — X ¹¹ /11! + X ¹³ /13! — ^{х 15} /15!
     Мощность 15 ^th преодолевает выступ π * 3/2, но это не дает ничего полезного.

     Y = X — X ³ /3! + Х ⁵ /5! — ^{х 7} /7! + X ⁹ /9! — X ¹¹ /11! + X ¹³ /13! — ^{х 15} /15! + X ¹⁷ /17!
     Степень 17 ^th очень близка к покрытию всего синусоидального цикла 2 * π.

     Y = X — X ³ /3! + Х ⁵ /5! — ^{х 7} /7! + X ⁹ /9! — X ¹¹ /11! + X ¹³ /13! — ^{х 15} /15! + X ¹⁷ /17! — ^{х 19} /19!
     Как и 19 ^-я power.

     Y = X — X ³ /3! + Х ⁵ /5! — ^{х 7} /7! + X ⁹ /9! — X ¹¹ /11! + X ¹³ /13! — ^{х 15} /15! + X ¹⁷ /17! — ^{х 19} /19! + X ²¹ /21!
     21 ^{-я степень} ряда Тейлора для синуса покрывает весь цикл 2 * π.Любой, кто хочет изучить это дальше, будь моим гостем. Я собираюсь сейчас сломать пальцы о красивый высокий треугольник Паскаля.